第五章 三角函數(shù)


5．1 任意角和弧度制


5．1.1 任意角








1．了解任意角的概念及角的分類．


2．理解象限角的概念．


3．理解終邊相同的角的概念，并能熟練寫出終邊相同的角的集合表示．





1．任意角


(1)角的概念


角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．


(2)角的表示





如圖，射線的端點(diǎn)是圓心O，它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OP，形成一個(gè)角α，射線OA，OP分別是角α的始邊和終邊．


“角α”或“∠α”可以簡記成“α”．


(3)角的分類





(4)相等角與相反角


①設(shè)角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O′A′繞端點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α＝β.


②我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.


③設(shè)α，β是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角是α＋β.


④角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．


2．象限角


把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．


3．終邊相同的角


所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．


溫馨提示：對終邊相同的角的理解


(1)α為任意角，“k∈Z”這一條件不能漏．


(2)k·360°與α中間用“＋”連接，如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．





1．在坐標(biāo)系中，將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸形成的角為90°，這種說法是否正確？


[答案] 不正確．在坐標(biāo)系中，將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸時(shí)，是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，故它形成的角為－90°





2．初中我們學(xué)過對頂角相等．依據(jù)現(xiàn)在的知識試判斷一下圖中角α，β是否相等？


[答案] 不相等．角 α為逆時(shí)針方向形成的角，α為正角；角β為順時(shí)針方向形成的角，β為負(fù)角


3．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)


(1)當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就確定了．( )


(2)－30°是第四象限角．( )


(3)鈍角是第二象限的角．( )


(4)終邊相同的角一定相等．( )


(5)第一象限的角是銳角．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×





題型一 任意角的概念


【典例1】 下列命題正確的是( )


A．終邊與始邊重合的角是零角


B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等


C．在90°≤β

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5.1 任意角和弧度制

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