第1課時 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)








1．了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義．


2．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．


3．掌握函數(shù)y＝sinx，y＝csx的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性．





1．周期函數(shù)


(1)周期函數(shù)的概念





(2)最小正周期





溫馨提示：對周期函數(shù)的三點說明


(1)并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期也不一定唯一．


(2)如果T是函數(shù)f(x)的一個周期，則nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．


(3)并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如f(x)＝C(C為常數(shù)，x∈R)，所有的非零實數(shù)T都是它的周期，不存在最小正周期．


2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性








1．生活中，有很多“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，你能舉出幾個常見的例子嗎？


[答案] 每天的日出日落，四季更替，每周上課用的課程表等


2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)


(1)由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,4)，則eq \f(π,2)是函數(shù)y＝sinx的一個周期．( )


(2)因為sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋4π))＝sineq \f(x,3)，所以函數(shù)y＝sineq \f(x,3)的周期為4π.( )


(3)對任意實數(shù)x，若有f(x＋1)＝f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝1是f(x)的一個周期．( )


(4)函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x))是奇函數(shù)．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√





題型一 正、余弦函數(shù)的周期性


【典例1】 求下列函數(shù)的最小正周期．


(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；(2)f(x)＝|sinx|.


[思路導(dǎo)引] 求三角函數(shù)周期時可利用定義f(x＋T)＝f(x)，也可用公式T＝eq \f(2π,|ω|)，還可以利用圖象求解．


[解] (1)解法一：定義法


∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2?x＋π?＋\f(π,3)))＝f(x＋π)，


即f(x＋π)＝f(x)，


∴函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期為π.


解法二：公式法


∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，∴ω＝2.又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.


∴函數(shù)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期為π.


(2)解法一：定義法


∵f(x)＝|sinx|，


∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，


∴f(x)的最小正周期為π.


解法二：圖象法


函數(shù)y＝|sinx|的圖象如圖所示，





由圖象可知最小正周期為π.








求三角函數(shù)最小正周期的方法


(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．


(2)公式法，對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq \f(2π,|ω|).


(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．


[針對訓(xùn)練]


1．求下列函數(shù)的周期．


(1)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))；


(2)y＝|csx|.


[解] (1)∵y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))，∴ω＝eq \f(π,2).


又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，


∴函數(shù)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))的周期T＝4.


(2)∵f(x)＝|csx|，


∴f(x＋π)＝|cs(x＋π)|＝|－csx|＝|csx|＝f(x)，


∴f(x)＝|csx|的周期 T＝π.


題型二 正、余弦函數(shù)的奇偶性


【典例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性．


(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；


(2)f(x)＝sin|x|；


(3)f(x)＝eq \r(1－csx)＋eq \r(csx－1).


[思路導(dǎo)引] 首先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f(－x)與f(x)之間的關(guān)系．


[解] (1)因為函數(shù)的定義域為R，


f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－cseq \f(3x,4)，


所以f(－x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3x,4)))＝－cseq \f(3x,4)＝f(x)，


所以函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函數(shù)．


(2)因為函數(shù)的定義域為R，


f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，


所以函數(shù)f(x)＝sin|x|是偶函數(shù)．


(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－csx≥0，,csx－1≥0，))得csx＝1，


所以x＝2kπ(k∈Z)，


此時f(x)＝0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．











判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好2個關(guān)鍵點


關(guān)鍵點一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；


關(guān)鍵點二：看f(x)與f(－x)的關(guān)系．


對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷．要特別注意化簡前后式子的等價性．





[針對訓(xùn)練]


2．判斷下列函數(shù)的奇偶性．


(1)f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))；


(2)f(x)＝eq \f(1＋sinx－cs2x,1＋sinx)；


(3)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2))).


[解] (1)函數(shù)f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))的定義域為R.


∵f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝xcsx，


∴f(－x)＝(－x)·cs(－x)


＝－xcsx＝－f(x)，


∴f(x)是奇函數(shù)．


(2)函數(shù)應(yīng)滿足1＋sinx≠0，


∴函數(shù)的定義域為


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z)))).


∵函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，


∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．


(3)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－eq \r(2)cs2x，定義域為R.


∵f(－x)＝－eq \r(2)cs(－2x)＝－eq \r(2)cs2x＝f(x)，


∴f(x)是偶函數(shù).


題型三 正、余弦函數(shù)周期性與奇偶性的應(yīng)用


【典例3】 定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時，f(x)＝sinx，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．


[思路導(dǎo)引] 解決此類問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性與奇偶性，將x化到可求值區(qū)間內(nèi)．


[解] ∵f(x)的最小正周期是π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).


∵f(x)是R上的偶函數(shù)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2).


[變式] 本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”其他條件不變．結(jié)果如何？


[解] ∵f(x)最小正周期為π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).


∵f(x)為奇函數(shù)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).











解決三角函數(shù)的奇偶性與周期性綜合問題的方法


利用函數(shù)的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)值．利用奇偶性，可以找到－x與x的函數(shù)值的關(guān)系，從而可解決求值問題．





[針對訓(xùn)練]


3．函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))是周期為________的________(奇或偶)函數(shù)．


[解析] ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝－cs2x，


∴周期 T＝eq \f(2π,2)＝π，y＝cs2x為偶函數(shù)．


故f(x)是周期為π的偶函數(shù)．


[答案] π 偶


課堂歸納小結(jié)


1．求函數(shù)的最小正周期的常用方法


(1)定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.


(2)圖象法，即作出y＝f(x)的圖象，觀察圖象可求出T，如y＝|sinx|.


(3)結(jié)論法，一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ為常數(shù)，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,ω).


2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性


(1)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點O對稱，余弦曲線關(guān)于y軸對稱．


(2)正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．


(3)注意誘導(dǎo)公式在判斷三角函數(shù)奇偶性時的運用.








1．函數(shù)y＝2sinx＋5的最小正周期是( )


A.eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


[解析] 函數(shù)y＝2sinx＋5的最小正周期就是函數(shù)y＝sinx的最小正周期，即eq \f(2π,1)＝2π，故選C.


[答案] C


2．函數(shù)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))的奇偶性為( )


A．奇函數(shù)


B．偶函數(shù)


C．非奇非偶函數(shù)


D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)


[解析] 函數(shù)的定義域為R，且y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))＝sineq \f(1,2)x，故所給函數(shù)是奇函數(shù)．


[答案] A


3．已知函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1，則下列命題正確的是( )


A．f(x)是周期為1的奇函數(shù)


B．f(x)是周期為2的偶函數(shù)


C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)


D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)


[解析] ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－πx))－1


＝－cs(πx)－1


∴T＝eq \f(2π,π)＝2，而f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．


[答案] B


4．定義在R上的函數(shù)f(x)周期為π，且是奇函數(shù)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))的值為( )


A．1 B．－1


C．0 D．2


[解析] 由題意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－1.


[答案] B


5．函數(shù)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，則正整數(shù)k的最小值應(yīng)是________．


[解析] 由題意得eq \f(2π,\f(k,4))＝eq \f(8π,k)≤2，∴k≥4π.


∴正整數(shù)k的最小值為4π.


[答案] 4π


課后作業(yè)(四十四)


復(fù)習(xí)鞏固


一、選擇題


1．下列函數(shù)中，周期為eq \f(π,2)的是( )


A．y＝sinx B．y＝sin2x


C．y＝cseq \f(x,2) D．y＝cs4x


[解析] ∵T＝eq \f(π,2)＝eq \f(2π,|ω|)，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝4.


[答案] D


2．函數(shù)y＝4sin(2x＋π)的圖象關(guān)于( )


A．x軸對稱 B．原點對稱


C．y軸對稱 D．直線x＝eq \f(π,2)對稱


[解析] y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱．


[答案] B


3．函數(shù)f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))是( )


A．周期為3π的偶函數(shù) B．周期為2π的偶函數(shù)


C．周期為3π的奇函數(shù) D．周期為eq \f(4π,3)的偶函數(shù)


[解析] ∵f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋6π＋π＋\f(π,2)))


＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2x,3)))))


＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2,3)x))＝－3cseq \f(2,3)x


∴T＝eq \f(2π,\f(2,3))＝3π，而f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)．


[答案] A


4．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是( )





[解析] 由f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．


由f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期為2.


故選B.


[答案] B


5．函數(shù)y＝eq \f(|sinx|?1－sinx?,1－sinx)的奇偶性為( )


A．奇函數(shù) B．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)


C．偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)


[解析] 由題意知，當(dāng)1－sinx≠0，


即sinx≠1時，


y＝eq \f(|sinx|?1－sinx?,1－sinx)＝|sinx|，


所以函數(shù)的定義域為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，


由于定義域不關(guān)于原點對稱，


所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．


[答案] D


二、填空題


6．函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期為eq \f(π,5)，其中ω>0，則ω＝________.


[解析] 依題意得eq \f(π,5)＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝10.


[答案] 10


7．f(x)＝sinxcsx是________(填“奇”或“偶”)函數(shù)．


[解析] x∈R時，f(－x)＝sin(－x)cs(－x)


＝－sinxcsx＝－f(x)，即f(x)是奇函數(shù)．


[答案] 奇


8．若函數(shù)f(x)的定義域為R，最小正周期為eq \f(3π,2)，且滿足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－\f(π,2)≤x

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5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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