1．探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．（重點(diǎn)）2．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證 明．（難點(diǎn)）
小明想制作一個(gè)三角形的相框，他有四根木條長(zhǎng)度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計(jì)出幾種形狀的三角形？
在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形
問題1 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？
結(jié)論： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一 個(gè)角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求證：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
證明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等邊對(duì)等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
問題2 等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱軸？
結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”.
頂角的平分線、底邊的高底邊的中線三線合一
每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合
底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合
例1 如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．
解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，一般需結(jié)合“等邊對(duì)等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).
如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．
證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．
例2 △ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法總結(jié)：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.
三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形
從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形
三條邊都相等的三角形是等邊三角形
小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個(gè)角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？
等邊三角形的判定方法： 有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
辯一辯：根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.
例3 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC, 求證：△ADE是等邊三角形.
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等邊三角形.
想一想：本題還有其他證法嗎？
　證明：∵　△ABC 是等邊三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等邊三角形.
變式1　若點(diǎn)D、E 在邊AB、AC 的延長(zhǎng)線上，且 DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？
變式2　若點(diǎn)D、E 在邊AB、AC 的反向延長(zhǎng)線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？
　　證明： ∵　△ABC 是等邊三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等邊三角形．
變式3：上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE, △ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.
例4 等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．
解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形， ∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．
方法總結(jié)：判定一個(gè)三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個(gè)內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個(gè)內(nèi)角等于60°.
針對(duì)訓(xùn)練： 如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．
2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，DE∥BC，則這個(gè)圖形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè)
1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（　?。〢．105° B．120° C．135° D．150°
3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°
4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長(zhǎng)為18cm,EC =2cm,則△ADE的周長(zhǎng)是 cm.
5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F．求證：△AEF≌△BEC．
證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠DAB=60°，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE．又∵ ∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6.如圖，A、O、D三點(diǎn)共線，△OAB和△OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.
∵△OAB和△OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三點(diǎn)共線，
∴ ∠DOB=∠COA=120°，
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
設(shè)OB與EA相交于點(diǎn)F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
7.圖①、圖②中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請(qǐng)說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.
(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．

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13.3.2 等邊三角形

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