1．如圖，中，，D為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于E，連接交于P，交于F，連接，．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
2．如圖，已知等腰中，，以為直徑作交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
3．如圖，已知為的直徑，，弦，直線，相交于點(diǎn)．
(1)求證：直線是的切線；
(2)當(dāng)，時(shí)，求的半徑．
4．如圖，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
(1)求證：．
(2)若的半徑為10，，求的長．
5．如圖，的直徑的長為10，直線經(jīng)過點(diǎn)B且．點(diǎn)D和點(diǎn)C是圓上兩點(diǎn)．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，求四邊形的面積．
6．如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．
(1)求證：直線是的切線；
(2)求證：．
7．如圖，內(nèi)接于，（不是直徑）與相交于點(diǎn)D，且，過點(diǎn)A作的切線交的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：平分；
(2)若，求的長．
8．已知：內(nèi)接于，過點(diǎn)A作直線．
(1)如圖1，為直徑，要使為的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：
① ；②
(2)如圖2，是非直徑的弦，，求證：是的切線．
9．如圖，以點(diǎn)為圓心，為直徑作圓，在上取一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，連接，使得，過點(diǎn)A作垂直于交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
10．如圖，為的直徑，為圓上兩點(diǎn)，， 且與的延長線交于點(diǎn)， 垂足為點(diǎn)，平分．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求的值．
11．如圖，點(diǎn)B在以為直徑的上，點(diǎn)D在的延長線上，連接、、，．
(1)求證：是的切線．
(2)F是延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F作于點(diǎn)E．若，，求的半徑．
12．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是右邊半圓上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，過點(diǎn)A作的切線交的延長線于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E．
(1)判斷的形狀，并說明理由；
(2)當(dāng)平分時(shí)，求證：；
(3)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，直線總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)P，若，當(dāng)所對的圓心角為時(shí)，求的面積．
13．如圖，是的直徑，點(diǎn)，是上異于，的兩點(diǎn)，是的切線，連接，，，，延長與的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，．
(1)求證：直線是的切線．
(2)求證：．
(3)如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
14．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接并延長分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，．
(1)求證：為的切線；
(2)若為中點(diǎn)，，求的半徑．
15．如圖，在四邊形中，，的平分線交于，過三點(diǎn)的圓交于，且恰好是圓的切線，是上一點(diǎn)，連接．
(1)求的度數(shù)；
(2)當(dāng)是圓的直徑，
①求證：四邊形是平行四邊形；
②若是的中點(diǎn)，，求的長．
參考答案
1．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)：
（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可解答；
（2）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，進(jìn)而可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，再證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴是的切線；
（2）解：連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的長為．
2．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)易得到，結(jié)合半徑相等得到，進(jìn)而得到，結(jié)合得到，再利用切線的判定求解；
（2）根據(jù)，進(jìn)而得到，結(jié)合易得到，利用勾股定理求出、的長度，進(jìn)而得到的長度，最后用來求解．
【詳解】（1）證明：連接，
，
．
又，
，
，
．
，
．
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
，
．
而，
，
，
即．
又，
，
，，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式，求出圓的半徑和、、的長度是解答關(guān)鍵．
3．(1)詳見解析
(2)的半徑長為
【分析】（1）連接，則，所以，由，得，，則，可證明，得，即可證明直線是的切線；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，而，所以，則，由，求得，則的半徑長為．
【詳解】（1）證明：連接，則，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是的半徑，且，
直線是的切線．
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
的半徑長為．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵
4．(1)見解析
(2)
【分析】（1）由切線的性質(zhì)得；由得，從而有；再由同弧對的圓周角相等得，從而得結(jié)論成立；
（2）連接，由余弦函數(shù)關(guān)系可求得，進(jìn)而由勾股定理求得；由垂徑定理及線段垂直平分線的性質(zhì)得，再證明，得,設(shè)，則，在中，由勾股定理建立方程，可求得的值，從而求得．
【詳解】（1）證明：∵是的切線，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：連接，如圖所示，
∵是的直徑，的半徑為10，
∴，．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
設(shè)，則．
∵在中，，
∴，
∴（負(fù)值已舍去），
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，同弧對的圓周角相等，垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及銳角三角函數(shù)等知識，涉及到較多的知識點(diǎn)，正確應(yīng)用這些知識是解題的關(guān)鍵．
5．(1)見解析
(2)49
【分析】（1）由是的直徑，知，得到，，，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
（2）在中，推出，，根據(jù)點(diǎn)C是的中點(diǎn)，得到，根據(jù)面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
即，
∵，，
∴即，
∴，
∴是的切線；
（2）解：∵是的直徑，
∴，
在中，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線判定定理，圓周角定理及推論，解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線，同圓或等圓中同弧對的圓周角相等，直徑對的圓周角是直角，銳角三角函數(shù)的正弦正切的定義．
6．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）首先推導(dǎo)出，是等腰三角形，進(jìn)而得證．
【詳解】（1）證明：連接，
，
．
平分，
．
．
．
，
．
是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）證明：∵線段是的直徑，
．
．
平分，
．
．
是等腰三角形，
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的三線合一、直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
7．(1)見解析；
(2)10．
【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、等角的余角相等、銳角三角函數(shù)與角直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，則，所以，由切線的性質(zhì)證明，由垂徑定理證明，則所以，則平分；
（2）因?yàn)椋?，由勾股定理得求得，則，再利用三角函數(shù)可求．
【詳解】（1）證明：連接，則，
∴，
∵過點(diǎn)A作的切線交的延長線于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∴，
∴t ，
∴，
∴的長為10．
8．(1)①；②（答案不唯一）
(2)見解析
【分析】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．
（1）根據(jù)切線的判斷由可判斷為的切線；當(dāng)可推出，即可得出答案；
（2）連接并延長交于D，連接，則為的直徑．則，根據(jù)圓周角定理得，而，所以，則，根據(jù)切線的判定定理得到是的切線．
【詳解】（1）解：如圖，
當(dāng)可判斷為的切線；
當(dāng)，
∵為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為的切線；
故答案為：；（答案不唯一）；
（2）證明：連接并延長交于D，連接，則為的直徑．
∴，
∵與對，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的切線．
9．(1)見解析
(2)長為6
【分析】（1）連接，則，所以，因?yàn)?，所以，由是的直徑，得，可推?dǎo)出，即可證明是的切線；
（2）由，證明與相切于點(diǎn)A，而于相切于點(diǎn)C，則，然后由勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：連接．
，
．
又，
．
是的直徑，
．
，
．
又是的半徑，
是的切線．
（2）解：是的半徑，，
是的切線，
又也是的切線，
．
設(shè)，
在中，，
即，解得，
所以長為6．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查直角所對的圓周角是直角、切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識，推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．
10．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，由得出得出再由平分，可得由等腰三角形的判定得出再證明，即可得證；
（2）延長與交于點(diǎn)，先證明可得從而得出設(shè)為， 則，由勾股定理得再求解即可．
【詳解】（1）解：連接．
平分，
為的切線；
（2）解：為上的兩點(diǎn)，為的直徑，
為的直徑，
，
，
，
，
延長與交于點(diǎn)，
設(shè)為，則，
由（1）得，
，
∴四邊形為矩形，
，
，
在中，
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的判定，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理以及等腰三角形的判定，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．
11．(1)見解析
(2)4
【分析】本題考查了圓周角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
（1）連接，由直徑可得，再結(jié)合等邊對等角的性質(zhì)，推出，從而得到，即可證明結(jié)論；
（2）證明，得出，設(shè)的半徑為r，則，，列方程求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接．
是的直徑，
∴．
，
，
．
，
，
即．
是的半徑，
是的切線．
（2）解：，
．
，，
，
，
，
即．
設(shè)的半徑為r，則，
，
，
，
解得，
的半徑為4．
12．(1)為等邊三角形，理由見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，，即可證明；
（2）由圓周角定理以及切線的性質(zhì)證明，由平分，得到，再根據(jù)外角的性質(zhì)得到，那么，即可證明；
（3）延長交于點(diǎn)，連接，由（1）知是等邊三角形，那么，則，即直線總經(jīng)過一個(gè)上定點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，導(dǎo)角得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，在中，，，在中，，，，在中，，化簡得，而，再代入求解即可．
【詳解】（1）解：為等邊三角形，理由如下，
證明：由旋轉(zhuǎn)得，，
∴為等邊三角形；
（2）證明：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延長交于點(diǎn)，連接，
由（1）知是等邊三角形，
∴，
∴，
即直線總經(jīng)過一個(gè)上定點(diǎn)，
∵，
∴，
過點(diǎn)作于，
則，
∴，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，
在中，，
∴，
∴，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，
∴在中，，
則由勾股定理得，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴
化簡得：，
∴，
∴，
∴的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，涉及圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定該與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，角的直角三角形的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度較大，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．(1)見解析；
(2)見解析；
(3)為定值，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)垂直定義可知，因?yàn)?，可得，從而可得，所以可證結(jié)論成立；
（2）首先利用公理可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，因?yàn)槭堑闹睆?，所以，根?jù)平面內(nèi)垂直同一條直線的兩條直線互相平行可證結(jié)論成立；
（3）根據(jù)正切的定義可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，所以有，從而可得，根據(jù)正切的定義可證結(jié)論成立．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
直線是的切線；
（2）證明：如圖，連接，，
、是的切線，
．
在和中，
，
，
又，
．
是的直徑，
，
，
；
（3）解：為定值；
理由如下：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)．本題的綜合性較強(qiáng)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找邊和角之間的關(guān)系．
14．(1)見解析
(2)
【分析】（1）方法一：連接，由題意易得，，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求證；方法二：連接，由題意易得，，然后可得，，進(jìn)而可得，則問題可求證；
（2）連接，由題意可先證，則有，設(shè)，則，然后可根據(jù)勾股定理建立方程進(jìn)行求解．
【詳解】（1）證明：方法一：如答圖1，連接，
，
．
，
．
又，
．
．
．
為的切線．
方法二：如答圖2，連接，
為的直徑，
，
中，．
又，
．
，
．
．
，
，
，
．
即：．
為的切線；
（2）解：如答圖3，連接，
，
．
又，
．
，
．
．
，為的直徑．
．
．
設(shè)，
則．
．
，
即：，
．
．
在中，
．
的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)與判定、圓的基本性質(zhì)及勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定、圓的基本性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15．(1)
(2)①見解析；（2）
【分析】（1）連接，證明是直徑，從而可證，求出，然后根據(jù)等弧所對的圓周角相等即可求解；
（2）①連接，求出可證，再證明可得，從而可證四邊形是平行四邊形；
②延長相較于點(diǎn)H，先求出，，再求出，證明得，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴是直徑．
∵是圓的切線，
∴．
∵的平分線交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①證明：連接，
∵，是圓的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
②解：延長相較于點(diǎn)H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中點(diǎn)，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平平行四邊形的判定，等角對等邊，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．

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