1．如圖，在中，，是邊上的中線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，．
(1)求的長；
(2)求的正切值．
2．如圖，是正方形的對角線，點(diǎn)E、F分別在邊上，，延長到，且，連接．
(1)求證：；
(2)延長交于點(diǎn)，連接，求證：．
3．如圖9，在梯形中，，連接，點(diǎn)在上，連接，使得，點(diǎn)在邊上，連接，分別交、于點(diǎn)、，且，連接．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)如果，求證：．
4．已知：如圖，在中，和是中線．
(1)求證：．
(2)、的面積分別表示為、，則___________．
5．（如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在的延長線上，且．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
6．如圖，是的外接圓，是直徑，，，D是弦下方弧上的點(diǎn)（與B、C均不重合）．連接并延長交過A點(diǎn)的直線于E點(diǎn)，連接，使．
(1)請直接寫出的正切函數(shù)值，即______；
(2)求證：是的切線；
(3)設(shè)與交于點(diǎn)F，點(diǎn)F在上（與O、C均不重合），過F點(diǎn)作，垂足為G，．與的大小相關(guān)的三個結(jié)論：，，，你認(rèn)為哪個正確？請說明理由．
7．如圖，一棵樹的高度為5米，下午某一個時(shí)刻它在水平地面上形成的樹影長為3米，現(xiàn)在小明想要站這棵樹下乘涼，已知他的身高為1.5米，那么小明最多可以離開樹干多少米才可以不被陽光曬到？（不考慮其他情況）
8．如圖，等腰中，，，點(diǎn)分別在邊上，且，

(1)求證：；
(2)試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)連接交于點(diǎn)，若，求的值．
9．如圖1，在中，，是平面內(nèi)一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），是線段中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，連接，且滿足，連接．
(1)如圖1，若，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖3，若，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖2，點(diǎn)在直線上方，，，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出線段的長．
10．把兩個含有角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)在上，連接、，的延長線交于于點(diǎn)．
(1)直接寫出線段與線段的關(guān)系___________．
(2)若將角換成如圖，線段與線段在數(shù)量和位置上分別有何關(guān)系？說明理由．
(3)若將圖中兩個三角板旋轉(zhuǎn)成圖、圖、圖的位置，則（2）中結(jié)論是否仍然成立，選擇其中一種圖形進(jìn)行說明．
11．在 中， ，在 上取一點(diǎn)，使 ，點(diǎn) 在邊 上運(yùn)動，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中使 ．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) 時(shí)，點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．
(1)線段 的長為 ；
(2)當(dāng) 時(shí)，求的長；
(3)當(dāng)點(diǎn) 和點(diǎn)到的距離相等時(shí)，求 的長．
(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn) ， 當(dāng)直線 經(jīng)過 一邊中點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長．（寫出一個即可）
12．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測得，，，求樹高．
13．如圖，為直角三角形，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，若平分，，垂足為，若，，求的長；
(2)如圖2，若，為線段靠近的三等分點(diǎn)，，，延長線與延長線交于點(diǎn)，，猜想，，三者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，直接寫出的最小值．
14．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，且．
(1)如圖1，設(shè)，
①求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
②若，求的長．
(2)如圖2，將沿折疊得到交于點(diǎn)．
①求證：；
②如圖3，點(diǎn)在線段上，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，若，求的值．
15．如圖，與均為直角三角形，．
(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．
(2)如圖2，點(diǎn)在上，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，，請寫出、、的數(shù)量關(guān)系并予以證明．
(3)在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接、、，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的值．
參考答案
1．(1)
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）解斜，先求出，再求出即可；
（2）點(diǎn)作于點(diǎn)，由得，而，則，那么，即可求解正切．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
設(shè)，
，
，
，
∴，
，
，
；
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
，
∴，
∴
∵是邊上的中線，
∴，
，
由（1）可知：，
，
，
．
2．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先由正方形的性質(zhì)結(jié)合平行線分線段成比例得到，然后證明即可；
（2）由，得到，證明，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到，證明，則，那么，再交叉相乘即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：如圖：
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，找出相似三角形是解題的關(guān)鍵．
3．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)題意得出，進(jìn)而得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得出，結(jié)合已知可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)，即可得證；
（2）證明，得出進(jìn)而證明得出，證明，即可證明得出，進(jìn)而根據(jù)，，即可得證．
【詳解】（1）證明：如圖，
∵，即
∴
∵，即
∴
∴
又∵
∴
∴，即是的中點(diǎn)，
又∵，
∴是的中點(diǎn)，
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形為菱形；
（2）證明：∵，即
又
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
又∵是的中位線，
∴
又
∴即
4．(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出，由已知條件得出，證明，得出對應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形中位線判定與性質(zhì)得出，，即可判定，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】（1）證明：，
，
、是中線，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵和是中線，
∴點(diǎn)E、D是、的中點(diǎn)，
，，
，
．
故答案為：．
5．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知，．所以，，又因?yàn)?，進(jìn)而可證明；
（2）由（1）可知：，得出，由平行四邊形的性質(zhì)可知，進(jìn)而得到，代入計(jì)算求出，即可解題．
【詳解】（1）（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
，．
又，
．
；
（2）解：，
四邊形是平行四邊形，
．，
．

，
．
6．(1)
(2)見解析
(3)，理由見解析
【分析】（1）利用直徑所對圓周角是直角得到，再根據(jù)正切函數(shù)定義 ，代入、計(jì)算得出結(jié)果．
（2）先由得出，結(jié)合證明，得到，再通過圓的性質(zhì)及等量代換推出，即，從而證明結(jié)論．
（3）過點(diǎn)作，先利用平行線性質(zhì)得出，結(jié)合三角函數(shù)值求出長度，再通過相似三角形得出長度，進(jìn)而得到，證明，得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明 ．
【詳解】（1）解：∵是的直徑，
∴，
在中，，，，
∴．
（2）證明：如圖，連接，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
是⊙的直徑，
，
，
，即，
．
是的半徑，
是的切線．
（3），理由如下：
如圖，過點(diǎn)作，垂足為，與交于點(diǎn)，
，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定以及三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用上述知識，通過邊與角的關(guān)系進(jìn)行推理和計(jì)算．
7．2.1米
【分析】本題考查了平行投影，在同一時(shí)刻時(shí)，樹的高度與影長與人的高度與影長成正比列比例式，求出此時(shí)人的影長，計(jì)算出最多離樹干的長度．
【詳解】解：設(shè)小明在同一時(shí)刻在水平地面上形成的影長為米，
則，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.，
，
答：小明最多可以離開樹干2.1米才可以不被陽光曬到．
8．(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)
【分析】（1）利用一線三等角即可證明；
（2）由，推出，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，求出，，得到；設(shè)，則，求出，即可得出結(jié)論；
（3）在上取點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于，取中點(diǎn)，連接，證明，得到，設(shè)，則，同理（2）得，求出，，，利用勾股定理得到，證明是的中位線，進(jìn)而證明，推出，求出，結(jié)合完全平方公式求出，且為正實(shí)數(shù)，，得到，即，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
則，，

∵，
∴，
∴，
∴；
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于，取中點(diǎn)，連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
同理（2）得，
∴，
同理（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)K是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，且為正實(shí)數(shù)，，
∴，
∴，即，
∴；
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形全等，相似是解題的關(guān)鍵．
9．(1)，理由見詳解；
(2)，理由見詳解；
(3)或
【分析】（1）延長至使，連接，證明，得，則，再證，即可得出答案；
（2）延長至使，連接，證明，得，則，再證，得，即可解決問題；
（3）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，延長至使，連接，延長交延長線于點(diǎn)，證，得，，再證，求得，然后證，得，求出，進(jìn)而由勾股定理得，則，最后證明是的中位線，即可得出答案．當(dāng)時(shí)，用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，
理由如下：如圖2，延長至使，連接，
是線段中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，
理由如下：如圖3，延長至使，連接，

在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延長至使，連接，延長交延長線于點(diǎn)，

在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
是的中位線，
．
當(dāng)時(shí)，如圖所示：
由前面的過程可知，此時(shí)共線，；
綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)三角形中位線定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
10．(1)，
(2)，，理由見解析
(3)（2）中結(jié)論仍然成立，說明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）證明得，，又，所以，求得，即，即可求解；
（2）證明得，，又，所以，求得，即，即可求解；
（3）由，得，，在圖中：由，得，再結(jié)合得，即可求解；在圖中：由題可知：，又，所以，再結(jié)合，所以，即可求解；在圖中：由，得，又，所以，即可求解．
【詳解】（1）解：由題可得：，，，
，
，，
又，
，
，即，
故答案為：，；
（2）解：，，理由如下：
由題可得：，，
，
又，
，
，，
又，
，
，即；
（3）解：（2）中結(jié)論仍然成立，仍然證，得到，，
圖：由，得，
又，
，
，即；
圖：由題可知：，
又，
，
而，
，
，即；
圖：由，得，
又，
，
，即．
11．(1)
(2)
(3)或；
(4)或
【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)已知得出，進(jìn)而得出；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，得出，分兩種情況討論，當(dāng)在同側(cè)時(shí)，當(dāng)在異側(cè)時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；
（4）作關(guān)于對稱點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，則，是的中點(diǎn)，則，分兩種情況討論，過的中點(diǎn)和過的中點(diǎn)，分別畫出圖形，根據(jù)相似三角形的中即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴可設(shè)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∵，設(shè)，則
∴
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
（3）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，設(shè)，則
∴
∵是等腰直角三角形，則
∴是等腰三角形，
∴
∴，
∵
∴,
如圖，當(dāng)在同側(cè)時(shí)，
∵點(diǎn) 和點(diǎn)到的距離相等，
∴
∴
∴
∵
設(shè)，
∴，
∴
解得：
∴
如圖，當(dāng)在異側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，
∵與到直線的距離相等，設(shè)距離為
設(shè)，則
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
設(shè)，
∴
∴
解得：
∴
綜上所述，或；
（4）解： ∵
設(shè)，
如圖，作關(guān)于對稱點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，則，是的中點(diǎn)，則
∵
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
如圖所示，是的中點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，則，
∵
∴
∴
∴
則
∵
∴
∴
∴
解得：或（舍去）
∴
綜上所述， 或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
12．樹高為8米
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意可得，然后由相似三角形的性質(zhì)，即可求解，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：和均為直角，
．
,
．
，，，
．
．
答：樹高為8米．
13．(1)
(2)，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意證明出，得到，，然后利用勾股定理求出，設(shè)，，在中，理由勾股定理求出，進(jìn)而求解即可；
（2）如圖，延長和交于點(diǎn)，證明出，得到，，設(shè)，然后得到，得到，進(jìn)而求解即可；
（3）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，證明出，得到，證明出，得到，推出，然后代數(shù)求出，然后求出，勾股定理求出，然后利用求解即可．
【詳解】（1）∵平分，，，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
設(shè)，
∴．
在中，，，
∴．
解得．
∴．
在中，，
；
（2）．理由如下：
如圖，延長和交于點(diǎn)，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
又∵為線段靠近的三等分點(diǎn)，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，設(shè)，
∴，
．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，，
∴；
（3）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，
∵，
∴
又∵
∴
∴，即；
同理可證
∴，即．
∴．
∵，，
∴．
∵為中點(diǎn)，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴當(dāng)、、共線時(shí)，取到最小值．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判斷，等腰三角選的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．
14．(1)①；②
(2)①見解析；②
【分析】（1）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，推出，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解；②過作于，利用三角函數(shù)解和即可求解；
（2）①由折疊的性質(zhì)得，再證，依次得出，，等量代換得出，根據(jù)等角對等邊得出，即可證明；②過作于于,證明四邊形是正方形，再依次證明，，，即可求解．
【詳解】（1）解：①，
，
，
；
②如圖1，過作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
；
（2）①證明：沿折疊得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如圖2，過作于于,
,
四邊形是矩形，
又，
，
四邊形是正方形，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，涉及知識點(diǎn)較多，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．
15．(1)
(2)，證明見解析
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)F作，由題意可知，解直角三角形可得，，根據(jù)，得，，進(jìn)而可得，即可求解；
（2）過點(diǎn)作交延長線于，連接，延長交于，則，先證為等腰直角三角形，得，再證，得，，再證，則，可知為的中點(diǎn)，則，再證，進(jìn)而可證得，得，由，即，得，則，再結(jié)合即可得結(jié)論；
（3）設(shè)，連接，由折疊可知，，可得，易知，得，延長至使得，可得，易得，得，可知，即當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，取得最大值，連接，，過點(diǎn)作，可得，均等腰直角三角形，求得，設(shè)，在中，，列出方程求得，進(jìn)而求得，即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)F作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
則，
即，
∴，
∵過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴；
（2），證明如下：
過點(diǎn)作交延長線于，連接，延長交于，則，
∵，，
∴，則，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
∵，則，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∵，即，
∴，則，
∴，則為的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
則，
∵，
∴；
（3）設(shè)，則，，
連接，由折疊可知，，則，，即，
∵，
∴，則，
∴，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴，
延長至使得，
∴，，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)取等號，
∴當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，取得最大值，
連接，，過點(diǎn)作，
，
∵，則，均等腰直角三角形，
∴，則
∵，即，
∴設(shè)，則，，，
在中，，即，
解得：（負(fù)值舍去），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．

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