專題23  以圓為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E．（1）延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC，FB交于點(diǎn)P，如圖1．求證：PC=PB；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè)，如圖2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大?。?/span>【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如圖1，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB，∴∠PBC=∠PCB，∴PC=PB；（2）如圖2，連接OD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四邊形DHBC是平行四邊形，∴BC=DH=1，在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，∴BC=AC=OD，∴DH=OD，在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，設(shè)DE交AC于N，∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠DOC=20°，∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE=∠CBD=20°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決第（2）問(wèn)，作出輔助線，求得∠ODH=20°是解決本題的關(guān)鍵. 【例2】如圖，點(diǎn)在半徑為8的上，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．連接，且．（1）求證：是的切線；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，交于，∵，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，難度適中． 考點(diǎn)集訓(xùn)1．如圖，在中，，，點(diǎn)在的內(nèi)部，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，以，為鄰邊作．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，的半徑為2，求的長(zhǎng)．【答案】（1）是的切線；理由見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)．【解析】（1）是的切線；理由：連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，是的切線；（2）連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D，⊙O是△BED的外接圓．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為2.5，BE=4，求BC，AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BC=，AD=．【解析】（1）如圖，連接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC為⊙O的切線；（2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC，∴，即，∴BC=；∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴，即，解得：AD=．點(diǎn)睛：本題主要考查切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是⊙O的切線；（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．【答案】（1）90°；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2．【解析】解：（1）解：∵對(duì)角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）證明：連接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中點(diǎn)，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切線；（3）解：如圖所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴，∴DC2=AD?DE∵AC=2DE，∴設(shè)DE=x，則AC=2x，則AC2﹣AD2=AD?DE，期（2x）2﹣AD2=AD?x，整理得：AD2+AD?x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（負(fù)數(shù)舍去），則DC=，故tan∠ABD=tan∠ACD=．4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求證：AE是⊙O的切線；（3）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．【答案】（1）60°;(2)證明略;(3)【解析】（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角，∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；（3）如圖，連接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的長(zhǎng)為==．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.5．如圖，為⊙的直徑，為⊙上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接．（1）求證：；（2）與⊙有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）與⊙相切，理由見(jiàn)解析.【解析】 (1)連接，為的中點(diǎn)，∴，，，；(2)與⊙相切，理由如下： ，，∴∠ODE+∠E=180°，，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，，又∵OD是半徑，與⊙相切．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PB，∠EDB=∠EPB，（1）求證：PB是的切線．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）3．【解析】（1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB為圓的半徑，∴PB為圓O的切線；（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根據(jù)勾股定理得：PD=，∵PD與PB都為圓的切線，∴PC=PB=6，∴DC=PD-PC=10-6=4，在Rt△CDO中，設(shè)OC=r，則有DO=8-r，根據(jù)勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，則圓的半徑為3．考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)．7．如圖，以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，已知AB=4，求CE?CP的值．【答案】（1）PD是⊙O的切線．證明見(jiàn)解析.（2）8.【解析】連結(jié)OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切線．（2）連結(jié)BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵C為弧AB的中點(diǎn)，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP?CE=CA2=（）2=8．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系；探究型．8．如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，AD平分，，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：直線CD是⊙O的切線．(2)求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】解：證明：(1)連接OD，∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴直線CD是⊙O的切線；(2)連接BD，∵BE是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，以為直徑的分別與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若的半徑為4，，求陰影部分的面積．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）解：（1）如圖所示，連接，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線是的切線；（2）連接，則，則，則，∵，，∴，而，∴，∴，即；（3）連接，∵，∴，∴，，【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合性知識(shí)，難度系數(shù)不大，應(yīng)該熟練掌握，關(guān)鍵在于做輔助線，這是這類題的難點(diǎn).10．如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分，，垂足為E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為2，，求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）直線DE與⊙O相切；（2）.【解析】（1）直線DE與⊙O相切，連結(jié)OD．∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，即，∴DE是⊙O的切線；（2）過(guò)O作于G，∵，∴，，∴，∴，∴，∴四邊形AODF是菱形，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．11．已知，分別與相切于點(diǎn)，，，為上一點(diǎn)．（Ⅰ）如圖①，求的大小；（Ⅱ）如圖②，為的直徑，與相交于點(diǎn)，若，求的大?。?/span>【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）如圖，連接．∵是的切線，∴，．即．∵，∴在四邊形中，．∵在中，， ∴．（Ⅱ）如圖，連接．∵為的直徑，∴．由（Ⅰ）知，，∴．∴．∵在中，，∴．又是的一個(gè)外角，有，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵12．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)且與邊相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 【解析】 (1)證明：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；(2)解：連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴的半徑．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，為的中點(diǎn)，以為直徑的分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．若求的長(zhǎng)．【答案】（1）切，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）相切，理由：如圖，連接，為的中點(diǎn)，與相切；連接，為的直徑，即，【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C．（1）求證：直線PB與⊙O相切；（2）PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)．∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C，        ∴OC⊥PA．（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C，    ∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，       ∴△PCF∽△PEC， ∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．∵EF是直徑，         ∴∠ECF=90°．設(shè)CF=x，則EC=2x．則x2+（2x）2=62，     解得x=． 則EC=2x=．    

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