考點21-1 圓的證明圓的切線性質等-2022年中考數(shù)學專項分類提分訓練（天津專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

?考點21—1圓的證明圓的切線性質等
1．如圖，在銳角，，以為直徑畫交于點，過點作于點．

（1）求證：是的切線；
（2）當時，求陰影部分弓形的面積．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連接OD，由等腰三角形的性質得到,∠A＝∠C,∠ODC＝∠C，∠A＝∠ODC,可得OD∥AB,根據(jù)平行線的性質得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質得到AD＝CD，根據(jù)直角三角形的性質得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，然后根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結論．
【解析】
解：（1）連結，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴OD∥AB．
∵，
∴，而是圓的半徑，
∴是的切線．

（2）連結，
∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，AD＝CD＝AB＝2，BD＝AB＝，
∴
【點睛】
本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，扇形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
2．如圖，四邊形內接于⊙O，AB是直徑，點是的中點．

（1）求證：；
（2）連結，若，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連結，根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)垂徑定理得出，進而得出；
（2）連結，先求出，設設，再根據(jù)勾股定理求出結果．
【解析】
（1）如圖，連結

是⊙O的直徑

點是的中點

（2）如圖，連結

由（1）可得，

設，則
在中，
在中，

解得

．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，平行線的判定，垂徑定理及勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線．
3．如圖，、、均為上的點，且，請你用無刻度的直尺按下列要求作圖．
（1）在圖1中，在圓上取點，使；
（2）在圖2中，作出的一個余角．

【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】
（1）取優(yōu)弧AC上任意一點P，連接AP、CP、OC，即可得到；
（2）連接AC交OB于點D，則為所求余角．
【解析】
解：（1）連接AP、CP、OC，如圖：為所求．

∵在中，AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=，
∵，
∴；
（2）連接AC交OB于點D，如圖：為所求余角．

∵，OB為半徑，AC為弦，
∴OB⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴，
∴為所求余角．
【點睛】
本題考查了基本作圖，圓周角定理，垂徑定理的推論，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出圖形．
4．（1）解方程：；
（2）如圖，中，，，求度數(shù)．

【答案】（1），（2）
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）根據(jù)弧相等可得∠C=75°，用三角形內角和求∠A．
【解析】
解：（1），
，
或
；
（2）∵，
∴，
．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的解法和圓周角的性質以及三角形內角和定理，解題關鍵是根據(jù)方程特征選擇恰當?shù)姆椒ê褪炀氝\用圓周角的性質．
5．如圖，是正方形對角線上一點，以點為圓心，的長為半徑的⊙O與相切于點．

（1）求證：與⊙O相切；
（2）若正方形的邊長為，求陰影部分的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）過O作ON⊥CD于N，連接OM，根據(jù)正方形和角平分線的性質，證OM＝ON即可．
（2）若正方形的邊長為，則對角線AC的長為，可求出⊙O的半徑，然后根據(jù)，即可求出陰影部分的面積．
【解析】

（1）證明：連，過作于；
與相切，
．
四邊形是正方形，
平分．
．
與相切．
（2）解：四邊形為正方形，
，，，
，，
，
，
；

【點睛】
此題考查了正方形的性質、切線的判定，三角函數(shù)，扇形的面積，解題的關鍵是正方形的邊長、對角線、圓的半徑之間的關系．
6．如圖，是的直徑，點和點是上的兩點，連接，，，過點作射線交的延長線于點，使．

（1）求證：是的切線：
（2）若，求陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連接，過點作于點，證，得出即可；
（2）先證是等邊三角形，再求半徑，利用公式求扇形面積和等邊三角形面積即可．
【解析】
（1）證明：如圖，連接，過點作于點，

則，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
點在上，即是半徑，
是的切線．
（2）解：，
，
，
，
，
，
又，
，，
是等邊三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
．
【點睛】
本題考查了切線的判定和性質，扇形的面積的計算，等腰三角形的性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
7．如圖，內接于，是上的一點，連接，，．

（1）求證：
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)得從而可證，根據(jù)同圓中相等的兩條弧所對的弦相等即可證明．
（2）如解析圖：連接，，過點作于點，根據(jù)圓周角定理,等腰三角形的性質得，則,則有,由垂徑定理得,設，利用勾股定理求出即可．
【解析】
（1），

即：，

（2）如圖：連接，，過點作于點，

則
，

，，

，
．
設為，則為
，
，
，

的半徑為
【點睛】
本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理以及同圓或等圓中兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中如果有一組量相等則它們所對應的其余各組量也相等，熟練掌握這些定理是解題關鍵．
8．如圖，已知的邊是的切線，切點為點．經過圓心并與圓相交于點，，過點作直線，交的延長線于點．

（1）求證：平分；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠1＝∠2，通過等量代換得到結果；
（2）過點作于點，設，根據(jù)已知條件可得，，，在中利用勾股定理列方程可得結果．
【解析】

（1）證明：如圖1，連接OB
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）過點作于點，設．
平分，，，
，∠E=∠BFC=90°
∵CB=CB
，
∴，
，
在中，，即，
解得：，即圓的半徑為．

【點睛】
本題考查了切線的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，圓周角定理，平行線的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
9．如圖，是的內接三角形，的外角平分線交于點，連接，．求證：．

【答案】見解析
【分析】
根據(jù)圓內接四邊形的性質得到，根據(jù)等角平分線得到，等量代換,根據(jù)圓周角定理得到．
【解析】
證明：圓內接四邊形，
．
平分，
．
又，
，
．
【點睛】
本題考查了圓內接四邊形的性質，圓心角、弧、弦的關系和圓周角定理，熟練掌握這些知識點是本題解題的關鍵.
10．如圖，是的直徑，與相切于點，交于點，連接．
（1）如圖①，若，求的度數(shù)．
（2）如圖②，過點作弦于點，連接，若，求的度數(shù)．

【答案】（1）35°；（2）30°．
【分析】
（1）由PA是⊙O的切線，推出OA⊥AP，推出∠AOP＝90°?20°＝70°，由∠B＝∠AOP＝35°；
（2）如圖②中，連接BD、OD．只要證明，即可推出∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，由PA是⊙O的切線，推出∠PAO＝90°，推出∠P＝30°．
【解析】
解：（1）∵與相切于點，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）如圖，連接，．

∵于點，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵為的切線，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查切線的性質、垂徑定理、圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
11．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑，扇形的圓心角，求該圓錐的母線長．

【答案】
【分析】
根據(jù)側面展開圖的弧長等于底面周長列方程即可．
【解析】
解：圓錐的底面周長，
由題意可得，解得，
所以該圓錐的母線長為．
【點睛】
本題考查了圓錐的有關計算，解題關鍵是熟知圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐底面周長和圓錐母線等于圓錐側面展開圖半徑，根據(jù)題意建立方程．
12．如圖，在中，，以O為圓心，以的長為半徑作，交于點D，交于點E，過點B和點O分別作、的平行線，交于點C，連結．

（1）若，，求陰影部分的面積；
（2）試判斷與的位置關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2）與的切線，證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)含30度角的直角三角形性質可知OD為中線且求得△OAB的面積及∠DOE=30°，再利用中線性質和扇形面積公式可以得到陰影部分面積；
（2）由已知可以得到△OAB≌△DOC，從而得到CD⊥OD，再由OD是⊙O半徑可以得到CD與⊙O相切．
【解析】
（1）在中，連接，因為，，，
所以∠ABO=30°,，AB=4，
∴．
因為=AD ，
所以，，，
∴，
所以，陰影部分面積為．

（2）CD與 ⊙O相切，理由如下：
因為，，
所以四邊形是平行四邊形，且，
∴．
又因為，
所以，
所以，
所以（SAS），
所以，
又因為是的半徑，
所以與相切．
【點睛】
本題考查圓的綜合應用，熟練掌握含30度角直角三角形的性質、三角形全等的判定和性質、切線的判定定理、三角形與扇形面積的計算及平行線和平行四邊形的性質是解題關鍵．
13．如圖，在中，，以直角邊BC為直徑的交斜邊AB于點D，E為邊AC的中點，連接DE并延長，交BC的延長線于點F．

（1）求證：直線DE是的切線；
（2）若，，求陰影部分的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）分別連結OD，CD，可證得 △ACD 是直角三角形，根據(jù)點 E 是斜邊 AC 的中點，得到 ∠ECD=∠EDC ，由∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°得∠EDC+∠ODC=∠ODE=90° ，從而證得直線 DE與 ⊙O 的切線；
（2）由（1）已證∠ODF=90°，根據(jù)∠B=30°，可得∠DOF=60°，得到∠F=30°，在 RtΔABC 中，可求得BC長，從而得到OD長，在 RtΔODF 中，可求得DF長，所以陰影部分面積=△ODF的面積-扇形OCD的面積 .
【解析】
（1）證明：連接OD，CD．
∵，∴．
又∵BC是的直徑，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是AC的中點，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直線DE是的切線．

（2）由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積為．
【點睛】
本題考查了扇形的面積的計算，切線的判定與性質，圓周角定理，直角三角形的性質及解直角三角形等知識. 正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.
14．如圖，AB是的直徑，弦于點E，G是上的點，AG，DC的延長線交于點F．

（1）求證：；
（2）若，，求AD的長．
【答案】（1）見解析；（2）．
【分析】
(1)根據(jù)垂徑定理,證明，根據(jù)圓內接四邊形的性質，證明，等量代換即可得證；
(2)以半徑為基礎，表示EO，在直角三角形DOE中，實施勾股定理即可.
【解析】
（1）證明：∵，∴
∴．
∵四邊形ADCG是的內接四邊形，
∴，
∴．
（2）如圖，連接OD．

∵，，
∴．
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查了垂徑定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理和方程思想，熟練掌握定理和性質，靈活運用方程的思想是解題的關鍵.
15．如圖，⊙O的直徑，，，是線段的中點．

（1）試判斷點與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）過點作，垂足為點，求證：直線是⊙O的切線．
【答案】（1）點在⊙O上，理由見解析；（2）證明見解析
【分析】
（1）要求D與⊙O的位置關系，需先求OD的長，再與其半徑相比較；若大于半徑則在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑則在圓內；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．
【解析】
解：（1）點在上；
連接，過點作于點，如圖：

在中，，，
，
，
．
在中，
，
點在上．
（2）是的中點，是的中點，
是的中位線
．

又，

又是的半徑，
是的切線．
【點睛】
此題主要考查了點與圓的位置關系，切線的判定，三角形的中位線，以及勾股定理，解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．
16．如圖，在中，，，，以為直徑的半圓交斜邊于點．
（1）證明：；
（2）求陰影部分的面積．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）兩次應用“直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半”即可證得結論；
（2）利用“陰影部分的面積＝S扇形COD?S△COD”求解即可．
【解析】
解：（1）∵在中，，，
∴，，
∵為半圓的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
【點睛】
本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質，解題的關鍵是學會分割法求面積．
17．如圖，已知MN是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，，點C在線段AB上，，，求⊙O的半徑．

【答案】
【分析】
連接AO，MN與AB相交于點D；結合題意，計算得AB的值，再根據(jù)垂徑定理，得AD及CD，通過勾股定理計算，得OD以及AO，從而得到答案．
【解析】
如圖，連接AO，MN與AB相交于點D

∵，
∴
∵MN是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，
∴，
∴
∴
∴，即⊙O的半徑為．
【點睛】
本題考查了圓、勾股定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓、垂徑定理、勾股定理的性質，從而完成求解．
18．已知，點A，B，C在上，，請僅用無刻度的直尺作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（1）在如圖①中畫出一個含角的直角三角形；
（2）點D在弦上，在如圖②中畫出一個含的直角三角形．

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．
【分析】
（1）作直徑AD，連接AB、BD即可得；
（2）延長CD交⊙O于點F，作直徑AE，連接AF、EF即可得．
【解析】
解：（1）如圖1，△ABD即為所求；

（2）如圖2，△AEF即為所求．
【點睛】
本題主要考查作圖——應用與設計作圖，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理．
19．（1）解方程：；
（2）已知：如圖，的直徑與弦（不是直徑）交于點F，若FB=2，CF=FD=4，設的半徑為r，求的長．

【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先去括號，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）連接OC，由垂徑定理的推論，得到，然后利用勾股定理，求出半徑，然后求出AC的長度．
【解析】
（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：連接，如圖：

∵是直徑，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴由勾股定理得
．
【點睛】
本題考查了解一元二次方程，垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，從而進行解題．
20．如圖，內接于，且為的直徑，過點作的切線交的延長線于點，點在直徑上，且，連接并延長交于點.連接，，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】AF=BF，理由見解析．
【分析】
連接，，可得，再根據(jù)，可得，然后得出，可得出OF是AB垂直平分線即可得出結論．
【解析】
解：．理由如下：

如圖，連接，．
是的切線，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∴OF垂直平分AB
．
【點睛】
本題考查了圓的切線相關性質,等腰三角形的性質,垂直平分線等,解題的關鍵是認清圖形,抽象出各幾何圖形的特殊位置關系.
21．如圖，在⊙中，直徑與弦垂直，垂足為，連接，將△沿翻折得到△，直線與直線相交于點．
（1）證明：直線與⊙相切；
（2）若，求證：四邊形是菱形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）連接OC，由折疊的性質證明∥，則，由切線的判定定理即可證明結論；
（2）連接OC，CB，OD，BD，由垂徑定理得，再由直角三角形斜邊上中線的性質得，由四邊相等的四邊形是菱形證明結論．
【解析】
解：（1）如圖，連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
由翻折得，，，
∴，
∴∥，
∴，即垂直直線，
∵點在圓上，
∴直線與⊙相切；
（2）如圖，連接OC，CB，OD，BD，

在△中，，
∴，
∵直徑垂直弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形．
【點睛】
本題考查圓的證明，解題的關鍵是掌握切線的判定定理，菱形的判定定理．
22．在中，，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE．

（1）如圖①，連接EC，試寫出BC，CD，CE之間的數(shù)量關系式______；
（2）如圖②，連接DE，求證：．
（3）如圖③，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，，若，，求CD的長．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）．
【分析】
（1）證明△BAD≌△CAE（SAS）即可解決問題；
（2）由，推出BD=CE，∠ACE=∠B，可得∠DCE=90°，利用勾股定理即可解決問題．
（3）過C作交CA的延長線于E，可證明，再證明得，進一步即可求得結論．
【解析】
解：（1）
理由如下：如圖①中，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
即：BC=DC+EC；
（2）連接CE，

由（1）可得
∴，，
∴
∴
在中，，
又．
∴．
（3）如圖③，過D作交CA的延長線于E

∵，
∴
∴，
∴
連接AD，BD
∵AB為⊙O的直徑，
∴（直徑所對的圓周角是直角），
又∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴
【點睛】
本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理以及圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
23．如圖，在中，，點是上一動點，以點為圓心，長為半徑作交線段于點，連結并延長交于點．

（1）求的長．
（2）當為何值時，是等腰三角形？
（3）求取到最大值時的長．
【答案】（1）；（2）當或或時，△ABD是等腰三角形；（3）當時，取到最大值時的長為．
【分析】
(1)利用正弦函數(shù)的定義求解即可；
(2)分AB=AD，AB=BD，AD=BD三種情形，求AC的長即可；
(3)用圓的半徑表示乘積，構造二次函數(shù)求解即可.
【解析】
（1），

.
（2），
，
①當時，如圖1，
，
，
．

②當時，如圖2．

過作，
∵AD=BD，∠BAO=90°，
∴BF=AF，DF∥OA，
為的中點，
，
，
．
③當時，如圖3．
過作，
設，則，
由勾股定理得，
解得或．
（舍去）或，
．

綜上所述，或或．
（3）分別過點作的垂線段，垂足為，如圖4．
，
，
，
，
，
，
即，
，．
設半徑為，
，
．
又，在范圍內，
∴當時，取得最大值，此時，．
取到最大值時的長為．

【點睛】
本題考查了等腰三角形，勾股定理，三角形中位線定理，二次函數(shù)，靈活進行等腰三角形的分類，構造輔助線構造二次函數(shù)是解題的關鍵.
24．如圖，內接于，直徑的長為4，過點的切線交的延長線于點．

（1）求證：．
（2）請你添加一個條件，編制一道計算題（不可以添線和字母）．
【答案】（1）見解析；（2）添加：，求的度數(shù)？（答案不唯一）．
【分析】
（1）連結，利用圓周角性質及切線的性質定理可得∠ACO＝∠DBC，繼而由等邊對等角和等角代換即可求證結論；
（2）添加：，求的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理即可求解．
【解析】
（1）證明：連結，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
與相切．
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCB＋∠OCB＝90°，
．
，
，
．

（2）添加：，求的度數(shù)？
由（1）知：∠ACB＝90°，
在△ABC中，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°．
【點睛】
本題考查切線性質、圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握圓的切線垂直經過切點的半徑及直徑所對的圓周角是直角．
25．如圖，AB是⊙O的直徑，弦于點C，點D是AB延長線上一點，，．

（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）取BE的中點M，連接MF，若⊙O的半徑為4，求MF的長．
【答案】（1）見解析；（2）．
【分析】
（1）連接OE，OF，由垂徑定理和圓周角定理得到∠DOF=∠DOE．而∠DOE=2∠A，得出∠DOF=2∠A，證出∠OFD=90°．即可得出結論；
（2）連接OM，MF，由垂徑定理和勾股定理進行計算即可．
【解析】
（1）如圖，連接OE，OF，

∵，AB是⊙O的直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
∴，且EF為弦，
∴FD為⊙O的切線
（2）如圖，連接OM，MF，

∵O是AB中點，M是BE中點，
∴．
∴．
∵OM過圓心，M是BE中點，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【點睛】
本題考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質、垂徑定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵．
26．如圖，的直徑，，為上一點，過點作，垂足為，且為的切線．
（1）求證：平分．
（2）求的面積．

【答案】（1）證明見解析；（2）S△PAD．
【分析】
（1）連結OD，由PD是圓O的切線，可得OD⊥PD，由PD⊥AC，可得OD∥AC，利用兩直線平行內錯角相等∠ODA=∠DAP，由半徑OA=OD可得∠ODA=∠OAD，利用等量代換∠DAP=∠DAO即可；
（2）連結BC，延長DO交BC于F，過A作AE⊥OD于E，由AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，由勾股定理BC=，可證四邊形DPCF為矩形，由性質OF⊥BC，可得BF=CF，可求PD=4，再證四邊形DPAE也是矩形，利用性質可得DE=PA ,AE=DP=4，由AO=OB，利用勾股定理OE=，PA=DE=2，利用面積公式即可求出面積．
【解析】
解：（1）連結OD，
∵PD是圓O的切線，
∴OD⊥PD，
∵PD⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAP，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DAP=∠DAO，
∴AD平分∠BAP；
（2）連結BC，延長DO交BC于F，過A作AE⊥OD于E，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，
由勾股定理BC=，
∵∠FDP=∠DPC=∠PCF=90°，
∴四邊形DPCF為矩形，
∴OF⊥BC，
∴BF=CF=，
∴PD=4，
∵AE⊥OD，
∴∠EDP=∠DPA=∠DEA=90°，
∴四邊形DPAE也是矩形，
∴DE=PA ,AE=DP=4，
∵AO=OB=，
在Rt△OEA中，
由勾股定理OE=，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴PA=DE=2，
∴S△PAD=．

【點睛】
本題考查圓的切線性質，等腰三角形性質，角平分線的判定，垂徑定理，矩形的判定與性質，勾股定理，三角形面積，掌握圓的切線性質，等腰三角形性質，角平分線的判定，垂徑定理，矩形的判定與性質，勾股定理，三角形面積是解題關鍵．
27．如圖，已知的直徑，弦，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；
（2）求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．
（2）過點O作OF⊥AC于點F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE=OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解析】
證明：（1）如解圖，連接，
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）如解圖，過點作于點，
∴，
∴．
∵，
∴四邊形是矩形．
∴，．
∴．
∴在中，
．

【點睛】
本題考查切線的判定、矩形的判定和性質、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是記住切線的判定方法，學會添加常用輔助線，屬于基礎題，中考常考題型．
28．如圖，已知是⊙的弦，半徑、與分別交于點、，且．求證：．

【答案】見解析
【分析】
取中點，聯(lián)結并延長與⊙交于，利用圓心角、弧、弦之間的關系得到，再根據(jù)及垂徑定理求解即可；
【解析】
證明：取中點，聯(lián)結并延長與⊙交于．
∵是圓心，且是弦的中點，
∴，，
∵且，
∴．
∵，平分，
∴．
∴平分．
∴．
又∵過圓心，
∴．
∴，即．

【點睛】
本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系和垂徑定理，準確分析證明是解題的關鍵．
29．如圖，AC是⊙O的直徑，點P在線段AC的延長線上，且PC＝CO，點B在⊙O上，且∠CAB＝30°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）點D為圓O上任一動點，⊙O的半徑為6，若四邊形ADCB為矩形．求弧CD的長，

【答案】（1）見解析；（2）cm．
【分析】
（1）連接OB、BC，易證△OBC是等邊三角形，根據(jù)BC＝CO＝CP，可得∠CBP=30°，∠PBO＝90°；
（2）根據(jù)四邊形ADCB為矩形，可求∠COD=120°，再利用公式求弧長．
【解析】
（1）證明：如圖連接OB、BC．

∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形
∴BC＝OC，∠OBC=∠OCB=60°，
∵PC＝CO，
∴PC=BC，
∠CPB=∠CBP=30°，
∴∠PBO＝∠CBP +∠OBC =90°，
∴OB⊥PB
∴PB是⊙O的切線
（2）解：∵四邊形ABCD為矩形

∴∠BAD＝∠ADC=90°，
∴AC、BD是⊙O的直徑，
∴AC、BD交點是圓心O，
由（1）可知∠BOC=60°，
∴∠COD＝120°
弧CD的長＝．
【點睛】
本題考查了切線的判定和弧長的求法，涉及了矩形的性質和圓周角的性質，解題關鍵是利用圓周角的性質求出相關角的度數(shù)，依據(jù)切線的判定和弧長公式進行證明和求解．
30．如圖，與的邊相切于點，與邊交于點，過上一點，且，是的直徑．

（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）6．
【分析】
（1）連接，由圓的半徑相等，可證，再根據(jù)平行線的性質得到，，繼而得到，接著根據(jù)題意，由切線的性質解得，進一步證明，再由全等三角形對應角相等得到，最后根據(jù)切線的判定定理解題即可；
（2）由切線的性質得到，在中，利用勾股定理解得的長，繼而解得的長，由切線長定理得到，在中，由勾股定理解得的長即可解題．
【解析】
（1）證明：連接，

，
，
，
，，
，
是切線，
，
在和中

，
，
是半徑，
是的切線；
（2）解：是的切線，，
，
，
，
，
，
，
，是的切線，
，設，
在中，，
，
解得：，
．

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