考點24—2圖形的翻折1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有長方形OABC，點，將長方形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D處，CD邊交x軸于點E，．（1）求點D的坐標(biāo)；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點M，N，使得△EMN的周長最??？如果存在，求出△EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；（3）點P為y軸上一動點，作直線AP交直線CD于點Q，是否存在點P使得△CPQ為等腰三角形？如果存在，請求出∠OAP的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．2．等邊的邊長為，是邊上任一點（與不重合），連接，以為邊向兩側(cè)作等邊和等邊，分別與邊交于點（如圖1）（1）求證：；（2）若，求四邊形與重疊部分的面積；（3）連接，分別與邊交于點（如圖2），當(dāng)時，求的長，判斷此時以這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，并說明理由．3．在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于點F（如圖1和圖2），然后展開鋪平，連接BE，EF．（1）操作發(fā)現(xiàn)：①在矩形ABCD中，任意折疊所得的△BEF是一個　   　三角形；②當(dāng)折痕經(jīng)過點A時，BE與AE的數(shù)量關(guān)系為　   　．（2）深入探究：在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．①當(dāng)△BEF是等邊三角形時，求出BF的長；②△BEF的面積是否存在最大值，若存在，求出此時EF的長；若不存在，請說明理由．4．將長方形紙片，按下列要求折疊．并回答問題1，2，3；（折疊一）第1步：將長方形紙片，按圖1所示的方法折疊；第2步：按圖2所示的方法折疊；第3步：將圖形展開，如圖3，在長方形ABCD中，EF，GD為折疊過程中產(chǎn)生的折痕問題1：EF與GD平行？請說明理由．（折疊二）第1步：將長方形紙片，按圖4所示的方法折疊；第2步：按圖5所示的方法折疊；第3步：將圖形展開，如圖6，將長方形ABCD中，EF，GH為折疊過程中產(chǎn)生的折痕．問題2：EF與GH平行嗎？請說明理由．問題3：如圖7，在（折疊二）中，若紙片的長為16厘米，寬為2厘米，則陰影部分面積的最大值為＿＿＿＿＿＿＿＿．
 5．（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁的部分內(nèi)容．
 （問題解決）（1）如圖①，已知矩形紙片，將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上，點的對應(yīng)點為，折痕為，點在上．求證：四邊形是正方形．（規(guī)律探索）（2）由（問題解決）可知，圖①中的為等腰三角形．現(xiàn)將圖①中的點沿向右平移至點處（點在點的左側(cè)），如圖②，折痕為，點在上，點在上，那么還是等腰三角形嗎？請說明理由．（結(jié)論應(yīng)用）（3）在圖②中，當(dāng)時，將矩形紙片繼續(xù)折疊如圖③，使點與點重合，折痕為，點在上．要使四邊形為菱形，則___________．6．如圖，在矩形中，，點是邊上的一個動點，將四邊形沿直線折疊，得到四邊形，點、的對應(yīng)點分別為點、．直線交于點．（1）求證：；（2）連接，已知．①如圖①，當(dāng)，時，求的長度；②如圖②，當(dāng)四邊形為菱形時，請直接寫出的長度．圖①                                圖②7．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=m，E為BC邊上一點，沿AE翻折△ABE，點B落在點F處．（1）連接CF，若CF//AE，求EC的長（用含m的代數(shù)式表示）；（2）若EC=，當(dāng)點F落在矩形ABCD的邊上時，求m的值；（3）連接DF，在BC邊上是否存在兩個不同位置的點E，使得？若存在，直接寫出m的取值范圍；若不存在，說明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點O與坐標(biāo)原點重合，頂點A、C在坐標(biāo)軸上，，將矩形沿折疊，使點A與點C重合．
（1）求點E的坐標(biāo)；
（2）點P從O出發(fā)，沿折線方向以每秒2個單位的速度勻速運動，到達(dá)終點E時停止運動，設(shè)P的運動時間為t，的面積為S，求S與t的關(guān)系式，直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)時，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點Q，使得以點P、E、G、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點Q的坐標(biāo)．9．（1）、動手操作：如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若∠ABE＝20°，那么的度數(shù)為        .（2）、觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．（3）、實踐與運用：將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP＝MN＝PQ（如圖④），求∠MNF的大小.10．如圖，在矩形中，點是上的一點（不與點，重合），沿折疊，得，點的對稱點為點． （1）當(dāng)時，點會落在上嗎？請說明理由．（2）設(shè)，且點恰好落在上．①求證：．②若，用等式表示的關(guān)系．11．如圖，在矩形中，，點E是邊上的動點，將矩形沿折疊，點A落在點處，連接.（1）如圖，求證：；（2）如圖，若點恰好落在上，求的值；（3）點E在邊上運動的過程中，的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時線段的長；若不存在，請說明理由.12．如圖1，已知矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，若將該紙片沿著過點B的直線折疊（折痕為BM），點A恰好落在CD邊的中點P處．（1）求矩形ABCD的邊AD的長．（2）若P為CD邊上的一個動點，折疊紙片，使得A與P重合，折痕為MN，其中M在邊AD上，N在邊BC上，如圖2所示．設(shè)DP＝x cm，DM＝y cm，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．（3）①當(dāng)折痕MN的端點N在AB上時，求當(dāng)△PCN為等腰三角形時x的值；②當(dāng)折痕MN的端點M在CD上時，設(shè)折疊后重疊部分的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式13．如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分別是AC、AB邊上點，連接EF，將紙片ACB的一角沿EF折疊．（1）如圖①，若折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF＝3S△AEF，則AE＝    ；（2）如圖②，若折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA．求AE的長；（3）如圖③，若折疊后點A落在BC延長線上的點N處，且使NF⊥AB．求AE的長．14．如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請寫出證明過程；（3）當(dāng)a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．①請寫出C、D兩點的坐標(biāo)；②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標(biāo)．15．實踐操作：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為EF（點E、F是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．初步思考：（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）①當(dāng)點P與點A重合時，∠DEF＝　   　°；當(dāng)點E與點A重合時，∠DEF＝　   　°；②當(dāng)點E在AB上，點F在DC上時（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當(dāng)AP＝3.5時的菱形EPFD的邊長．深入探究（2）若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖③），且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值　   　．拓展延伸（3）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M（如圖④）．在各種不同的折疊位置中，是否存在某一情況，使得線段AM與線段DE的長度相等？若存在，請直接寫出線段AE的長度；若不存在，請說明理由．16．如圖1，已知的邊平行于軸，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點在第四象限，點是邊上的一個動點．    （1）若點在邊上，求點的坐標(biāo)；（2）若點在邊或上，點是與軸的交點如圖2，過點作軸的平行線過點作軸的平行線它們相交于點，將沿直線翻折，當(dāng)點的對應(yīng)點落在坐標(biāo)軸上時，求點的坐標(biāo)．(直接寫出答案)17．在中，，點是邊的中點，動點在邊上(點不與點重合)，連接，將沿直線翻折，點落在點處得．（1）如圖①，若點恰好與點重合，求線段的長；（2）如圖②，若交于點，四邊形為菱形，求證：；（3）連接與重疊部分的面積為的面積為，若時，請直接寫出的值．18．再讀教材：寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫作黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形(提示：)．第一步：在矩形紙片一端 ，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平；        圖1                  圖2第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處；第四步：展平紙片，按照所得的點折出，使，則圖4中就會出現(xiàn)黃金矩形．         圖3                圖4(1)在圖3中_________ (保留根號)；(2)如圖3，則四邊形的形狀是_________；(3)在圖4中黃金矩形是_________．19．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）求證：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，點P為線段AC上任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG + PH的值.20．取一張矩形紙片進行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖1；第二步：再把B點疊在折痕線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應(yīng)點為B'，得Rt△AB'E，如圖2；第三步：沿EB'線折疊得折痕EF，使A點落在EC的延長線上，如圖3．　　利用展開圖4探究：   （1）△AEF是什么三角形?證明你的結(jié)論；（2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由．21．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=．某課題小組利用這張矩形紙片依次進行如下操作（每次折疊后均展開）．如圖①，第一次將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕與BD交于點O1，設(shè)O1D的中點為D1；如圖②，第二次將紙片折疊，使點B與點D1重合，折痕與BD交于點O2，設(shè)O2D3的中點為D2；如圖③，第三次將紙片折疊，使點B與點D2重合，折痕與BD交于點O3，設(shè)O3D2的中點為D3；…根據(jù)以上操作結(jié)果，回答下列問題：（1）如圖①，MN是折痕，求證：△DA′M≌△DCN；（2）分別求出線段BO1、BO2、BO3的長，并直接寫出第n次折疊后BOn的長（用含n的式子表示）；（3）如圖②，第二次折疊時，折痕一定會經(jīng)過點A嗎？請通過計算判斷．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O是坐標(biāo)原點，OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝5，OC＝4．(1)如圖①，將矩形沿對角線OB折疊，使得點A落在點D處，OD與CB相交于點E，請問重疊部分△OBE是什么三角形？說明你的理由：并求出這個三角形的面積；(2)如圖②，點E、F分別是OC、OA邊上的點，將△OEF沿EF折疊，使得點O正好落在BC邊上的D點，過點D作DH⊥OA，交EF于點G，交OA于點H，若CD＝2，求點G的坐標(biāo)；(3)如圖③，照(2)中條件，當(dāng)點E、F在OC、OA上移動時，點D也在邊BC上隨之移動，請直接寫出BD的取值范圍．23．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝12cm，AD＝20cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當(dāng)點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；①當(dāng)點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．24．如圖，四邊形是一張矩形紙片，，把紙片對折，折痕為，展開后再過點折疊該紙片，使點落在上的點處，且折痕與相交于點，再次展平后，連接，，并延長交于點．（1）求證：是等邊三角形；（2）求，的長；（3）為線段上一動點，是的中點，則的最小值是　　　　．（請直接寫出結(jié)果）25．對一張矩形紙片進行折疊，具體操作如下：第一步：先對折，使與重合，得到折痕，展開；第二步：再一次折疊，使點落在上的點處，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，同時，得到線段，，展開，如圖①；第三步：再沿所在的直線折疊，點落在上的點處，得到折痕，同時得到線段，展開，如圖②.（1）求證：（2）求證：四邊形為菱形.26．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD邊上的一個動點，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，得到四邊形BC′D′E，連接AC′，AD′.（1）若直線DA交BC′于點F，求證：EF=BF；（2）當(dāng)AE=時，求證：△AC′D′是等腰三角形；（3）在點E的運動過程中，求△AC′D′面積的最小值．27．如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=6．點E，F分別在AB，DC上（E不與A，D重合，F不與B，C重合），現(xiàn)以EF為折痕，將矩形紙片ABCD折疊．（1）當(dāng)A點落在BC上時（如圖②），求證：△EFA′是等腰三角形；（2）當(dāng)A′點與C重合時，試求△EFA’的面積；（3）當(dāng)A′點與DC的中點重合時，試求折痕EF的長．28．已知長方形中，，點在邊上，由往運動，速度為，運動時間為秒，將沿著翻折至，點對應(yīng)點為，所在直線與邊交于點，（1）如圖，當(dāng)時，求證：；（2）如圖，當(dāng)為何值時，點恰好落在邊上；（3）如圖，當(dāng)時，求的長.29．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是長方形，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上且A（10，0），C（0，6），點D在AB邊上，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在OA邊上點E處．  （1）求點E的坐標(biāo)；    （2）求折痕CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；    （3）請你延長直線CD交x軸于點F．  ①求△COF的面積；②在x軸上是否存在點P，使S△OCP=S△COF？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．30．（問題情境）如圖①，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．小麗給出的提示是：如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．請根據(jù)小麗的提示進行證明．      （變式探究）如圖③，當(dāng)點P在BC延長線上時，其余條件不變，試猜想PD、PE、CF三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（結(jié)論運用）如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．  

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