?2022-2023（下）江西省宜豐中學(xué)高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（共40分）
1. 在等差數(shù)列中，設(shè)其前項和為，若，則（ ）
A. 4 B. 13 C. 26 D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果．
【詳解】，
，
故選：C．
2. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先求，再求的值.
【詳解】解：因為，
所以，
所以，解得．
故選：B.
3. 設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用并項求和和等比數(shù)列的求和公式進行求解即可
【詳解】因為數(shù)列的前n項和為，，
所以
故選：C
4. 點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率的范圍，再求出傾斜角的范圍即可.
【詳解】由可得，
，即，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
，
故選：.
5. 某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.
【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元，
則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，
則該設(shè)備使用年的營運費用總和為，
設(shè)第n年的盈利總額為，則，
故年平均盈利額為，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故當(dāng)時，年平均盈利額取得最大值4.
故選：D.
【點睛】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.
6. 已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得在上恒成立，可轉(zhuǎn)化為.求出的最小值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】由已知，函數(shù)的定義域為，.
由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上恒成立，
即，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以．
因為，所以，所以．
因此實數(shù)a的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】思路點睛：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到不等式恒成立的問題.分離參數(shù)或二次求導(dǎo)求出最值即可得出答案.
7. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價于，結(jié)合單調(diào)性即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
∴在上單調(diào)遞減.
又，則.
∵等價于，即，
∴，即所求不等式的解集為.
故選：B．
8. 已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在，使得，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，再研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，將表示出來，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】，，，
，，
當(dāng)時，，，
由得，由得，所以在上遞增，在上遞減，
在處取得最小值，，
，
令，則，，
當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值0，
所以的取值范圍是.
故選：A
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
二、多選題（共20分）
9. 下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式分別檢驗各項即可得出結(jié)果.
【詳解】對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項正確；
對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項正確；
對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項錯誤；
對于，的導(dǎo)數(shù)為，故選項正確，
故選：.
10. 已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（ ）
A. B. 數(shù)列的通項公式為：
C. 數(shù)列的前n項和為： D. 數(shù)列為遞減數(shù)列
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可求；利用已知求方法求數(shù)列通項公式；利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和;根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系判斷數(shù)列的單調(diào)性.
【詳解】因為，
所以當(dāng)時，，
兩式相減得，所以，
又因為當(dāng)時，滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，
，
所以
，
故C正確；
因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
故D正確.
故選:ACD.
11. 已知數(shù)列滿足，，，，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的有（ ）.
A. B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C. 數(shù)列是等比數(shù)列 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可求得的值，可判斷A選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項；求出數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項；利用錯位相減法可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，即，可得，A對；
對于B選項，由A選項可得，可得，且，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，B對；
對于C選項，由A選項可知，，故，所以，，
則，故數(shù)列為等差數(shù)列，C錯；
對于D選項，，①
，②
①②可得，
因此，，D對.
故選：ABD.
12. 已知函數(shù)，若與的圖象上有且僅有兩對關(guān)于原點對稱的點，則的取值可能是（ ）
A. e B. e C. 3 D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)與的圖象上有且僅有兩對關(guān)于原點對稱的點，可轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性求最值即可求解.
【詳解】依題意，因為與的圖象上有且僅有兩對關(guān)于原點對稱的點，
所以與在上有兩個交點，
即有兩個零點，整理得，
只需滿足與有兩個交點即可.
令，則有，
所以在時，，單調(diào)遞減；
在時，，單調(diào)遞增；
所以在處取得最小值，
所以只需即可滿足題設(shè)要求，
故選：BD.
三、填空題（共20分）
13. 已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.
【詳解】解：因為函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，
所以，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，
故答案為：
14. 若是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，則__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】因為是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，
所以，
故，
所以，
故答案：20．
15. 若是等差數(shù)列，首項，則使前項和成立的最小自然數(shù)是__________.
【答案】4045
【解析】
【分析】先判斷的符號，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進行求解.
【詳解】因為，所以；
所以，
，所以成立的最小自然數(shù)是4045.
故答案為：4045.
16. 函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為_________．
【答案】或．
【解析】
【分析】令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)圖象，觀察可得．
【詳解】令，則方程有兩個解，即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，它始終過原點，
設(shè)直線與相切，切點為，由知，切線斜率為，切線方程為，把代入得，，所以切線斜率為，
設(shè)與相切，則，即，，解得（舍去），
由圖可得實數(shù)的范圍是或．
故答案為：或．

【點睛】本題考查由函數(shù)的零點個數(shù)確定參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，從圖象中易得其結(jié)論與方法．
四、解答題（共70分）
17. 已知為等差數(shù)列的前項和，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)首項為，公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得得，利用分組求和法及等比、差數(shù)列求和公式計算可得.
【小問1詳解】
等差數(shù)列中設(shè)首項為，公差為，為其前項和，且，．
故，解得，所以．
【小問2詳解】
由（1）得，
所以

18. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，點M在棱PD上（不包括端點），點N為BC中點．

（1）若，求證：直線平面PAB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明
（2）建系，利用空間向量求二面角.
【小問1詳解】
取PA的點Q，滿足，連接MQ，QB，

因為，所以且，
又因為，且，點N為BC中點，即，且，
所以且，則四邊形MQBN為平行四邊形，
則，平面PAB，平面PAB，
所以直線平面PAB．
【小問2詳解】
如圖所示，以點A為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
又N為BC的中點，則，
所以，，，，
設(shè)平面CPD的法向量為，
則，令，則，
設(shè)平面CPN的法向量為，
則，令，則，
所以，
由題意可得：二面角的平面為鈍角，故其余弦值為．
19. 已知在時有極值0．
（1）求常數(shù)，的值；
（2）求在區(qū)間上的最值．
【答案】（1），；
（2）最小值為0，最大值為4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解可得；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，然后可得最值.
【小問1詳解】
，
由題知：,
解得或．
因為，故舍去；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在處有極小值，
所以，，符合題意.
【小問2詳解】
由（1）可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
函數(shù)在取得極大值，在取極小值；
因為，
所以，，，，
所以最小值為0，最大值為4
20. 數(shù)列的前n項和為，已知，．
（1）求；
（2）若，求的前n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判斷出為等比數(shù)列，即可求出通項公式；
（2）利用錯位相減法求和
【小問1詳解】
∵，，∴，
即，又，，，
∴當(dāng)時，也滿足，
∴數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.
∴．
【小問2詳解】
，∴．
∵
∴
兩式相減得：
∴
．
∴．
21. 已知橢圓：左右焦點分別為、，離心率為，斜率為k的直線l交橢圓于兩點A、B，當(dāng)直線l過時，的周長為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)OA、OB斜率分別為、，若，求證：，并求當(dāng)面積為時，直線l的方程．
【答案】（1）
（2）證明見解析；或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦點三角形周長求出，再由離心率求出，即可得解；
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消元后由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式可得，再由三角形面積求出即可得解.
【小問1詳解】
由題意，，，解得，，b=1，
橢圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線l的方程為，，，
與橢圓方程聯(lián)立得，
，
可得
所以

O到直線AB的距離，三角形OAB的面積
解得，或
所以直線l方程為或．
22. 已知函數(shù)，（a為常數(shù)）．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對參數(shù)進行分類討論求解.
（2）利用分離參數(shù)法，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值進行求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，，
①若，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②若，有，
∴當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
∵對任意的恒成立，
即對任意恒成立，
令，得，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
∴，即，
故得，設(shè)，
∵，
當(dāng)時，，，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
∴，故．

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