一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．6066B．C．2022D．
3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
6．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（ ）
A．B．C．2D．
7．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時，都有，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分， 共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
9．下列命題正確的有（ ）
A．
B．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
C．已知函數(shù)，若，則
D．
10．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
11．定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．， B．函數(shù)既有極大值又有極小值
C．函數(shù)有三個零點 D．過可以作三條直線與圖象相切
12．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，有唯一零點
B．當(dāng)時，是減函數(shù)
C．若只有一個極值點，則或
D．當(dāng)時，對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
13．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線平行，則 .
14．函數(shù)的值域是 .
15．若不等式恒成立，則a的取值范圍是 .
16．已知函數(shù)，方程有2個不同的根，則實數(shù)a的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．設(shè)函數(shù)
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
18．已知函數(shù)．
(1)若曲線在其上一點Q處的切線與直線平行，求Q的坐標；
(2)求曲線的過坐標原點O的切線的方程．
19．已知函數(shù)在處有極值．
(1)求的極值；
(2)若在區(qū)間上有三個零點，求實數(shù)b的取值范圍．
20．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，求的值.
21．某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側(cè)面的厚度不計），易拉罐的體積為,設(shè)圓柱的高度為，底面半徑為，且,假設(shè)該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關(guān)．已知易拉罐側(cè)面制造費用為4元，易拉罐上下底面的制造費用均為1元為常數(shù))．
（1）寫出易拉罐的制造費用(元)關(guān)于的函數(shù)表達式，并求其定義域；
（2）求易拉罐制造費用最低時的值．
22．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，求在上的最小值；
(3)若在上存在零點，求的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即可.
【詳解】因為，
所以
曲線在點處的切線的斜率為．
故選：B
2．B
【分析】求出代入可得答案.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
3．C
【分析】對等式兩邊求導(dǎo)，求導(dǎo)的時候注意是個常數(shù)，求導(dǎo)之后令即可得出答案.
【詳解】因為，所以，令，則，．
故選：C
4．B
【分析】求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，進而結(jié)合零點存在性定理即可求.
【詳解】，令，則，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有兩個零點，
故選：B.
5．D
【詳解】試題分析：令，則，所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即，根據(jù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，可知，故選D.
考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.
【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解答中根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答問題的關(guān)鍵，屬于中檔試題.
6．A
【分析】求導(dǎo)，求出切點坐標，利用點線距求解.
【詳解】∵，設(shè)為所求的點，
則
得，，則點P到直線的最小距離為．
故選:A.
7．C
【分析】根據(jù)題意，求得為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的定義域為，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故選：C.
8．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)求最值即可.
【詳解】不等式等價于，
令，根據(jù)題意對任意的，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，所以.
故選：C.
【點睛】結(jié)論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
9．CD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運算可判斷BD的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)則可判斷C的正誤.
【詳解】對于A，，故A錯誤.
對于B，，故B錯誤.
對于C，，若，則即，故C正確.
對于D，，故，故，故D正確.
故選：CD.
10．ABC
【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，求導(dǎo)，即可根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負判斷.
【詳解】對于A，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；
對于B，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；
對于C，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；
對于D，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)不是凸函數(shù)，
故選：ABC
11．AB
【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知求出判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出極值，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征判斷BC；求出切線方程判斷D.
【詳解】由，求導(dǎo)得，，
令，得，由函數(shù)的對稱中心為，
得，且，解得，A正確；
于是，，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)既有極大值，又有極小值，B正確；
由于極小值，因此函數(shù)不可能有三個零點， C錯誤；
顯然，若是切點，則，切線方程為；
若不是切點，設(shè)過點 的直線與圖象相切于點，，
由，解得，即切點，切線方程為，
過 只可以作兩條直線與圖象相切，D錯誤.
故選：AB
12．ABD
【分析】對于A：求導(dǎo)，確定單調(diào)性，然后利用零點存在定理判斷；對于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；對于C：直接驗證時的極值情況；對于D：求導(dǎo)，作出的圖象，觀察圖象可得.
【詳解】對于A：當(dāng)時，，令，得，
令，得，即在上單調(diào)遞增，
又，，由零點存在定理可得在上有唯一零點，即有唯一零點，A正確；
對于B：，
令，得，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，又當(dāng)時,，所以恒成立，即當(dāng)時，是減函數(shù)，B正確；
對于C：當(dāng)時，由B知，即，所以，即在上單調(diào)遞減，無極值，C 錯誤；
對于D：當(dāng)時，，，
令，得，
令，則，
當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，
所以，
即恒成立，
所以單調(diào)遞減，又，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
可得的大致圖象如下：
由圖可知對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，D正確；
故選：ABD.
13．6
【分析】求導(dǎo)得切線斜率，利用直線平行求解即可.
【詳解】由題意知，所以，解得.
故答案為：6.
14.
15．/
【分析】分類討論去解析式中的絕對值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值.
【詳解】函數(shù)，定義域為，
當(dāng)時，，，
在為減函數(shù)，此時；
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時，
綜上可知，.
故答案為：.
16．
【分析】分和兩種情況，分別求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，從而得到函數(shù)圖象，由，得到或，由圖可知有兩個實數(shù)根，則有且只有一個實數(shù)根，即與只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解；
【詳解】解：因為，當(dāng)時，則，當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取得極小值，，又；
當(dāng)時，則，當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在取得極大值，；
所以的函數(shù)圖象如下所示：
方程，即，即或，
因為方程有個不同的實數(shù)根，
由圖可知有兩個實數(shù)根和，
所以有且只有一個實數(shù)根，即與只有一個交點，
所以或，即；
故答案為：
（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；4分，求導(dǎo)1分，
（2）1.（6分，求導(dǎo)2分，列表2分，結(jié)果2分）
【分析】（1）直接求導(dǎo)，由得單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）判斷的單調(diào)性即可求出最值.
【詳解】解：（1）定義域為， ，
由得，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）
，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.
【點晴】此題考利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值，屬于簡單題.
18．(1)或（2，0）（6分，各3分）
(2)或．（6分，各3分）
【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系確定切線斜率，設(shè)出切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點Q橫坐標，代入函數(shù)得縱坐標，從而得到切點坐標；
（2）設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率，從而設(shè)出切線方程，再根據(jù)過原點，代入原點坐標得出切點橫坐標，再回代得到切線方程．
【詳解】（1），
設(shè)，因為直線的斜率為4，
所以，
解得或2．
，．
所以點Q的坐標為或（2，0）．
（2）設(shè)切點為，則，，
所以在該點處的切線方程為．
因為切線過原點，所以，
解得或1．
又因為，，
所以切線方程為或．
19．(1)極大值為，極小值為（6分）
(2)（6分）
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值；
（2）利用函數(shù)的極值和函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.
【詳解】（1）
由條件知，得
所以隨x變化情況如下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）因為，
所以函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，只需,
所以.
（1）的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，極小值，無極大值；（4分）
（2）.（8分，每種情況2分）
【分析】（1）求得，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）對參數(shù)進行分類討論，求得不同情況下的單調(diào)性和最值，結(jié)合已知條件，即可求得參數(shù)值.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，極小值，無極大值
（2）
①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
，解得不滿足，故舍去
②當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減
時，，單調(diào)遞增
，
解得，不滿足，故舍去
③當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，
，
解得，滿足
綜上：
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.
（1）；(6分）
（2）易拉罐的制造費用最低.（6分）
【分析】（1）根據(jù)體積的值，得出與的關(guān)系，然后將表面積公式中的轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等條件得出定義域；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進而求出最值.
【詳解】解：（1）因為體積為
故，即，
易拉罐的側(cè)面積為，
易拉罐的上下兩底面的面積為，
所以,
因為，
所以有，解得，
故，
易拉罐的制造費用為；
（2），
令，解得，
若，即，此時
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)，此時函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；
若，即，此時，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)，此時函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；
綜上：當(dāng)時， ，易拉罐的制造費用最低，
當(dāng)時，，易拉罐的制造費用最低.
【點睛】本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，建立出函數(shù)模型的同時不能忘記定義域的求解，再利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式等方法求出最值.
22．(1)極大值為，沒有極小值.(3分）
(2)0（4分）
(3)（5分)
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值；
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值；
（3）根據(jù)的導(dǎo)數(shù)，對進行分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值可得的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域：，，
令，則，變化時，，的變化情況如下表：
則的極大值為：，沒有極小值；
（2）當(dāng)時，，定義域：，
，
令，定義域：，，
則在上是增函數(shù)，則，所以，
即在上是增函數(shù)，則.
（3），定義域：，
，
令，定義域：，，
（1）當(dāng)時，，則在上是減函數(shù)，則，
當(dāng)時，，則在上是減函數(shù)，，不合題意；
當(dāng)時，，，則存在，使，即，
變化時，，的變化情況如下表：
則，只需，即；
（2）當(dāng)時，由（1）知在上是增函數(shù)，，不合題意；
（3）當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，
則在上是增函數(shù)，，不合題意，
綜上所述，的取值范圍是.
0
1
＋
0
－
0
＋
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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