2024-2025學(xué)年山東省滕州市第二中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若復(fù)數(shù)m2?2m+mi是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A. 0B. 2C. 3D. 0或2
2.已知sinθ+π6=?csθ，則tanπ?θ=( )
A. ? 3B. ? 33C. 33D. 3
3.在?ABC中，已知AB=1,AC=2,∠BAC=π3，則?ABC的面積為( )
A. 32B. 3C. 1D. 2
4.在?ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BC=4BD，E是線段AB的中點(diǎn)，則DE=( )
A. ?14AC?14ABB. 14AC?34ABC. 14AC+14ABD. ?14AC+34AB
5.已知向量a=?2,?1,b=?1,?1，則向量b在向量a上的投影向量為( )
A. ?6 55,?3 55B. ?2 55,? 55
C. ?65,?1D. ?65,?35
6.在銳角?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若b?2c=acsC?2acsB，則cb=( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
7.已知csα?π12=13，則cs2α+5π6=( )
A. ?79B. 59C. 79D. ?59
8.在?ABC中，AC=2 7，O是?ABC的外心，M為BC的中點(diǎn)，AB?AO=8，N是直線OM上異于M、O的任意一點(diǎn)，則AN?BC=( )
A. 3B. 6C. 7D. 9
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知?ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是( )
A. 在?ABC中，若sinA>sinB，則A>B
B. 若B=π3，b=2，c= 3，則?ABC有兩個(gè)解
C. 在?ABC中“acsA=bcsB”是“A=B”的必要不充分條件
D. 若a2+c2?b2tanB= 3ac，則角B=π3
10.已知?ABC是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)P在?ABC內(nèi)或邊界上，則下列說法正確的是( )
A. 若BP=PC，則AB?AP=274
B. 若BP=2PC，則AP= 7
C. 若AP=1，則點(diǎn)P的軌跡長度為2π3
D. 若AP=BP= 3，則CP= 3
11.如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，將小球的球心視為質(zhì)點(diǎn)，它在t(單位：s)時(shí)相對于平衡位置(圖中?=0處)的高度?(單位：cm)由關(guān)系式?=Asinωt+φ確定，其中A>0，ω>0，t≥0，φ∈0,π.小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過0.5s后，第一次到達(dá)最低點(diǎn)，經(jīng)過的路程為10cm，則下列說法正確的是( )
A. ω=2πB. φ=π2
C. 小球在t∈8,9內(nèi)經(jīng)過的路程為10cmD. t=9.75時(shí)，小球正在向上運(yùn)動(dòng)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(1,1)，b=(m,?2)，若a⊥(a+b)，則m= ．
13.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的向量，若AB=2a+kb,BC=a+3b,CD=2a?b，且A,B,D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為．
14.如圖，測量隊(duì)員在山腳M處測得山頂P的仰角為π4，沿著傾斜角為π6的斜坡向上走400米到達(dá)N處，在N處測得山頂P的仰角為π3,M與O在同一水平面上，M,O,N,P四點(diǎn)在同一鉛垂面上，則山的高度OP為米．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z=(1?i)2+3(1+i)2?i．
(1)求復(fù)數(shù)z的實(shí)部、虛部、模長及表示復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若z2+az+b=1?i，試求實(shí)數(shù)a、b的值．
16.(本小題15分)
已知向量a=2sinθ,? 3，b=1,2csθ，其中θ∈π6,5π6．
(1)若a=λb，求實(shí)數(shù)λ的值；
(2)若2a?b⊥a?2b，求sinθ．
17.(本小題15分)
已知函數(shù)fx=csπ2?2x?2 3cs2x+ 3．
(1)求函數(shù)fx在0,π上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在?ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且fA2= 3，a= 3，c=1，求sinB的值．
18.(本小題17分)
在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M，AB=4，AD=2，AB、AD的夾角為π3．
(1)若AM=λAC+μBD，求λ+3μ的值：
(2)當(dāng)點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的邊BC和CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP?AE的取值范圍．
19.(本小題17分)
如圖，半圓O的直徑為4cm，A為直徑延長線上的點(diǎn)，OA=4cm，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC.設(shè)∠AOB=α．
(1)問：B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值．
(2)克羅狄斯·托勒密(Ptlemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補(bǔ)時(shí)取等號，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段OC的長取最大值時(shí)，求∠AOC．
(3)求?AOC面積的最大值．
參考答案
1.B
2.D
3.A
4.A
5.D
6.D
7.C
8.B
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.0
13.43/113
14.200+200 3
15.解：(1)因?yàn)閦=(1?i)2+3(1+i)2?i=3+i2?i=3+i2+i2?i2+i=1+i．
則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1，虛部為1，模長為|z|= 12+12= 2，
表示復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)．
(2)將z=1+i代入方程z2+az+b=1?i得：a+b+(2+a)i=1?i，
∴a+b=12+a=?1,∴a=?3b=4．

16.解：(1)由題意得2sinθ,? 3=λ1,2csθ，即2sinθ=λ? 3=2λcsθ,
則4sinθcsθ=? 3，即2sin2θ=? 3，sin2θ=? 32，
因?yàn)棣取师?,5π6，所以2θ∈π3,5π3，
故2θ=4π3，θ=2π3，
λ=2sinθ=2sin2π3= 3；
(2)2a?b=22sinθ,? 3?1,2csθ=4sinθ?1,?2 3?2csθ，
a?2b=2sinθ,? 3?21,2csθ=2sinθ?2,? 3?4csθ，
2a?b⊥a?2b，
故2a?b?a?2b=4sinθ?1,?2 3?2csθ?2sinθ?2,? 3?4csθ
=4sinθ?1?2sinθ?2+?2 3?2csθ?? 3?4csθ
=8sin2θ?10sinθ+2+6+10 3csθ+8cs2θ
=16?10sinθ+10 3csθ=0，
故sinθ? 3csθ=85，所以2sinθ?π3=85，sinθ?π3=45，
又θ∈π6,5π6，θ?π3∈?π6,π2，故csθ?π3>0，
csθ?π3= 1?sin2θ?π3=35，
則sinθ=sinθ?π3+π3=sinθ?π3csπ3+csθ?π3sinπ3=45×12+35× 32
=4+3 310．

17.解：(1)已知函數(shù)fx=csπ2?2x?2 3cs2x+ 3，
則fx=sin2x?2 3?1+cs2x2+ 3=sin2x? 3cs2x=2sin2x?π3，
令2kπ?π2≤2x?π3≤2kπ+π2,k∈Z，
則kπ?π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
因?yàn)閤∈0,π，令k=0，則?π12≤x≤5π12；令k=1，則11π12≤x≤17π12，
即函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,5π12,11π12,π，k∈Z．
(2)已知fA2= 3，即2sinA?π3= 3，即sinA?π3= 32，
又?π3

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