1.已知點(diǎn)A0,1，B1,2，向量AC=2,3，則向量BC=( )
A. (1,2)B. (?1,?2)C. (3,6)D. (?3,?5)
2.若e1,e2是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是( )
A. {e1?e2,e2?e1}B. 2e1?e2,e1?12e2
C. 2e2?3e1,6e1?4e2D. e1+e2,e1+3e2
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin(A+B)=13，a=3，c=4，則sinA=( )
A. 23B. 14C. 34D. 16
4.已知M是邊長為1的正?ABC的邊AC上靠近C的四等分點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，則BM?MN的值是( )
A. ?12B. ?14C. 12D. 14
5.在?ABC中，已知b2+c2?bc=a2，且btanC=ctanB，則?ABC的形狀為( )
A. 直角三角形B. 等腰直角三角形
C. 有一個角為60 °的直角三角形D. 等邊三角形
6.已知ΔABC中，AB=AC=10,BC=12，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊BC上一動點(diǎn)，則MD??MC?的最小值為
A. ?32B. ?74C. ?94D. ?54
7.已知單位向量a，b互相垂直，若存在實數(shù)t，使得a+(1?t)b與(1?t)a+b的夾角為60°，則t=( )
A. ?1± 22B. ?1± 2C. ?1± 32D. ?1± 3
8.在銳角△ABC中，csA=35，則ABAC的取值范圍為( )
A. (12,2)B. (25,52)C. (35,53)D. (45,54)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知三個非零向量a，b，c共面，則( )
A. 若a=b，b=c，則a=c
B. 若a⊥b，b⊥c，則a//c
C. 若a?b=b?c，則a=c
D. 若a//b，則存在實數(shù)λ，使a=λb
10.下列說法中錯誤的是( )
A. 單位向量都相等
B. 對于任意向量a，b，必有a+b≤a+b
C. 平行向量不一定是共線向量
D. 若a，b滿足a>b且a與b同向，則a>b
11.?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是( )
A. 若acsA=bsinB，則A=B
B. A>B是sinA>sinB的充要條件
C. 若a=1，b=2，A=30°，則解此三角形必有兩解
D. 若?ABC是銳角三角形，則sin A+sin B>csA+csB
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為2,?2、B4,3，向量a=2k?1,7，且a//AB，則k的值為 ．
13.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a與b的夾角是銳角，則實數(shù)x的取值范圍是 ．
14.?ABC外接圓圓心為O，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，若b2?2b+c2=0，則BC?AO的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知a=2，b=3，且a?b=?4．
(1)若a+kb⊥a，求k的值；
(2)求b與a+b夾角的余弦值．
16.(本小題12分)
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinB+ 3bcs(B+C)=0，a= 19．
(1)求A；
(2)若b=2，求△ABC的面積．
17.(本小題12分)
如圖所示，在?ABC中，∠BAC=120 °，AB=AC=3，點(diǎn)D在線段BC上，且DC=2BD.求：
(1)AD的長；
(2)∠DAC的大小．
18.(本小題12分)
已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A，B，C．
(1)設(shè)BC?CA=CA?AB，判斷△ABC的形狀；
(2)設(shè)向量s=(2sinC,? 3)，t=(cs2C,2cs2C2?1)，且s//t，若sinA=23，求sin(π3?B)的值．
19.(本小題12分)
如圖，A、C兩島相距10 7海里，上午9點(diǎn)整有一客輪在位于C島的北偏西40°且距C島10海里的D處，沿直線方向勻速開往A島，在A島停留10分鐘后前往B市，上午9：30測得客輪位于C島的北偏西70°且距C島10 3海里的E處，此時小張從C島乘坐速度為v海里/小時的小艇沿直線方向前往A島換乘客輪去B市.
(1)求客輪的速度；
(2)若小張能乘上這班客輪，問小艇的速度至少為多少海里/小時？(由小艇換乘客輪的時間忽略不計)
(3)現(xiàn)測得∠BAC=120 °，sin∠ACB= 2114，已知速度為v海里/時v∈(0,30]的小艇每小時的總費(fèi)用為12v2+v+50元，若小張由島C直接乘小艇去B市，則至少需要多少費(fèi)用？
參考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.D
6.C
7.D
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.1910
13.(?8,2)∪(2,+∞)
14.[?14,2)
15.解：(1)
由已知a+kb⊥a，
則a+kb?a=a2+ka?b=22?4k=0，
解得k=1；
(2)
由已知|a+b|= (a+b)2= a2+2a?b+b2= 22?4×2+32= 5，
且b?a+b=a?b+b2=?4+32=5，
所以cs b,a+b=b?(a+b)|b|?|a+b|=53× 5= 53．

16.解：(1)asinB+ 3bcs(B+C)=0，可得sinAsinB? 3sinBcsA=0，
∴sinA= 3csA，
∴tanA= 3，
∵A∈(0,π)
∴A=π3;
(2)因為A=π3，a= 19，b=2，所以12=4+c2?194c，
∴c=5，
∴S=12bcsinA=12×2×5× 32=5 32．
17.解：(1)設(shè)AB=a，AC=b，
則AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC=23a+13b．
∴|AD|2=AD2=23a+13b2=49a2+2×29a?b+19b2=49×9+2×29×3×3×cs120 °+19×9=3，
∴AD= 3．
(2)設(shè)∠DAC=θ，則向量AD與AC的夾角為θ．
∵csθ=AD?ACADAC=23a+13b?b 3×3=13b2+23a?b3 3=13×9+23×3×3×cs120 °3 3=0，
∴θ=90 °，即∠DAC=90 °．

18.解：(1)因為BC?CA=CA?AB，所以CA?(BC?AB)=0，
又AB+BC+CA=0，∴CA=?(AB+BC)，
所以?(AB+BC)?(BC?AB)=0，
所以AB2?BC2=0，
所以AB|2=BC|2，即AB=BC，
故△ABC為等腰三角形．
(2)∵s//t，∴2sinC(2cs2C2?1)=? 3cs2C，
∴sin2C=? 3cs2C，即tan2C=? 3，
∵C為銳角，∴2C∈(0,π)，∴2C=2π3，∴C=π3，
∴A=2π3?B，∴sin(π3?B)=sin(2π3?B)?π3=sin(A?π3)，
又sinA=23，且A為銳角，
∴csA= 53，∴sin(π3?B)=sin(A?π3)=sinAcsπ3?csAsinπ3=2? 156．

19.解：(1)根據(jù)題意得：CD=10，CE=10 3，AC=10 7，∠DCE=70 °?40 °=30 °．
在?CDE中，由余弦定理得，
DE= CD2+CE2?2CD?CE?cs∠DCE
= 102+10 32?2×10×10 3× 32=10
所以客輪的航行速度V1=10×2=20(海里/小時)
(2)因為CD=DE，所以∠DEC=∠DCE=30 °，
所以∠AEC=180 °?30 °=150 °．
在△ACE中，由余弦定理得，AC2=AE2+CE2?2AE?CE?cs∠AEC，
整理得：AE2+30AE?400=0，解得AE=10或AE=?40(舍去)．
所以客輪從E處到島A所用的時間t1=1020=12小時，
小張若能趕上這班客輪，則滿足10 7v≤12+16，解得v≥15 7．
所以，小艇的速度至少為15 7海里/小時．
(3)在?ABC中，∠BAC=120 °，sin∠ACB= 2114，
所以cs∠ACB=5 714．
sinB=sin180 °?∠BAC+∠ACB=sin∠BAC+∠ACB
=sin∠BACcs∠ACB+cs∠BACsin∠ACB
= 32×5 714?12× 2114= 217
由正弦定理BCsin∠BAC=ACsinB，解得BC=35，
所以小張由島C直接乘小艇去城市B的總費(fèi)用為
fv=35v12v2+v+50=3512v+1+50v≥35(2 v2?50v+1)=385，
當(dāng)且僅當(dāng)12v=50v，即v=10∈0,30時，fvmin=385(元)
所以若小張由島C直接乘小艇去B市，其費(fèi)用至少需385元．

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