1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).
2．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
3．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說(shuō)，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.
(2)平面向量長(zhǎng)度（模）的坐標(biāo)表示
若=(x,y)，則或.
其含義是：向量的長(zhǎng)度(模)等于向量的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.
如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示
(1)共線的坐標(biāo)表示
①兩向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使=.如果用
坐標(biāo)表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說(shuō)，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
②三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點(diǎn)共線，則有=，
??????? 從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線.
(2)夾角的坐標(biāo)表示
設(shè)，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得==.
(3)垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，則+=0.
即兩個(gè)向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為0.
【題型1 用基底表示向量】
【方法點(diǎn)撥】
用基底表示向量的基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對(duì)待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底
表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，若 AC=a，BD=b，則FE=（ ）
A．112a+14bB．34a+14bC．14a+112bD．14a+34b
【變式1-1】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，設(shè)AE=a，AF=b，則AC=（ ）
A．67a+37bB．37a+67b
C．34a+13bD．13a+34b
【變式1-2】（2022春·四川綿陽(yáng)·高一期末）在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且BD=2DC.設(shè)AB=a，AC=b，則AD可用基底a，b表示為（ ）
A．12(a+b)B．23a+13b
C．13a+23bD．13(a+b)
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F．若AB=a，AD=b，則AF=（ ）
A．14a+34bB．23a+13bC．34a+14bD．13a+23b
【題型2 平面向量基本定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合題目條件，利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例2】（2022春·山東·高一階段練習(xí)）已知G是△ABC的重心，點(diǎn)D滿足BD=DC，若GD=xAB+yAC，則x+y為（ ）
A．13B．12C．23D．1
【變式2-1】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，E在邊AC上，且EC=2AE，AD與BE交于點(diǎn)F，若CF=λAB+μAC，則λ+μ=（ ）
A．-12B．-34C．12D．34
【變式2-2】（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若ED=xAB+yADx,y∈R，則x-y等于（ ）
A．1B．-1C．12D．-12
【變式2-3】（2022秋?安徽期末）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若AE→=λAB→+μAD→，則λ+μ＝（ ）
A．12B．13C．14D．1
【題型3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
【方法點(diǎn)撥】
(1)向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，
則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用.
(2)利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解題，主要根據(jù)相等向量的坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一階段練習(xí)）若a=(3,2),b=(0,-1)，則4a+3b的坐標(biāo)為（ ）
A．(5,12)B．(12,6)C．(12,5)D．(-12,-5)
【變式3-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線.若AD=2,4，AC=1,3，則BD=（ ）
A．-2,4 B．-3,-5 C．3,5 D．-3,-7
【變式3-2】（2022春·廣西南寧·高一期末）已知向量a=(-1,2),b=(3,-5)，則3a+2b等于（ ）
A．(3,-4)B．(0,-4)C．(3,6)D．(0,6)
【變式3-3】（2022春·河南平頂山·高一期末）已知向量a=2,-1，b=1,6，c=7,3，則c可用a與b表示為（ ）
A．3a+bB．a(chǎn)+3bC．3a+2bD．3a-b
【題型4 向量共線、垂直的坐標(biāo)表示】
【方法點(diǎn)撥】
向量共線、垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用有兩類：一是判斷向量的共線（平行）、垂直；二是根據(jù)向量共線、垂
直來(lái)求參數(shù)的值；根據(jù)題目條件，結(jié)合具體問題進(jìn)行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南陽(yáng)·高二開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知a=(1,-2),b=(3,4)．
(1)若(3a-b)∥(a+kb)，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若(a-tb)⊥b，求實(shí)數(shù)t的值．
【變式4-1】（2022春·廣東潮州·高一期中）已知a=1,0,b=2,1
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，ka-b與a+2b垂直
（2）若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A?B?C三點(diǎn)共線，求m的值．
【變式4-2】（2023·高一單元測(cè)試）已知a=1,2，b=-3,2．
(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a-3b垂直？
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a-3b平行？
【變式4-3】（2022秋·河南開封·高三階段練習(xí)）已知向量a=3,2，b=x,-1
(1)當(dāng)2a-b⊥b，求x的值；
(2)當(dāng)c=-8,-1，a∥b+c，求向量a與b的夾角α
【題型5 向量坐標(biāo)運(yùn)算與平面幾何的交匯】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題的關(guān)鍵在于把其他語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為向
量語(yǔ)言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.常用方法是建立平面直角坐
標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來(lái)解決.
【例5】（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一階段練習(xí)）如圖，已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB|=4．
(1)求AB坐標(biāo)；
(2)若四邊形ABCD為平行四邊形，求點(diǎn)D坐標(biāo)．
【變式5-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，EC=2DE，F(xiàn)C=2BF，F(xiàn)G=2GE.
(1)用AB，AD表示AG；
(2)若AB=6，AD=32，∠BAD=45°，如圖建立直角坐標(biāo)系，求GB和DF的坐標(biāo).
【變式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圓圓心為O點(diǎn)，直徑AB=2，C為半圓弧上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
(2)若PA=34CA-14CB，求PA與CB夾角的大?。?br>(3)試求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使PA?PO取得最小值，并求此最小值．
【變式5-3】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,3)，點(diǎn)M滿足OM=12OA，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），如圖所示．
(1)求與OC共線的單位向量a的坐標(biāo)；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在實(shí)數(shù)λ，使(OA-λOP)⊥CM?若存在，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型6 向量坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)的交匯】
【方法點(diǎn)撥】
先運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的相關(guān)知識(shí)(平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量模與夾角的坐標(biāo)表
示、平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示等)將問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題(如化簡(jiǎn)、求值、證明等)，再
利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解即可.
【例6】（2022秋·江蘇鹽城·高三期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=(1,3),OB=(csα,sinα)．
(1)若α=π3，求|OA+OB|；
(2)若α∈0,π2，求OA?OB的取值范圍．
【變式6-1】（2022秋·河南信陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知向量a=2,1,b=csθ,sinθ.
(1)若a⊥b，求3csθ+sinθcsθ-sinθ的值；
(2)求a?b的最大值及a?b取得最大值時(shí)角θ的余弦值.
【變式6-2】（2022秋·甘肅張掖·高三階段練習(xí)）已知a=(sinx+csx,2csθ)，b=(2sinθ,12sin2x)．
(1)若c=-3，4，且x=π4，θ∈(0,π)時(shí)，a與c的夾角為鈍角，求csθ的取值范圍；
(2)若θ=π3，函數(shù)fx=a?b，求fx的最小值．
【變式6-3】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知向量a=csx,sinx,b=3,-3,x∈0,π.
(1)若a+b∥b，求x的值；
(2)記fx=a?b，求函數(shù)fx的圖象向右平移π3個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)gx的圖象，求函數(shù)gx的值域.

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