題型一：等差、等比數(shù)列的基本量問題
1．等差數(shù)列滿足，，則（ ）
A．6B．10C．12D．24
【答案】C
【解析】設(shè)數(shù)列公差為d，由，，
可得，解得，，
則．
故選：C
2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．27B．24C．21D．18
【答案】C
【解析】在等比數(shù)列中，其公比，所以，
所以，
故選：C．
3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則等于（ ）
A．3B．303C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，
可得，故．
故選：A.
題型二：證明等差等比數(shù)列
4．記為數(shù)列 的前 項(xiàng)和. 已知 .
(1)證明: 是等差數(shù)列；
(2)若為和的等比中項(xiàng)，求的最大值.
【解析】（1），
，
，
化簡得: ，
，，
是以公差為的等差數(shù)列.
（2）由(1)得 ，
同理，
由題意，即，
解得 ，
，
當(dāng)時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，，
.
5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，
(1)記，寫出，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的前20項(xiàng)和．
【解析】（1）依題意，，，
顯然，因此，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為4，通項(xiàng)
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
所以的前20項(xiàng)和為
6．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知數(shù)列滿足，且．
(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，即，
又，可得，
又由，可得，
所以
題型三：等差等比數(shù)列的交匯問題
7．已知遞增數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，且，，，
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，證明：.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，其中，
由題意得：，所以，
所以（舍）或，代入原方程后可得，
于是得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由題可得，
由于時(shí)，，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
所以.
8．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，．
(1)求；
(2)求證：．
【解析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，則d為正整數(shù)，
依題意有①．
由知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即證．
9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，其公比為，且中的項(xiàng)均是中的項(xiàng)，，當(dāng)取最小值時(shí)，若，請(qǐng)用表示.
【解析】（1）取，則，
由，得，
即，
解得，，.
（2）由且是遞增的等比數(shù)列，得，
故（且），
由于數(shù)列是遞增數(shù)列，則當(dāng)取最小值時(shí)，，即，
，
若，則，所以.
題型四：數(shù)列的通項(xiàng)公式
10．已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【解析】數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，解得，而，即滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
11．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【解析】數(shù)列中，由，得，即，
而，，于是數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
12．（2024·高三·山西·期中）知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足（，），．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式．
【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，
所以，
整理得：，
由于數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，
所以（常數(shù)），
所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，
故，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，符合上式，
所以．
（2）由于，
所以，
所以．
13．（2024·高三·山東青島·開學(xué)考試）記關(guān)于的不等式（）的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由，得，
因?yàn)椋?，于?
所以，易知，即.
當(dāng)時(shí)，，
故，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以，.
（2），
所以，
所以，
由，可得，
由于，若為偶數(shù)時(shí)，則，
由于，所以，
若為奇數(shù)時(shí)，則，
因?yàn)椋裕?br>所以．
故的取值范圍為．
題型五：數(shù)列求和
14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由，得，
所以，
又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，上式不成立，
所以；
（2）由（1）得，
則，
即，
，
兩式相減得，
所以.
15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
也滿足，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，故，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則.
記，
則，
.
故數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知數(shù)列滿足，
(1)記，求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）由題知，，
又，，
所以，即，且，
所以是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
于是.
（2）由（1）可得，
所以①，
則②，
則①②得
，
所以.
17．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）對(duì)整理有：，
等式兩邊同時(shí)除以可得，
等式兩邊再同時(shí)減得，即，
又由，可得，故，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）得的通項(xiàng)公式為，
得，所以．
（3）由（2）知，
所以
．
題型六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
18．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．使得成立的最大的值為4045
C．D．當(dāng)時(shí)，取得最小值
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，所以，A正確；
同理，，，
則，所以，即，
所以，C正確；
因?yàn)?，所以?br>故使得成立的最大的值為4044， B錯(cuò)誤；
又，
故當(dāng)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，故
當(dāng)時(shí)，，故，
而，
故，故當(dāng)時(shí)取得最小值，D正確.
故選：ACD.
19．（多選題）（2024·高三·江西·期中）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且 ，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．任意的，
C．存在，使得
D．?dāng)?shù)列有最大值，無最小值
【答案】ABD
【解析】令，則，所以，
令，得，又，可得，A正確；
由，，所以，C錯(cuò)誤，
由，且，B正確，
由，得，所以
，即，
所以隨的增大而減小，故為正項(xiàng)單調(diào)遞減的無窮數(shù)列，且，
故數(shù)列有最大值2，無最小值，D正確；
故選：ABD
20．（多選題）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列選項(xiàng)中成立的是（ ）
A．B．
C．D．與均為的最大值
【答案】ABD
【解析】AB選項(xiàng)，由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積也為正，公比，
又，，，，B正確；
又，故，即，A正確；
C選項(xiàng)，由得，所以，
而，，因此，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由上知，
先增后減，與均為的最大值，D正確．
故選：ABD
題型七：實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題
21．（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對(duì)稱，….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（ ）

A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】由題意可知，，只要計(jì)算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，
依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離依次為：，
則，
黏菌無限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離和即為兩個(gè)無窮等比遞縮數(shù)列的和，
即，
綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，
故選：C
22．（2024·山西運(yùn)城·一模）某工廠加工一種電子零件，去年月份生產(chǎn)萬個(gè)，產(chǎn)品合格率為.為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年月份的產(chǎn)量在去年月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比去年月增加，計(jì)劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)增長，那么該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的（ ）
A．月份B．月份
C．月份D．月份
【答案】C
【解析】設(shè)從今年月份起，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品的合格率都按題中的標(biāo)準(zhǔn)增長，
該工廠每月的產(chǎn)量、不合格率分別用、表示，月份用表示，
則，，其中，，
則從今年月份起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量為，單位：萬臺(tái)，
因?yàn)?br>，
當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，
即；
當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，
即，
因此，當(dāng)時(shí)，最大，故該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的月份.
故選：C.
23．小李年初向銀行貸款萬元用于購房，購房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分10次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（ ）萬元.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)每年應(yīng)還萬元，則有，
得 ，
解得．
故選：B．
題型八：以數(shù)列為載體的情境題
24．若數(shù)列滿足（且），則稱數(shù)列為“冪數(shù)列”．已知正項(xiàng)數(shù)列是“冪2數(shù)列”且，設(shè)的前項(xiàng)積為，則（ ）
A．1024B．1023C．D．
【答案】D
【解析】∵正項(xiàng)數(shù)列是“冪2數(shù)列”，
∴，又∵，
∴，解得或（舍去），
∵，
∴，即，
又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴,
∴
，
所以．
故選:D.
25．（2024·上海長寧·一模）數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則稱數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”．
①存在等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；
②任意等比數(shù)列，若首項(xiàng)，則滿足“性質(zhì)Ω”；
下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．①是真命題，②是真命題；B．①是真命題，②是假命題；
C．①是假命題，②是真命題；D．①是假命題，②是假命題．
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，
若等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；
由可得，故，即，故只需要即可滿足“性質(zhì)Ω”；故①是真命題，
設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別為，若，，則顯然不成立，
因此存在等比數(shù)列不滿足“性質(zhì)Ω”；故②是假命題
故選：B
26．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得中的數(shù)字呈現(xiàn)出奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)循環(huán)的規(guī)律，
因此新數(shù)列即為按照成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為，
易知，一個(gè)周期內(nèi)的三個(gè)數(shù)字之和為；
所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為.
故選：C
27．如果數(shù)列對(duì)任意的，則稱為“速增數(shù)列”，若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A．62B．63C．64D．65
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)閿?shù)列為"速增數(shù)列"，
所以，且，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故正整數(shù)的最大值為63，
故選：B.
題型九：數(shù)列的遞推問題
28．在x軸的正方向上，從左向右依次取點(diǎn)列{Aj}，j=1，2，…， 以及在第一象限內(nèi)的拋物線上從左向右依次取點(diǎn)列{Bk}，k=1，2，…， 使（k=1，2，…） 都是等邊三角形，其中A0是坐標(biāo)原點(diǎn)，則第2021個(gè)等邊三角形的邊長為 ．
【答案】2021
【解析】設(shè)第個(gè)等邊三角形的邊長為．則第個(gè)等邊三角形的在拋物線上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
再從第個(gè)等邊三角形中，可得的縱坐標(biāo)為．
從而有，
即有．
由此可得①
以及②
①②即得．
變形可得．
由于，所以．
在①式中取，可得，而，故．所以
第2021個(gè)等邊三角形的邊長
故答案為：2021
29．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅(BenitBMandelbrt)在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照
的分形規(guī)律可得到如圖所示的一個(gè)樹形圖，則當(dāng)時(shí)，第行空心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)與第行及第行空心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系式為 ；第12行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ．
【答案】 ； 55
【解析】設(shè)第行實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則，
當(dāng)時(shí)，有，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以；
由這個(gè)遞推式得依次為，所以．
故答案為：；55.
30．“綠水青山就是金山銀山．”我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，已知該地區(qū)有土地萬平方千米，其中是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬平方千米．
(1)求與的關(guān)系；
(2)判斷是不是等比數(shù)列，并說明理由；
(3)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過？
【解析】（1）由題意時(shí)，
，
所以，.
（2）數(shù)列是等比數(shù)列．理由如下：
由（1）得，
設(shè)，可得，所以，，可得，
所以，，且，
因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（3）由（2）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，即．
令，得，
兩邊取常用對(duì)數(shù)，得，
所以，
，所以，，
所以，至少經(jīng)過年，綠洲面積可超過．
31．自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考查其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響． 用表示某魚群在第n年年初的總量，，且．不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．
(1)求與的關(guān)系式；
(2)猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）；
(3)設(shè)，為保證對(duì)任意，都有，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．
【解析】（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，
因此，即
（2）若每年年初魚群總量保持不變，則恒等于，從而由（*）式得 恒等于0，，所以，即，
因?yàn)?，所以?br>猜測：當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變．
（3）若b的值使得，
由，知，特別地，有． 即．
而，所以，由此猜測b的最大允許值是1．
下證 當(dāng)，時(shí)，都有，
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，．
又因?yàn)椋?br>所以，故當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的，都有．
綜上所述，為保證對(duì)任意，都有，，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1．
重難點(diǎn)突破：數(shù)列新定義
32．若數(shù)列共項(xiàng)，，且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列為“廣義和諧01數(shù)列”．若“廣義和諧01數(shù)列”中，，其中有項(xiàng)為0，有項(xiàng)為1，則稱數(shù)列為“和諧01數(shù)列”．
(1)當(dāng)時(shí)，寫出一個(gè)“和諧01數(shù)列”．
(2)用表示個(gè)0，個(gè)1構(gòu)成的“廣義和諧01數(shù)列”的個(gè)數(shù)．
（?。┣?；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求（用含的式子表示）．
【解析】（1）0，1，0，1，0，1（答案不唯一）．
（2）（ⅰ）解法一（樹狀圖法）
因此．
解法二（列表法）
因此．
解法三（插空法） 先排好三個(gè)“0”，于是產(chǎn)生如圖所示三個(gè)空，分別標(biāo)記為，
剩下三個(gè)“1”討論如下：
①三個(gè)“1”連在一起形成“111”整體插空，只能放位，有1種排法；
②三個(gè)“1”構(gòu)成“11”和“1”分別排在其中兩個(gè)空，“11”占位時(shí)，“1”排位或位，“11”占位時(shí)，“1”只能排位，共有3種排法；
③三個(gè)“1”構(gòu)成“1”“1”“1”各占一空，有1種排法．
所以共有種排法，即．
解法四（遞推法） 已知最后一位只能排“1”，因此，此時(shí)或，
因此．
（ⅱ）
，（利用解法四可快速列出的表達(dá)式）
下面先求：
先將“0”排好，得，其中個(gè)“0”，個(gè)“”，
2個(gè)“1”有兩種排法：①整體插入其中一個(gè)中“”，共有種方式；
②在個(gè)“”中任取兩個(gè)，各插入一個(gè)“1”，共有種方式．
因此．
所以
．
33．已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：①不等式的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)．若，求數(shù)列的變號(hào)數(shù)．
【解析】（1）的解集有且只有一個(gè)元素．
或．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故不存在，使得不等式成立；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故存在，使得不等式成立．
綜上，得，．．
，
當(dāng)時(shí)，，不滿足要求.
（2）方法一：由題設(shè)得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞增．
，由，
可知．即當(dāng)時(shí)有且只有一個(gè)變號(hào)數(shù)．
又，，，
，，
此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)．
綜上得，數(shù)列共有3個(gè)變號(hào)數(shù)．
方法二：由題設(shè) ，
當(dāng)時(shí)，
令或或．
又，．
時(shí)也有．
綜上得，數(shù)列共有3個(gè)變號(hào)數(shù)．
34．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若滿足：①項(xiàng)數(shù)有限為N；②；③，則稱數(shù)列為“N階型數(shù)列”．
(1)若，請(qǐng)判斷數(shù)列是否為“N階型數(shù)列”？若是，請(qǐng)求出N的值；若不是，請(qǐng)說明理由；
(2)若等比數(shù)列為“6階型數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；
(3)若等差數(shù)列為“2m階型數(shù)列”，且，證明：數(shù)列中不存在兩項(xiàng)之和仍在該數(shù)列中．
【解析】（1）若數(shù)列是“N階型數(shù)列”，則，
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
解得或（舍去）．
此時(shí)滿足條件①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為5，滿足條件②，
又，
滿足條件③，
故數(shù)列為“5階型數(shù)列”，．
（2）若，則，解得，不滿足為等比數(shù)列；
若，則
，
解得，
而，解得或，
故或．
（3）設(shè)等差數(shù)列，，，…，的公差為d，
因?yàn)?，則，則，故，
由，得，，，而，
故，，
兩式相減得，即，
又，得，
所以（，）．
任取數(shù)列中的第s，t，r項(xiàng)，
不妨設(shè)，則（，），
，（，），
所以
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)閟，t，r，，所以為偶數(shù)，
而1為奇數(shù)，所以上式不成立，即數(shù)列中不存在兩項(xiàng)之和仍在該數(shù)列中
1．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則數(shù)列的公差（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由及
得解得．
故選：B
2．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，若，則（ ）
A．B．149C．28D．
【答案】D
【解析】依題意，和是等差數(shù)列，
而，故可設(shè)，
其中，所以，
，
.
故選：D
3．在等比數(shù)列中，是方程兩根，若，則的值為（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】D
【解析】由是方程兩根可得，
由等比數(shù)列性質(zhì)可得，解得或（舍）；
所以.
故選：D
4．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則（ ）
A．2023B．2024C．4046D．4048
【答案】D
【解析】令數(shù)列的公比為，，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），
所以，即，
因?yàn)閿?shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，
所以，此時(shí)，即，
可得.
故選：D.
5．設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)顯然單調(diào)遞增，
所以可以推出為遞增數(shù)列；
當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，不妨取，此時(shí)為遞增數(shù)列，但不滿足，
所以為遞增數(shù)列不能推出，
所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，
故選：A.
6．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)的公差為，因?yàn)?，?br>可得 ，解得，所以，
可得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：D.
7．?dāng)?shù)列是密碼設(shè)置的常用手段，幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，第5至10項(xiàng)構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，第10至15項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)，且該數(shù)列的第項(xiàng)為2的整數(shù)冪減1，那么該款軟件的激活碼是（ ）
A．87B．94C．101D．108
【答案】B
【解析】由題意可知：
，
，
所以
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)后5項(xiàng)和 848構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，
所以，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)后5項(xiàng)和943構(gòu)成公差為20的等差數(shù)列，所以，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)后5項(xiàng)和1148構(gòu)成公差為22的等差數(shù)列，所以，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)此時(shí)后5項(xiàng)和1258構(gòu)成公差為23的等差數(shù)列，所以，不符合題意，
故選：B
8．（多選題）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則（ ）
A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列
C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，A正確；
對(duì)于B，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，
所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，所以數(shù)列是公比為9的等比數(shù)列，D正確，
故選：AD.
9．（多選題）如圖，在四邊形中，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，則（ ）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
D．
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)闉檫吷系囊涣悬c(diǎn)，設(shè)，
即，所以
，
即，所以，
即，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，，
的前項(xiàng)和為
，B正確；
CD選項(xiàng)，，故，顯然，
則數(shù)列不是遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
10．（多選題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．若，，則
C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．若，則數(shù)列的公比為2
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，令等差數(shù)列公差為，則，，
為常數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；
對(duì)于B，等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，則，解得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令等比數(shù)列的公比為，則，為常數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，等比數(shù)列的公比為，由，得，
則，而，解得，D正確.
故選：ACD
11．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，若存在兩項(xiàng)使得，當(dāng)時(shí)，則最小值是 .
【答案】4
【解析】由，得，兩式相減得，而，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即，
因?yàn)?，則，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值是，
故答案為：.
12．若，已知數(shù)列中，首項(xiàng)，，，則 .
【答案】158
【解析】因?yàn)?，?br>所以，
所以，整理得，，
即是常數(shù)數(shù)列，又，所以，即.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，所以，，
所以，
即，
所以，
所以.
故答案為：158.
13．《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”. 已知長度為的線段PQ，取PQ的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為，再取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖2），圖2中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則 .
【答案】/
【解析】由題可得，，
從第2個(gè)等邊三角形起，每個(gè)三角形的面積為前一個(gè)三角形面積的，
故每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則.
故答案為：.
14．已知數(shù)列中，
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式；
(3)令，證明:．
【解析】（1）由得，
則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則
所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，
故得.
15．在個(gè)數(shù)碼1，2，…，（，）構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，
(1)計(jì)算；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)排列（，）滿足（），（），，求，
【解析】（1）在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，
與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，
所以.
（2）由（1）中的方法，同理可得，
又，所以，
設(shè)，得，
所以，解得，則，
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，
所以，則.
（3）因?yàn)椋ǎ?br>所以，
所以，
所以.
16．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)之和，數(shù)列的前項(xiàng)之積，且．
(1)求證：為等差數(shù)列，并分別求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，且當(dāng)時(shí)，，
所以由得，
所以，由得，即，
所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，即，所以；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以．
（2）由（1）得，
所以
，
所以
，
所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，
因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意正整數(shù)恒成立，
所以，即，又，
所以解得，所以的取值范圍為.
17．已知給定數(shù)列，從第二項(xiàng)起后項(xiàng)與前項(xiàng)作差，得到新數(shù)列，定義這個(gè)新數(shù)列為數(shù)列的階差數(shù)列，記為，繼續(xù)上述操作，得到新數(shù)列，稱為的階差數(shù)列，記為，一般地，對(duì)任意，稱數(shù)列為數(shù)列的階差數(shù)列．
(1)寫出數(shù)列的階差數(shù)列；
(2)若數(shù)列的首項(xiàng)階差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列的首項(xiàng)，且，求數(shù)列的最小值．
【解析】（1）由題意，得，；
，所以2階數(shù)列為．
（2）因?yàn)?，又，所以?br>所以，
累加得，即，
所以．
（3）因?yàn)?，及，得?br>又，所以，兩邊同除，得，
當(dāng)時(shí)，
，
所以，時(shí)也滿足，
所以，
令，則，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
而，所以，即時(shí)，取得最小值為．
18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）由，得（，），
，（，）．
又，，，整理得．
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，．，
即，，
兩式相減，得，．
19．已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列前項(xiàng)和為；
(3)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）根據(jù)題意，因?yàn)?，，，成等比?shù)列，
所以，又，
解得，，
故；
（2）因?yàn)?br>，
所以
；
（3）∵
∴①，
②，
∴①-②得
∴.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187160421" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc187160421 \h 2
\l "_Tc187160422" 題型一：等差、等比數(shù)列的基本量問題 PAGEREF _Tc187160422 \h 2
\l "_Tc187160423" 題型二：證明等差等比數(shù)列 PAGEREF _Tc187160423 \h 3
\l "_Tc187160424" 題型三：等差等比數(shù)列的交匯問題 PAGEREF _Tc187160424 \h 5
\l "_Tc187160425" 題型四：數(shù)列的通項(xiàng)公式 PAGEREF _Tc187160425 \h 7
\l "_Tc187160426" 題型五：數(shù)列求和 PAGEREF _Tc187160426 \h 10
\l "_Tc187160427" 題型六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題 PAGEREF _Tc187160427 \h 13
\l "_Tc187160428" 題型七：實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題 PAGEREF _Tc187160428 \h 15
\l "_Tc187160429" 題型八：以數(shù)列為載體的情境題 PAGEREF _Tc187160429 \h 17
\l "_Tc187160430" 題型九：數(shù)列的遞推問題 PAGEREF _Tc187160430 \h 19
\l "_Tc187160431" 重難點(diǎn)突破：數(shù)列新定義 PAGEREF _Tc187160431 \h 23
\l "_Tc187160432" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc187160432 \h 29
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講練測專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講練測專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講練測專題09數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列求和及綜合應(yīng)用練習(xí)原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講練測專題09數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列求和及綜合應(yīng)用練習(xí)解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共67頁， 歡迎下載使用。

專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生及教師卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用）：

這是一份專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生及教師卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用），文件包含專題20數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合教師卷-十年2015-2024高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編全國通用docx、專題20數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合學(xué)生卷-十年2015-2024高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編全國通用docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共101頁， 歡迎下載使用。

專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用）：

這是一份專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用），共14頁。試卷主要包含了記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，等差數(shù)列{}中，.，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）（2份打包，原卷版+解析版）
2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）專題09數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用含解析答案

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）專題09數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用含解析答案
專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考）

專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)（新教材新高考）
高考數(shù)學(xué)(理數(shù))二輪復(fù)習(xí)專題強(qiáng)化訓(xùn)練12《通項(xiàng)公式與數(shù)列求和》 (學(xué)生版)

高考數(shù)學(xué)(理數(shù))二輪復(fù)習(xí)專題強(qiáng)化訓(xùn)練12《通項(xiàng)公式與數(shù)列求和》 (學(xué)生版)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部