2025年高考數(shù)學(xué)大題題型歸納精講(新高考通用)第02講數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的四種求法練習(xí)(學(xué)生版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考法一：等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
例題分析
【例 1】已知an為正項(xiàng)等差數(shù)列，bn為正項(xiàng)等比數(shù)列，其中a2=3,b1=a1，且a2,a3+1，a5+3成等比數(shù)列，b1+b2+b3=13．
求an,bn的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n-1n∈N*，bn=3n-1n∈N*
【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1+n-1d．
因?yàn)閍2=3，且a2,a3+1,a5+3成等比數(shù)列，
所以a1+d=3,a1+2d+12=3a1+4d+3,解得a1=1,d=2,或a1=4,d=-1,（舍去）
所以an=2n-1n∈N*．
因?yàn)閎1=a1=1,b1+b2+b3=13，即q2+q-12=0，可得q=3或q=-4（舍去），
所以bn=3n-1n∈N*．
滿分秘籍
在等差數(shù)列五個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須注意等差數(shù)列性質(zhì)、整體代換及方程思想的應(yīng)用.
等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．
變式訓(xùn)練
【變式1-1】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n和為Sn，a3+a9=12，S9=45，數(shù)列bn滿足a1b1+a2b2+???+anbn=142n-13n+1+34.
(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=n，bn=3n
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量相關(guān)運(yùn)算直接得到an的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知等式令n≥2得到第二個(gè)等式，兩式相減并驗(yàn)證n=1的情況得到bn的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，
因?yàn)閍3+a9=12，S9=45，
所以a1+2d+a1+8d=129a1+a1+8d2=45，即2a1+10d=129a1+4d=45，
解得a1=1d=1，所以an=a1+n-1d=1+n-1=n
a1b1+a2b2+???+anbn=142n-13n+1+34①
當(dāng)n≥2時(shí)，a1b1+a2b2+???+an-1bn-1=142n-33n+34②，
①-②可得，anbn=n?3n，an=n，所以bn=3n，
當(dāng)n=1時(shí)，a1b1=b1=3適合bn=3n，
所以bn=3n
【變式1-2】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=b1=1，a2=b2+1，a4=S3．
(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n-1，bn=2n-1
【分析】（1）由數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)出公差和公比，根據(jù)題意列出方程組求解即可；
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為qq>0，
由題意可得，a1+d=b1q+1a1+3d=b11+q+q2，即d=qq2+q=3d，
所以q2-2q=0，
因?yàn)閝>0，所以d=q=2，
所以an=1+2n-1=2n-1，bn=1×2n-1=2n-1．
【變式1-3】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=74，a1-a3=34，等差數(shù)列bn滿足b7+b12=12+b8，a2b1=1.
(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=12n-1；bn=n+1
【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算求解；
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，等差數(shù)列bn的公差為d，
由S3=74，a1-a3=34，可得a1+a2+a3=74a1-a3=34，
即a11+q+q2=74a11-q2=34，化簡(jiǎn)得1+q+q21-q2=73，
即10q2+3q-4=0，解得q=-45（舍）或q=12，
從而可得a1=1，所以an=12n-1；
又因?yàn)閎7+b12=12+b8，a2b1=1，
所以2b1+17d=12+b1+7d12b1=1，解得b1=2d=1，
所以bn=2+n-1=n+1.
【變式1-4】已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4-a5=7，等比數(shù)列bn滿足b3=4，b4+b5=8b1+b2．
(1)求an與bn的通項(xiàng)公式；
【分析】（1）設(shè)an的公差為d，由題意可得24+2d-4+3d=7，求得d=3， a1=1，進(jìn)而可求an=3n-2；設(shè)bn的公比為q，由題意可得b1q31+q=8b11+q，求得q=2或q=-1，再分q=2，q=-1兩種情況求解即可.
【詳解】（1）設(shè)an的公差為d，因?yàn)閍2=4，2a4-a5=7，
所以24+2d-4+3d=7，解得d=3，從而a1=1，
所以an=3n-2．
設(shè)bn的公比為q，因?yàn)閎4+b5=8b1+b2，則有b1q31+q=8b11+q
b1≠0，q31+q=81+q，解得q=2或q=-1，
當(dāng)q=2時(shí)，因?yàn)閎3=4，所以b1=422=1，所以bn=2n-1．
當(dāng)q=-1時(shí)，因?yàn)閎3=4，所以b1=4,b2=-4，所以bn=4×-1n-1．
【變式1-5】已知等差數(shù)列an滿足(n+1)an=n2-8n+k，數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列.
(1)求an和bn；
【答案】(1)an=n-9，bn=3n-1
【分析】（1）方法一：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求bn，由數(shù)列an的通項(xiàng)公式求其前三項(xiàng)，由條件列方程求k，由此可得an；
方法二：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求bn，設(shè)數(shù)列an的公差為d，由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)條件可求a1,d，由此可得an；
【詳解】（1）解法一：因?yàn)閿?shù)列bn是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以bn=3n-1，
因?yàn)?n+1)an=n2-8n+k，
所以a1=k-72，a2=k-123，a3=k-154.
因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，
所以2a2=a1+a3，即2×k-123=k-72+k-154，
解得k=-9.
所以(n+1)an=n2-8n-9=(n+1)(n-9)，
所以an=n-9.
解法二：因?yàn)閿?shù)列bn是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以bn=3n-1，
因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.
所以(n+1)an=(n+1)dn+a1-d=dn2+a1n+a1-d=n2-8n+k，
所以d=1a1=-8k=-9，
所以an=n-9.
【變式1-6】已知an是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.
求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=n
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出d，即可求出通項(xiàng)；
【詳解】（1）因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，
所以a1a4=a22，即(1+d)2=1×(1+3d)，解得d=1或d=0（舍去），
所以an=1+(n-1)×1=n．
考法二：等差、等比數(shù)列的證明
例題分析
【例2】已知等比數(shù)列an的公比q0，
由b1+bn=2lg2an，
可得：當(dāng)n≥2時(shí)，b1+bn-1=2lg2an-1，
兩式相減得，bn-bn-1=2lg2anan-1=2lg2q,n≥2，
故數(shù)列bn是等差數(shù)列.
【變式2-2】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an與-4n的等差中項(xiàng)為Sn-an.
(1)證明：數(shù)列an+2是等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【分析】(1)利用an與Sn關(guān)系，得到an與an-1間的關(guān)系，再利用定義即可證明結(jié)論；【詳解】（1）依題知得2Sn-2an=an-4n
∴2Sn=3an-4n.
當(dāng)n=1時(shí)，a1=4
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=3an-1-4n+4
∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1-4.
2an=3an-3an-1-4，得到an=3an-1+4，可變形為an+2=3an-1+2，
∵a1+2=6≠0.
∴an+2an-1+2=3
所以，數(shù)列an+2是等比數(shù)列.
【變式2-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，12Sn+1是3與4an的等差中項(xiàng)．
(1)設(shè)bn=an+1-2an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得Sn+1=3+4an，利用Sn與an的關(guān)系即可證明；
【詳解】（1）由題設(shè)得Sn+1=3+4an①，有Sn+2=3+4an+1②，
在①中令n=1得，
S2=3+4a1?a1+a2=3+4a1?a2=6?b1=a2-2a1=4，
由②-①，得
an+2=4an+1-4an?an+2-2an+1=2an+1-2an?bn+1=2bn，
又bn≠0，所以bn+1bn=2，
∴數(shù)列bn是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
【變式2-4】已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，且對(duì)任意的正整數(shù)n，1+an+12是an2和an+22的等差中項(xiàng).
(1)證明：an+12-an2是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)證明見解析；an=n.
【分析】（1）證明an+12-an2是以3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，再求出an2=n2即得解；
（1）證明：由題知an+22+an2=2(1+an+12)，得(an+22-an+12)-(an+12-an2)=2，所以an+12-an2是以a22-a12=3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即an+12-an2=3+(n-1)2=2n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，an2=(an2-an-12)+(an-12-an-22)+?+(a22-a12)+a12 =2(1+2+?n-1)+n=2×n(n-1)2+n=n2，當(dāng)n=1時(shí)，a12=1也符合題意，所以an2=n2，又an>0所以an=n.
【變式2-5】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，12Sn=an-2n-1．
(1)證明：an2n-1是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列an+1an的前n項(xiàng)積．
【答案】(1)證明見解析
(2)n+2×2n-1
【分析】（1）根據(jù)Sn與an的關(guān)系化簡(jiǎn)，可得an+12n-an2n-1=1，由等差數(shù)列的定義得證；
（2）由（1）求出an，再由累乘法求解.
【詳解】（1）由12Sn=an-2n-1，得12Sn+1=an+1-2n．
所以12Sn+1-Sn=an+1-an-2n-1，
即12an+1=an+1-an-2n-1，整理得an+1-2an=2n，
上式兩邊同時(shí)除以2n，得an+12n-an2n-1=1．
又12Sn=an-2n-1，所以12a1=a1-1，即a1=2，
所以an2n-1是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，an2n-1=2+n-1×1=n+1．
所以an=n+1×2n-1．
所以a2a1×a3a2×a4a3×?×an-1an-2×anan-1×an+1an=an+1a1=n+2×2n2=n+2×2n-1．
【變式2-6】已知an數(shù)列滿足a1=3，3an+1-9an=3n+2．
(1)證明：數(shù)列an3n為等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【分析】（1）等式兩邊同時(shí)除以3n+2，得到an+13n+1-an3n=1，再根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.
【詳解】（1）依題，在3an+1-9an=3n+2兩邊同時(shí)除以3n+2，
得an+13n+1-an3n=1，a131=1，
故數(shù)列an3n是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
考法三：累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例題分析
【例3】數(shù)列{ an}滿足an+2-4an+1+3an=0，且a1=8 , a2=2，求通項(xiàng)an.
【答案】an=11-3n
【分析】構(gòu)造法求證{an+1-an}為等比數(shù)列并寫出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)閍n+2-4an+1+3an=0，所以an+2-an+1=3(an+1-an)，
又a1=8 , a2=2 ，所以a2-a1=-6，
由等比數(shù)列定義知，數(shù)列an+1-an是以-6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an+1-an=-6?3n-1，
累加法可得：an-a1=(-6)?(30+31+?+3n-2)=(-6)?(1-3n-11-3)=3-3n,n≥2，
所以an=11-3n,n≥2，又a1=1符合該式，
故an=11-3n.
滿分秘籍
當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時(shí)，一般用累加法求通項(xiàng)．
變式訓(xùn)練
【變式3-1】已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2?3n+1,a1=3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【答案】an=2n?3n-1+12?3n-12
【分析】先將條件變形為an+13n+1-an3n=23+13n+1，再利用累加法即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【詳解】an+1=3an+2?3n+1兩邊除以3n+1，得
an+13n+1=an3n+23+13n+1，則an+13n+1-an3n=23+13n+1，故
an3n=an3n-an-13n-1+an-13n-1-an-23n-2+an-23n-2-an-33n-3+?+a232-a131+a13
=23+13n+23+13n-1+23+13n-2+?+23+132+33
=2n-13+13n+13n-1+13n-2+?+132+1，
=2n-13+13n?1-3n-11-3+1=2n3+12-12?3n，
則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n?3n-1+12?3n-12．
【變式3-2】已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，an+1>an，且an+2+an=a2?an+1n∈N*.
(1)若數(shù)列an+1-an為等差數(shù)列，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；
(2)若數(shù)列an+1-2an為等比數(shù)列，且數(shù)列an不為等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)Sn=n+nn-12=nn+12
(2)an=232n-12n
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義結(jié)合條件數(shù)列an+1-an為等差數(shù)列，證明an+2+an=2an+1，由此證明an為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可求Sn，
（2）設(shè)數(shù)列an+1-2an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列定義結(jié)合條件求a2,q，化簡(jiǎn)可得an+12n+1-an2n=12?4n，利用累加法求an2n，由此可得an.
【詳解】（1）因?yàn)閍n+2+an=a2?an+1n∈N*，所以an+3+an+1=a2?an+2，
兩式相減，可得an+3-an+2+an+1-an=a2an+2-an+1
又∵an+1-an為等差數(shù)列，∴an+3-an+2+an+1-an=2an+2-an+1，
則a2an+2-an+1=2an+2-an+1，
又∵an+1>an，∴an+2-an+1≠0，∴a2=2，
所以an+2+an=2an+1，即an為等差數(shù)列，且公差d=1，
所以Sn=n+nn-12=nn+12.
（2）設(shè)an+1-2an的公比為q，
因?yàn)閍n+2+an=a2?an+1，所以an+2-2an+1+an-12an+1=a2-52an+1
所以q-12an+1-2an=a2-52an+1，因?yàn)閍n+1≠0,所以q-121-2anan+1=a2-52，
因?yàn)閍n不是等比數(shù)列，所以anan+1不是常數(shù)，所以q=12，a2=52，
又a2-2a1=12，所以an+1-2an=12n，即an+12n+1-an2n=12×4n=122n+1，
由累加法可知，an2n=an2n-an-12n-1+an-12n-1-an-22n-2+?+a222-a121+a121 =122n-1+122n-3+?+123+12 =12?1-14n1-14=231-14n,n≥2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a121=2也滿足an2n=231-14n，
所以an=232n-12n.
【變式3-3】數(shù)列an中，an+1=2n+1?an2n+1+an，a1=2，求an的通項(xiàng).
【答案】an=2n2n-1
【分析】將an+1=2n+1?an2n+1+an兩邊取到數(shù)，可得1an+1=1an+12n+1，設(shè)bn=1an，即得bn-bn-1=12n，利用疊加法可求得bn，即可求得答案.
【詳解】由題意得1an+1=2n+1+an2n+1an，∴ 1an+1=1an+12n+1，
設(shè)bn=1an，∴ bn+1=bn+12n+1，∴bn=bn-1+12n，∴ bn-bn-1=12n(n≥2)，
bn-1-bn-2=12n-1，∴bn-2-bn-3=12n-2，…，b3-b2=123，b2-b1=122，
∴bn-b1=122+123+?+12n=122[1-12n-1]1-12=12-12n，
而b1=1a1=12，∴bn=12-12n+12=2n-12n，
∴ an=2n2n-1,n≥2，由于a1=2適合該式，
故an的通項(xiàng)為an=2n2n-1.
考法四：累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例題分析
【例4】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，nanSn是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求an的通項(xiàng)公式；
(2)求Sn.
【答案】(1)an=-1n-12n-1
(2)Sn=-n,n為偶數(shù)n,n為奇數(shù)
【分析】（1）推導(dǎo)出Sn=n2n-1×an，則Sn+1=n+12n+1×an+1，兩式相減得an+1an=-2n+12n-1，再由累乘法能求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）分奇數(shù)偶數(shù)兩種情況討論，利用并項(xiàng)求和能求出Sn.
【詳解】（1）由題意可知nanSn=1+2n-1=2n-1，整理可得Sn=n2n-1×an，①
則Sn+1=n+12n+1×an+1②
由②-①可得an+1=n+12n+1×an+1-n2n-1×an，
整理可得an+1an=-2n+12n-1，
因?yàn)閍1=1，所以由累乘法可得an+1=-1n2n+1，
因?yàn)?102×0+1=a1，所以an=-1n-12n-1，
滿分秘籍
當(dāng)出現(xiàn)eq \f(an,an－1)＝f(n)時(shí)，一般用累乘法求通項(xiàng)．
變式訓(xùn)練
【變式4-1】已知數(shù)列an，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足a1=1，3Sn=n+2an．
(1)求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=nn+12
【分析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由3Sn=n+2an可得出3Sn-1=n+1an-1，兩式作差推導(dǎo)出anan-1=n+1n-1，然后利用累乘法可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）解：對(duì)任意的3Sn=n+2an，
當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=n+1an-1，兩式相減3an=n+2an-n+1an-1．
整理得anan-1=n+1n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1×a2a1×a3a2×?×an-1an-2×anan-1=1×31×42×?×nn-2×n+1n-1=nn+12，
a1=1也滿足an=nn+12，從而an=n(n+1)2n∈N*．
【變式4-2】在數(shù)列an中，a1=1,anan-1=2n-32n+1n≥2，求an.
【答案】an=32n+12n-1
【分析】根據(jù)給定條件，利用累乘法列式求解即可.
【詳解】在數(shù)列an中，a1=1,anan-1=2n-32n+1n≥2，
則當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1?a2a1?a3a2?a4a3?a5a4???an-3an-4?an-2an-3?an-1an-2?anan-1
=1×15×37×59×711×?×2n-92n-5×2n-72n-3×2n-52n-1×2n-32n+1
=32n+12n-1，而a1=1滿足上式，
所以an=32n+12n-1.
【變式4-3】已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=an3nn∈N*．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=13n(n-1)2
【分析】（1）由an+1=an3n (n∈N*)，得到an+1an=13n(n∈N*)，再利用累乘法求解；
【詳解】（1）因?yàn)閍1=1，an+1=an3n (n∈N*)，
所以an+1an=13n(n∈N*)，
所以an=anan-1?an-1an-2?????a2a1?a1 =13n-1?13n-2?????131?1=131+2+?+n-1=13n(n-1)2
當(dāng)n=1時(shí)， a1=1滿足條件，
所以an=13n(n-1)2；
考法五：已知Sn求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例題分析
【例5】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2.
(1)求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n；
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合“n≥2,an=Sn-Sn-1”求解作答.
【詳解】（1）在數(shù)列an中，Sn=2an-2，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-2，兩式相減得an=2an-2an-1，
即an=2an-1，而a1=S1=2a1-2，有a1=2，
所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an=2?2n-1=2n，
所以an的通項(xiàng)公式是an=2n.
滿分秘籍
通過Sn求an.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn.
則當(dāng)n=1時(shí) a1=S1
n≥2時(shí) an=Sn-S(n-1)
變式訓(xùn)練
【變式5-1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-1n∈N*.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n-1；
【分析】（1）利用給定條件，結(jié)合“an=Sn-Sn-1(n≥2)”求解作答.
【詳解】（1）在數(shù)列an中，Sn=2an-1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2a1-1，解得a1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an-1-2an-1-1=2an-2an-1，則an=2an-1，
因此數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則an=a1qn-1=2n-1，
所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n-1.
【變式5-2】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an2+2an=4Sn-1n∈N*．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n-1
【分析】（1）根據(jù)an=Sn-Sn-1(n≥2)推出an-an-1=2，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果；
【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a12+2a1=4S1-1=4a1-1，得a1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an-12+2an-1=4Sn-1-1，
則an2+2an-an-12-2an-1=4Sn-1-4Sn-1+1=4an，
化簡(jiǎn)得an+an-1an-an-1=2an+an-1，
又an>0，所以an+an-1>0，an-an-1=2．
所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以an=2n-1；
【變式5-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2-n2,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：對(duì)任意n>1，都有m∈N*，使得a1,an,am成等比數(shù)列.
【答案】(1)an=3n-2
(2)證明見解析
【分析】（1）由Sn與an的關(guān)系求得{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意n>1，根據(jù)a1,an,am成等比數(shù)列求出滿足條件的m即可.
【詳解】（1）∵Sn=3n2-n2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=3n-2,
又n=1時(shí)，a1=S1=1=3×1-2,
∴an=3n-2；
（2）要使得a1,an,am成等比數(shù)列，只需要an2=a1am，即(3n-2)2 =1×(3m-2),m=3n2-4n+2=3n-232+23>0.
對(duì)任意n>1，m-n=3n2-5n+2=3n-2n-1>0，所以m>n,
∴對(duì)任意n>1，都有m∈N*，使得a1,an,am成等比數(shù)列.
【變式5-4】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=2，Sn=an+1+1.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2,n=12n-2,n≥2
【分析】（1）利用an與Sn的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a2+1=2，
∴a2=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=an+1+1-an-1，
∴an+1=2an，
∴a2,a3,a4,?是以a2=1、公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2,n=12n-2,n≥2.
考法六：構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例題分析
【例6】已知：a1=1，n≥2時(shí)，an=12an-1+2n-1，求an的通項(xiàng)公式．
【答案】an=32n-1+4n-6
【分析】構(gòu)造等比數(shù)列an-4n+6，即可由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】設(shè)an+An+B=12an-1+An-1+B，所以an=12an-1-12An-12A-12B，
∴ -12A=2,-12A-12B=-1,，解得：A=-4B=6，
又 a1-4+6=3，∴ an-4n+6是以3為首項(xiàng)，12 為公比的等比數(shù)列，
∴ an-4n+6=312n-1，∴ an=32n-1+4n-6．
滿分秘籍
構(gòu)造法的常見類型一般有：①an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)，②an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)；③an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)．
構(gòu)造法的構(gòu)造方法：①形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．
②遞推公式an＋1＝αan＋β的推廣式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，兩邊同時(shí)除以γn＋1后得到eq \f(an＋1,γn＋1)＝eq \f(α,γ)·eq \f(an,γn)＋eq \f(β,γ)，轉(zhuǎn)化為bn＋1＝kbn＋eq \f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通過構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(β,γ(1－k))))求解．
變式訓(xùn)練
【變式訓(xùn)練6-1】已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=c-1an.設(shè)c=52,bn=1an-2，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.
【答案】bn=-23-4n-13
【分析】記f(x)=5x-22x，令f(x)=x，求出不動(dòng)點(diǎn)x1=12,x2=2，得到an+1-2an+1-12=14?an-2an-12，則an-2an-12是等比數(shù)列，求出an=2-32+4n-1，進(jìn)而可得答案.
【詳解】依題an+1=52-1an=5an-22an，
記f(x)=5x-22x，令f(x)=x，求出不動(dòng)點(diǎn)x1=12,x2=2；
由定理2知：
an+1-12=2-1an=2?an-12an，
an+1-2=12-1an=12?an-2an ；
兩式相除得到an+1-2an+1-12=14?an-2an-12，
∴an-2an-12是以14為公比，a1-2a1-12=-2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴an-2an-12=-2?14n-1,an=2-32+4n-1，
從而bn=-23-4n-13．
【變式訓(xùn)練6-2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=λan+4（λ為常數(shù)）.
(1)若λ=3，求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=3n-2
【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用構(gòu)造法可得an+2為等比數(shù)列，然后可解；
【詳解】（1）當(dāng)λ=3時(shí)，an+1=3an+4，得an+1+2=3an+2
又a1+2=3≠0，所以an+2是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
所以an+2=3?3n-1=3n，即an=3n-2.
【變式訓(xùn)練6-3】已知數(shù)列an滿足a1=3，a2=6，an+2=2an+1+3an，求an
【答案】an=14．3n+1+34 (-1)n-1．
【分析】法1：構(gòu)造an+1+an為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到an=α?3n+β?-1n，根據(jù)a1=3，a2=6列方程組求出α和β即可.
【詳解】法1：已知an+2=2an+1+3an，所以an+2+an+1=3an+1+3an=3an+1+an，
則an+1+an是首項(xiàng)為a2+a1=6+3=9，公比為3的等比數(shù)列，
故an+1+an=9×3n-1=3n+1①，則an+2+an+1=3n+2②，
②-①得，an+2-an=2×3n+1
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an-an-2=2×3n-1，an-2-an-4=2×3n-3，?，a5-a3=2×34，a3-a1=2×32，
累加可得，an-a1=232+34+?+3n-1=2?32-3n-1?91-9=14?3n+1-94，
所以an=14?3n+1-94+a1=14?3n+1-94+3=14?3n+1+34，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=3n+1-an+1=3n+1-14?3n+2-34=14?3n+1-34，
綜上，an=14?3n+1+34?-1n-1；
法2：由特征根方程x2=2x+3得，x1=3，x2=-1，
所以an=α?3n+β?-1n，其中a1=3α-β=3a2=9α+β=6，解得α=34，β=-34，
an=34?3n-34?-1n=14?3n+1+34?-1n-1.
真題專練
1記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知Sn,2n的等差中項(xiàng)為an.
(1)求證an+2為等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【分析】（1）利用等差中項(xiàng)性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用an與Sn的關(guān)系求出an+1=2an+2，利用等比數(shù)列定義即可證明；
【詳解】（1）因?yàn)镾n,2n的等差中項(xiàng)為an，所以Sn+2n=2an，
因?yàn)閚=1時(shí)，S1=a1，則S1+2=2a1，所以a1=2，
由Sn+2n=2an得Sn+1+2n+2=2an+1，
又an+1=Sn+1-Sn，兩式相減得an+1+2=2an+1-2an，即an+1=2an+2，
所以有an+1+2=2an+2，所以an+1+2an+2=2，
所以an+2是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1+2=4，公比為2.
2．記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知Sn=an-nn+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n
【分析】（1）由Sn-Sn-1=an=n+1an-nan-1-2n，可得an-an-1=2，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)與公差都是2的等差數(shù)列，進(jìn)而可得答案.
【詳解】（1）由a1=S1=a1-1×2?a1=2，
由Sn=an-nn+1可得Sn=n+1an-nn+1，
則n≥2時(shí)Sn-1=nan-1-nn-1，
兩式相減可得Sn-Sn-1=an=n+1an-nan-1-2n，
化為nan-an-1=2n，因?yàn)閚≠0，
所以an-an-1=2，數(shù)列{an}是首項(xiàng)與公差都是2的等差數(shù)列，
所以an=2+n-1×2=2n；
3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足2Sn=an+1，其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n-1
【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系式即可證得數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）∵2Sn=an+1，∴Sn=an+122
當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=a1+122，解得a1=1.
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=an+122-an-1+122，
即an+an-1an-an-1-2=0，
∵an+an-1≠0，∴an-an-1-2=0，
∴數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴an=2n-1.
4．已知數(shù)列an和bn，a1=2，1bn-1an=1，an+1=2bn.
(1)求證數(shù)列1an-1是等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【分析】（1）通過題中關(guān)系，可得1an+1-1=121an-1，進(jìn)而可得數(shù)列1an-1是以-12為首項(xiàng)，公比為12的等比數(shù)列.
【詳解】（1）由a1=2，1bn-1an=1，an+1=2bn得2an+1-1an=1，
整理得1an+1-1=121an-1，而1a1-1=-12≠0，
所以數(shù)列1an-1是以-12為首項(xiàng)，公比為12的等比數(shù)列
5．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，且數(shù)列3-2Snan是公比為13的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=3n-1
【分析】（1）由題意求出2Sn=3-13n-1an，則2Sn+1=3-13nan+1，兩式相減化簡(jiǎn)變形可得an+1=3an，從而得數(shù)列an是以a1=1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）因?yàn)镾1=a1=1,3-2S1a1=1，
所以由題意可得數(shù)列3-2Snan是首項(xiàng)為1，公比為13的等比數(shù)列，
所以3-2Snan=13n-1，即2Sn=3-13n-1an，
所以2Sn+1=3-13nan+1，
兩式作差得：2Sn+1-Sn=2an+1=3-13nan+1-3-13n-1an，
化簡(jiǎn)得：1-3-nan+1-31-3-nan=0,即3n-1an+1-3an=0，
所以an+1=3an，
所以數(shù)列an是以a1=1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-1；
6．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=3an-1．
(1)求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=3n-1
【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)；
【詳解】（1）由已知2Sn=3an-1①，
當(dāng)n=1時(shí)，2S1=3a1-1，即2a1=3a1-1，解得a1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=3an-1-1②，
①-②得2an=3an-3an-1，即an=3an-1，
所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an=3n-1；
7．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an=2Sn-1.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n-1
【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得an+an-1an-an-1-2=0，由an+an-1≠0可得an-an-1=2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
【詳解】（1）an=2Sn-1?an+12=4Sn，
當(dāng)n≥2時(shí)，an-1+12=4Sn-1，兩式子作差可得
an2-an-12+2an-2an-1=4an?an2-an-12-2an+an-1=0?an+an-1an-an-1-2=0，
又an+an-1≠0，所以an-an-1-2=0?an-an-1=2，
可得數(shù)列an為公差為2 的等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=2S1-1?a1-2a1+1=0?a1-12=0?a1=1，
所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+n-1d=2n-1.
8．在等比數(shù)列an中，a7=8a4，且12a2,a3-4,a4-12成等差數(shù)列.
(1)求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n+1
【分析】（1）設(shè)an的公比為q，由題意解出a1,q，可得數(shù)列通項(xiàng)；
【詳解】（1）設(shè)an的公比為q，由a7=8a4，則a4q3=8a4，解得q=2.
∵12a2,a3-4,a4-12成等差數(shù)列，∴2a3-4=12a2+a4-12.
得24a1-4=a1+8a1-12，解得a1=4，
∴an=4×2n-1=2n+1.
9．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=13n+2an，且a1=1.
(1)求證：數(shù)列ann是等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析；
【分析】（1）利用an與Sn的關(guān)系變形給定的遞推公式，構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列an的通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列定義推理作答.
【詳解】（1）數(shù)列an中，3Sn=(n+2)an，當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=(n+1)an-1，
兩式相減得3an=(n+2)an-(n+1)an-1，即(n-1)an=(n+1)an-1，則ann+1=an-1n-1，
于是an(n+1)n=an-1n(n-1)，因此數(shù)列{an(n+1)n}是常數(shù)列，則an(n+1)n=a12×1=12，
從而an=n(n+1)2，即ann=n+12,an+1n+1-ann=12，
所以數(shù)列ann是以1為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列.
10．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-2，數(shù)列bnn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
(1)分別求出數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n，bn=2n2-n
【分析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)Sn-Sn-1=an，利用兩式相減得an=2an-1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出an；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出bn；
【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1-2，得a1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-2，所以Sn-Sn-1=2(an-an-1)，
所以an=2an-2an-1，即an=2an-1，因?yàn)閍1=2≠0，
所以anan-1=2，所以{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以an=2n.
因?yàn)閿?shù)列bnn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以bnn=1+(n-1)?2=2n-1，則bn=2n2-n，
11．在等差數(shù)列{an}中，a2=4，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n2+λn(λ∈R).
(1)求實(shí)數(shù)λ的值，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)λ=1，an=2n
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意的λ=1，進(jìn)而得d=2，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)閍2=S2-S1=(4+2λ)-(1+λ)=3+λ，
所以3+λ=4，所以λ=1. …
所以a1=S1=2，所以d=a2-a1=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n.
12．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2=3，且a1,a3,2a6+3成等比數(shù)列.
(1)求an和Sn.
【答案】(1)an=2n-1，Sn=n2
【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)出等差數(shù)列an的公差，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式求出公差，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式即可得到答案；
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d>0)，
因?yàn)閍2=3，a1,a3,2a6+3成等比數(shù)列，
所以a32=a1?2a6+3，即(d+3)2=3-d9+8d，
得d2-d-2=0，
解得d=2或d=-1（舍），
所以a1=a2-d=3-2=1，
所以an=a1+n-1d=1+n-1×2=2n-1，
Sn=na1+an2=n1+2n-12=n2.
13．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=32an-1.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2×3n-1
【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系可求出通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=32a1-1，得a1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-Sn-1=an=32an-an-1，得an=3an-1，
所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以an=2×3n-1.
14．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn+1+Sn=12an+12,a1=2．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=2n
【分析】（1）根據(jù)條件，利用Sn與an間的關(guān)系即可求出結(jié)果；
【詳解】（1）∵Sn+1+Sn=12an+12,∴Sn+Sn-1=12an2(n≥2)，
兩式相減得：an+1+an=12an+12-an2=12an+1+anan+1-an，
由于an+1+an>0，則an+1-an=2(n≥2)，
當(dāng)n=1時(shí)，S1+S2=12a22,a1=2，得a2=4，
a2-a1=2，則an+1-an=2n∈N*，
所以an是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故an=2+(n-1)?2=2n．
15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnSn≠0，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積為Tn，且滿足Sn+Tn=Sn?Tn n∈N*．
(1)求證：1Sn-1為等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)所給遞推公式及前n項(xiàng)和、積的定義化簡(jiǎn)，由等差數(shù)列定義可得證；
【詳解】（1）因?yàn)镾n+Tn=Sn?Tnn∈N*，
當(dāng)n=1時(shí)，S1+T1=S1?T1?2a1=a12，解得a1=2或a1=0，
又Sn≠0，所以a1≠0，故a1=2，
由Sn+Tn=Sn?Tn，可得Sn≠1，所以Tn=SnSn-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1=Sn-1Sn-1-1．
所以TnTn-1=SnSn-1×Sn-1-1Sn-1，即Sn=SnSn-1×Sn-1-1Sn-1，
所以1Sn-1=Sn-1Sn-1-1=1+1Sn-1-1，所以1Sn-1-1Sn-1-1=1
所以1Sn-1是以1S1-1=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
16．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2Snn=n-13.
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=n-7
【分析】（1）根據(jù)an與Sn的關(guān)系可直接求解；
【詳解】（1）因?yàn)?Snn=n-13，所以2Sn=n(n-13)，
所以當(dāng)n=1時(shí)，2a1=-12，所以a1=-6；
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=(n-1)(n-14)，
所以2an=2Sn-2Sn-1=2n-14，
所以an=n-7，
又a1=-6滿足上式，
所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n-7.
17．已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=2,Sn=an+1-3n-2．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；
【答案】(1)an=5×2n-1-3
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得Sn-1=an-3n-1-2,n≥2，采用兩式相減的方法可得an+1=2an+3,n≥2，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得an的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=a2-3-2，則a2=7，
因?yàn)镾n=an+1-3n-2，
所以Sn-1=an-3n-1-2,n≥2，
兩式相減得：an+1=2an+3,n≥2 ，
所以an+1+3=2an+3，n≥2，
a1=2,a1+3=5，a2+3=10，則a2+3=2a1+3，即n=1也適合上式，
所以an+3是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
故：an+3=5×2n-1，
故an=5×2n-1-3；
18．設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d>1．令bn=n2+nan，記Sn,Tn分別為數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和．
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21，求an的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)an=3n
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；
【詳解】（1）∵3a2=3a1+a3，∴3d=a1+2d，解得a1=d，
∴S3=3a2=3(a1+d)=6d，
又T3=b1+b2+b3=2d+62d+123d=9d，
∴S3+T3=6d+9d=21，
即2d2-7d+3=0，解得d=3或d=12（舍去），
∴an=a1+(n-1)?d=3n.
19．設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3-S3=12，求an，bn的通項(xiàng)公式．
【答案】an=2n-1，bn=3×2n-1
【分析】設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和定義化簡(jiǎn)條件，解方程求d,q，結(jié)合通項(xiàng)公式求解.
【詳解】設(shè)an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由已知q>0，
由a3+b3=17得1+2d+3q2=17①
由T3-S3=12得3+3q+3q2-1-1-d-1-2d=12
故q2+q-d=4②
由①②及q>0解得q=2，d=2
故所求的通項(xiàng)公式為an=1+2n-1=2n-1，bn=3×2n-1．
20．已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)．
(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析；
【分析】（1）利用n≥2時(shí)，Sn-Sn-1=an將原式變形為an+1+1=2an+1，最后根據(jù)等比數(shù)列定義給以證明；
【詳解】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)可得n≥2，Sn=2Sn-1+n+4，
兩式相減得Sn+1-Sn=2Sn-Sn-1+1，即an+1=2an+1，從而an+1+1=2an+1，
當(dāng)n=1時(shí)，S2=2S1+1+5，所以a2+a1=2a1+6，
又a1=5，所以a2=11，從而a2+1=2a1+1．
故總有an+1+1=2an+1，n∈N*，
又a1=5，a1+1=6，從而an+1+1an+1=2，
即數(shù)列an+1是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多