2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)專題12數(shù)列不等式放縮技巧(講義)(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc187184316" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc187184316 \h 2
\l "_Tc187184317" 02知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc187184317 \h 3
\l "_Tc187184318" 03 知識梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc187184318 \h 4
\l "_Tc187184319" 04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 PAGEREF _Tc187184319 \h 6
\l "_Tc187184320" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc187184320 \h 8
\l "_Tc187184321" 題型一：先求和后放縮 PAGEREF _Tc187184321 \h 8
\l "_Tc187184322" 題型二：裂項放縮 PAGEREF _Tc187184322 \h 10
\l "_Tc187184323" 題型三：等比放縮 PAGEREF _Tc187184323 \h 12
\l "_Tc187184324" 題型四：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184324 \h 14
\l "_Tc187184325" 題型五：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184325 \h 16
\l "_Tc187184326" 題型六：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184326 \h 18
\l "_Tc187184327" 題型七：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184327 \h 20
\l "_Tc187184328" 重難點突破：利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮 PAGEREF _Tc187184328 \h 22
數(shù)列放縮技巧是高考數(shù)學(xué)中的核心考點，尤其在數(shù)列與不等式相結(jié)合的復(fù)雜問題中更為凸顯。當(dāng)前，這類問題的難度已趨于穩(wěn)定，保持在中等偏難水平。解題時，關(guān)鍵在于對數(shù)列通項公式的靈活處理，特別是通過巧妙的變形來接近那些具有明確求和公式的數(shù)列類型。在此過程中，向可裂項相消的數(shù)列和等比數(shù)列靠攏，成為了放縮策略中的高級且有效的手段。
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
1．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，
（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
2．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
3．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．{bn}是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求{an}和{bn}的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
4．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
5．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
題型一：先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【典例1-2】已知數(shù)列滿足：是公差為6的等差數(shù)列，是公差為9的等差數(shù)列，且.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)設(shè)是方程的根，數(shù)列的前項和為，證明：.
先求和后放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問題的有效策略。其核心思路在于，首先通過求和將數(shù)列的項合并，簡化問題形式；接著，在求和的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，即利用不等式的性質(zhì)對求和結(jié)果進(jìn)行放大或縮小，從而更便于進(jìn)行后續(xù)的比較和推導(dǎo)。
【變式1-1】已知數(shù)列滿足.記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)若，數(shù)列的前項和為，求證：.
【變式1-2】已知在數(shù)列中，，且當(dāng)時，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
1．設(shè)數(shù)列的前項和為．若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”．
(1)若，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”；
(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差，且是“數(shù)列”，
①求的值；
②設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：
題型二：裂項放縮
【典例2-1】已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，等比數(shù)列是首項為1的遞增數(shù)列，若．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數(shù)．
【典例2-2】數(shù)列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前n項和，證明：時，.
放縮方法是一種處理數(shù)列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數(shù)列的通項進(jìn)行裂項，即將其拆分為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規(guī)律或進(jìn)行放縮。
在裂項后，我們可以根據(jù)不等式的需要，對拆分后的項進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。這種放縮通常基于數(shù)列的單調(diào)性、有界性或其他已知性質(zhì)。
裂項放縮方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確裂項和合理放縮，它能夠幫助我們簡化問題，揭示數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，從而更輕松地證明數(shù)列不等式。
【變式2-1】已知正項數(shù)列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，證明：數(shù)列的前n項和；
(3)設(shè)，證明：．
【變式2-2】已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．
①求數(shù)列的前項和；
②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．
1．已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
題型三：等比放縮
【典例3-1】已知數(shù)列滿足,（）.
(1)記（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)設(shè)（），且數(shù)列的前項和為，求證：（）.
【典例3-2】已知數(shù)列和滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)證明：．
等比放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問題的有效技巧。其核心思想在于，通過觀察數(shù)列的項與項之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其等比規(guī)律，并利用這一規(guī)律對數(shù)列的項進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。
在具體應(yīng)用時，我們可以根據(jù)數(shù)列的等比性質(zhì)，選擇一個合適的等比數(shù)列作為放縮的基準(zhǔn)，然后對原數(shù)列的每一項都按照這個等比數(shù)列進(jìn)行放縮。這種方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握等比數(shù)列的性質(zhì)，以及合理確定放縮的倍數(shù)，從而確保放縮后的不等式仍然成立。
【變式3-1】數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；
(3)記數(shù)列的前項和為，證明：
【變式3-2】已知數(shù)列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
1．已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．
題型四：型不等式的證明
【典例4-1】已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)記數(shù)列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數(shù)，若，，，證明：.
【典例4-2】數(shù)列的前項和為，滿足且首項 .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)令討論f'1（f'x為的導(dǎo)數(shù)）與的大小關(guān)系.
通項分析法進(jìn)行放縮
【變式4-1】已知函數(shù)在點處的切線與軸重合．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)已知正項數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【變式4-2】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數(shù)值；
(3)對于任意的，證明：．
1．柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達(dá)式的最值問題．已知數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
題型五：型不等式的證明
【典例5-1】已知函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求整數(shù)m的最大值.
（3）求證：(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
【典例5-2】（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點處的切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求的值；
(2)（i）當(dāng)時，恒成立，求正整數(shù)的最大值；
（ii）記，，且.試比較與的大小并說明理由.
通項分析法進(jìn)行放縮
【變式5-1】設(shè)數(shù)列的前項和為，且，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)設(shè)，證明：．
【變式5-2】伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出.·伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.·伯努利不等式的一種常見形式為：
當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)或時取等號.
(1)假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為，以此增長率為依據(jù)，試判斷6年后該地區(qū)人口的估計值是否能超過107萬？
(2)數(shù)學(xué)上常用表示，，，的乘積，，.
（?。┳C明：；
（ⅱ）已知直線與函數(shù)的圖象在坐標(biāo)原點處相切，數(shù)列滿足：，，證明：.
1．已知數(shù)列滿足，且，．
(1)計算，；
(2)求猜測的通項公式，并證明；
(3)設(shè)，問是否存在使不等式對一切且均成立的最大整數(shù)，若存在請求出，若不存在，請說明理由．
題型六：型不等式的證明
【典例6-1】在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，，，．
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為．
（i）求；（ii）證明：．
【典例6-2】已知函數(shù)的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值；
(3)證明：．
構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮
【變式6-1】已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：是等比數(shù)列；
(3)證明：.
【變式6-2】已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
1．已知函數(shù)．
(1)證明：對恒成立；
(2)是否存在，使得成立？請說明理由．
題型七：型不等式的證明
【典例7-1】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求k的值；
(3)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.
【典例7-2】已知函數(shù)．
（1）求的最大值；
（2）設(shè)，是曲線的一條切線，證明：曲線上的任意一點都不可能在直線的上方；
（3）求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）．
構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮
【變式7-1】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
(3)求證：（，是自然對數(shù)的底數(shù)）．
【變式7-2】已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
1．已知函數(shù)，，．令，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
重難點突破：利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮
【典例8-1】（2024·高三·重慶·期末）已知正項數(shù)列滿足：
（1）求的范圍，使得恒成立；
（2）若，證明：
（3）若，證明：
【典例8-2】已知數(shù)列{an}滿足：，（）．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）求證：．
利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮時，我們首先要明確數(shù)列的遞推公式，然后根據(jù)這個公式對數(shù)列的項進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小。關(guān)鍵在于保持放縮后的不等式方向不變，同時確保放縮后的數(shù)列更容易處理。這種方法能夠幫助我們揭示數(shù)列的深層結(jié)構(gòu)，從而更有效地解決數(shù)列不等式問題。
【變式8-1】定義數(shù)列為“階梯數(shù)列”：．
(1)求“階梯數(shù)列”中，與的遞推關(guān)系；
(2)證明：對，數(shù)列為遞減數(shù)列；
(3)證明：．
【變式8-2】已知數(shù)列滿足，，．
(1)猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)證明：．
1．已知數(shù)列滿足，.證明：對這一切，有
（1）；
（2）.
考點要求
目標(biāo)要求
考題統(tǒng)計
考情分析
數(shù)列不等式
掌握技巧，提升解題能力
2023年II卷第18題，12分
2022年I卷第17題，10分
2021年乙卷第19題，12分
2021年II卷第17題，10分
2021年浙江卷第20題，15分
預(yù)測2025年高考數(shù)學(xué)試題趨勢，多以解答題形式出現(xiàn)，具體估計為：（1）在導(dǎo)數(shù)題目的壓軸環(huán)節(jié)，第二問極有可能涉及利用導(dǎo)數(shù)理論進(jìn)行數(shù)列不等式的證明，此類型問題預(yù)計將具備較高的思維難度與解題復(fù)雜度，對考生的邏輯推理與數(shù)學(xué)分析能力提出嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。（2）至于數(shù)列解答題部分，其第二問預(yù)計將以中等偏上的難度水平出現(xiàn)，該題預(yù)計將融合多個知識點，構(gòu)成一道綜合性較強的題目，旨在全面考察考生對數(shù)列知識的深入理解及靈活運用能力。

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多