\l "_Tc187160085" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc187160085 \h 2
\l "_Tc187160086" 02知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc187160086 \h 3
\l "_Tc187160087" 03 知識梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc187160087 \h 4
\l "_Tc187160088" 04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 PAGEREF _Tc187160088 \h 7
\l "_Tc187160089" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc187160089 \h 29
\l "_Tc187160090" 題型一：等差、等比數(shù)列的基本量問題 PAGEREF _Tc187160090 \h 29
\l "_Tc187160091" 題型二：證明等差等比數(shù)列 PAGEREF _Tc187160091 \h 31
\l "_Tc187160092" 題型三：等差等比數(shù)列的交匯問題 PAGEREF _Tc187160092 \h 36
\l "_Tc187160093" 題型四：數(shù)列的通項公式 PAGEREF _Tc187160093 \h 41
\l "_Tc187160094" 題型五：數(shù)列求和 PAGEREF _Tc187160094 \h 46
\l "_Tc187160095" 題型六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題 PAGEREF _Tc187160095 \h 52
\l "_Tc187160096" 題型七：實際應(yīng)用中的數(shù)列問題 PAGEREF _Tc187160096 \h 56
\l "_Tc187160097" 題型八：以數(shù)列為載體的情境題 PAGEREF _Tc187160097 \h 61
\l "_Tc187160098" 題型九：數(shù)列的遞推問題 PAGEREF _Tc187160098 \h 64
\l "_Tc187160099" 重難點突破：數(shù)列新定義 PAGEREF _Tc187160099 \h 70
數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)中的核心考察點，其命題形態(tài)豐富多變，涵蓋了從基礎(chǔ)到復(fù)雜的各個層次。在小題部分，重點聚焦于等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，并且呈現(xiàn)出與其他數(shù)學(xué)知識（尤其是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)）相融合的趨勢。至于解答題，其難度通常處于中等或稍難水平，隨著文理合卷的改革推進(jìn)，數(shù)列與不等式相結(jié)合的難題（以往常作為壓軸題）熱度有所減退，難度趨于穩(wěn)定，保持在中等偏難的程度。這類題目往往在考察數(shù)列基本問題之后，進(jìn)一步探討數(shù)列求和，而求和之后又常與不等式、函數(shù)、最值等問題相互交織。在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列求和技巧的基礎(chǔ)上，更深入地考察“裂項相消法”、“錯位相減法”等高級求和技巧，并且與不等式緊密結(jié)合，其中“放縮”思想及方法的應(yīng)用顯得尤為重要。此外，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合問題也是一個值得關(guān)注的領(lǐng)域，應(yīng)給予適當(dāng)?shù)闹匾暋?br>1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列滿足（常數(shù)）（，）不能判斷數(shù)列為等差數(shù)列，需要補(bǔ)充證明；
2、數(shù)列滿足，則是等差數(shù)列；
3、數(shù)列滿足，為非零常數(shù)，且，則為等比數(shù)列；
4、在處理含，的式子時，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項公式；但是有些題目雖然要求的通項公式，但是并不便于運用，這時可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項公式，注意在使用上述方法求通項公式時，要對第一項是否滿足進(jìn)行檢驗．
6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項公式：
（1）形如（，），可變形為，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；
（2）形如（，），此類問題可兩邊同時除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個問題；
（3）形如，可以考慮兩邊同時除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個問題．
7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當(dāng)公比是用字母表示時，應(yīng)對其是否為進(jìn)行討論．
8、用裂項相消法求和時，要對通項進(jìn)行變換，如：，，裂項后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項．抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，但是前后所剩項數(shù)一定相同．
常見的裂項公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用錯位相減法求和時的注意點：
（1）要善于通過通項公式特征識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
（2）在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；
（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：
（1）若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前項和；
（2）通項公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；
（3）要善于識別一些變形和推廣的分組求和問題．
11、在等差數(shù)列中，若（，，，，），則．
在等比數(shù)列中，若（，，，，），則．
12、前項和與積的性質(zhì)
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為．
= 1 \* GB3 ①，，，…也成等差數(shù)列，公差為．
= 2 \* GB3 ②也是等差數(shù)列，且，公差為．
= 3 \* GB3 ③若項數(shù)為偶數(shù)，則，．
若項數(shù)為奇數(shù)，則，．
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時，，，，…也成等比數(shù)列，公比為
= 2 \* GB3 ②相鄰項積，，，…也成等比數(shù)列，公比為．
= 3 \* GB3 ③若項數(shù)為偶數(shù)，則，；項數(shù)為奇數(shù)時，沒有較好性質(zhì)．
13、衍生數(shù)列
（1）設(shè)數(shù)列和均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為，，為常數(shù)．
= 1 \* GB3 ①的等距子數(shù)列也是等差數(shù)列，公差為．
= 2 \* GB3 ②數(shù)列，也是等差數(shù)列，而是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列和均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為，為常數(shù)．
= 1 \* GB3 ①的等距子數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為．
= 2 \* GB3 ②數(shù)列，，，，，
也是等比數(shù)列，而是等差數(shù)列．
14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．
15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項為例，最小值項同理）
方法：利用數(shù)列的單調(diào)性；
方法2：設(shè)最大值項為，解方程組，再與首項比較大?。?br>1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
3．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結(jié)論的序號是 .
【答案】①③④
【解析】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數(shù)列，
但當(dāng)為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.
對于③，設(shè)，，
若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；
若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，
當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個偶數(shù)解，
當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個奇數(shù)解，
因為，不可能同時成立，
故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.
對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，
后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.
故答案為：①③④.
4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
【答案】 23 57.5/
【解析】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，.
故答案為：.
5．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．
【解析】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列的公差為，則.
由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，
故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?br>得到新數(shù)列，然后對進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.
換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.
回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.
那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組.
（如果，則忽略②）
故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
（3）定義集合，.
下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，
則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：
命題1：或；
命題2：.
我們分兩種情況證明這個結(jié)論.
第一種情況：如果，且.
此時設(shè)，，.
則由可知，即，故.
此時，由于從數(shù)列中取出和后，
剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組；
③，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
第二種情況：如果，且.
此時設(shè)，，.
則由可知，即，故.
由于，故，從而，這就意味著.
此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，，共組；
③全體，其中，共組；
④，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
這里對②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：
，，，.
可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).
而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).
這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.
然后我們來考慮這樣的的個數(shù).
首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；
而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.
但這導(dǎo)致，矛盾，所以.
設(shè)，，，則，即.
所以可能的恰好就是，對應(yīng)的分別是，總共個.
所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.
這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.
當(dāng)我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.
而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個.
所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足
.
這就證明了結(jié)論.
6．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．
【解析】（1）因為數(shù)列，
由序列可得；
由序列可得；
由序列可得；
所以.
（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，
則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，
故不存在符合條件的；
解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，
假設(shè)存在符合條件的，且，
因為，即序列共有8項，
由題意可知：，
檢驗可知：當(dāng)時，上式不成立，
即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.
（3）解法一：我們設(shè)序列為，特別規(guī)定.
必要性：
若存在序列，使得的各項都相等.
則，所以.
根據(jù)的定義，顯然有，這里，.
所以不斷使用該式就得到，必要性得證.
充分性：
若.
由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).
我們設(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個.
上面已經(jīng)說明，這里，.
從而由可得.
同時，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).
下面證明不存在使得.
假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，，即.
情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.
對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；
情況2：若，不妨設(shè).
情況2-1：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；
情況2-2：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.
這就說明無論如何都會導(dǎo)致矛盾，所以對任意的都有.
假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.
則此時對任意，由可知必有.
而和都是偶數(shù)，故集合中的四個元素之和為偶數(shù)，對該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.
綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.
解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，
且相對于序列也是無序的，
（?。┤?，
不妨設(shè)，則，
①當(dāng)，則，
分別執(zhí)行個序列、個序列，
可得，為常數(shù)列，符合題意；
②當(dāng)中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，
即，
分別執(zhí)行個序列、個序列
可得，
即，
因為為偶數(shù)，即為偶數(shù)，
可知的奇偶性相同，則，
分別執(zhí)行個序列，，，，
可得，
為常數(shù)列，符合題意；
③若，則，即，
分別執(zhí)行個、個，
可得，
因為，
可得，
即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；
④當(dāng)中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，
即，
分別執(zhí)行個、個，
可得，
且，可得，
因為為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，
則為偶數(shù)，
且，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；
⑤若，則，即，
分別執(zhí)行個、個，
可得，
且，可得，
因為為偶數(shù)，
則為偶數(shù)，
且，即轉(zhuǎn)為④，可知符合題意；
綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；
（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，
因為對任意，
均有成立，
若為常數(shù)列，則，
所以；
綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.
7．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）因為,故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項和
.
8．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為數(shù)列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）當(dāng)時，，解得．
當(dāng)時，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
9．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，且．
(1)求的通項公式及；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．
（?。┣笞C：當(dāng)時，求證：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當(dāng)時，則，即
可知，
，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
10．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
【答案】B
【解析】法1：因為，故，
對于A ，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立，
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，
，，故，故，
故為減數(shù)列，注意
故，結(jié)合，
所以，故，故，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立.
對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，
，，故，故，故為增數(shù)列，
若，則恒成立，故B正確.
對于C，當(dāng)時， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，故，故為減數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若，若存在常數(shù)，使得恒成立，
則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.
對于D，當(dāng)時， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，故，故為增數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.
故選：B.
法2：因為，
令，則，
令f'x>0，得或；
令f'x

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