TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153920034" 01 等差、等比數(shù)列的基本量問題 PAGEREF _Tc153920034 \h 1
\l "_Tc153920035" 02 證明等差等比數(shù)列 PAGEREF _Tc153920035 \h 4
\l "_Tc153920036" 03 等差等比數(shù)列的交匯問題 PAGEREF _Tc153920036 \h 7
\l "_Tc153920037" 04 數(shù)列的通項(xiàng)公式 PAGEREF _Tc153920037 \h 11
\l "_Tc153920038" 05 數(shù)列求和 PAGEREF _Tc153920038 \h 17
\l "_Tc153920039" 06 數(shù)列性質(zhì)的綜合問題 PAGEREF _Tc153920039 \h 30
\l "_Tc153920040" 07 實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題 PAGEREF _Tc153920040 \h 37
\l "_Tc153920041" 08 以數(shù)列為載體的情境題 PAGEREF _Tc153920041 \h 41
\l "_Tc153920042" 09 數(shù)列的遞推問題 PAGEREF _Tc153920042 \h 44
01 等差、等比數(shù)列的基本量問題
1．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，則有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
所以， SKIPIF 1 < 0 .故D正確.
故選：D.
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．29B．31C．33D．36
【答案】B
【解析】因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所有 SKIPIF 1 < 0 ，所有 SKIPIF 1 < 0 ，故B項(xiàng)正確.
故選：B.
3．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【解析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
4．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．42C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．63B．72C．135D．144
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
6．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3032B．3035C．3038D．3041
【答案】C
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相減得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
02 證明等差等比數(shù)列
7．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ；
兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差數(shù)列定義可得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
顯然 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 符合上式，
即 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ；
8．（2023·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)校考期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
又?jǐn)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)均為正數(shù)，
則由②可得 SKIPIF 1 < 0 ③，
將③代入①，得對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列.
（2）設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 也滿足此式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023·福建廈門·高三廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和，已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并證明： SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列；
(2)求滿足 SKIPIF 1 < 0 的所有正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以滿足 SKIPIF 1 < 0 的所有正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 為1，2.
10．（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，并求其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，以上式子相乘得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，
其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 .
03 等差等比數(shù)列的交匯問題
11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為6，
公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 自第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2023?甲卷）記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）證明：由已知有： SKIPIF 1 < 0 ①，
把 SKIPIF 1 < 0 換成 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②，
② SKIPIF 1 < 0 ①可得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由等差數(shù)列定義有 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列；
（2）由已知有 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）有其公差為1，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取最小值， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2023?乙卷）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
（2）記 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和．證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）證明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，若存在常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .若存在常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，這與 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故此時(shí)不存在常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 ).因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)且 SKIPIF 1 < 0 )，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
04 數(shù)列的通項(xiàng)公式
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】依題 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求出不動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 或3；由定理3知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式.
【解析】依題 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出不動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
由定理2知：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
兩式相除得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為公比， SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是以3為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，
首項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·江西·高一統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為Sn，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ②，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③，
將③代入①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由①②③得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值為1.
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
兩式作差可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，符合，
綜上， SKIPIF 1 < 0 .
故數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足遞推關(guān)系： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式.
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生函數(shù)為
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
于是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
所以兩邊同時(shí)加上 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列.
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求{an}的通項(xiàng).
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ……①
∴ SKIPIF 1 < 0 ……②
②-①得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ……③
∵{an}的特征函數(shù)為： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 x=1.
設(shè) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ……④
將④代入③得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 并將 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】由題意，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，兩邊取倒數(shù)得到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式 SKIPIF 1 < 0 ，且首項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
將不動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入遞推公式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
∴ SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ．
將 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
28．（2023·廣東江門·高三江門市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于 .
【解析】由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
顯然有 SKIPIF 1 < 0 ，
由累乘法可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
【解析】法1：已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為3的等比數(shù)列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
綜上， SKIPIF 1 < 0 ；
法2：由特征根方程 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
05 數(shù)列求和
30．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ∴①＋②得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
31．（2023·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是公比不為0的等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)的和 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考一模）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，首項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的根.其中 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù).
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的根，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去），
故： SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
故： SKIPIF 1 < 0 的最大值為48.
33．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
顯然， SKIPIF 1 < 0 滿足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
34．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，記數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前99項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以3為周期的數(shù)列.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
35．（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 頂和為 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可得： SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，兩式相減，得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 .
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，上式也成立.
所以： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
36．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為2，又由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4，又由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
綜上可得， SKIPIF 1 < 0 .
37．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，上式也成立.所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是遞增數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
38．（2023·黑龍江大慶·高三校考階段練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
兩式做差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
所以 SKIPIF 1 < 0 是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 得證.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)積為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由題意知， SKIPIF 1 < 0 為正項(xiàng)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的積，且 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
②÷①得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，可知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是常數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
40．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？计谀┮阎獢?shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ③，
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ④，
③ SKIPIF 1 < 0 ④可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱.
（2）由（1）知與首尾兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等，使用倒序相加求和.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （倒序），
又由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
42．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為4，公比為2.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
43．（2023·山東濰坊·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，求使得 SKIPIF 1 < 0 的最小正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以使得 SKIPIF 1 < 0 最小正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 為4.
44．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
45．（2023?新高考Ⅱ）已知 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故原式得證．
46．（2023?新高考Ⅰ）記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
（2）證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，①，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
證明：（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
06 數(shù)列性質(zhì)的綜合問題
47．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單調(diào)遞增的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，推導(dǎo)出 SKIPIF 1 < 0 ，然后分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩種情況討論，分別得出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由不等式的基本性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
48．（2023·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 恒成立，
整理得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
49．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是公差為2的等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 為其前n項(xiàng)和，若 SKIPIF 1 < 0 為遞增數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是公差為2的等差數(shù)列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 為遞增數(shù)列，
可得 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
50．（2023·陜西榆林·高三校考期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】據(jù)題設(shè)知， SKIPIF 1 < 0 對(duì)一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 對(duì)一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 對(duì)一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
又當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．
故選: SKIPIF 1 < 0 ．
51．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 成立，則 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由題意知 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和中的最小值，必有 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和中的最小值，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和中的最小值，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上可得： SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，
故選:B．
52．（2023·陜西榆林·高三校考期中）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，兩式相減得 SKIPIF 1 < 0 （常數(shù)），
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以1為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列.因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （常數(shù)），
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以1為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 恒成立，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是遞增數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是遞增數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
53．（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，從第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因?yàn)槭醉?xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，從第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)起開始為正數(shù)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
54．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c組成等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】B
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由題設(shè)有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因比 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B.
55．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公差的等差數(shù)列，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
分離參數(shù)得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
由 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，即實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
56．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ，若對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
若對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
07 實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校聯(lián)考期中）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬(wàn)元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（ ）（單位：萬(wàn)元）
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【解析】由題意，2023年存的2萬(wàn)元共存了10年，本息和為 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元，
2024年存的2萬(wàn)元共存了9年，本息和為 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元，
SKIPIF 1 < 0
2032年存的2萬(wàn)元共存了1年，本息和為 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元，
所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的錢數(shù)約為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元，
故選：C.
58．（2023·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）小李年初向銀行貸款 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為 SKIPIF 1 < 0 ，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分 SKIPIF 1 < 0 次等額還清，每年 SKIPIF 1 < 0 次，問每年應(yīng)還（ ）萬(wàn)元.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】設(shè)每年應(yīng)還 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考階段練習(xí)）某公司有10名股東，其中任何六名股東所持股份之和不少于總股份的一半，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A．公司持股最少的5位股東所持股份之和可以等于總股份的 SKIPIF 1 < 0
B．公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的 SKIPIF 1 < 0
C．公司持股最大的股東所持股份不超過總股份的 SKIPIF 1 < 0
D．公司持股較多的2位股東所持股份之和可以超過總股份的 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】不妨設(shè)10名股東所持股份為 SKIPIF 1 < 0 ，總股份為1，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，A正確；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的 SKIPIF 1 < 0 ，B正確；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，C正確；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D錯(cuò)誤，
故選：D．
60．（2023·河南·高二校聯(lián)考期末）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬(wàn)元，以后每年投入資金是上一年的 SKIPIF 1 < 0 倍；第一年的旅游收入為20萬(wàn)元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬(wàn)元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（ ）．
A．781萬(wàn)元，60萬(wàn)元B．525萬(wàn)元，200萬(wàn)元
C．781萬(wàn)元，200萬(wàn)元D．1122萬(wàn)元，270萬(wàn)元
【答案】C
【解析】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為 SKIPIF 1 < 0 ，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，
所以這五年投入的資金總額是 SKIPIF 1 < 0 （萬(wàn)元）．
由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，
所以這五年的旅游收入總額是 SKIPIF 1 < 0 （萬(wàn)元）．
故選：C．
61．（2023·山東·高二山東師范大學(xué)附中?？计谀┤鐖D甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知 SKIPIF 1 < 0 為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
62．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產(chǎn)生大量的電能，每千瓦時(shí)電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對(duì)于環(huán)境壓力較大的中國(guó)來說，符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，2021年10月26日，國(guó)務(wù)院發(fā)布《2030年前碳達(dá)峰行動(dòng)方案》，提出要積極安全有序發(fā)展核電.但核電造福人類時(shí)，核電站的核泄漏核污染也時(shí)時(shí)威脅著人類，如2011年，日本大地震導(dǎo)致福島第一核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計(jì)，要基本消除這次核事故對(duì)自然環(huán)境的影響至少需要800年，到那時(shí)，原有的鍶90大約剩（ ）（參考數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)一開始鍶90質(zhì)量為1，
則每年的剩余量構(gòu)成以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
則經(jīng)過800年鍶90剩余質(zhì)量為 SKIPIF 1 < 0 ，
兩邊取常用對(duì)數(shù)可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B
08 以數(shù)列為載體的情境題
63．（2023·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，滿足： SKIPIF 1 < 0 ，我們稱其為n項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的最小項(xiàng)等于 SKIPIF 1 < 0 ，記數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 ．
【答案】5或4
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差數(shù)列前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和公式有 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：5或4．
64．（2023·上?！じ呷虾Ｖ袑W(xué)?？计谥校┙o定一張 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)表（如下表），
統(tǒng)計(jì) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中各數(shù)出現(xiàn)次數(shù)．若對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，n，均滿足數(shù)k恰好出現(xiàn) SKIPIF 1 < 0 次，則稱之為 SKIPIF 1 < 0 階自指表，舉例來說，下表是一張4階自指表．
對(duì)于如下的一張7階自指表．記 SKIPIF 1 < 0 ，N的所有可能值為 ．
【答案】3211000
【解析】由題意可得，7階自指表為:
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
65．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 作通項(xiàng)得到的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，稱 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的差分?jǐn)?shù)列，已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的差分?jǐn)?shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 是以1為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】65
【解析】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：65.
66．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為一個(gè)有序?qū)崝?shù)組， SKIPIF 1 < 0 表示把A中每個(gè)-1都變?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ，0，每個(gè)0都變?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ，1，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．定義 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)為1，則 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，依題意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
顯然， SKIPIF 1 < 0 中有2項(xiàng)，其中1項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，1項(xiàng)為1，
SKIPIF 1 < 0 中有4項(xiàng)，其中1項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，1項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，
SKIPIF 1 < 0 中有8項(xiàng)，其中3項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，3項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 中共有 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，其中1和 SKIPIF 1 < 0 的項(xiàng)數(shù)相同，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)為0，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ①，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 表示把A中每個(gè) SKIPIF 1 < 0 都變?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ，0，每個(gè)0都變?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ，1，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，
則 SKIPIF 1 < 0 ②，
①+②得， SKIPIF 1 < 0 ③，
所以 SKIPIF 1 < 0 ④，
④-③得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ，
經(jīng)檢驗(yàn) SKIPIF 1 < 0 時(shí)符合，
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)），
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為
SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
67．（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若項(xiàng)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 我們稱其為 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中 SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的最大項(xiàng)等于 SKIPIF 1 < 0 ，記數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】3或4
【解析】由題意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差數(shù)列前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和公式有 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：3或4
09 數(shù)列的遞推問題
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．規(guī)則：1．每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．請(qǐng)你試著推測(cè)：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng) 次？
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)把 SKIPIF 1 < 0 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng) SKIPIF 1 < 0 次.
則把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng) SKIPIF 1 < 0 次
把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，分為以下步驟來完成:
第一步：先將上面的 SKIPIF 1 < 0 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針，則最少需要移動(dòng) SKIPIF 1 < 0 次.
第二步：將第n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，需要1次.
第三步：再將上面的 SKIPIF 1 < 0 個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針，則最少需要移動(dòng) SKIPIF 1 < 0 次.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0
69．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考期中）數(shù)學(xué)的發(fā)展推動(dòng)著科技的進(jìn)步， SKIPIF 1 < 0 技術(shù)的蓬勃發(fā)展得益于線性代數(shù)?群論等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.目前某區(qū)域市場(chǎng)中 SKIPIF 1 < 0 智能終端產(chǎn)品的制造僅能由 SKIPIF 1 < 0 公司和 SKIPIF 1 < 0 公司提供技術(shù)支持.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研預(yù)測(cè)， SKIPIF 1 < 0 商用初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用 SKIPIF 1 < 0 公司與 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品分別占比 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 .假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢(shì)的體現(xiàn)，每次技術(shù)更新后，上一周期采用 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù)的產(chǎn)品中有 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)而采用 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù)，采用 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù)的僅有 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)而采用 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù).設(shè)第 SKIPIF 1 < 0 次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場(chǎng)中采用 SKIPIF 1 < 0 公司與 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，不考慮其他因素的影響.
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列.
(2)經(jīng)過若干次技術(shù)更新后該區(qū)域市場(chǎng)采用 SKIPIF 1 < 0 公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能否超過 SKIPIF 1 < 0 ？若能，至少需要經(jīng)過幾次技術(shù)更新？若不能，請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1）依題意， 5G商用初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用H公司與G公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
經(jīng)過n次技術(shù)更新后 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
因此經(jīng)過n次技術(shù)更形后，該區(qū)域市場(chǎng)采用H公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以至少經(jīng)過10次技術(shù)更新，該區(qū)域市場(chǎng)采用H公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能達(dá)到75%以上.
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)小學(xué)生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時(shí)，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)，設(shè)第 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，在丙手中的方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)；
(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
第 SKIPIF 1 < 0 次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第 SKIPIF 1 < 0 次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，
故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……………，
SKIPIF 1 < 0
以上各式相加， SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
71．（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中?？家荒＃┤鐖D，已知曲線 SKIPIF 1 < 0 及曲線 SKIPIF 1 < 0 ．從 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線平行于 SKIPIF 1 < 0 軸，交曲線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，再?gòu)狞c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線平行于 SKIPIF 1 < 0 軸，交曲線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)試求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的關(guān)系，并證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，從而有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，下證： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 異號(hào)，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相除得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
n
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
4
5
6
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0

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