2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)專題12數(shù)列不等式放縮技巧(練習(xí))(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：先求和后放縮
1．已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，的前項(xiàng)和為，證明：．
【解析】（1）由題意知①，
當(dāng)時(shí)，，∵，∴．
當(dāng)時(shí)，②．
①－②得，適合上式，·
③，則④．
得，∴，
兩邊同時(shí)取以為底的對數(shù)，得，
則，，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由題意及（1）知，，
則，
所以，，
兩式相減得，
∴．
∵，
隨的增大而減小，∴，又，∴，
∴．
2．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.
【解析】（1）由得，代入得，
即，所以，因?yàn)椋?br>所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.
（2）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，
所以，因?yàn)?，所以?br>3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求并證明：.
【解析】（1）因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，故，
當(dāng)時(shí)，，
兩式作差可得，整理可得，
則，又，
所以是各項(xiàng)為的常數(shù)列，
則，故.
（2）由（1）可得，
所以，
類比復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知為遞增數(shù)列，又，
所以的最小值為，
又，所以，
綜上，.
4．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列．
(1)求的表達(dá)式和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：
【解析】（1）因?yàn)槭且?為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列,
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
即，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知：
,
所以
.
題型二：裂項(xiàng)放縮
5．若數(shù)列滿足，其中，則稱數(shù)列為M數(shù)列.
(1)已知數(shù)列為M數(shù)列，當(dāng)時(shí).
（?。┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M數(shù)列，且，證明：存在正整數(shù)n.使得.
【解析】（1）（?。┯?，可得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為公差為1的等差數(shù)列，
所以，
又因?yàn)?，所?
（ⅱ），
設(shè)，，
，，
所以，
.
（2）若是M數(shù)列，有，
故，且，
即
，
則
，
由隨的增大而增大，
若，可得，
因?yàn)?，故對任意的，總存在正整?shù)使，
即總存在正整數(shù)n，使得.
6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)數(shù)列是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；
(2)求；
(3)求證：．
【解析】（1）∵，，
∴，化為：，
∴數(shù)列為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2；
（2）由（1）得，
∴；
（3）當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，
∴，
綜上所述，．
7．已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，將數(shù)列分組：，，，，，記第組的和為.
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）證明.
【解析】（1）依題意，又，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
，
.
（2）（i）由（1）知.設(shè)的前項(xiàng)和為，則.
顯然數(shù)列分組后第組有項(xiàng)，前面組共有項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（ii），
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，
，
故.
8．已知數(shù)列滿足，且，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，，．證明：．
【解析】（1）由得：，整理為：，
所以為等差數(shù)列，公差，首項(xiàng)為；
所以，整理為，經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求.
（2）由（1）得：，，
∴，
∴，即．
題型三：等比放縮
9．已知數(shù)列滿足，．
(1)設(shè)，，是數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，證明：，，不可能為等比數(shù)列；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
【解析】（1）已知，，易得恒成立，且為遞增數(shù)列．
∵，
∴．
故數(shù)列任意的連續(xù)三項(xiàng)不可能為等比數(shù)列．
（2）∵，
∴，即，
故
又由于，且，故，，
假設(shè)，，成立，有，
由數(shù)學(xué)歸納法可得
所以成立，
故成立．
綜上可知，原不等式成立.
10．已知數(shù)列的首項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)證明：．
【解析】（1）由題設(shè)，又，
所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，則，顯然時(shí)成立，
當(dāng)有，此時(shí)，
綜上，，得證.
題型四：型不等式的證明
11．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足對任意的成立．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或0，
是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，故，
①，
當(dāng)時(shí)，②，
則①-②得，
故，
因?yàn)?，所以，則，
則的公差為1，則，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，故通項(xiàng)公式為；
（2），，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，
故；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，
，
綜上，當(dāng)時(shí)，．
12．已知函數(shù)，
(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令?br>依題意，，恒成立，
求導(dǎo)得，由，得；由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以.
（2）由（1）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
則當(dāng)時(shí)，，，…，，
因此，
所以原不等式成立.
13．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足（，且）.
(1)若；
（i）請寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的前四項(xiàng)；
（ii）求證：存在，使得成立；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【解析】（1）（i）∵即，
又，則，
∴滿足條件的數(shù)列的前四項(xiàng)可以為：.
（ii）∵（，且），
∴，
，
，
，
累加得，則，
則，
∵，
∴，
不妨令，
故存在，使得成立；
（2）由（1）知：，
同理∵即，
∴，
，
，
∴，則
則，
，
，
，
，
累加得：，
故：.
題型五：型不等式的證明
14．已知數(shù)列滿足，且，
（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立？若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，所以是等差?shù)列，公差為2，，
，所以．
（2）由（1），
所以．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立，
因?yàn)椋?br>所以，
不等式化為，
，
設(shè)，
設(shè)，則，，
，所以，所以是遞增數(shù)列，
，
所以．
所以存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立，且．
15．設(shè)數(shù)列滿足，，令.
(1)試證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？請說明理由.
(3)令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故．
（2）由（1），設(shè)，
若存在常數(shù)c，使是等比數(shù)列，則，
即，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)，c=0復(fù)合題意，
所以，存在唯一的常數(shù)，使是等比數(shù)列.
（3）設(shè)，
則.
∵
∴，即數(shù)列是遞減數(shù)列，故．
要使不等式對一切都成立，
只要，即，，解得.
因此，存在大于實(shí)數(shù)，使不等式對一切都成立．
題型六：型不等式的證明
16．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列{}滿足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.
【解析】（1）由，
由可得，
則時(shí)，
兩式相減可得，
化為，因?yàn)椋?br>所以，數(shù)列{}是首項(xiàng)與公差都是2的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
，
所以，
，
，
17．已知數(shù)列滿足，（其中）
(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
【解析】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．
∵，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減；
（2）∵，，，∴，又，則.
∵，，∴，則，
當(dāng)，累加可得，則，
則，則，
∴
，則．
18．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知當(dāng)時(shí)，，證明：.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，可得，?br>所以，解得，
所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由，可得，
則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
故，.
所以.
題型七：型不等式的證明
19．已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，證明：．
【解析】（1），即，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，，
即，也即，
變形為，
所以
，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也適合．
．
（2）證明：因?yàn)闀r(shí)，，
，所以，
令，則有．
，，
將兩邊同時(shí)取對數(shù)，
得到原不等式等價(jià)于證明：，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
，
令，2，，然后累加得：
，
則，原不等式得證．
20．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，試比較與9的大小，并加以證明．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正，所以，故，即，
所以是以2為公比的等比數(shù)列，
因?yàn)?，又公比?，
所以，所以.
（2），證明如下：
令，則，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
所以，則，即，
設(shè)，所以，
所以，
記，則，
所以，
即，則，所以，所以.
重難點(diǎn)突破：利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮
21．（2025·寧夏內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式；
(3)令，證明:．
【解析】（1）由得，
則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則
所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，
故得.
22．不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動(dòng)點(diǎn)是指被函數(shù)映射到其自身的點(diǎn).對于函數(shù)，我們把滿足的稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù).
(1)證明：在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)已知，且的前項(xiàng)和為.證明：
①為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；
②.
【解析】（1）令，
則，，，
所以當(dāng)時(shí)，在上遞減，
而，故在有唯一的零點(diǎn)，
即在有唯一的不動(dòng)點(diǎn).
（2）①因?yàn)椋?br>所以，在上單調(diào)遞增；
，
所以，
而在的不動(dòng)點(diǎn)為，
所以，
假設(shè)時(shí)，成立，
則，即成立，
結(jié)合可得：對于任意恒成立，
故為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；
②，
因?yàn)?，所以，因此，即?br>故.
23．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；
（ii）證明：若，則對任意正整數(shù)，都有.
【解析】（1）令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
再令，則，，
令，則，由上面知，
即在上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
即.
綜上，當(dāng)時(shí)，成立.
（2）（i）因?yàn)?，所以?br>所以，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列.
（ii）要證，即證，即，
由（1）知：當(dāng)時(shí)，，
所以，即有，
所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以，歸納易得數(shù)列為減函數(shù)，
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，
所以，
所以
，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即成立.
1．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，證明：.
【解析】（1）因?yàn)?，，則，，…
以此類推可知，對任意的，，
由已知得，即，
所以，且，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，，
，
.
2．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)單調(diào)遞增等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．
（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式；
（ⅱ）設(shè)，試確定與的大小關(guān)系，并給出證明．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，
整理得．
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，不滿足．
所以，.
（2）（?。┰O(shè)數(shù)列的公差為．
因?yàn)?，，成等比?shù)列，且，，，
所以，即．
又因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．
（ⅰi）．證明如下：
由（?。┲?，，，易知
所以．
，
，．
3．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減得：，
所以，，
，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
當(dāng)時(shí)，，故.
4．某商場舉行活動(dòng)，充值積分若干后，可以用積分購買特定商品．參與此活動(dòng)的商品有1積分的簽字筆，2積分的草稿本和2積分的便利貼．要求每天必須用積分購買商品且每天只能購買一次．花2積分購買草稿本或者購買便利貼算不同的用完積分的方式．
(1)假設(shè)梅菊同學(xué)充值4積分，則該同學(xué)有多少種方式用完積分（只寫出答案，不用寫過程）；
(2)假設(shè)代仕同學(xué)有點(diǎn)積分，該同學(xué)用完點(diǎn)積分的方式種數(shù)記為，求表達(dá)式；
(3)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．
【解析】（1）記用1積分購買簽字筆為，用2積分購買草稿本為，用2積分購買便利貼為，
由枚舉可知，該同學(xué)用完積分的方式如下：
，共有11種．
（2）對第一天使用積分購買的商品進(jìn)行分類：
①第一天買簽字筆，使用1積分，余下的積分在以后用完，種數(shù)為，
②第一天買草稿本或便利貼，使用2積分，余下的積分在以后用完，種數(shù)為，
所以，所以，
因?yàn)?，，所以?br>所以，因?yàn)椋?br>所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以．
（3）由題可知，
法一：易知當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
所以．
法二：易知當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以．
5．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求，的值.
(2)若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，證明：
（?。?；
（ⅱ）.
【解析】（1），
由題意可得，則，
又，切點(diǎn)在切線上，
所以，則，所以，解得；
（2）（?。┮?yàn)?，所以要證，即證
又，所以即證，
因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以可設(shè)，不等式化為，
設(shè)，則恒成立，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，
即在上恒成立，則原命題得證；
（ii）先證明，即證，
設(shè)，
則，
又設(shè)函數(shù)，則，所以時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，
所以，
所以，則在上單調(diào)遞增，
所以，則所證不等式成立，
因?yàn)?，所以，所以?br>又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，
故.
6．已知遞增數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，且，，，
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，證明：.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，其中，
由題意得：，所以，
所以（舍）或，代入原方程后可得，
于是得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由題可得，
由于時(shí)，，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
所以.
7．已知等差數(shù)列滿足，，為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：．
【解析】（1）由題意，可得，
則，
由，兩式相減得，
可得的公比，
進(jìn)而可得，
所以.
（2）由題設(shè)，為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，
且時(shí)，，
則，
所以，
則，
所以，
且時(shí)，，
而，
所以，
綜上，.
8．已知關(guān)于x的函數(shù)，其圖象與x軸相切．
(1)求fx的表達(dá)式；
(2)證明：；
(3)設(shè)數(shù)列，（），的前n項(xiàng)和為，證明：．
【解析】（1）函數(shù)的圖象與x軸相切，則得代入可得.
（2），則，
則得，得
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得證.
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以，即，，得證.
9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又，兩式相減得：
，
所以，
此時(shí)，
將代入得，
因此對也成立，
故的通項(xiàng)公式為，
（2）由（1）可知，
所以，又，
所以，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>即.
10．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為、且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明:.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，又，解得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
兩式相減可得，
所以，又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，
所以，所以奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
所以，
由，可得偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
11．已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點(diǎn)，且．
(1)求的周長；
(2)證明：為等比數(shù)列；
(3)證明：對任意正整數(shù)．
【解析】（1）因?yàn)閳A，圓與軸均相切，且圓的圓心坐標(biāo)為，
所以圓的半徑為，圓的半徑為．
又圓，圓均與半圓相內(nèi)切，圓與圓相外切，
所以，，．
所以的周長為：．
（2）依題意，有，，，
得即
消去得，
整理，得，
兩邊同時(shí)減去，得．
依題意，易得，所以，即．
所以．
所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為．
（3）由（2）得，．
令，則當(dāng)時(shí)，．
要證，即證，
即證．
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）
．
所以，
得證．
12．如圖所示，是拋物線上的一系列點(diǎn)，其中，記直線的斜率分別為.
(1)證明是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記的面積為，求；
(3)若.求證：.
注：中，若，則面積.
【解析】（1），同理，
由，得，又，
所以，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以．
（2）由（1）可得：，
令，則，同理，
所以，即．
（3）所以，
則
所以
13．已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足 .
(1)探究數(shù)列的單調(diào)性；
(2)證明： .
【解析】（1）數(shù)列為遞減數(shù)列，理由如下：
由題意可得，
則，
令函數(shù)，
則，
∴fx在上單調(diào)遞減，
則，令，
則，
，
即數(shù)列為遞減數(shù)列；
（2）令函數(shù)，
，
令函數(shù)，
則，當(dāng)時(shí)，h'x0時(shí)，h'x>0，
故hx在單調(diào)遞減，在0,+∞為單調(diào)遞增，
故，則，
，
，故在定義域上單調(diào)遞增，，
令，
則，
又，
.
當(dāng)時(shí)，
.
即，又時(shí)，.
所以.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187184190" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc187184190 \h 2
\l "_Tc187184191" 題型一：先求和后放縮 PAGEREF _Tc187184191 \h 2
\l "_Tc187184192" 題型二：裂項(xiàng)放縮 PAGEREF _Tc187184192 \h 5
\l "_Tc187184193" 題型三：等比放縮 PAGEREF _Tc187184193 \h 8
\l "_Tc187184194" 題型四：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184194 \h 10
\l "_Tc187184195" 題型五：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184195 \h 13
\l "_Tc187184196" 題型六：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184196 \h 15
\l "_Tc187184197" 題型七：型不等式的證明 PAGEREF _Tc187184197 \h 18
\l "_Tc187184198" 重難點(diǎn)突破：利用遞推關(guān)系進(jìn)行放縮 PAGEREF _Tc187184198 \h 20
\l "_Tc187184199" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc187184199 \h 25

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