新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,求數(shù)列的通項是數(shù)列中的最基本的題型,也是高考中的熱點,本專題總結(jié)求數(shù)列通項的18種類型,供大家參考.
等差數(shù)列求通項
若給出是等差數(shù)列,求,通常是利用方程思想整理出關于與的方程,解方程（組）,求出與,再利用通項公式求．
【例1】（2024屆貴州省六盤水市高三下學期三診）已知為等差數(shù)列,且,．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍．
【解析】（1）設數(shù)列 的公差為d,則根據(jù)題意可得,
解得,則．
（2）由（1）可知運用等差數(shù)列求和公式,得到,
又恒成立,則恒成立,
設,則,
當時,,即；
當時,,則,則；
則,故,
故實數(shù)λ的取值范圍為．
等比數(shù)列求通項
若給出是等比數(shù)列,求,通常是利用方程思想整理出關于與的方程,解方程（組）,求出與,再利用通項公式求．
【例2】（2024屆陜西省富平縣高三第二次模擬）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),前n項和為,且滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2n項和.
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為,由及,
得,
解得,于是,即,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知,,
所以
.
累加法求通項
若給出,且前項和可求,則可利用累加法求：,通常為等差數(shù)列、等比數(shù)列或可裂項求和的數(shù)列.
【例3】已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,數(shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)將數(shù)列的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列,求數(shù)列的通項公式；
(3)設數(shù)列的前項和為,證明：.
【解析】（1）由題意可知,即,故,
由,可得,
所以數(shù)列的公差,所以,
由,
疊加可得,
整理可得,當時,滿足上式,
所以；
（2）不妨設,即,可得,
當時,,不合題意,
當時,,
所以在數(shù)列中均存在公共項,
又因為,所以.
（3）當時,,結(jié)論成立,
當時,,
所以,
綜上所述,.
累乘法求通項
若給出,且前項乘積可求,則可利用累乘法求：,通常為等比數(shù)列或型的數(shù)列.
【例4】（2024屆新疆高三下學期第三次適應性檢測）若一個數(shù)列從第二項起,每一項和前一項的比值組成的新數(shù)列是一個等比數(shù)列,則稱這個數(shù)列是一個“二階等比數(shù)列”,如：1,3,27,729,…….已知數(shù)列是一個二階等比數(shù)列,,,.
(1)求的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設,由題意得數(shù)列是等比數(shù)列,,,
則,即,
由累乘法得：,
于是,故,
也滿足,所以.
（2）由（1）得
,
令,則,
∴
.
利用與的關系,把條件化為與的關系式求通項
任何一個數(shù)列,它的前n項和Sn與通項an都存在關系：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 若a1適合Sn－Sn－1,則應把它們統(tǒng)一起來,否則就用分段函數(shù)表示．
【例5】（2024屆吉林省吉林地區(qū)普通高中高三四模）已知數(shù)列的前項和為,且.
(1)求實數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當時,,,
,
當時,,
整理得,
數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,；
（2）,
①,
②,
①②得
.
利用與的關系,把條件化為與的關系式求通項
在利用與的關系求時,有時不方便把條件化為與的關系式,這是可先把條件化為與的關系式,求出,再求.
【例6】已知數(shù)列的前n項和為,且．
(1)求；
(2)數(shù)列的每一項均為正數(shù),,數(shù)列的前n項和為,當時,求n的最小值．
【解析】（1）當時,,
當時,,
所以,所以（常數(shù)）,
故數(shù)列是以為首項,2為公差的等差數(shù)列．
所以
當時,也適合,
所以.
（2）由（1）知,,得
所以
,
當時,即,所以n的最小值為2024．
(七)根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列,求
若數(shù)列為等差數(shù)列,則都是等差數(shù)列,可分別求通項,再看能否合并．
【例7】（2024屆山東省青島第五十八中學高三下學期二模）已知數(shù)列滿足,且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,若,求的最小值.
【解析】（1）數(shù)列中,,,當時,,
則,由,得,
當為正奇數(shù)時,數(shù)列是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,
則,即,
當為偶奇數(shù)時,數(shù)列是首項為5,公差為4的等差數(shù)列,
則,即,即,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知,顯然數(shù)列是首項為,公比的等比數(shù)列,
則,由,得,整理得,
而數(shù)列是遞增數(shù)列,,因此,
所以的最小值為5.
(八)根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列,求
數(shù)列為等比數(shù)列,則都是等比數(shù)列,可分別求通項,再看能否合并．
【例8】（2024屆河北省滄州市部分示范性高中高三下學期三模）已知數(shù)列滿足,,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,求證：.
【解析】（1）,,,
,兩式相除,得,
當, ,即；
當, ,即,
綜上所述,數(shù)列的通項公式為；
（2）,
,
又,
.
(九)利用求
給出或,通常通過取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列.
【例9】數(shù)列{}中=1,=,求.
【解析】∵=,∴==+,
∴{}是首項為1,公差為的等差數(shù)列,∴ =1+（n-1）=,=.
【例10】（2024屆四川省大數(shù)據(jù)精準教學聯(lián)盟高三第二次統(tǒng)一監(jiān)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
【解析】（1）由知，若，則，若，則．
又，所以．
由，可得即（常數(shù)），
故是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
當時，，則．
所以
，
所以，
當時，也滿足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
（十）構(gòu)造-=d型數(shù)列求通項
【例11】已知數(shù)列滿足且.
(1)求的通項公式.
(2)設的前項和為，表示不大于的最大整數(shù).
①求；
②證明：當時，為定值.
【解析】（1）由，則，即，
則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，
故，即；
（2）①由，則，
，
則
，
故；
②令，則，
則，
故數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，又，
故當時，，故，
即當時，恒成立，即為定值.
（十一）構(gòu)造-=d型數(shù)列求通項
【例12】數(shù)列{}中=2,=+1+,求
【解析】=+1+可化為1+4 =（1+4）+4+4=（+2）2,
∴=+2
∴{}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,
∴=3+2（n-1）=2n+1,=n2+n.
(十二)取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如,通常兩邊取對數(shù),構(gòu)造等比數(shù)列.
【例13】若,,求.
【解析】因為,所以,
因為,所以,
所以,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,
所以,
所以.
(十三)根據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如的數(shù)列求通項,一般可變形為,若,,則數(shù)列是公比為p的等比數(shù)列.
【例14】（2024屆山東省煙臺招遠市高考三模）在數(shù)列中,已知,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若,為數(shù)列的前n項和,證明：.
【解析】（1）由可得,則,即,
故是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
故,則,.
（2）.
易得,故.
又,
故
.綜上有,即得證.
(十四) 根據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如的數(shù)列,可先兩邊同時除以,得,把看成數(shù)列,就是類型.
【例15】已知,求.
【解析】因為,所以,
所以,
因為,所以數(shù)列是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,
所以,所以.
(十五) 根據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如的數(shù)列求通項,通常設,求出,若,則可根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項.
【例16】（2024屆四川省宜賓市高三適應性考試）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,若對于任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題可知：,又,
故是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,,即.
（2）,
,且當趨于時,趨近于1,
所以由恒成立,可知,解得.
(十六)構(gòu)造雙等比數(shù)列求通項.
形如的數(shù)列,可設,則,求出的兩組值,構(gòu)造兩個等比數(shù)列求.
【例17】若,求.
【解析】設,則,所以或,
當時,
因為,
所以,
當時,
因為,
所以,
與相減得.
(十七)分段數(shù)列求通項
分段數(shù)列,?？嫉氖瞧鏀?shù)項與偶數(shù)項分為特殊數(shù)列,求解關鍵是分n為偶數(shù)與奇數(shù)討論.
【例18】已知數(shù)列滿足且．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)求數(shù)列的前100項和．
【解析】（1）由題意,得當時,,①
．②
將①代入②,得,所以是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,
所以．
又因為,
所以,所以．
令,則,而,,
所以是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以,所以．
所以．
（2）
．
(十八)兩個數(shù)列的公共項組成的新數(shù)列的通項求法
兩個遞增的等差數(shù)列的公共項組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列,若公差為原來兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù),對于其他數(shù)列，，通常是根據(jù)確定使都為正整數(shù)的條件.
【例19】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)將數(shù)列的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；
(3)設數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】由題意可知，即，故，
由，可得，
所以數(shù)列的公差，所以，
由，
疊加可得，
整理可得，當時，滿足上式，
所以；
（2）不妨設，即，可得，
當時，，不合題意，
當時，，
所以在數(shù)列中均存在公共項，
又因為，所以.
（3）當時，，結(jié)論成立，
當時，，
所以，
綜上所述，.
【例1】（2024屆重慶市九龍坡區(qū)高三下學期第三次質(zhì)量抽測）已知是等差數(shù)列的前項和,,數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列,且,.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設,求使取得最大值時的值.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,
則,解得,
所以,設等比數(shù)列的公比為,
則,解得,所以；
（2）由（1）得,
則,
,
當時,,
當時,,
當時,,
所以當或時,取得最大值.
【例2】已知數(shù)列滿足：,,.
(1)證明：是等差數(shù)列,并求的通項公式；
(2)設,若數(shù)列是遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因為,所以為常數(shù),
又,所以數(shù)列是公差為,首項為的等差數(shù)列.
所以,
當時,,
所以,又,所以,又,滿足,
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知,因為數(shù)列是遞增數(shù)列,
所以,對恒成立,
得到對恒成立,所以.
【例3】（2024屆陜西省安康市高新中學高三高考模擬）記為數(shù)列的前項和,已知.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）解：由,可得,所以,
又由,所以,所以數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
所以,則,
當時,,所以,
又當時,滿足上式,
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知當為奇數(shù)時,；
當為偶數(shù)時,,
所以
【例4】（2024屆湖南省邵陽市高三第三次聯(lián)考）已知數(shù)列,,函數(shù),其中,均為實數(shù)．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（ⅱ）設數(shù)列的前項和為,求證：．
(2)若為奇函數(shù),,,且,問：當時,是否存在整數(shù),使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,請說明理由．（附：,）
【解析】（1）（?。?,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2為公比,2為首項的等比數(shù)列．
．
（ⅱ）令,則,
．
顯然,當時,是遞增數(shù)列,在時,單調(diào)遞減,
可得,．
．
（2）為奇函數(shù),
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上為增函數(shù),
當時,,；
,
．
當時,．
時,,又,
當時,,．
又,的最大值為5．
【例5】（2024屆江蘇省蘇州市高三下學期第三次模擬）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換,記為一次操作．重復進行次操作后,記甲盒子中黑球個數(shù)為,甲盒中恰有1個黑球的概率為,恰有2個黑球的概率為．
(1)求隨機變量的分布列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)求證：．
【解析】（1）由題可知的可能取值為0,1,2,
根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到：即為甲盒中拿黑球乙盒中拿紅球交換,即為甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交換或甲盒中拿紅球乙盒中拿紅球交換,即為甲盒中拿紅球乙盒中拿黑球交換,則
,
的分布列為：
（2）由全概率公式可知：
,
即,即,,
又,
所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,
,
即的通項公式；
（3）
,
所以
得證.
1. （2024屆天津市南開區(qū)高三下學期質(zhì)量監(jiān)測二）已知是等差數(shù)列,公差,,且是與的等比中項.
(1)求的通項公式
(2)數(shù)列滿足,且.
（?。┣蟮那皀項和.
（ⅱ）是否存在正整數(shù)m,n（）,使得,,成等差數(shù)列,若存在,求出m,n的值；若不存在,請說明理由.
2．設正項數(shù)列的前項和為,并且對于所有的正整數(shù),與1的等差中項等于與1的等比中項．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)設數(shù)列的通項,記是數(shù)列的前項和,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論．
3．（2024屆湖南省岳陽市湘陰縣第一中學高三下學期期中）設數(shù)列的前項和為,且．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)設數(shù)列滿足,且數(shù)列的前項和為,求證：．
4．（2024屆湖南省岳陽市岳汨聯(lián)考高三下學期5月月考）已知等差數(shù)列滿足（）,數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列,記數(shù)列的前n項和為,求．
5．（2024屆安徽省合肥一六八中學高三最后一卷）已知數(shù)列滿足,且對任意均有．
(1)設,證明為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)已知,求．
6．（2024屆湖南省衡陽市祁東縣高三下學期考前仿真聯(lián)考）已知正項數(shù)列的前項和為,首項.
(1)若,求數(shù)列的通項公式；
(2)若函數(shù),正項數(shù)列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
7．（2024屆江蘇省揚州市高三下學期高考考前調(diào)研）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為,且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
8．（2024屆江蘇省宿遷市高三下學期三模）在數(shù)列中,．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足；
①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
②若,設數(shù)列的前n項和為,求證：．
9．（2024屆江蘇省蘇州大學高三下學期高考考前）已知數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記,求數(shù)列的前項和.
10．（2024屆天津市河西區(qū)高三下學期質(zhì)量調(diào)查三）已知遞增數(shù)列的前n項和為,且,．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設．
（?。┣髷?shù)列的通項公式；
（ⅱ）求．
11．（2024屆陜西省渭南市瑞泉中學高三第六次質(zhì)量檢測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
12．（2024屆山東省齊魯名校聯(lián)盟高三下學期考前質(zhì)量檢測）設數(shù)列滿足,且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
13．（2024屆江蘇省泰州市高三第四次調(diào)研）已知數(shù)列和滿足：.
(1)設求的值；
(2)設求數(shù)列的通項公式；
(3)設證明：______.
請從下面①,②兩個選項中,任選一個補充到上面問題中,并給出證明.
①；②其中.
注：若兩個問題均作答,則按第一個計分.
14．（2024屆江西省贛州市高三下學期5月適應性考試）已知數(shù)列滿足,,,成等差數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項公式；
(2)記的前n項和為,證明：.
15．（2024屆河北省衡水中學高三下學期押題卷）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,證明：.
16.（2024屆天津市八校高三下學期聯(lián)考）已知為等差數(shù)列,是公比為2的等比數(shù)列．,且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若
①當為奇數(shù),求；
②求．0
1
2
專題2 數(shù)列通項的求法
新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,求數(shù)列的通項是數(shù)列中的最基本的題型,也是高考中的熱點,本專題總結(jié)求數(shù)列通項的18種類型,供大家參考.
等差數(shù)列求通項
若給出是等差數(shù)列,求,通常是利用方程思想整理出關于與的方程,解方程（組）,求出與,再利用通項公式求．
【例1】（2024屆貴州省六盤水市高三下學期三診）已知為等差數(shù)列,且,．
(1)求的通項公式；
(2)若恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍．
【解析】（1）設數(shù)列 的公差為d,則根據(jù)題意可得,
解得,則．
（2）由（1）可知運用等差數(shù)列求和公式,得到,
又恒成立,則恒成立,
設,則,
當時,,即；
當時,,則,則；
則,故,
故實數(shù)λ的取值范圍為．
等比數(shù)列求通項
若給出是等比數(shù)列,求,通常是利用方程思想整理出關于與的方程,解方程（組）,求出與,再利用通項公式求．
【例2】（2024屆陜西省富平縣高三第二次模擬）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),前n項和為,且滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2n項和.
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為,由及,
得,
解得,于是,即,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知,,
所以
.
累加法求通項
若給出,且前項和可求,則可利用累加法求：,通常為等差數(shù)列、等比數(shù)列或可裂項求和的數(shù)列.
【例3】已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,數(shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)將數(shù)列的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列,求數(shù)列的通項公式；
(3)設數(shù)列的前項和為,證明：.
【解析】（1）由題意可知,即,故,
由,可得,
所以數(shù)列的公差,所以,
由,
疊加可得,
整理可得,當時,滿足上式,
所以；
（2）不妨設,即,可得,
當時,,不合題意,
當時,,
所以在數(shù)列中均存在公共項,
又因為,所以.
（3）當時,,結(jié)論成立,
當時,,
所以,
綜上所述,.
累乘法求通項
若給出,且前項乘積可求,則可利用累乘法求：,通常為等比數(shù)列或型的數(shù)列.
【例4】（2024屆新疆高三下學期第三次適應性檢測）若一個數(shù)列從第二項起,每一項和前一項的比值組成的新數(shù)列是一個等比數(shù)列,則稱這個數(shù)列是一個“二階等比數(shù)列”,如：1,3,27,729,…….已知數(shù)列是一個二階等比數(shù)列,,,.
(1)求的通項公式；
(2)設,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）設,由題意得數(shù)列是等比數(shù)列,,,
則,即,
由累乘法得：,
于是,故,
也滿足,所以.
（2）由（1）得
,
令,則,
∴
.
利用與的關系,把條件化為與的關系式求通項
任何一個數(shù)列,它的前n項和Sn與通項an都存在關系：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 若a1適合Sn－Sn－1,則應把它們統(tǒng)一起來,否則就用分段函數(shù)表示．
【例5】（2024屆吉林省吉林地區(qū)普通高中高三四模）已知數(shù)列的前項和為,且.
(1)求實數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當時,,,
,
當時,,
整理得,
數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,；
（2）,
①,
②,
①②得
.
利用與的關系,把條件化為與的關系式求通項
在利用與的關系求時,有時不方便把條件化為與的關系式,這是可先把條件化為與的關系式,求出,再求.
【例6】已知數(shù)列的前n項和為,且．
(1)求；
(2)數(shù)列的每一項均為正數(shù),,數(shù)列的前n項和為,當時,求n的最小值．
【解析】（1）當時,,
當時,,
所以,所以（常數(shù)）,
故數(shù)列是以為首項,2為公差的等差數(shù)列．
所以
當時,也適合,
所以.
（2）由（1）知,,得
所以
,
當時,即,所以n的最小值為2024．
(七)根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列,求
若數(shù)列為等差數(shù)列,則都是等差數(shù)列,可分別求通項,再看能否合并．
【例7】（2024屆山東省青島第五十八中學高三下學期二模）已知數(shù)列滿足,且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,若,求的最小值.
【解析】（1）數(shù)列中,,,當時,,
則,由,得,
當為正奇數(shù)時,數(shù)列是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,
則,即,
當為偶奇數(shù)時,數(shù)列是首項為5,公差為4的等差數(shù)列,
則,即,即,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知,顯然數(shù)列是首項為,公比的等比數(shù)列,
則,由,得,整理得,
而數(shù)列是遞增數(shù)列,,因此,
所以的最小值為5.
(八)根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列,求
數(shù)列為等比數(shù)列,則都是等比數(shù)列,可分別求通項,再看能否合并．
【例8】（2024屆河北省滄州市部分示范性高中高三下學期三模）已知數(shù)列滿足,,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,求證：.
【解析】（1）,,,
,兩式相除,得,
當, ,即；
當, ,即,
綜上所述,數(shù)列的通項公式為；
（2）,
,
又,
.
(九)利用求
給出或,通常通過取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列.
【例9】數(shù)列{}中=1,=,求.
【解析】∵=,∴==+,
∴{}是首項為1,公差為的等差數(shù)列,∴ =1+（n-1）=,=.
【例10】（2024屆四川省大數(shù)據(jù)精準教學聯(lián)盟高三第二次統(tǒng)一監(jiān)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求證：．
【解析】（1）由知，若，則，若，則．
又，所以．
由，可得即（常數(shù)），
故是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
當時，，則．
所以
，
所以，
當時，也滿足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
（十）構(gòu)造-=d型數(shù)列求通項
【例11】已知數(shù)列滿足且.
(1)求的通項公式.
(2)設的前項和為，表示不大于的最大整數(shù).
①求；
②證明：當時，為定值.
【解析】（1）由，則，即，
則數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，
故，即；
（2）①由，則，
，
則
，
故；
②令，則，
則，
故數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，又，
故當時，，故，
即當時，恒成立，即為定值.
（十一）構(gòu)造-=d型數(shù)列求通項
【例12】數(shù)列{}中=2,=+1+,求
【解析】=+1+可化為1+4 =（1+4）+4+4=（+2）2,
∴=+2
∴{}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,
∴=3+2（n-1）=2n+1,=n2+n.
(十二)取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如,通常兩邊取對數(shù),構(gòu)造等比數(shù)列.
【例13】若,,求.
【解析】因為,所以,
因為,所以,
所以,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,
所以,
所以.
(十三)根據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如的數(shù)列求通項,一般可變形為,若,,則數(shù)列是公比為p的等比數(shù)列.
【例14】（2024屆山東省煙臺招遠市高考三模）在數(shù)列中,已知,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若,為數(shù)列的前n項和,證明：.
【解析】（1）由可得,則,即,
故是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
故,則,.
（2）.
易得,故.
又,
故
.綜上有,即得證.
(十四) 根據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如的數(shù)列,可先兩邊同時除以,得,把看成數(shù)列,就是類型.
【例15】已知,求.
【解析】因為,所以,
所以,
因為,所以數(shù)列是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,
所以,所以.
(十五) 根據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項
形如的數(shù)列求通項,通常設,求出,若,則可根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項.
【例16】（2024屆四川省宜賓市高三適應性考試）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,若對于任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題可知：,又,
故是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,,即.
（2）,
,且當趨于時,趨近于1,
所以由恒成立,可知,解得.
(十六)構(gòu)造雙等比數(shù)列求通項.
形如的數(shù)列,可設,則,求出的兩組值,構(gòu)造兩個等比數(shù)列求.
【例17】若,求.
【解析】設,則,所以或,
當時,
因為,
所以,
當時,
因為,
所以,
與相減得.
(十七)分段數(shù)列求通項
分段數(shù)列,常考的是奇數(shù)項與偶數(shù)項分為特殊數(shù)列,求解關鍵是分n為偶數(shù)與奇數(shù)討論.
【例18】已知數(shù)列滿足且．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)求數(shù)列的前100項和．
【解析】（1）由題意,得當時,,①
．②
將①代入②,得,所以是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,
所以．
又因為,
所以,所以．
令,則,而,,
所以是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以,所以．
所以．
（2）
．
(十八)兩個數(shù)列的公共項組成的新數(shù)列的通項求法
兩個遞增的等差數(shù)列的公共項組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列,若公差為原來兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù),對于其他數(shù)列，，通常是根據(jù)確定使都為正整數(shù)的條件.
【例19】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)將數(shù)列的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；
(3)設數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】由題意可知，即，故，
由，可得，
所以數(shù)列的公差，所以，
由，
疊加可得，
整理可得，當時，滿足上式，
所以；
（2）不妨設，即，可得，
當時，，不合題意，
當時，，
所以在數(shù)列中均存在公共項，
又因為，所以.
（3）當時，，結(jié)論成立，
當時，，
所以，
綜上所述，.
【例1】（2024屆重慶市九龍坡區(qū)高三下學期第三次質(zhì)量抽測）已知是等差數(shù)列的前項和,,數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列,且,.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設,求使取得最大值時的值.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為,
則,解得,
所以,設等比數(shù)列的公比為,
則,解得,所以；
（2）由（1）得,
則,
,
當時,,
當時,,
當時,,
所以當或時,取得最大值.
【例2】已知數(shù)列滿足：,,.
(1)證明：是等差數(shù)列,并求的通項公式；
(2)設,若數(shù)列是遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因為,所以為常數(shù),
又,所以數(shù)列是公差為,首項為的等差數(shù)列.
所以,
當時,,
所以,又,所以,又,滿足,
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知,因為數(shù)列是遞增數(shù)列,
所以,對恒成立,
得到對恒成立,所以.
【例3】（2024屆陜西省安康市高新中學高三高考模擬）記為數(shù)列的前項和,已知.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）解：由,可得,所以,
又由,所以,所以數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
所以,則,
當時,,所以,
又當時,滿足上式,
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知當為奇數(shù)時,；
當為偶數(shù)時,,
所以
【例4】（2024屆湖南省邵陽市高三第三次聯(lián)考）已知數(shù)列,,函數(shù),其中,均為實數(shù)．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（ⅱ）設數(shù)列的前項和為,求證：．
(2)若為奇函數(shù),,,且,問：當時,是否存在整數(shù),使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,請說明理由．（附：,）
【解析】（1）（?。?,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2為公比,2為首項的等比數(shù)列．
．
（ⅱ）令,則,
．
顯然,當時,是遞增數(shù)列,在時,單調(diào)遞減,
可得,．
．
（2）為奇函數(shù),
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上為增函數(shù),
當時,,；
,
．
當時,．
時,,又,
當時,,．
又,的最大值為5．
【例5】（2024屆江蘇省蘇州市高三下學期第三次模擬）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換,記為一次操作．重復進行次操作后,記甲盒子中黑球個數(shù)為,甲盒中恰有1個黑球的概率為,恰有2個黑球的概率為．
(1)求隨機變量的分布列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)求證：．
【解析】（1）由題可知的可能取值為0,1,2,
根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到：即為甲盒中拿黑球乙盒中拿紅球交換,即為甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交換或甲盒中拿紅球乙盒中拿紅球交換,即為甲盒中拿紅球乙盒中拿黑球交換,則
,
的分布列為：
（2）由全概率公式可知：
,
即,即,,
又,
所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,
,
即的通項公式；
（3）
,
所以
得證.
1. （2024屆天津市南開區(qū)高三下學期質(zhì)量監(jiān)測二）已知是等差數(shù)列,公差,,且是與的等比中項.
(1)求的通項公式
(2)數(shù)列滿足,且.
（?。┣蟮那皀項和.
（ⅱ）是否存在正整數(shù)m,n（）,使得,,成等差數(shù)列,若存在,求出m,n的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）因為為等差數(shù)列,且,所以．
又是與的等比中項,所以,即．
化簡得,解得或（舍）,
所以．
（2）（i）由,得,所以（）,又,
當時,
,
又也適合上式,所以,
則,
所以．
（ⅱ）假設存在正整數(shù)m,n,使得,,成等差數(shù)列,
則,即,整理得,
顯然是25的正約數(shù),又,則或,
當,即時,與矛盾；
當,即時,,符合題意,
所以存在正整數(shù)使得,,成等差數(shù)列,此時,．
2．設正項數(shù)列的前項和為,并且對于所有的正整數(shù),與1的等差中項等于與1的等比中項．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)設數(shù)列的通項,記是數(shù)列的前項和,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論．
【解析】（1）因為與1的等差中項等于與1的等比中項,為正項數(shù)列,
所以,即,
當時,由,解得；
當時,,即,
,
,．
即是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,因此,．
（2）因為,
∴,則
令,
則．
∴是遞增數(shù)列,于是,
從而,即．
3．（2024屆湖南省岳陽市湘陰縣第一中學高三下學期期中）設數(shù)列的前項和為,且．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)設數(shù)列滿足,且數(shù)列的前項和為,求證：．
【解析】（1）依題意,由,可得,
當時,,解得,
當時,,
整理,得,,
∴數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴；
（2）依題意及（1）,由可得,
則,
,
兩式相減,可得
,
∴,故得證．
4．（2024屆湖南省岳陽市岳汨聯(lián)考高三下學期5月月考）已知等差數(shù)列滿足（）,數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列,記數(shù)列的前n項和為,求．
【解析】（1）,①,（）,②,
得：,
∵為等差數(shù)列,∴,,
,即,
∴,
因為數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,,
即,解得：,
所以；
（2）由（1）可知,,,
且數(shù)列和中的項由小到大組成新的數(shù)列,
其中,,此時,
所以數(shù)列中數(shù)列有項,數(shù)列有項,
,
．
5．（2024屆安徽省合肥一六八中學高三最后一卷）已知數(shù)列滿足,且對任意均有．
(1)設,證明為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)已知,求．
【解析】（1）因為,,令,
所以當時,,即,
所以,
所以為等差數(shù)列.
（2）由（1）知,,
所以,
即,
所以
,,
所以,,
再由,令,可得,
即,解得,
所以,,
當時,,滿足上式.
所以數(shù)列的通項公式為.
（3）因為,
所以,
設,
則,
,
所以,,
所以.
6．（2024屆湖南省衡陽市祁東縣高三下學期考前仿真聯(lián)考）已知正項數(shù)列的前項和為,首項.
(1)若,求數(shù)列的通項公式；
(2)若函數(shù),正項數(shù)列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
【解析】（1）正項數(shù)列中,,,,當時,,
兩式相減得,即,
而,則,因此數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）（i）令,求導得,當時,,當時,,
即函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,即,
于是,
即,即,
當時,,
當時,因此,
所以
（ii）由已知,所以,得,
當時,,于是,
當時,,
又,所以,恒有,當時,,
由,得當時,,
則當時,,
從而
,
于是,
所以.
7．（2024屆江蘇省揚州市高三下學期高考考前調(diào)研）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為,且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為①,所以②,③,
由③得：,所以,
②-①得：,整理得：,
又因為各項均為正數(shù),所以,
所以是公差的等差數(shù)列,．
（2）由（1）,,
所以,
所以．
8．（2024屆江蘇省宿遷市高三下學期三模）在數(shù)列中,．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足；
①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
②若,設數(shù)列的前n項和為,求證：．
【解析】（1）因為,
所以,所以,
所以,
因為,所以n=1時,,
所以數(shù)列是各項為0的常數(shù)列,即,
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得,所以
即
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
②當時,由得,所以,
又,故的公差為1,所以,
所以,
即
．
9．（2024屆江蘇省蘇州大學高三下學期高考考前）已知數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）因為,即
所以時,
,
所以（）,
又,所以.
（2）因為,
所以
.
10．（2024屆天津市河西區(qū)高三下學期質(zhì)量調(diào)查三）已知遞增數(shù)列的前n項和為,且,．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設．
（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（ⅱ）求．
【解析】（1）因為,當時,,則；
當時,,則,即,
而為遞增數(shù)列,故,
即為首項為2,公差為2的等差數(shù)列,
故；
（2）（i）,
所以,
,
兩式相加可得,
故數(shù)列的通項公式為；
（ii）,
故.
11．（2024屆陜西省渭南市瑞泉中學高三第六次質(zhì)量檢測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.
(1)求的通項公式；
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當時,,解出,又,則；
當時,由兩式相減得,兩邊同時除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
當時,,滿足,因此；
（2）由（1）可知,,則,
兩邊同時乘以得,,
錯位相減得,
即
整理得,.
12．（2024屆山東省齊魯名校聯(lián)盟高三下學期考前質(zhì)量檢測）設數(shù)列滿足,且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【解析】（1）由題易知,且,
所以,
所以,
所以也滿足該式,
所以．
（2）,①
,②
②-①,得．
設,③
則,④
④-③,得,
所以．
13．（2024屆江蘇省泰州市高三第四次調(diào)研）已知數(shù)列和滿足：.
(1)設求的值；
(2)設求數(shù)列的通項公式；
(3)設證明：______.
請從下面①,②兩個選項中,任選一個補充到上面問題中,并給出證明.
①；②其中.
注：若兩個問題均作答,則按第一個計分.
【解析】（1）令得
因為所以.
（2）因為所以
因為所以
即
因為所以
所以數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,
所以,所以.
（3）若選①,
因為當且僅當時等號成立,
所以所以
因為所以
即
所以故．
所以
即.
若選②,
因為所以．
當時,有
.
所以
,
即
14．（2024屆江西省贛州市高三下學期5月適應性考試）已知數(shù)列滿足,,,成等差數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項公式；
(2)記的前n項和為,證明：.
【解析】（1）由,,成等差數(shù)列可得：,
因為,可得,所以兩邊同時除以得：,
上式可化為：
所以數(shù)列表示是以為首項,3為公比的等比數(shù)列
所以,即
（2）因為
所以
又因為
所以,
（當n＝1時等號成立）,
綜上可知：.
15．（2024屆河北省衡水中學高三下學期押題卷）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設,數(shù)列的前項和為,證明：.
【解析】（1）由題意,得,
即,即①,
所以②,
①-②,得,
即.
又,所以.
由是與的等差中項,得當時,
,解得,
所以是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
故.
（2）由（1）得,則
,
所以
,
所以,
所以.
16.（2024屆天津市八校高三下學期聯(lián)考）已知為等差數(shù)列,是公比為2的等比數(shù)列．,且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若
①當為奇數(shù),求；
②求．
【解析】（1）設數(shù)列的公差為的公比為,
由已知可得,得,
；
（2）①為奇數(shù),為偶數(shù)．

；
②當為偶數(shù),為奇數(shù),
令,
,
即,
,
所以
所以
所以
所以.
0
1
2

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