一、單選題
1．記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
2．記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120B．85C．D．
3．已知正項等比數(shù)列中，為前n項和，，則（ ）
A．7B．9C．15D．30
4．記數(shù)列的前項和為，若等差數(shù)列的首項為5，第4項為8，則（ ）
A．14B．23C．32D．140
5．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．3B．6C．9D．12
6．已知等比數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．18B．54C．128D．192
7．已知等比數(shù)列滿足，公比，則（ ）
A．32B．64C．128D．256
8．已知正項等比數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．
9．等差數(shù)列中的前項和分別為，則（ ）
A．B．C．D．
10．等比數(shù)列的首項，公比為，數(shù)列滿足（是正整數(shù)），若當(dāng)且僅當(dāng)時，的前項和取得最大值，則取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．已知數(shù)列的前 n 項和 ，不等式 對任意恒成立， 則實數(shù)m的最大值為（ ）
A．4B．6C．8D．2
12．在中，角所對的邊分別是，且為的等差中項，則角最大值是（ ）
A．B．C．D．
13．已知數(shù)列的前項和為，且，若恒成立，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
14．已知正項等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足，則使得不等式成立的的最小值為（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
15．已知數(shù)列的前項和，，且，若，（其中），則的最小值是（ ）
A．4B．2C．2023D．
16．已知數(shù)列滿（），且對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
17．已知數(shù)列通項公式為，若對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
18．如圖，有一臺搟面機共有10對軋輥，所有軋輥的半徑r都是mm，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出，每對軋輥都將面帶的厚度壓縮為輸入該對軋輥時的0.8倍（整個過程中面帶寬度不變，且不考慮損耗）.若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在面帶上壓出一個疵點，則在搟面機最終輸出的面帶上，相鄰疵點的間距（ ）

A．mmB．mm
C．mmD．mm
19．剛考入大學(xué)的小明準備向銀行貸款元購買一臺筆記本電腦，然后上學(xué)的時通過勤工儉學(xué)來分期還款．小明與銀行約定：每個月還一次款，分10次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為．則小明每個月所要還款的錢數(shù)為（ ）元．
A．B．C．D．
20．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！保S著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)境保護意識日益增強，貴州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，貴州省環(huán)保部門為了保護好貴州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．7B．8C．9D．10
二、填空題
21．記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差 ．
22．記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為 ．
23．某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折次，那么 .
24．若是公差不為0的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，，為的前n（）項和，則的值為 ．
25．已知正項等差數(shù)列的前項和為，若成等比數(shù)列，則的最小值為 ．
26．已知等差數(shù)列前項和，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差 .
27．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，是等比數(shù)列，滿足，則 .
28．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前三項分別為1，2，6，則數(shù)列的通項公式為 ．
29．已知數(shù)列的前n項和為，且，其中k，b不同時為0．給出下列四個結(jié)論：
①當(dāng)時，為等比數(shù)列；
②當(dāng)時，一定不是等差數(shù)列；
③當(dāng)時，為常數(shù)列；
④當(dāng)時，是單調(diào)遞增數(shù)列．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
30．已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為 .
31．已知數(shù)列的前n項和滿足，，且，若數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列與的公共項按從小到大的順序排列得到數(shù)列，則的前n項和為 ．
32．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，...，設(shè)第層有個球，則 .

33．?dāng)?shù)列的前項和為，若，則 ．
34．已知數(shù)列的前項和，．若是等差數(shù)列，則的通項公式為 ．
35．已知等比數(shù)列的前項和，且，則數(shù)列的通項公式為 ．
36．若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，則稱為“牛頓數(shù)列”.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，其中，則 .
37．把個位?十位?百位上的數(shù)依次成等差數(shù)列（公差小于0）的三位數(shù)稱為“下階梯數(shù)”，則所有的“下階梯數(shù)”共有 個.
38．已知數(shù)列滿足.給出定義：使數(shù)列的前項和為正整數(shù)的叫做“好數(shù)”，則在內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為 .
39．已知數(shù)列共有10項，且，若，則符合條件的不同數(shù)列有 個．
40．平面上有個圓，每兩個圓都相交于兩點，且任三個圓都不共點，若個圓將平面分成的部分為，則與的關(guān)系為 ．
41．已知數(shù)列6，9，14，21，30，…，對于任意的正整數(shù)與之間滿足關(guān)系式： .
42．如圖，一個粒子從原點出發(fā)，在第一象限和兩坐標(biāo)軸正半軸上運動，在第一秒時它從原點運動到點，接著它按圖所示在軸?軸的垂直方向上來回運動，且每秒移動一個單位長度，那么，在2022秒時，這個粒子所處的位置在點 .
三、解答題
43．記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
44．記為等差數(shù)列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
45．?dāng)?shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.
(1)求可能值；
(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：
(3)若成立，求數(shù)列的通項公式.
46．設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
47．已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；
（2）求的前20項和.
48．已知數(shù)列滿足，
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若將數(shù)列中滿足的項，稱為數(shù)列中的相同項，將數(shù)列的前40項中所有的相同項都剔除，求數(shù)列的前40項中余下項的和.
49．已知數(shù)列的前n項和為，若，.記判斷是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請說明理由.
50．已知數(shù)列滿足：，，，.證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項；
51．在數(shù)列中，，.求證：為等差數(shù)列；
52．設(shè)是數(shù)列的前n項和，已知，
(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)證明：當(dāng)時，.
53．已知數(shù)列的前n項和為，，，且，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列．
(2)判斷是否存在正整數(shù)p，q，r（）使得，，成等差數(shù)列．若存在，求出p，q，r的一組值；若不存在，請說明理由．
54．（1）已知數(shù)列滿足，，求的通項．
（2）數(shù)列中，，（n為正整數(shù)），求．
55．已知數(shù)列的前項和為，，，．
(1)寫出數(shù)列的前4項；
(2)求出數(shù)列的通項公式．
56．已知數(shù)列滿足（），且，求數(shù)列的通項公式．
57．在數(shù)列中，，且，求.
58．設(shè)數(shù)列中，， （其中為常數(shù)），求．
59．已知數(shù)列滿足：求通項.
60．設(shè)正項數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
61．已知數(shù)列中，，求的通項公式．
62．已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
63．已知數(shù)列滿足，，.若，求數(shù)列的通項公式.
64．在數(shù)列中，．
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．
(2)若，求數(shù)列的前項和．
65．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，（）.
(1)求，的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項和；
(3)求證：（）.
66．記為數(shù)列的前項和，已知：，（）．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)求和：．
67．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和記為，，且（為常數(shù)）.
(1)若構(gòu)成等比數(shù)列，求的值；
(2)若，且恒成立，求實數(shù)的最小值.
68．已知等比數(shù)列的前項和為，各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)分別求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
69．已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，，求數(shù)列的前n項和．
70．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，前n項和，數(shù)列滿足.
(1)求p的值及通項；
(2)求和.
71．已知數(shù)列的前n項和為，___________，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列，當(dāng)時，，.記數(shù)列的前n項和為，求.
在下面三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.
①；②；③.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
72．已知正項數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求；
(2)在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．
73．已知數(shù)列滿足，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
74．某電視頻道在一天內(nèi)有x次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條以及余下的條的，第2次播放了2條以及余下的，第3次播放了3條以及余下的，以后每次按此規(guī)律插播廣告，在第次播放了余下的x條．
(1)設(shè)第次播放后余下條，這里，，求與的遞推關(guān)系式．
(2)求這家電視臺這一天播放廣告的時段x與廣告的條數(shù)y．
75．阿司匹林（分子式，分子質(zhì)量180）對血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風(fēng)險.對于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小時服用200.阿司匹林口服后經(jīng)胃腸道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解為主要代謝產(chǎn)物水楊酸（分子式，分子質(zhì)量138），降解過程生成的水楊酸的質(zhì)量為阿司匹林質(zhì)量的，水楊酸的清除半衰期（一般用物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述衰減情況，這個時間被稱作半衰期）約為12小時.（考慮所有阿司匹林都降解為水楊酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位）；
(2)證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會超過230.
76．甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．
(1)試用，表示，．
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．
參考答案：
1．C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
2．C
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．
3．C
【分析】先根據(jù)已知條件并結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求得公比，再求出各項得出結(jié)果即可.
【詳解】由，，得，
即，由等比數(shù)列，
得，即.
由題知，所以，
所以.
故選：C.
4．B
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項，從而求出，再利用與的關(guān)系即可求得．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得，
所以，
所以，
所以.
故選：B．
5．A
【分析】由可得，兩式相減可證明數(shù)列從第二項起成等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列的通項公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
兩式相減得，
即，因為，
所以，
所以數(shù)列中，從第二項起成等差數(shù)列，
所以，
所以．由得，
所以，得，所以，
故選：A．
6．D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得．
．
故選：D.
7．B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式計算可得.
【詳解】因為且，
所以.
故選：B
8．A
【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用求出，再由即可求出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為．
由，得，
解得，
又
得．
故選：A
9．B
【分析】由題意直接根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得到，進一步代入數(shù)據(jù)即可得解.
【詳解】等差數(shù)列中的前項和分別為，．
故選：B．
10．C
【分析】求出的通項公式，分析出其為等差數(shù)列，然后由條件得出，代入通項公式即可求解.
【詳解】
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
若當(dāng)且僅當(dāng)時，的前項和取得最大值，
所以
即，，
故選：C.
11．B
【分析】利用的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項公式，然后將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求的最小值問題，然后分離常數(shù)，利用對勾函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為，
所以，整理得，
又得，，
所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，故，，
所以，
即，
因為，
令，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
又，所以或時，，所以
所以，，解得.
所以實數(shù)m的最大值為6.
故選：B
12．C
【分析】根據(jù)等差中項的定義可知，再由余弦定理和基本不等式即可求得角的最大值為．
【詳解】由題意可得，由余弦定理可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
又，
即角的最大值為．
故選：C．
13．B
【分析】錯位相減法求出，然后得出，即可得出答案.
【詳解】，，
兩式相減可得
，
所以，
因為，所以，即恒成立，故.
故選：B.
14．B
【分析】確定，得到，，，再利用裂項相消法計算得到答案.
【詳解】由題可得， 所以，
設(shè)的公比為，，則，得，所以．
則，所以，
所以，
由，得．
故選：B．
15．A
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列求和公式推出，結(jié)合得出，繼而將化為，再利用基本不等式即可得答案.
【詳解】由題意得，，
將以上各式相加得，
即
，
則，而，，
故，即，
又，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
即的最小值是4，
故選：A
16．D
【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可知：，且開口向上，對稱軸為，
可得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
17．C
【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可根據(jù)對恒成立，以及求解.
【詳解】當(dāng)時，恒成立，
所以對恒成立，故，
又當(dāng)時，為單調(diào)遞增的數(shù)列，
故要使對任意，都有，則，即，
解得，
綜上可得，
故選:C
18．B
【分析】據(jù)題意，第9對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間面帶體積與最終出口處兩疵點間面帶體積相等，因?qū)挾炔蛔?，可得到，由此求出?進而求出.
【詳解】軋輥的周長為，
由題意可知，第9對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，
因為在此處出口的兩疵點間面帶的體積與最終出口處兩疵點間面帶的體積相等，
又因為寬度不變，有，所以，
而，
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
故選：B
19．D
【分析】表示出第10個月末所欠銀行貸款數(shù)，因為分10次還清所有的欠款，故得到方程，求出答案．
【詳解】設(shè)小明每個月所要還款的錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得，
第一個月末所欠銀行貸款為：，
第二個月末所欠銀行貸款為：,，
……，
第10個月末所欠銀行貸款為：
由于分10次還清所有的欠款，故，解得，
故選：D．
20．B
【分析】設(shè)該污染物排放前需要過濾的次數(shù)為，則由題意得，解不等式可得答案.
【詳解】設(shè)該污染物排放前需要過濾的次數(shù)為，則由題意得
，即，
所以，，
，
所以，
因為，，所以，
所以，
因為，所以的最小值為8，
故選：B
21．2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
22．
【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.
【詳解】若，
則由得，則，不合題意.
所以.
當(dāng)時，因為，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案為：
23． 5
【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；
（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
24．
【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，求得，得到，進而化簡得到，結(jié)合裂項法求和，即可求解.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，
因為成等比數(shù)列，，可得，
即，解得，所以，
則，所以，
則，
所以
.
故答案為：.
25．/12.5
【分析】根據(jù)給定的條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出，再表示出，并借助基本不等式求解即得.
【詳解】由成等比數(shù)列，得，即，則，
而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以當(dāng)時，取得最小值.
故答案為：
26．或
【分析】由，可求出，再由等比數(shù)列可建立關(guān)系式，求出.
【詳解】由，可知，即，
又，，成等比數(shù)列，
所以，
即，解得或，
故答案為：或
27．
【分析】根據(jù)已知條件，先求得，進而求得，從而求得.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，，則的等比數(shù)列，
，∴，則，∴，，
，∴，.
故答案為：
28．
【分析】先根據(jù)數(shù)列的前三項分別為1，2，6，得到，繼而可求出等比數(shù)列的公比，寫出數(shù)列通項公式，再根據(jù)數(shù)列是公等差數(shù)列，寫出數(shù)列的通項公式，兩者相等，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意得，，則，即，
設(shè)的公比為，則，
故，又，
∴，
∴．
故答案為：
29．①③④
【分析】由可得，代入可判斷①；利用可判斷②③；利用是減函數(shù)可判斷④．
【詳解】，
當(dāng)時，，可得，
當(dāng)時，，
由兩個式相減可得，即，
可得，
對于①，當(dāng)時，得，即，又k，b不同時為0，
所以，，所以是首項公比為等比數(shù)列，故①正確；
對于②③，當(dāng)時，，且，所以是以為首項，
公比為等比數(shù)列，所以，，
所以當(dāng)時，，此時是常數(shù)列，即是等差數(shù)列，故②錯誤③正確；
對于④，當(dāng)時，，，
因為是減函數(shù)，所以是遞增函數(shù)，
所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故④正確．
故答案為：①③④.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是利用構(gòu)造，本題考查了學(xué)生的思維能力、運算能力.
30．
【分析】先求出，將所給表達式變形為，可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項與和的公式即可求得.
【詳解】方法一：當(dāng)時，，解得.又，
所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.又，所以，
解得，所以數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項公式為.
方法二：恒成立，當(dāng)時，，解得.
當(dāng)時，，且，解得.
當(dāng)時，①，又②，
①-②，得③，所以④.
④-③，得.
因為，所以，即.又，
所以數(shù)列是首項為-2，公差為-5的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：.
31．
【分析】先根據(jù)得到，，變形后得到，得到，，經(jīng)檢驗，也符合上式，再求出是以1為首項，以12為公差的等差數(shù)列，利用求和公式求出答案.
【詳解】中，令得，即，
又，故令時，，即，
所以，解得，
由，得，，
兩式相減得，，
兩邊同時除以，得，，
即，
故，，
經(jīng)檢驗，也符合上式，故．
數(shù)列是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
這兩個數(shù)列的公共項構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以12為公差的等差數(shù)列，
故的前n項和為．
故答案為：
32．
【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，即可得解．
【詳解】由題意可知，，，，，，
故，
故答案為：.
33．
【分析】降次作差得，再利用等比數(shù)列通項公式即可得到答案.
【詳解】①，②，
兩式相減得，故，，
令中得，，
所以，而不適合上式，
故答案為：.
34．
【分析】利用等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系即可得出結(jié)論.
【詳解】由知，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
此時，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，而，
若數(shù)列是等差數(shù)列，則，
所以，則.
故答案為：.
35．
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列信息求出公比，再求出首項即得.
【詳解】當(dāng)時，，則，兩式相減得，即，
因此等比數(shù)列的公比，又，即，解得，
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：
36．
【分析】根據(jù)題中“牛頓數(shù)列”的定義，結(jié)合題中條件，可求得，通過構(gòu)造法，可求得，則，即裂項相消求和即可.
【詳解】由得，
所以，
得，即，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，所以，
故，
所以
.
故答案為:
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解“牛頓數(shù)列”的定義，通過變形得到，從而構(gòu)造出等比數(shù)列，得到，最后再裂項求和即可.
37．16
【分析】根據(jù)公差進行分類討論，從而求得“下階梯數(shù)”的個數(shù).
【詳解】公差為時，有共個；
公差為時，共個；
公差為時，共個；
公差為時，共個.
所以一共有個.
故答案為：
38．2026
【分析】先計算出數(shù)列的前項和，然后找到使其為正整數(shù)的，相加即可得到答案．
【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，
則
．
所以，
因為為正整數(shù)，所以，即．
令，則，
因為，所以，
因為為增函數(shù)，且，
所以，
所以所有“好數(shù)”的和為．
故答案為：2026．
39．66
【分析】根據(jù)題意，分的值有1種，2種以及3種討論，結(jié)合隔板法代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】若的值只有1種可能，則符合條件的不同數(shù)列有3個，
若的值有2種可能，則利用隔板法可知，符合條件的不同數(shù)列有個，
若的值有3種可能，則利用隔板法可知，符合條件的不同數(shù)列有個，
故共有66個符合條件的不同數(shù)列．
故答案為：66
40．
【分析】由題可知，一個圓將平面分為部分，兩個圓相交將平面分為部分，三個圓相交于將平面分為部分，四個圓相交將平面分為部分，，依次遞推，通過歸納推理，可得出結(jié)論.
【詳解】一個圓將平面分為部分，即，
兩個圓相交將平面分為部分，即，
三個圓相交將平面分為部分，即，
四個圓相交將平面分為部分，即，
平面內(nèi)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，
則該個圓分平面區(qū)域分為部分，
故答案為：.
41．
【分析】根據(jù)相鄰兩項的差成等差數(shù)列，列遞推關(guān)系式.
【詳解】因為
所以
故答案為：
【點睛】本題考查根據(jù)規(guī)律列遞推關(guān)系式，考查基本分析歸納能力，屬基礎(chǔ)題.
42．
【分析】分析粒子在第一象限的運動規(guī)律得到數(shù)列通項的遞推關(guān)系式，利用累加法求出，由知，運動了1980秒時粒子到點，對運動規(guī)律的探索知：中，奇數(shù)點處向下運動，偶數(shù)點處向左運動，由此可求得結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)粒子運動到時所用的間分別為，
則，
將相加得：
，則，滿足，
所以,由，故運動了1980秒時它到點，
又由運動規(guī)律知：中，奇數(shù)點處向下運動，偶數(shù)點處向左運動，
故粒子到達時向左運動42秒即運動了2022秒到達點，
則所求點應(yīng)為
故答案為：.
43．(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；
(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項公式為：.
(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.
44．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；
（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因為，
令，解得，且，
當(dāng)時，則，可得；
當(dāng)時，則，可得
；
綜上所述：.
45．(1)7或9；
(2)答案見解析；
(3).
【分析】（1）利用遞推公式可得，進而可求出；
（2）由題意可得，則，從而命題為真命題，給出反例即可得出命題為假命題；
（3）由題意可得，，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項公式.
【詳解】（1）因為，所以或，所以可能值為7或9；
（2）因為成等差數(shù)列，所以，,
所以，
逆命題：若，則為等差數(shù)列是假命題，舉例：故命題為假命題，
（3）因為，所以
，所以，
因此，
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：
當(dāng)時，明顯成立；
假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，
則，即，即命題得證；
回到原題，分類討論求數(shù)列的通項公式：
1.若，則矛盾；
2.若，則，所以，所以，
此時，
所以，
3.若，則，所以，所以，
所以（由（2）知對任意成立），所以，與事實上矛盾，
綜上.
【點睛】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．
2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.
46．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，所以，
化簡得：，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
47．（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項公式即可；
(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.
【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：
顯然為偶數(shù)，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，
數(shù)列從第一項起，
若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，
若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數(shù)列滿足．
所以，
，
則．
所以，數(shù)列的通項公式．
（2）[方法一]：奇偶分類討論
．
[方法二]：分組求和
由題意知數(shù)列滿足，
所以．
所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；
同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．
從而數(shù)列的前20項和為：
．
【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；
方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；
方法三：寫出數(shù)列的通項公式，然后累加求數(shù)列的通項公式，是一種更加靈活的思路.
(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規(guī)的方法；
方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.
48．(1)證明見解析
(2)2166
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明；
（2）數(shù)列中奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，利用通項求出兩個數(shù)列相同的項，可求所需項的和.
【詳解】（1）數(shù)列滿足，
設(shè)，則，
有，，
所以數(shù)列是首項為3公差為3的等差數(shù)列，即數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由（1）可知，，
設(shè)，同理可證數(shù)列是首項為12公差為9的等差數(shù)列，，
設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，
數(shù)列的前40項和為，
若，即，得，
，有，
將數(shù)列的前40項中所有的相同項都剔除，則數(shù)列的前40項中余下項的和為：
.
49．不是，理由見解析
【分析】根據(jù)的關(guān)系作差可得，，即可作差，結(jié)合等差數(shù)列的定義求解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，，又因為，所以
當(dāng)時，因為，
由，得①，
所以②，
所以①-②得：，,
所以，，，
但
所以不是等差數(shù)列.
50．證明見解析，
【分析】將等式兩邊同除以可判斷是等差數(shù)列，即可根據(jù)首項和公差求解通項.
【詳解】將左右同時除以得：
，
整理得，即是等差數(shù)列，
因為，，得，故公差為1，
所以，故；
51．證明見解析
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得為等比，即可求解，利用等差數(shù)列的定義即可求證.
【詳解】（1）由，得，
又，所以數(shù)列是以1為首項，的等比數(shù)列，
即，即，
所以，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；
52．(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)遞推公式可推得，即.求出的值，即可證明得出等比數(shù)列.根據(jù)公式得出，進而得出通項公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合遞推公式可推得，進而得出，并項求和然后分組，根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項和公式，即可得出.作差構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出證明.
【詳解】（1）由已知得，
所以.
因為，，
所以，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，
所以的通項公式.
（2）由知，
所以，
所以，
所以
.
當(dāng)時，.
令，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增.
又，
所以時，有，即，
所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，.
53．(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，利用“已知求”的方法，化簡證明數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)p，q，r（），使得，，成等差數(shù)列，利用等差中項的性質(zhì)驗證證明即可.
【詳解】（1）由，
得．
則，則，
即，即．
又，，所以，
所以．所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1），得，所以，所以．
假設(shè)存在正整數(shù)p，q，r（），使得，，成等差數(shù)列，
則，即，
即．因為，所以，
所以，所以．
這與矛盾，假設(shè)不成立．
所以不存在正整數(shù)p，q，r（），使得，，成等差數(shù)列．
54．（1）
（2）
【分析】（1）利用疊加法，結(jié)合裂項相消的知識可得通項公式；
（2）利用累乘法求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，
所以；
綜上：.
而符合上式，故.
（2）因為，，所以，
綜上：.
55．(1)，，，
(2)．
【分析】（1）利用求得，也即求得，由此求得正確答案.
（2）利用累乘法求得.
【詳解】（1）因為①，所以②，
②－①得，所以，所以，
所以，，，．
（2）當(dāng)，由，得，，，…，，
所以，即，
又，所以．
當(dāng)時，滿足上式，故．
56．（）．
【分析】利用累乘法求通項公式.
【詳解】因為，且，所以，所以，
所以（）即，，，，
將個式子相乘得（），
因為，所以（），
又當(dāng)時，，所以（）．
57．
【分析】利用構(gòu)造法及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】由，得，
所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以，即.
當(dāng)時，，此式也滿足，
故.
58．
【分析】將已知兩邊平方并去分母可得，兩邊同除以得
，所以可看作是公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式進行求解．
【詳解】由已知得所以，即，
因此，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，
所以
即
由已知，與的符號相同，而與的符號相同，因而與的符號相同，
所以．
59．
【分析】取倒數(shù)后得到是等差數(shù)列，求出，得到通項公式.
【詳解】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項為，公差為2，
，
∴.
60．
【分析】在等式兩邊取對數(shù)可得，可得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項，即可得出數(shù)列的通項公式.
【詳解】對任意的，，
因為，則，
所以，，且，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
61．
【分析】構(gòu)造法求證為等比數(shù)列并寫出通項公式，再應(yīng)用累加法求數(shù)列通項公式.
【詳解】化為，即，
，可得或，（所得兩組數(shù)值代入上式等價），
不妨令，，
所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則，
累加法可得：，
又符合上式，故.
62．
【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，即可得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而求出其通項公式；
解法二：兩邊同時除以得，再利用構(gòu)造法計算可得；
【詳解】解法一：因為，
設(shè)，
所以，
則，解得，
即，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：因為，兩邊同時除以得，
所以，，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，所以.
63．
【分析】將代入已知可得，進而推得，即可得出數(shù)列是等差數(shù)列，寫出通項即可得出答案.
【詳解】將代入已知可得.
因為，所以，
所以有，所以.
又，
所以，數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，，
所以，.
64．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）化簡得，即可證明；
（2）應(yīng)用錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）令，得，則．
因為①，所以②．
①-②得，即．
因為，所以數(shù)列為常數(shù)列．
（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，
所以．
因為，所以③，
④．
③-④得
，
所以．
65．(1)，；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的項求公差，即可求數(shù)列的通項公式，代入條件求等比數(shù)列的項，即可求通項公式.
（2）按為奇數(shù)和偶數(shù)，求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)列項相消法和錯位相減法求和.
（3）由，利用等比數(shù)列前項和公式求和，即可證得不等式.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，得，則，
由，，得，解得，，則， ，
所以，的通項公式是，.
（2）當(dāng)是奇數(shù)時，，
當(dāng)是偶數(shù)時，，
則，
于是，
兩式相減得：
因此，
，
所以.
（3）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，
所以（）.
【點睛】易錯點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的.
66．(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用等差數(shù)列定義即可得證，并結(jié)合與的關(guān)系式，求出.
（2）利用前項和的倒序相加法，結(jié)合組合的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，
有，又，故，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，即，
故，兩式相減得，
即，所以，
因此的通項公式為．
（2）設(shè)，
則由（1）知，
又，
兩式相加得：
，
因為，，
，
所以.
67．(1)
(2)
【分析】（1）分別令和可用表示出，根據(jù)等比數(shù)列定義可構(gòu)造方程求得；
（2）由與關(guān)系和已知等式可推導(dǎo)得到，采用裂項相消法可求得，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）令，則，；
令，則，，即；
成等比數(shù)列，，即，
解得：或，又，.
（2）當(dāng)時，由得：，
即，
，
，
，，
，
，
又，，，
，即的最小值為.
68．(1)或，
(2)或
【分析】（1）運用等比數(shù)列通項公式即可求得數(shù)列的通項公式，由數(shù)列通項與其前n項和的關(guān)系即可求得數(shù)列通項公式，
（2）運用分組求和即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
則或，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以數(shù)列的通項公式為或.
因為①
所以當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，②
由①②可得，即，
所以或.
當(dāng)時，即（），
所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.
當(dāng)時，即，（），
當(dāng)時，，
又，所以，與數(shù)列的各項都為正數(shù)相矛盾，
綜述：數(shù)列的通項公式為.
（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，
當(dāng)時，，
則，
當(dāng)時，，
.
綜述：數(shù)列的前項和為或.
69．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系直接求通項公式即可；
（2）根據(jù)（1）中的通項公式得到，分奇偶討論并整合即可得到答案.
【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，上式也符合，
所以的通項公式為.
（2）由（1）得，，所以，．
（?。┊?dāng)n為偶數(shù)時，；
（ⅱ）當(dāng)n為奇數(shù)時，；
綜上所述，.
70．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求解；
（2）先求出，然后分為偶數(shù)和奇數(shù)分別求和即可.
【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，，
因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以也應(yīng)滿足，
所以，所以通項.
（2）由（1）得，
當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
所以.
71．(1)
(2)
【分析】(1) 三個條件中選①或②作差可得通項,選③作商可得通項；
(2) 當(dāng)時，，，根據(jù)分段可得40項和.
【詳解】（1）選①：∵，時，，
∴兩式相減得，即，又當(dāng)n=1時，，
∴，滿足上式，∴；
選②：當(dāng)n=1時，，∴，
∵，時，，
∴兩式相減得，
數(shù)列是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，
∴；
選③∵，時，，
∴兩式相除得，當(dāng)n=1時，，滿足上式，∴；
（2）因為當(dāng)時，，，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
72．(1)，．
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，利用累加法可求得的表達式，結(jié)合可得出的表達式，再檢驗的情形，綜合可得出的通項公式；
（2）由求出數(shù)列的通項公式，列舉出數(shù)列的前項，即可求得的值.
【詳解】（1）解：對任意的，因為，
當(dāng)時，
，
因為，所以，故．
當(dāng)時，適合，
所以，．
（2）解：因為，，
所以當(dāng)時，，
所以，，
所以，數(shù)列的前項分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前項是由個與個組成．所以．
73．(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系變形即可得證；
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
又，
所以是以18為首項，3為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，
所以，又，
所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
所以，
所以，
所以
，
所以.
74．(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得第次播放了，從而可得與的關(guān)系；
（2）由題意得，然后利用錯位相減法可求出，再由可求得結(jié)果.
【詳解】（1）依題意，第次播放了，
因此，整理得．
（2）∵
，
又∵，
∴．
∴，
∴
∴．
∵當(dāng)時，，與互質(zhì)，，
∴，則
即．
75．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)是小時后第次服藥前血液中水楊酸的含量，先求出，再表示出遞推關(guān)系式，即可求解；
（2）先由（1）中遞推關(guān)系式構(gòu)造得到等比數(shù)列，求得，再求得剛服藥后即可求解.
【詳解】（1）設(shè)是小時后第次服藥前血液中水楊酸的含量，
易知每24小時，水楊酸的含量變?yōu)樵瓉淼模?br>則，
時，，
；
（2）由（1）知，，
則是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，，
，
故急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會超過230mg.
76．(1)，．
(2)證明見解析，，．
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，即可求解；
（2）由（1）得到可得，得出數(shù)列是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，
所以，．
（2）解：由（1）知，，，
可得，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，
因為％，所以 ①，
又因為 ②．
聯(lián)立①②得，．

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