2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)專題02不等式與復(fù)數(shù)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測）已知ab=14且a,b∈0,1，則（）
A．a(chǎn)2+b2≥12B．b+49a>23
C．1a+1b≥4D．a(chǎn)2+b≥34
【答案】ACD
【解析】對于A，因為a2+b2≥2ab=12，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時等號成立，故A正確；
對于B，b+49a≥249ab=23，當(dāng)且僅當(dāng)b=13,a=34時等號成立，故B錯誤；
對于C，1a+1b≥21ab=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時等號成立，故C正確；
對于D，a2+b=a2+14a，設(shè)fa=a2+14a，則f'a=8a3-14a2，
當(dāng)01，y>0，且1x-1+1y=1，則4x+y的最小值為（）
A．13B．15+552C．14D．9+65
【答案】A
【解析】∵x>1，∴x-1>0，又y>0，且1x-1+1y=1，
∴4x+y=4x-1+y+4=4x-1+y1x-1+1y+4=9+yx-1+4x-1y
≥9+2yx-1?4x-1y=13，
當(dāng)且僅當(dāng)1x-1+1y=1yx-1=4x-1y，解得x=52y=3時等號成立，故4x+y的最小值為13.
故選：A
題型二：和式與積式
4．（多選題）已知a，b為正實數(shù)，且ab+2a+b=16，則（）
A．2a+b的最小值為8B．1a+1+1b+2的最小值為22
C．a(chǎn)b的最大值為22D．b+19-a的最小值為62-110
【答案】AD
【解析】對于選項A，由16=ab+2a+b，得b=16-2aa+1=18a+1-2，
所以2a+b=2a+18a+1-2=2a+1+18a+1-4≥22a+1?18a+1-4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)2a+1=18a+1，即a=2,b=4時取等號，所以選項A正確，
對于選項B，因為ab+2a+b=16，所以1a+1+1b+2≥21a+1?1b+2=21ab+2a+b+2=23，
當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+2時取等號，此時1a+1+1b+2取得最小值23，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為16=ab+2a+b≥ab+22ab，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=2,b=4時取等號，
又ab>0，解不等式得00，b=a+6a-2>0，所以a>2，
所以a+b=a+a+6a-2=a-2+8a-2+3≥2a-2?8a-2+3=42+3，
當(dāng)且僅當(dāng)a-2=8a-2，即a=2+22，b=1+22時等號成立，
則a+b的最小值為3+42，故D正確．
故選：ACD．
6．（多選題）（2024·廣東肇慶·一模）設(shè)正實數(shù)m，n滿足m>n，且m+2n=4，則下列說法正確的是（）
A．m-4+2n-4=8B．n+2m+20，S=2xy4x2+y2+xyx2+y2，則（）
A．S的最大值是910B．S的最大值是223
C．S的最大值是32D．S的最大值是924
【答案】B
【解析】∵S=2xy4x2+y2+xyx2+y2=2xyx2+y2+xy4x2+y24x2+y2x2+y2=6x3y+3xy34x4+5x2y2+y4=32xy+yx2xy2+yx2+5=32xy+yx2xy+yx2+1，
令t=2xy+yx，
∵x>0，y>0，則t=2xy+yx≥22xy×yx=22，當(dāng)且僅當(dāng)2xy=yx，即y=2x時等號成立，
故t∈22,+∞，可得S=32xy+yx2xy+yx2+1=3tt2+1=3t+1t，
又∵ft=t+1t在22,+∞上單調(diào)遞增，則ft≥f22=22+122=924，
∴S=3t+1t≤3924=223，即S的最大值是223.
故選：B.
題型五：復(fù)數(shù)的四則運算
13．（2024·浙江·二模）已知z2-z=z4z，則z=（）
A．0B．22C．1D．62
【答案】C
【解析】因為z2-z=z4z，所以z-1=z2,
所以z2-z+1=0,
所以z=1±1-42=1±3i2,
所以z=1±3i2=12+±322=1.
故選：C.
14．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2-2x+2=0的兩個根分別為x1，x2，則x1+2x2=（）
A．1B．5C．7D．10
【答案】D
【解析】根據(jù)題意可得x-12=-1=i2，
∴x-1=±i，即x=1±i，
當(dāng)x1=1-i，x2=1+i時，x1+2x2=3+i，
∴x1+2x2=12+32=10，
當(dāng)x1=1+i，x2=1-i時，x1+2x2=3-i，
∴x1+2x2=12+32=10，
綜上，x1+2x2=10.
故選：D.
15．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的點關(guān)于直線y=x對稱，若z1=2+i，則z2+1-3i=（）
A．29B．5C．5D．1
【答案】C
【解析】因為z1=2+i，所以其對應(yīng)點為2,1，
2,1關(guān)于直線y=x對稱的點為1,2，則z2=1+2i，
所以z2+1-3i=1+2i+1-3i=2-i=22+12=5，
故選：C．
題型六：復(fù)數(shù)的幾何意義
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足1-zz-i=1+i,i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】因為1-zz-i=1+i，所以1-z=z-i?1+i，即2+iz=i，
所以z=i2+i=i2-i2+i2-i=15+25i，
所以z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為15,25，位于第一象限．
故選：A
17．復(fù)數(shù)z滿足z-5=z-1=z-i，則z=（）
A．10B．13C．32D．5
【答案】C
【解析】由z-5=z-1得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到點5,0和1,0距離相等，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線x=3上；
由z-1=z-i得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到點1,0和0,1距離相等，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y=x上；
因為直線x=3和直線y=x的交點為3,3，所以z=3+3i，所以z=32+32=32.
故選：C.
18．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z1-i=a-ia∈R，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】z=a-i1-i=a+1+a-1i2，
若a+1>0a-1>0，則a>1，∴復(fù)數(shù)z可能在第一象限；
若a+10，無解，即復(fù)數(shù)z不可能在第二象限，故應(yīng)選B；
若a+10，則fb單調(diào)遞增，
所以fb≥f1=3，
所以1b+ba的最小值為32，當(dāng)且僅當(dāng)b=1、a=2時取等號，故D正確.
故選：BCD
15．（多選題）（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則下列說法正確的是（）
A．xy的最大值為18B．x2+4y2的最小值為12
C．x+2y的最大值為23D．1x+3y的最小值為7+26
【答案】ABD
【解析】對于A：∵x>0，y>0，x+2y=1.
∴x?2y≤x+2y22=122=14，xy≤18.
當(dāng)且僅當(dāng)x=2yx+2y=1，即x=12，y=14，取“=”，∴A正確；
對于B：x2+4y2=(x+2y)2-4xy=1-4xy，由（1）知xy≤18，∴-4xy≥-12.
∴x2+4y2=1-4xy≥1-12=12.∴B正確；
對于C：x+2y2=x+2y+2x?2y=1+2x?2y≤1+x+2y=1+1=2.
∴x+2y≤2，∴C錯誤；
對于D：1x+3yx+2y=1+2yx+3xy+6=7+2yx+3xy≥7+26，
當(dāng)且僅當(dāng)2yx=3xy，即2y2=3x2x+2y=1，取“=”，∴D正確.
故選：ABD.
16．（2024·上海普陀·模擬預(yù)測）函數(shù)y=lga(x+2)-1(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，則1m+1n的最小值為 .
【答案】2
【解析】因為lga1=0，所以函數(shù)y=lga(x+2)-1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(-1,-1)，
即A(-1,-1)，
又點A在直線mx+ny+2=0上，故m+n=2，
又m>0,n>0，所以1m+1n=121m+1n(m+n)=122+nm+mn≥122+2nm×mn=2，
當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn即m=n=1時等號成立，
所以1m+1n的最小值為2.
故答案為：2.
17．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)fx=alnxx和gx=bx-x（b>0）有相同的最大值．則a+eb的最小值為．
【答案】e
【解析】fx=alnxx，f'x=a(1-lnx)x2(x∈(0,+∞))，
當(dāng)a=0時，fx=0，最大值為0，
又gx=b(x-x)=b-x2+x，所以當(dāng)x=12時，g(x)max=b4，
由b4=0得b=0，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)a≠0時，令f'x=0得，lnx=1，即x=e，
當(dāng)x∈(0,e)時，1-lnx>0，當(dāng)x∈(e,+∞)時，1-lnx0時，
當(dāng)x∈(0,e)時，f'x>0，當(dāng)x∈(e,+∞)時，f'x0，
∴a+eb=eb4+eb≥2eb4·eb=e，當(dāng)且僅當(dāng)eb4=eb，即b=2時取等號.
即a+eb的最小值為e.
故答案為： e.
18．（2024·吉林長春·一模）若(3+i)99=x+yi，則x+2y= .
【答案】2100
【解析】由于32+12i3=i，
則(3+i)99=232+12i99 =29932+12i333=299i33 =299i32?i=299i
所以x=0，y=299，即x+2y=2100.
故答案為：2100.
19．（2024·浙江杭州·一模）已知復(fù)數(shù)z1,z2的實部和虛部都不為0，滿足①z1z2=2；②z1z2=2.則z1= ，z2= .（寫出滿足條件的一組z1和z2）
【答案】 z1=2+2i z2=22+22i
【解析】設(shè)z1=a+bi,z2=c+diabcd≠0,a,b,c,d∈R，
則z1z2=a+bic+di=ac+db+bc-adic2+d2，
z1z2=a+bic+di=ac-bd+ad+bci，
由z1z2=ac+dbc2+d22+bc-adc2+d22=ac+db2+bc-ad2c2+d2=2z1z2=ac-bd2+ad+bc2=2，
整理得a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=4c2+d22a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=4，即a2+b2=4c2+d2a2+b2c2+d2=4，
所以c2+d2=1a2+b2=4，
可取a=b=2,c=d=22，
所以z1=2+2i,z2=22+22i.
故答案為：z1=2+2i;z2=22+22i.（答案不唯一，只要滿足a2+b2=4,c2+d2=1,abcd≠0即可）
20．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若n為正整數(shù)，則rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθ，其中i為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)z=2024985sinπ6+icsπ6，則z2024= ，z2024的實部為．
【答案】 985 -9852/-492.5
【解析】因為復(fù)數(shù)z=2024985(sinπ6+icsπ6)=2024985(csπ3+isinπ3)，
所以由棣莫弗定理可得，
z2024=[2024985(csπ3+isinπ3)]2024=985(cs2024π3+isin2024π3)
=985[cs(674π+2π3)+isin(674π+2π3)]=985(-12+32i)，
所以|z2024|=9852[(32)2+(-12)2]=985.
所以(z2024)=985(-12-32i)，
所以(z2024)的實部為-9852.
故答案為：①985；②-9852.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc183787892" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc183787892 \h 2
\l "_Tc183787893" 題型一：基本不等式二元式 PAGEREF _Tc183787893 \h 2
\l "_Tc183787894" 題型二：和式與積式 PAGEREF _Tc183787894 \h 3
\l "_Tc183787895" 題型三：柯西不等式二元式 PAGEREF _Tc183787895 \h 5
\l "_Tc183787896" 題型四：齊次化與不等式最值 PAGEREF _Tc183787896 \h 6
\l "_Tc183787897" 題型五：復(fù)數(shù)的四則運算 PAGEREF _Tc183787897 \h 8
\l "_Tc183787898" 題型六：復(fù)數(shù)的幾何意義 PAGEREF _Tc183787898 \h 9
\l "_Tc183787899" 重難點突破：不等式與復(fù)數(shù)新定義問題 PAGEREF _Tc183787899 \h 10
\l "_Tc183787900" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc183787900 \h 12

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