高考數(shù)學(xué)專題02 復(fù)數(shù) 專項(xiàng)練習(xí) 教師版+學(xué)生版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：C.
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，則（）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.
【詳解】若，則.
故選：C.
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.
【詳解】由題設(shè)有，故，故，
故選：D
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，則（）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>故選：A．
3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.
【詳解】，
故選：D.
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.
故選：A.
一、復(fù)數(shù)的概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，．
（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．
= 1 \* GB3 ①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
= 2 \* GB3 ②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．
二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
三、實(shí)系數(shù)一元二次方程
1、實(shí)系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；
（3）方程有兩個(gè)共軛虛根，
求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：
①設(shè)化歸為實(shí)數(shù)方程來(lái)解決．
②把看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)變形．
③對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
（1）當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根滿足韋達(dá)定理
，。
（2）當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)共軛虛數(shù)根、，則
，
。
綜上所述，無(wú)論方程的判別式的符號(hào)如何，韋達(dá)定理都成立，于是韋達(dá)定理能被推廣到復(fù)數(shù)根的情況，即實(shí)系數(shù)一元二次方程（、、且）的兩個(gè)根與系數(shù)滿足關(guān)系
，
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，且是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則的值是（）
A．B．3C．5D．9
【答案】C
【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求出，最后得解.
【詳解】，
，
.
故選：C
2．（2024·北京·三模）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，
所以，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
故選：C.
3．（2024·河南·三模）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得及的值即可得解.
【詳解】由可得，
故，，即.
故選：C.
4．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】.
故選：D
5．（2024·山東德州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，計(jì)算即可.
【詳解】由，可得，
所以，
故選：B.
6．（2024·重慶·三模）已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用復(fù)數(shù)相等求出，再由共軛復(fù)數(shù)概念即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，故，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，
故選：A.
7．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，根據(jù)為純虛數(shù)即可求解.
【詳解】，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，
所以.
故選：A.
8．（2024·四川遂寧·三模）若復(fù)數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出，結(jié)合已知求出值即可得解.
【詳解】依題意，，
由為純虛數(shù)，得，解得，復(fù)數(shù)，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．
故選：B
9．（2024·江蘇南通·三模）已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件
【答案】A
【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得或，則必要性不成立.
【詳解】若，則，則，故充分性成立；
若，設(shè)，則，，
則，或與不一定相等，則必要性不成立，
則“”是“”的充分非必要條件，
故選：A
10．（2024·山東濰坊·三模）設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到，將四個(gè)選項(xiàng)代入檢驗(yàn)，得到答案.
【詳解】由題意得，
A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不合題意，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不合要求，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.
故選：C
11．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（）
A．B．1C．3D．
【答案】A
【分析】先利用乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后化簡(jiǎn)得，即可求出其虛部.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，則的虛部為.
故選：A
12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求出，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
即，
故.
故選：B.
二、多選題
13．（2024·湖北荊州·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）
A．若為純虛數(shù)，則
B．若為實(shí)數(shù)，則
C．若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則
D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限
【答案】BD
【分析】首先得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C、D.
【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
對(duì)于A：若為純虛數(shù)，則，解得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若為實(shí)數(shù)，則，解得，則，故B正確；
對(duì)于C：若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，
所以，解得或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：令，即，不等式組無(wú)解，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，故D正確.
故選：BD.
14．（2024·河北衡水·三模）復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限D(zhuǎn)．存在，使得點(diǎn)在第二象限
【答案】AC
【分析】當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算可判斷A、B；由判斷的實(shí)部和虛部范圍可判斷C、D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，故選項(xiàng)正確；
，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，
故對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限，故C選項(xiàng)正確；
不存在，使得點(diǎn)在第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：AC．
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】BCD
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)公式可判定B、D.
【詳解】對(duì)于A，由，得，則A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），則B正確.
對(duì)于C，設(shè)（，且），
則，所以，則C正確.
對(duì)于D，由，得.
設(shè)（，且），則，
，從而，則D正確.
故選：BCD
16．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，，則（）
A．的最小值是1B．的最大值是2
C．的最大值是3D．的最大值是4
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A，設(shè)，依題意可得，可知復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對(duì)于B，根據(jù)題意可得，表示復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，根據(jù)圖形和可判斷B；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式證明，結(jié)合圖形求得，然后可判斷C；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.
【詳解】設(shè)，
對(duì)于A，因?yàn)椋裕?br>所以，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
由圖可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為1，即的最小值是1，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，
由橢圓幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為2，即的最大值為2，
又，所以的最大值是2，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以
，
由圖可知，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3，C正確；

對(duì)于D，因?yàn)楸硎镜木嚯x，
所以的最大值為，設(shè)，則，即，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.

故選：ABC
三、填空題
17．（2024·山西臨汾·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則．
【答案】/
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算直接求得，進(jìn)而求得即可.
【詳解】由，得，所以.
故答案為：.
18．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .
【答案】
【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.
【詳解】，
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，
所以，得.
故答案為：
19．（2024·河南南陽(yáng)·三模）若，則
【答案】/
【分析】由復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則及模長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可.
【詳解】，
所以，
故答案為：.
20．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限，則．
【答案】
【分析】設(shè)，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)求，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義取舍.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?，則，
解得或，
又因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限，可知，可知，
所以.

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