2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷(江蘇專(zhuān)用)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，且，則集合可以是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>A中集合顯然不合題意；
B中集合為或，也不合題意，
C中集合為，滿(mǎn)足題意，
D中集合為，不合題意.
故選：C.
2．若（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則（）
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因?yàn)椋╥為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以，也是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，
所以，由韋達(dá)定理得：
所以，.
故選：B
3．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題得：，故，而，所以.
故選：B.
4．已知向量，滿(mǎn)足，，且在上的投影向量為，則的值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋裕?br>代入，，化簡(jiǎn)得.
故選：A.
5．過(guò)雙曲線(xiàn)C：（，）的左焦點(diǎn)F作C的其中一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)l，垂足為M，l與雙曲線(xiàn)C的另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)N，且，則C的離心率為（）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】因?yàn)?，即?br>所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，
又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所?br>因?yàn)椋?，所以?br>所以.
故選：B.
6．如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，半徑為4的球與圓臺(tái)的上、下底面及每條母線(xiàn)均相切，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，作出軸截面，
分別為上下底面圓的圓心，為側(cè)面切點(diǎn)，為內(nèi)切球球心，
則為的中點(diǎn)，
，
因?yàn)?，所以?br>則
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
則，
在中，由勾股定理得，
即，解得或，
因?yàn)?，所以，，故?br>所以圓臺(tái)的側(cè)面積為.
故選：D.
7．在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，設(shè)，令，
則，，
在中，可得，，
由正弦定理，
得，
所以，
可得，即．
故選：B．
8．已知，，若關(guān)于的不等式在恒成立．則的最小值為（）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【解析】設(shè).
由已知，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
由圖象開(kāi)口向上，，可知方程有一正根一負(fù)根，
即函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)零點(diǎn)；
由題意，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以是方程的根，則，即，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
則的最小值是.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，，垂足分別是，，下列說(shuō)法正確的是( ).
A．直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為5
C．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)截拋物線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)為8
D．以為直徑的圓與直線(xiàn)相切
【答案】ACD
【解析】由題意知拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，直線(xiàn)
過(guò)定點(diǎn)1,0，所以直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消去得，，
設(shè)，Qx2,y2，則，所以，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為6，故B錯(cuò)誤；
由拋物線(xiàn)的定義可知，，故C正確；
設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則，所以以為直徑的圓與直線(xiàn)相切，故正確.
故選：ACD.
10．已知函數(shù)，的定義域均為，若存在函數(shù)，使得函數(shù)，在上有，，，恒成立，則稱(chēng)，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有（）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】BD
【解析】由題意可知：，，
等價(jià)于，；
且，，
等價(jià)于，.
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，則在內(nèi)的值域?yàn)椋?br>可知不存在，使得恒成立，不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>對(duì)于，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，可知；
對(duì)于，則且，
可知當(dāng)，滿(mǎn)足題意，
所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，則，
對(duì)于，，，
取特值，可知，
不合題意，即不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，?br>對(duì)于，此時(shí)，
可得，且；
對(duì)于，此時(shí)，
可得，，
可知當(dāng)，滿(mǎn)足題意，
所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故D正確；
故選：BD.
11．從地球觀察，太陽(yáng)在公轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)圍繞著北極星旋轉(zhuǎn).某蘇州地區(qū)（經(jīng)緯度約120°E，31°N）的地理興趣小組探究此現(xiàn)象時(shí)，在平坦的地面上垂直豎起一根標(biāo)桿，光在宇宙中的彎曲效應(yīng)可忽略不計(jì)，則桿影可能的軌跡是（）
A．半圓形B．雙曲線(xiàn)C．直線(xiàn)D．橢圓
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意可知，桿影可能的軌跡即太陽(yáng)的視運(yùn)動(dòng)軌跡.
為了得到太陽(yáng)投影軌跡的表達(dá)式，首先先建立竿測(cè)影時(shí)的觀測(cè)站坐標(biāo)系，
再計(jì)算太陽(yáng)每個(gè)瞬間在天球（與地球同球心，并具有相同的自轉(zhuǎn)軸，半徑無(wú)限大的球體）上的位置和觀測(cè)平面上的投影，為投影軌跡的整體推導(dǎo)做好單點(diǎn)公式計(jì)算.
蘇州地區(qū)位于31°N，即太陽(yáng)周年回歸運(yùn)動(dòng)范圍（23°26′N(xiāo)~0°~23°26′S）以北，全年太陽(yáng)在正午時(shí)分位于該地的正南方.
設(shè)地理興趣小組所在的觀測(cè)地的右手正交坐標(biāo)系，立測(cè)竿處為原點(diǎn)，
令分別是坐標(biāo)軸的單位矢量，正南為軸，正東為軸，向上為軸（如下圖）.
那么當(dāng)測(cè)竿指向天頂（桿的正上方）時(shí)，其太陽(yáng)投影在平面上.
結(jié)合蘇州的緯度位置可知，正午時(shí)投影指向正北.
圖中立竿測(cè)影觀測(cè)站右手坐標(biāo)系，黃色點(diǎn)為觀測(cè)站的位置，緯度為；
軸指向正南，軸指向正東，軸指向天頂；
貫穿地球南北極的藍(lán)色軸為地軸，從地心出發(fā)的紅色軸與觀測(cè)站的軸平行，是以存在如坐標(biāo)系描述的互余赤經(jīng)差計(jì)算方式.
球面三角形中，若已知兩邊弧角和夾角，求對(duì)邊的弧角c的大小，
由球面三角邊的余弦定理可得：（1）
由天文知識(shí)可知，赤經(jīng)差（赤經(jīng)差是指在天球赤道坐標(biāo)系統(tǒng)中，
兩個(gè)天體之間的赤經(jīng)之差.赤經(jīng)是描述天體在天球赤道上的位置的一個(gè)坐標(biāo)值，
類(lèi)似于地球上的經(jīng)度.赤經(jīng)差用于確定兩個(gè)天體之間的相對(duì)位置）是繞天軸（地軸的無(wú)限延伸）的二面角，
于是有以下替換關(guān)系：（2）
如果天球上相同赤經(jīng)的兩點(diǎn)，赤緯分別為，點(diǎn)繞天軸旋轉(zhuǎn)弧度到達(dá)點(diǎn)，
令兩點(diǎn)間大圓弧角為，那么：（3）
如果太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度為，那么周日視運(yùn)動(dòng)即以地心為原點(diǎn)，圍繞地軸以的夾角做圓周運(yùn)動(dòng).
當(dāng)與觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)度差為時(shí)，令太陽(yáng)方向與觀測(cè)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角分別為，
則觀測(cè)站到太陽(yáng)的單位矢量為：（4）
應(yīng)用（2）式時(shí)參數(shù)系列可得如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
，，
根據(jù)球面三角邊的余弦定理的等價(jià)公式（3），代入上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，
則有：（5），
（6），
（7），
令測(cè)竿投影與測(cè)竿矢量分別為：，（8），
由于太陽(yáng)距離地球距離較遠(yuǎn)，其光線(xiàn)可近似視作平行的直射光線(xiàn)，
從桿頂?shù)酵队包c(diǎn)的指向：（9），
與太陽(yáng)方向矢量平行則有：，
解得投影坐標(biāo)：（10），
（11），
即立桿測(cè)影的太陽(yáng)投影坐標(biāo)表達(dá)式.
對(duì)立竿測(cè)影坐標(biāo)計(jì)算公式（10）、（11），要得到這些坐標(biāo)點(diǎn)的整體曲線(xiàn)方程，
其關(guān)鍵在于消除這個(gè)與時(shí)間相關(guān)參數(shù)，讓投影軌跡只用測(cè)竿長(zhǎng)度、觀測(cè)站和太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度來(lái)表示.
由（10）式可得：，
再由（11）式并使用上式結(jié)果，可得：
，
通過(guò)三角恒等式，代入時(shí)角正余弦的計(jì)算式，
則有：，
兩邊同時(shí)加上：，
化簡(jiǎn)可得：（12），
即立竿見(jiàn)影時(shí)在觀測(cè)平面上的太陽(yáng)投影的軌跡公式.
蘇州地區(qū)位于31°N，因此可以將代入式（12）中，得到雙曲線(xiàn)型的太陽(yáng)投影（如下左圖）.
當(dāng)，即直射赤道（即二分日）時(shí)，會(huì)出現(xiàn)結(jié)果是直線(xiàn)（如下右圖）的特殊情況.
故選：BC
第二部分（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則
【答案】
【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí),，則．
又因?yàn)?，?br>所以，將其化成對(duì)數(shù)式，，解得.
故答案為：.
13．已知甲袋中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中裝有2個(gè)紅球，4個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致．現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則將取出的2個(gè)球全部放入甲袋中，若2個(gè)球不同色，則將取出的2個(gè)球全部放入乙袋中，每次取球互不影響，按上述方法重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是．
【答案】
【解析】若兩次取球后，乙袋中恰有4個(gè)球，則兩次取球均為同色；
若第一次取球均取到紅球，其概率為，
第一次取球后甲袋中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，
第二次取到同色球概率為；
此時(shí)乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是；
若第一次取球均取到白球，其概率為，
第一次取球后甲袋中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，
第二次取到同色球概率為；
此時(shí)乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是；
所以乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是.
故答案為：.
14．已知函數(shù)，設(shè)曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的部分為E，過(guò)O點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交E于，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交x軸于，再過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交E于，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交x軸于，…，依這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的長(zhǎng)為；
②點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③與的面積之比是；
④在直線(xiàn)與y軸之間有6個(gè)三角形．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．
【答案】②④
【解析】由可得，
由可得，，
所以，故①錯(cuò)誤
由可得，，故②正確
由可得，
所以
，故③錯(cuò)誤
同理可求
因?yàn)?，所以共?個(gè)三角形，故④正確
故答案為：②④
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（13分）
已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)判斷的形狀；
(2)若，且的面積為，求角．
【解析】（1）由正弦定理，
，
因B∈0,π，則，，則為等腰三角形；
（2）由（1）設(shè)等腰三角形兩腰，即c，a為x，
則由圖結(jié)合勾股定理可得，邊b對(duì)應(yīng)的高為，
則，即為等邊三角形，則角為.
16．（15分）
如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，．
(1)證明：平面．
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以?br>又平面平面，平面平面，所以平面．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又平面，平面，所以平面．
因?yàn)椋?，又?br>所以四邊形為平行四邊形，則．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br>又，平面，所以平面平面．
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>（2）由題可知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，，，
，，．
設(shè)平面的法向量為，
則由得
令，得．
設(shè)平面的法向量為，
則由得
令，得．
所以，則平面與平面的夾角的余弦值為．
17．（15分）
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，到的焦點(diǎn)的最大距離為，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，判斷點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系；
(3)若橢圓的右頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線(xiàn)的方程．
【解析】（1）因?yàn)榈降慕裹c(diǎn)的最大距離為，
所以，
又，所以，
即，所以，解得，所以，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知橢圓的方程為，
所以，．
因?yàn)?，設(shè)，
所以，
所以，解得，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在曲線(xiàn)上．
（3）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，
則，不符合題意；
當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，
因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，消去得，
由于直線(xiàn)過(guò)橢圓內(nèi)的點(diǎn)，故必有，
設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，
所以
．
因?yàn)闉闄E圓的右頂點(diǎn)，所以，
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
所以的面積為．
因?yàn)榈拿娣e為，所以，
整理得，所以，或（舍去），
所以，
所以直線(xiàn)的方程為或．
18．（17分）
已知函數(shù)
(1)判斷曲線(xiàn)是否具有對(duì)稱(chēng)性，若是，求出相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心，并加以說(shuō)明；
(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）令，等價(jià)于，解得，
可知的定義域?yàn)?,2，
因?yàn)椋?br>可知具有中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)1,0，
顯然不為常函數(shù)，可知不具有軸對(duì)稱(chēng)，
所以y=fx具有中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)1,0.
（2）因?yàn)椋?br>則，
若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則f'x≥0在0,2內(nèi)恒成立，
又因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，解得，
所以的取值范圍為.
（3）由題意可得：，
令，解得，
可知，，
令，則，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
可知Fx在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，
且當(dāng)趨近于0時(shí)，F(xiàn)x趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，F(xiàn)x趨近于0，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，
則，即；
又因?yàn)?，兩式相減可得，
兩式相加可得，
不妨設(shè)，令，可得，
又因?yàn)?，等價(jià)于，等價(jià)于，
構(gòu)建，則，
構(gòu)建，則，
可知在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即，
可知在1,+∞上單調(diào)遞增，則，
即，所以.
19．（17分）
若項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列，滿(mǎn)足，且對(duì)任意的，或是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì).
(1)判斷數(shù)列，1，2是否具有性質(zhì)；
(2)若，數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項(xiàng)，
①證明：是中的項(xiàng)；
②證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.
【解析】（1）對(duì)于數(shù)列，1，2，
顯然或1或2，都是數(shù)列，1，2中的項(xiàng)，
故數(shù)列具有性質(zhì).
（2）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，且是中的任意一項(xiàng)，
①令，則或是數(shù)列中的項(xiàng)，
由于，且，則，
故不是數(shù)列中的項(xiàng)，則是數(shù)列中的項(xiàng)，
故是數(shù)列中的項(xiàng)，則滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，，則，
故不是數(shù)列中的項(xiàng)，從而是數(shù)列中的項(xiàng)；
綜上，是數(shù)列中的項(xiàng).
②由①知，
由，則，
故，
即，（Ⅰ）
由于，則時(shí)，，
則不是數(shù)列中的項(xiàng)，故為數(shù)列中的項(xiàng)，
而，
故，即，
由于，故，故（Ⅱ）
由（Ⅰ）（Ⅱ）有，故，
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.

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