1．（2024·湖北·模擬預測）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·福建·模擬預測）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龍江佳木斯·三模）《算法統(tǒng)宗》是一部中國古代數(shù)學名著，全稱為《新編直指算法統(tǒng)宗》，由明代數(shù)學家程大位所著．該書在萬歷二十一年（即公元1593年）首次刊行，全書共有17卷．其主要內容涵蓋了數(shù)學名詞、大數(shù)與小數(shù)的解釋、度量衡單位以及珠算盤式圖和各種算法的口訣等基礎知識．同時，書中還按照“九章”的次序列舉了多種應用題及其解法，并附有圖式說明．此外，《算法統(tǒng)宗》還包括了難題解法的匯編和不能歸入前面各類別的雜法算法等內容．其中有一首詩，講述了“竹筒容米”問題．詩云：‘家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)三升九，上稍四節(jié)貯三升，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注釋】三升九：3.9升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量）用你所學數(shù)學知識求該九節(jié)竹一共盛米多少升?（ ）

A．8.8升B．9升C．9.1升D．9.2升
4．（2022·海南·模擬預測）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60B．C．120D．
6．（2023·廣東·模擬預測）沙漏是古代的一種計時儀器，根據(jù)沙子從一個容器漏到另一容器的時間來計時．如圖，沙漏可視為上下兩個相同的圓錐構成的組合體，下方的容器中裝有沙子，沙子堆積成一個圓臺，若該沙漏高為6，沙子體積占該沙漏容積的，則沙子堆積成的圓臺的高（ ）
A．1B．C．D．
7．（2024·遼寧·模擬預測）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負者先著子，則最終甲勝的概率為（ ）
A．0.5B．0.6C．0.57D．0.575
8．（2024·天津·二模）設雙曲線：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（24-25高三上·重慶·開學考試）若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．有最大值為B．有最小值為
C．有最小值為D．有最大值為
10．（2024·全國·模擬預測）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．該圖像向右平移個單位長度可得的圖象
B．函數(shù)y=fx的圖像關于點對稱
C．函數(shù)y=fx的圖像關于直線對稱
D．函數(shù)y=fx在上單調遞減
11．（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為和都是奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．關于點對稱B．
C．D．
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知平面向量，若，則 ．
13．（2024·天津北辰·三模）過拋物線的焦點作圓：的兩條切線，切點分別為，若為等邊三角形，則的值為 .
14．（2024·福建廈門·模擬預測）在n維空間中（，），以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為n維坐標，其中.則5維“立方體”的頂點個數(shù)是 ；定義：在n維空間中兩點與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則 .
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·浙江·模擬預測）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．
16. (15分) （22-23高二下·北京豐臺·期末）如圖是我國2015年至2023年歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）的折線圖，
注：年份代碼分別對應年份.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)（結果精確到）加以說明；
(2)建立關于的回歸方程（系數(shù)精確到），并預測2024年我國歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
參考公式：相關系數(shù)，若，則與有較強的線性相關性.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.
17. (15分) （2025·廣東·模擬預測）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)若二面角的正切值為，求四面體與四面體的體積之比．
18. (17分) （2024·重慶·三模）已知M為圓上一個動點，垂直x軸，垂足為N，O為坐標原點，的重心為G.
(1)求點G的軌跡方程；
(2)記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A、B兩點，點，若點恰好是的垂心，求直線的方程.
19. (17分) （24-25高三上·湖南永州·開學考試）已知函數(shù)，，．
(1)若，求的極值；
(2)當時，討論零點個數(shù)；
(3)當時，，求實數(shù)的取值范圍．
2025二輪復習高考仿真卷（一）
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2024·湖北·模擬預測）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·福建·模擬預測）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龍江佳木斯·三模）《算法統(tǒng)宗》是一部中國古代數(shù)學名著，全稱為《新編直指算法統(tǒng)宗》，由明代數(shù)學家程大位所著．該書在萬歷二十一年（即公元1593年）首次刊行，全書共有17卷．其主要內容涵蓋了數(shù)學名詞、大數(shù)與小數(shù)的解釋、度量衡單位以及珠算盤式圖和各種算法的口訣等基礎知識．同時，書中還按照“九章”的次序列舉了多種應用題及其解法，并附有圖式說明．此外，《算法統(tǒng)宗》還包括了難題解法的匯編和不能歸入前面各類別的雜法算法等內容．其中有一首詩，講述了“竹筒容米”問題．詩云：‘家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)三升九，上稍四節(jié)貯三升，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注釋】三升九：3.9升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量）用你所學數(shù)學知識求該九節(jié)竹一共盛米多少升?（ ）

A．8.8升B．9升C．9.1升D．9.2升
4．（2022·海南·模擬預測）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60B．C．120D．
6．（2023·廣東·模擬預測）沙漏是古代的一種計時儀器，根據(jù)沙子從一個容器漏到另一容器的時間來計時．如圖，沙漏可視為上下兩個相同的圓錐構成的組合體，下方的容器中裝有沙子，沙子堆積成一個圓臺，若該沙漏高為6，沙子體積占該沙漏容積的，則沙子堆積成的圓臺的高（ ）
A．1B．C．D．
7．（2024·遼寧·模擬預測）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負者先著子，則最終甲勝的概率為（ ）
A．0.5B．0.6C．0.57D．0.575
8．（2024·天津·二模）設雙曲線：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（24-25高三上·重慶·開學考試）若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．有最大值為B．有最小值為
C．有最小值為D．有最大值為
10．（2024·全國·模擬預測）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．該圖像向右平移個單位長度可得的圖象
B．函數(shù)y=fx的圖像關于點對稱
C．函數(shù)y=fx的圖像關于直線對稱
D．函數(shù)y=fx在上單調遞減
11．（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為和都是奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．關于點對稱B．
C．D．
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知平面向量，若，則 ．
13．（2024·天津北辰·三模）過拋物線的焦點作圓：的兩條切線，切點分別為，若為等邊三角形，則的值為 .
14．（2024·福建廈門·模擬預測）在n維空間中（，），以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為n維坐標，其中.則5維“立方體”的頂點個數(shù)是 ；定義：在n維空間中兩點與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則 .
四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15. (13分) （2024·浙江·模擬預測）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．
16. (15分) （22-23高二下·北京豐臺·期末）如圖是我國2015年至2023年歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）的折線圖，
注：年份代碼分別對應年份.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)（結果精確到）加以說明；
(2)建立關于的回歸方程（系數(shù)精確到），并預測2024年我國歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
參考公式：相關系數(shù)，若，則與有較強的線性相關性.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.
17. (15分) （2025·廣東·模擬預測）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)若二面角的正切值為，求四面體與四面體的體積之比．
18. (17分) （2024·重慶·三模）已知M為圓上一個動點，垂直x軸，垂足為N，O為坐標原點，的重心為G.
(1)求點G的軌跡方程；
(2)記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A、B兩點，點，若點恰好是的垂心，求直線的方程.
19. (17分) （24-25高三上·湖南永州·開學考試）已知函數(shù)，，．
(1)若，求的極值；
(2)當時，討論零點個數(shù)；
(3)當時，，求實數(shù)的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】由指、對數(shù)不等式化簡集合,再由交集運算即可.
【詳解】，
，
所以
故選:C
2．D
【分析】設，利用復數(shù)乘法和復數(shù)相等的概念求出，再利用復數(shù)的模長公式求解即可.
【詳解】設，
則，
所以，解得，
所以，.
故選：D.
3．B
【分析】設第節(jié)竹筒盛米升，則數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可得解.
【詳解】設第節(jié)竹筒盛米升，
則數(shù)列為等差數(shù)列，，
設公差為，
則有，解得，
所以，
則該九節(jié)竹一共盛米升.
故選：B.
4．A
【分析】分別利用函數(shù)的定義域、奇偶性與特殊值的正負排除不符合要求的選項即可得.
【詳解】由定義域為，故可排除C；
又，
故為奇函數(shù)，故可排除D；
由，故可排除B；
故選：A.
5．A
【分析】根據(jù)，結合二項展開式的通項公式分析求解.
【詳解】由題意可知：的通項為，
且的通項為，
令，解得，
所以的系數(shù)為．
故選：A
6．B
【分析】根據(jù)題意轉化為圓錐的體積公式，以及高的關系，即可求解.
【詳解】設沙漏下半部分的圓錐的容積為，沙子堆成的圓臺體積為，
該圓錐內沙子上方的剩余空間體積為．由題意可知，即，
則，則下半部分圓錐剩余空間的高為圓錐高的一半，即沙子堆成的圓臺的高為圓錐高的一半，即圓臺的高為．
故選：B
7．D
【分析】最終甲勝分三種情況，一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝，而每種情況又分甲先著子和乙先著子，結合獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【詳解】由題意知，
一二局甲勝的概率為：，
一三局甲勝的概率為：，
二三局甲勝的概率為：，
因此最終甲勝的概率為，
故選：D.
8．B
【分析】由雙曲線的對稱性可得，且四邊形為平行四邊形，由數(shù)量積的定義，結合余弦定理代入計算，即可得離心率.
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
則
，
即，，所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：
一：求出，代入公式計算；
二：只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.
9．ABC
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的條件即可求解D.
【詳解】對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確，
對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確，
對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，
對于D：因為，
當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，
故選：ABC．
10．ABC
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷A選項.利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷BC選項；利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷D選項；
【詳解】由圖象知，，函數(shù)的周期，則，則，由得，而，則，因此.對于A，函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得，即的圖象，故A正確，
對于B，，則的圖象關于點對稱，故B正確；
對于C，，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，故C正確；
對于D，當時，，當，即時，取得最小值，所以函數(shù)在上不單調，故D錯誤.
故選:ABC.
11．ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換判斷A的真假，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性，結合換元思想判斷B的真假；結合函數(shù)的周期性及特殊點的函數(shù)值，可判斷CD的真假.
【詳解】對于A：把的圖象向左平移1個單位，可得gx+1的圖象，
又gx+1為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點1,0對稱，故A正確；
對于B：由gx+1為奇函數(shù)，則，
又為的導函數(shù)，所以，即，則，
又為奇函數(shù)，所以，即，
由上得fx?2=?fx，故，故f?x=?fx，
即，即是奇函數(shù)，故B正確；
對于C：由于，
故，即f4+x=fx，故4是的一個周期，
又，即gx=g4?x，所以為周期為4的周期函數(shù)，
因為，令可得，即，
所以，故C錯誤；
對于D：因為是上的奇函數(shù)，故，結合得，
，
故，故D正確．
故選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，則f?x=?fx，兩邊求導，可得，所以f'x為偶函數(shù).即奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，則f?x=fx，兩邊求導，可得，所以f'x為奇函數(shù).即偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù).
12．
【分析】根據(jù)向量坐標運算和向量垂直的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】，因為，所以，
即，解得.
故答案為：.
13．4
【分析】
由拋物線的性質，結合直線與圓的位置關系求解．
【詳解】
如圖，
過拋物線的焦點F作圓C：的兩條切線，切點分別為M，N，又△FMN為等邊三角形，
則在直角三角形MCF中，，，
又C(2,0)，，又，
則，即，則p＝4．
故答案為：4．
14． 32
【分析】第一空由題意根據(jù)分步乘法原理，求解即可；第二空先確定樣本點總數(shù)，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.
【詳解】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點有個.
（2）依題意，樣本空間的樣本點記為，M，N為五維立方體的頂點
樣本點總數(shù)：
當時，有k個第i維坐標值不同，有個第i維坐標值相同.
滿足的樣本點個數(shù)為.
所以.
故分布列為：
.
故答案為：32；.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二空關鍵在于確定當時，有k個第i維坐標值不同，有個第i維坐標值相同，再由求出概率.
15．(1)
(2)
【分析】（1）設公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式與等比中項公式列出關于和d的方程，求解即可得an的通項公式；
（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項，進而得，從而得到bn的通項公式，利用等差和等比數(shù)列前n項和公式分組求和即可求出.
【詳解】（1）因為an為等差數(shù)列，設公差為d，
由，得，即，
由，，成等比數(shù)列得，，
化簡得，因為，所以．
所以．
綜上．
（2）由知，，
又為公比是3的等比數(shù)列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
綜上.
16．(1)，與之間存在較強的正相關關系
(2)，億
【分析】（1）利用相關系數(shù)公式可得，進而可得證；
（2）利用最小二乘法可得回歸方程，進而可得估計值.
【詳解】（1）由折線圖看出，與之間存在較強的正相關關系，理由如下：
因為，，，，
所以，，
，
所以，
所以，
，故與之間存在較強的正相關關系.
（2）由（1），結合題中數(shù)據(jù)可得，
，，
，
關于的回歸方程為，
年對應的值為，故，
預測年我國歲及以上老人人口數(shù)為億.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點O，連接，，得到，再由是正三角形，得到，利用面面垂直的判定證明；
（2）以O為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，結合向量的夾角公式列出方程，即可求解.
【詳解】（1）由題設得，，從而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中點O，連接DO、BO，則DO⊥AC且，
又是正三角形，故.
則中，，又，
所以，故.
而且都在面，故面，
而面，所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）設， ，結合（1）結論，
以O為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，易知平面的法向量為，
設，由，可得，得，
設面的法向量為，則，
取，得，所以，
因為二面角的正切值為，則，
又，解得，所以，
所以到底面的距離與到底面的距離之比為，
所以四面體與四面體的體積之比.

18．(1)
(2)
【分析】（1）設，根據(jù)為的重心，得，代入，化簡即可求解.
（2）根據(jù)垂心的概念求得，設直線方程，與橢圓聯(lián)立韋達定理，利用得，將韋達定理代入化簡即可求解.
【詳解】（1）設，則，因為的重心，
故有：，解得，代入，化簡得，
又，故，所以的軌跡方程為.
（2）因為的垂心，故有，
又，所以，故設直線的方程為，
與聯(lián)立消去得：，
由得，
設，則，
由，得，所以，
所以，
所以，化簡得，
解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.
19．(1)極大值，無極小值
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）對求導，根據(jù)導數(shù)的正負得出單調區(qū)間，進而得出極值；
（2）對求導，根據(jù)導數(shù)的正負得出單調區(qū)間，進而得出最小值，設，再根據(jù)導數(shù)確定的正負，結合，當時，，即可得出零點情況；
（3）將問題轉化為，當時，，設，根據(jù)導數(shù)確定單調性，再根據(jù)當時，，所以，即可求解．
【詳解】（1）當時，，則，
令，解得，
當時，，則在單調遞增，
當x∈0,+∞時，，則在0,+∞單調遞減，
所以有極大值，無極小值．
（2），
令，則，因為，所以，
當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
所以，
設，則，
因為，所以，所以在單調遞減，
又因為，
所以當時，，則，無零點；
當時，，有1個零點，
當時，，又，當時，，有2個零點．
（3），
因為時，，
所以，
兩邊同時取自然對數(shù)得，，
當時，成立，
當時，，則，
設，
則，
設，
則，
設，
則，
設，
則，所以在0,+∞單調遞增，
又，所以，
所以，則在0,+∞單調遞增，
又，所以，
所以，則在0,+∞單調遞增，
又，所以，
所以，則在0,+∞單調遞增，
又當時，，所以，
所以．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
A
B
D
B
ABC
ABC
題號
11









答案
ABD









X
1
2
3
4
5
P

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