通用的解題思路：
題型一、等腰三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論
1. 假設(shè)結(jié)論成立；
2. 找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：
① 當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知條件上滿(mǎn)足直線(xiàn)的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在；
② 當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線(xiàn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)，那交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn).
3. 計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添加輔線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解
題型二、直角三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論
1. 設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長(zhǎng)的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點(diǎn)F（1，f），△BCF三邊長(zhǎng)為：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；
2. 找點(diǎn)：根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論：
① 當(dāng)定長(zhǎng)（已知的兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)所成的線(xiàn)段）為直角三角形的直邊時(shí)（如本題（4）中的邊BC），分別過(guò)定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)（B和C）做其垂線(xiàn)，與所求點(diǎn)滿(mǎn)足的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)（本題是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸）有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；
② 當(dāng)定長(zhǎng)為直角角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所有點(diǎn)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).
3. 計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形各邊（表示線(xiàn)段時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào)），再利用相似三角形得比例線(xiàn)段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
題型三、不等式（組）中的分類(lèi)討論思想
分類(lèi)討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問(wèn)題，在求其解集時(shí)要對(duì)字母進(jìn)行分類(lèi)討論。
對(duì)含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時(shí)一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類(lèi)討論。
題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類(lèi)討論思想
在函數(shù)問(wèn)題中，分類(lèi)有兩種情況：一種是對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)，一 種是分情況討論問(wèn)題，對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對(duì)概念的理解與掌握；分情況討論問(wèn)題，可以幫助我們?nèi)婵疾煲粋€(gè)對(duì)象，得出可能的結(jié)論，也可以使問(wèn)題更容易人手，分類(lèi)思想方法對(duì)于中學(xué)生來(lái)是比較難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅(jiān)持用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，出現(xiàn)“重"或“漏"的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生
題型五、圓中的分類(lèi)討論思想
由于圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會(huì)出現(xiàn)多解問(wèn)題。這類(lèi)題目重在考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維能力。如果解題時(shí)考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢(shì)，就會(huì)漏解，從而造成錯(cuò)誤。在圓中解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要利用分類(lèi)討論思想，在解題時(shí)可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。
題型一、等腰三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論
1．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）點(diǎn)在軸上，是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，，是上的一點(diǎn)，且，是直線(xiàn)上一點(diǎn)，射線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連結(jié)、，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．
（1）①當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求與的長(zhǎng)；
②求的值．
（2）若為等腰三角形時(shí)，求滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)．
4．（2023?濮陽(yáng)縣模擬）在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，繞點(diǎn)將射線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)．
在圖1中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
，，
，
又，，
．
請(qǐng)閱讀上述過(guò)程，并完成以下問(wèn)題：
（1）得出的依據(jù)是 （填序號(hào)）．
①
②
③
④
（2）在以上條件下，如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：．
（3）在等邊三角形中，，點(diǎn)為射線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
5．（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形中，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到線(xiàn)段，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)，交射線(xiàn)于點(diǎn)．
嘗試初探
（1）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與始終相等，且與始終相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
深入探究
（2）若，隨著線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值；
拓展延伸
（3）連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．
6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，滿(mǎn)足．點(diǎn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（2）如果，求的值；
（3）如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．
7．（2023?文成縣一模）如圖，點(diǎn)，分別為矩形邊，上的點(diǎn)，以為直徑作交于點(diǎn)，且與相切，連結(jié)．
（1）若，求證：．
（2）若，．
①求的長(zhǎng)．
②連結(jié)，若是以為腰的等腰三角形，求所有滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)．
（3）連結(jié)，若的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求的值．
8．（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交于，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，．
（1）求證：．
（2）若，．
①當(dāng)，求的長(zhǎng)．
②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的的腰長(zhǎng)．
（3）若，且，，在一條直線(xiàn)上，則與的比值為 ．
9．（2023?河南模擬）如圖所示，在中，，點(diǎn)為射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．（點(diǎn)、在的兩側(cè)）
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1所示，若時(shí)，、的數(shù)量關(guān)系為 ，直線(xiàn)、的夾角為 ；
【類(lèi)比探究】
（2）如圖2所示，若時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．
題型二、直角三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論
1．（2022?大連模擬）如圖，中，，，，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)與邊或相交于點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)與邊或相交于點(diǎn)．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍．
2．（2022?蓮池區(qū)校級(jí)二模）如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向繞行一周，與垂直的動(dòng)直線(xiàn)從開(kāi)始．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交，于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，
①當(dāng)時(shí)，求證：；
②設(shè)的面積為，用含的代數(shù)式表示，并求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值；
（2）當(dāng)直線(xiàn)等分的面積時(shí)求的值，并判斷此時(shí)點(diǎn)落在的哪條邊上；
（3）直接寫(xiě)出時(shí)的值．
3．（2022?濟(jì)南二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，若，．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，求最大時(shí)的值；
（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2022?海口模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，試求與的函數(shù)關(guān)系，并求的最大值；
（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2023?乳山市二模）過(guò)四邊形的頂點(diǎn)作射線(xiàn)，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無(wú)論點(diǎn)在何處，總有，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．
（2）【類(lèi)比遷移】如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線(xiàn)上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
題型三、不等式（組）中的分類(lèi)討論思想
1．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對(duì)團(tuán)隊(duì)旅游實(shí)行門(mén)票特價(jià)優(yōu)惠活動(dòng)，價(jià)格如下表：
題中的團(tuán)隊(duì)人數(shù)均不少于10人．
現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)共102人，計(jì)劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團(tuán)隊(duì)不足50人，乙團(tuán)隊(duì)多于50人．
（1）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別購(gòu)票，一共應(yīng)付5580元，問(wèn)甲、乙團(tuán)隊(duì)各有多少人？
（2）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)“大團(tuán)隊(duì)”購(gòu)票，比兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各自購(gòu)票節(jié)省的費(fèi)用不少于1200元，問(wèn)甲團(tuán)隊(duì)最少多少人？
2．（2021?商河縣校級(jí)模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問(wèn)題：求不等式的解集．
解：根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②
解不等式組①得：．解不等式組②得．
不等式的解集為或．
請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問(wèn)題：
（1）求不等式的解集．
（2）求不等式的解集．
3．（2024?江門(mén)校級(jí)一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題：
例題：解一元二次不等式．
解：，
可化為，．
由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得
①，②，
解不等式組①，得，解不等式組②，得，
的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．
（1）一元二次不等式的解集為 ；
（2）分式不等式的解集為 ；
（3）解一元二次不等式．
4．（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價(jià)是荔枝味飲料每瓶售價(jià)的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷(xiāo)售60000瓶，桔子味飲料銷(xiāo)售額為250000元，荔枝味飲料銷(xiāo)售額為280000元．
（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價(jià)；
（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷(xiāo)活動(dòng)，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷(xiāo)量不少于桔子味飲料銷(xiāo)量的；不多于桔子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷(xiāo)售，荔枝味飲料每瓶降價(jià)2元銷(xiāo)售，問(wèn)：該公司銷(xiāo)售多少瓶荔枝味飲料使得總銷(xiāo)售額最大？最大銷(xiāo)售額是多少元？
題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類(lèi)討論思想
1．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）共享電動(dòng)車(chē)是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場(chǎng)，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動(dòng)車(chē)，給出的圖象反映了收費(fèi)（元與騎行時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)，品牌的收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：
（1）說(shuō)出圖中函數(shù)、的圖象交點(diǎn)表示的實(shí)際意義；
（2）求、關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動(dòng)車(chē)去工廠(chǎng)上班，已知兩種品牌共享電動(dòng)車(chē)的平均行駛速度均為，小明家到工廠(chǎng)的距離為那么小明選擇 品牌共享電動(dòng)車(chē)更省錢(qián)？（填“”或“”
②當(dāng)為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車(chē)收費(fèi)相差3元？
2．（2023?西華縣三模）如圖1，拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)及軸分別交于點(diǎn)、．設(shè)．
①點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)恰為線(xiàn)段 的中點(diǎn)，求此時(shí)的值；
②當(dāng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)，使．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2023?池州三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．
（1）若，，求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）已知點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)上，且．
①比較，，0的大小，并說(shuō)明理由；
②將線(xiàn)段沿水平方向平移得到線(xiàn)段，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
4．（2023?河北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．
（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)到軸的距離為5，求的值；
（3）若線(xiàn)段的長(zhǎng)小于等于4，求的取值范圍．
5．（2023?鹽城二模）已知點(diǎn)，，，在二次函數(shù)的圖象上，且滿(mǎn)足．
（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
②若，此時(shí)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)，求的正切值；
③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3，點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸的異側(cè)，則的取值范圍為 ．
6．（2023?錦州）如圖，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
7．（2024?肇東市模擬）綜合與實(shí)踐
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)．．點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）如圖2．當(dāng)點(diǎn)在第四象限的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，借助圖1探究以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
8．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖，把原拋物線(xiàn)軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線(xiàn)軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：
①點(diǎn)，之間的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 ；
②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
③當(dāng)，且時(shí)，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，直接寫(xiě)出的值．
9．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，
若，求的值；
（3）如圖2，將拋物線(xiàn)平移后得到頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)．點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
10．（2022?長(zhǎng)春二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)垂直于軸．
（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸（用含的式子表示）；
（2）將拋物線(xiàn)在軸右側(cè)的部分沿直線(xiàn)翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點(diǎn)，，，為圖形上任意兩點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，若，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若對(duì)于，，都有，求的取值范圍；
（3）當(dāng)圖象與直線(xiàn)恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
題型五、圓中的分類(lèi)討論思想
1．（2023?花都區(qū)一模）如圖1，已知，在射線(xiàn)、上分別截取點(diǎn)、，使．
（1）求證：；
（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個(gè)半圓，點(diǎn)為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
②在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，當(dāng)點(diǎn)在半圓上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
2．（2023?裕華區(qū)二模）如圖1，平行四邊形中，，，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上且，為半圓的直徑且，，如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)處沿方向運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)半圓向左平移，每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止平移，如圖3，停止平移后半圓立即繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)落在直線(xiàn)上時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）如圖1， ；
（2）如圖2，當(dāng)半圓與邊相切于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
（3）如圖3，當(dāng)半圓過(guò)點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，
①求平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積；
②求的長(zhǎng)；
（4）直接寫(xiě)出半圓與平行四邊形的邊相切時(shí)的值．（參考數(shù)據(jù)：，
3．（2022?順平縣二模）如圖1，將半徑為2的剪掉一個(gè)的扇形之后，得到扇形，將扇形放置在數(shù)軸上，使點(diǎn)與原點(diǎn)重合且垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)，直至點(diǎn)落在數(shù)軸上時(shí)停止?jié)L動(dòng)．記優(yōu)弧與數(shù)軸的切點(diǎn)為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)平行于數(shù)軸，當(dāng)與弧有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，記另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)，將直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線(xiàn)，交數(shù)軸于點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在數(shù)軸上時(shí)，其對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)為 ；
（2）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為 ；
（3）當(dāng)與扇形所在圓相切于圓的左側(cè)時(shí)，求弦的長(zhǎng)及點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)；
（4）直接寫(xiě)出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)度的最大值．
4．（2022?永嘉縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)分別交軸，軸于點(diǎn)，，以為直徑構(gòu)造圓，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，且．
（1）求的長(zhǎng)．
（2）求證：．
（3），交圓于另一點(diǎn)，連結(jié)．若為等腰三角形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．（2022?溫州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為直徑的與軸的正半軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是劣弧上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求的值．
（2）當(dāng)中有一邊是的兩倍時(shí)，求相應(yīng)的長(zhǎng)．
（3）如圖2，以為邊向上作等邊，線(xiàn)段分別交和于點(diǎn)，．連結(jié)，．點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與存在一定的數(shù)量關(guān)系．
【探究】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；
【探究二】猜想：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，【探究一】的結(jié)論是否仍然成立．若成立，給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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