?備戰(zhàn)2022年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練
專題09 新定義型幾何圖形問題
【專題訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2021·河南信陽市·八年級(jí)期末）如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是_____________．
（2）性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點(diǎn)M，已知AC=4，AB=5，求GE的長(zhǎng)．

【答案】
（1）菱形，正方形．
（2）AD2+BC2=AB2+CD2．
證明：連接AC，BD，設(shè)其交點(diǎn)為E．

∵四邊形ABCD是垂美四邊形，
∴AC⊥BD，
即∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理，得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）連接CG，BE．

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE．
∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°．
又∵∠BMC=∠AME，
∴∠ABG+∠BMC=90°．
∴CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形．
由（2），得CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=4，AB=5，
∴由勾股定理，得CB2=9，CG2=32，BE2=50，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.
∴GE=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·洪澤外國(guó)語中學(xué)八年級(jí)月考）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．

（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度數(shù)；
（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長(zhǎng)；
（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長(zhǎng)．
【答案】
解：（1）∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B=20°，
若∠A-∠B=90°，則∠A=110°，
∴∠C=180°-110°-20°=50°，
若∠A-∠C=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=35°；
故 ∠C＝50°或35°；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3，
∵△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，
當(dāng)∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，
∴AC＝CD＝3;
當(dāng)∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴，
∴，∴CD＝；
（3）如圖，將△ABC沿BC翻折得到△EBC，

∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，
∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)E三點(diǎn)共線，
∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，
∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，
∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，
又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6，
∴BD＝＝＝3．
【點(diǎn)睛】
本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，理解“準(zhǔn)互余三角形”的定義并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．
3．（2021·湖南懷化市·中考真題）定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）下面四邊形是垂等四邊形的是____________（填序號(hào)）
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）圖形判定：如圖1，在四邊形中，∥，，過點(diǎn)D作BD垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且，證明：四邊形是垂等四邊形．
（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半．應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形內(nèi)接于⊙O中，．求⊙O的半徑．

【答案】
（1）①平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形對(duì)角線相等但不垂直；③菱形的對(duì)角線互相垂直但不相等；④正方形的對(duì)角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；
（2）∵，，
∴AC∥DE，
又∵∥，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴AC=DE，
又∵，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
∴四邊形是垂等四邊形．
（3）如圖，過點(diǎn)O作，

∵四邊形是垂等四邊形，
∴AC=BD，
又∵垂等四邊形的面積是24，,根據(jù)垂等四邊形的面積計(jì)算方法得：
，
又∵，
∴，
設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=，
∴，
∴的半徑為4．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了四邊形性質(zhì)與圓的垂徑定理應(yīng)用，準(zhǔn)確理解新定義的垂等四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，問四邊形是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由；
(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，.
試證明：；
(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié).已知，求的長(zhǎng).

【答案】
解：（1）是
理由：，
∴在的垂直平分線上.
∵，
∴在的垂直平分線上.
∴垂直平分.
∴四邊形為垂美四邊形.
（2）如圖2，連接AC和BD，
，
，
，
，
.
.
.
；

（3）連接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵，
∴AC=，AB=2，CG=，BE=，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=13，
∴GE=.

【點(diǎn)睛】
本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2019·河南九年級(jí)其他模擬）若△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后，與△ADE構(gòu)成位似圖形，則我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．

（1）知識(shí)理解：
如圖1，△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．
①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，則∠BAE＝　 ?。?br /> ②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，則BC＝　 　
（2）知識(shí)運(yùn)用：
如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，∠DAC＝∠DBC，求證：△ACD與△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．
（3）拓展提高：
如圖3，△ABG為等邊三角形，點(diǎn)C為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為CF延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CF上，且△ABD與△ACE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若AB＝6，AD＝4，求的值．
【答案】
（1）①∵△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠D＝∠B＝100°，
又∵α＝25°，∠E＝28°，
∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；
②∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，
∴，
∴BC＝，
故答案為：27°；；
（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，
∴△DOA∽△COB，
∴，即，
又∵∠DOC＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠DCA＝∠EBA，
又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△AEB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DAE的度數(shù)后與△ADC構(gòu)成位似圖形，
∴△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；
（3）∵AC＝AG＝AB＝3，
由題意得：，
∵AD＝4，
∴AE＝2，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴cos∠DAE＝cos60°＝，
∴∠DEA＝90°，
∴由勾股定理可得CE＝，
∴DE＝AE?tan∠DAE＝2，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．在解答時(shí)添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對(duì)應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．
6．（2021·常州市第二十四中學(xué)九年級(jí)期中）若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個(gè)三角形為“弱等腰三角形”，這條角平分線叫做這個(gè)三角形的“弱線”，如圖①，AD是△ABC的角平分線，當(dāng)AD＝AB時(shí)，則△ABC是“弱等腰三角形”，線段AD是△ABC的“弱線”．

（1）如圖②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求證：△ABC是“弱等腰三角形”；
（2）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B為圓心在矩形內(nèi)部作，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連結(jié)CF．且CF與有另一個(gè)交點(diǎn)G．連結(jié)BG．當(dāng)BG是△BCF的“弱線”時(shí)，求CG的長(zhǎng)．
（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱線”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．
【答案】
（1）證明：如圖②作△ABC的角平分線BD，交AC于D，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，
∴∠ADB＝∠A，
∴BA＝BD，
∴△ABC是“弱等腰三角形”；
（2）如圖③，連接EG，
∵BG是△BCF的“弱線”，
∴BG平分∠FBC，
∴∠FBG＝∠GBE，
∵BF＝BE，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（SAS），
∴∠BGF＝∠BGE，
∵BG＝BE，
∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），
∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，
∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，
∴∠CGE＝∠CBG，
∵∠GCE＝∠BCG，
∴△GCE∽△BCG，
∴＝，
∵CE＝4﹣3＝1，
∴CG2＝CE?BC＝1×4＝4，
∴CG＝2；
（3）①如圖④，當(dāng)AB＝AD時(shí)，在AC上取一點(diǎn)E，使得AE＝AB，連接DE，
∵AD是“弱線”，
∴AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE＝BD，∠B＝∠AED，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠AED＝∠ADB，
∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，
∴∠CED＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DEC，
∴＝，
∴CE＝CD，CD＝AC，
∴CE＝AC，
∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，
AC＝9CE＝BD，
∴BC＝BD+BD＝BD，
∴AC：BC＝27：17；
②當(dāng)AC＝AD時(shí)，如圖⑤，在AB上取一點(diǎn)E，使AE＝AC，連接DE，
同理可得， ＝＝，即＝，由上面計(jì)算可得，BC＝CD，
∵AC＝3CD，
∴AC：BC＝24：17．

【點(diǎn)睛】
考查了圓的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是正確的理解題意，并靈活運(yùn)用其性質(zhì)和判定．
7．（2021·江西撫州市·金溪一中九年級(jí)一模）定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．
（概念感知）
（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說明理由．

（問題探究）
（2）如圖2，是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是的重心，求的值．
（拓展提升）
（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準(zhǔn)黃金”的“金底”BC在直線上，點(diǎn)A在直線上．，若是鈍角，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)D．
①當(dāng)時(shí)，則_________；
②如圖4，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，求的值．

【答案】
解：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形．
理由：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，
∵，，
∴．
∴．
∴是“準(zhǔn)黃金”三角形．

（2）∵點(diǎn)A，D關(guān)于BC對(duì)稱，
∴，．
∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，
∴．
不防設(shè)，，
∵點(diǎn)為的重心，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：

由題意得AE=3，
∵，
∴BC=5，
∵，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴；
∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，
∴△ACE∽△DAF，
∴，
設(shè)，則，
∵∠ACD=30°，
∴，
∴，
解得：
∴．
②如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則．
∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
分別過點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，

∴，，，則．
∵，
∴．
∴．
∴設(shè)，，．
∵，
∴，且．
∴．
∴．
∴，解得．
∴，．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．
8．（2021·江蘇南通市·八年級(jí)月考）定義：有一組對(duì)邊相等目這一組對(duì)邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．
（1）如圖①，四邊形與四邊形都是正方形，，求證：四邊形是“等垂四邊形”；
（2）如圖②，四邊形是“等垂四邊形”，，連接，點(diǎn)，，分別是AD，BC，BD的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，EF．試判定的形狀，并證明；
（3）如圖③，四邊形是“等垂四邊形”，，，試求邊AB長(zhǎng)的最小值．

【答案】
（1）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵四邊形與四邊形都為正方形
∴，，．
∴．
∴．
∴，．
∵
∴
即，∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是等垂四邊形．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵四邊形是等垂四邊形，，
∴，
∴
∵點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,BD的中點(diǎn)
∴，，，，
∴，，．
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)分別取的中點(diǎn)，連接，

則，
由（2）可知是等腰直角三角形，
∴
∴
∴．
∴最小值為．
【點(diǎn)睛】
本題是新定義類探究題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理，解決本題需利用新定義，逐一討論，解題中利用條件，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（2021·江西九年級(jí)一模）定義：兩條長(zhǎng)度相等，且它們所在的直線互相垂直的線段，我們稱其互為“等垂線段”．?
知識(shí)應(yīng)用：?在△ABC和△ADE中，AC=?BC，AE=DE，且AE

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專題01 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

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