通用的解題思路：
新定義類坐標(biāo)系內(nèi)代數(shù)綜合問(wèn)題，是在已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，從坐標(biāo)、代數(shù)式、或者函數(shù)圖象以及幾何圖象出發(fā)，給出一個(gè)新定義，要求學(xué)生理解并應(yīng)用這個(gè)定義來(lái)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。它突出考查自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力以及對(duì)新定義的實(shí)際應(yīng)用能力。
解答此類問(wèn)題，首先，認(rèn)真閱讀題目，結(jié)合簡(jiǎn)單示例，理解題干新定義的核心特征，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、變化運(yùn)動(dòng)特征等;其次，要根據(jù)題意，畫出輔助圖形，完成文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖象語(yǔ)言的互化，讓語(yǔ)言互化走在思維的最前端;最后，注意歸納結(jié)論，為后續(xù)問(wèn)題做好指向。
此類新定義，名字新，但是內(nèi)容一般是由我們學(xué)過(guò)的知識(shí)按照一種新的模式進(jìn)行的組合，這就需要在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化。將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)和熟悉的方法，才能有效地解決問(wèn)題。
題型一：數(shù)與式中的新定義問(wèn)題
1．（2024?宣化區(qū)一模）對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)，，，用，，表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用，，表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：，2，，，2，，，1，．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：
（1），，；
（2）若，，，求的值．
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，以及定義的新運(yùn)算，即可解答；
（2）根據(jù)定義的新運(yùn)算可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1），，
，，
；
（2），，，
，
整理得：，
，
或，
或，
的值為3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，實(shí)數(shù)大小比較，特殊角的三角函數(shù)值，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?章貢區(qū)校級(jí)模擬）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)，，叫做關(guān)于的二次多項(xiàng)式的特征系數(shù)對(duì)，把關(guān)于的二次多項(xiàng)式叫做有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式．
（1）關(guān)于的二次多項(xiàng)式的特征系數(shù)對(duì)為 ，2， ；
（2）求有序?qū)崝?shù)對(duì)，4，的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式的乘積；
（3）若有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為，直接寫出的值為 ．
【分析】（1）根據(jù)特征系數(shù)對(duì)的定義即可解答；
（2）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義先寫出多項(xiàng)式，然后再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義先寫出多項(xiàng)式，然后再令即可得出答案．
【解答】解：（1）關(guān)于的二次多項(xiàng)式的特征系數(shù)對(duì)為，2，，
故答案為：，2，；
（2）有序?qū)崝?shù)對(duì)，4，的特征多項(xiàng)式為：，
有序?qū)崝?shù)對(duì)，，的特征多項(xiàng)式為：，
；
（3）根據(jù)題意得，
令，
則，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，新定義問(wèn)題，給賦予特殊值是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?湘潭縣校級(jí)模擬）閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問(wèn)題．
定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位．那么形如，為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：．
（1）填空： ， ；
（2）計(jì)算：
①；
②．
（3）試一試：請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將化簡(jiǎn)成的形式．
【分析】（1）根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）①利用平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
②利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（3）分子和分母同時(shí)乘，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1），
，，
故答案為：，1；
（2）①
；
②
；
（3）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
4．（2022?沙坪壩區(qū)模擬）如果一個(gè)三位自然數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足百位上的數(shù)字等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱這個(gè)數(shù)為“沙磁數(shù)”．
例如：，，是“沙磁數(shù)”．
又如：，，不是“沙磁數(shù)”．
（1）判斷853，632是否是“沙磁數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（2）若是一個(gè)“沙磁數(shù)”，將的十位數(shù)字放在的百位數(shù)字之前得到一個(gè)四位數(shù)，在的末位之后添加數(shù)字1得到一個(gè)四位數(shù)字，若能被11整除，求出所有滿足條件的．
【分析】（1）根據(jù)新定義進(jìn)行解答；
（2）設(shè)，求得、，再根據(jù)為整數(shù)求得、的值，便可得出結(jié)果．
【解答】解：（1），
是“沙磁數(shù)”；
，
不是“沙磁數(shù)”；
（2）設(shè)，則，
，
，
能被11整除，
是整數(shù)，
是整數(shù)，
，、為整數(shù)，
，或，或，或，，
或431或844或972．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識(shí)的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“沙磁數(shù)”的定義．
5．（2022?渝中區(qū)校級(jí)模擬）材料1：若一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)數(shù)本身也能被9整除；
材料2：如果一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)可以被9整除，且的百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大2，則稱為“夠二數(shù)”；將的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，百位數(shù)字與十位數(shù)字交換，得到的數(shù)為，，例如：，，，是“夠二數(shù)”， ．
（1）判斷1314，6536是否是“夠二數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果是“夠二數(shù)”，請(qǐng)計(jì)算的值；
（2）若一個(gè)四位正整數(shù)是“夠二數(shù)”，且為5的倍數(shù)，請(qǐng)求出所有的“夠二數(shù)” 的值．
【分析】（1）根據(jù)新定義“夠二數(shù)”進(jìn)行解答便可；
（2）根據(jù)新定義“夠二數(shù)”及數(shù)學(xué)推理解．
【解答】解：（1）1314是“夠二數(shù)”，6536不是“夠二數(shù)”．理由如下：
，，
是“夠二數(shù)”，
，
不是“夠二數(shù)”，
；
（2）一個(gè)四位正整數(shù)是“夠二數(shù)”，
，其中是正整數(shù)，且，則，
，則，
，
，
將代入，
，
，其中是整數(shù)，
，，
．
，
是整數(shù)，
，即或，
當(dāng)，
，其中，且是整數(shù)，
，，是整數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意舍去．
當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，此時(shí)．
同理，當(dāng)，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理，根據(jù)條件進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵
6．（2024?興寧區(qū)校級(jí)模擬）廣西是全國(guó)水果大省，是能實(shí)現(xiàn)水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大產(chǎn)區(qū)．2024年伊始，伴隨廣西11車沙糖桔運(yùn)往哈爾濱，一場(chǎng)特殊的“投桃報(bào)李”引發(fā)全國(guó)關(guān)注，沙糖桔一躍成為春節(jié)期間的網(wǎng)紅水果．小明爸爸開的水果店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批沙糖桔，有兩個(gè)商家可供選擇，上初三的小明讓爸爸各買一箱，標(biāo)記為，，準(zhǔn)備運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫助爸爸進(jìn)行選擇．小明在，兩箱水果中各隨機(jī)取10個(gè)，逐一測(cè)量了它們的直徑，測(cè)量結(jié)果如下（單位
數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)題目信息，回答下列問(wèn)題：
（1） 4.5 ， ， ；
（2）由折線圖可知， ；（填“”“ ”或“”
（3）爸爸告訴小明沙糖桔一級(jí)果外觀要求：大小均勻，直徑在之間．請(qǐng)幫助小明用合適的統(tǒng)計(jì)量評(píng)價(jià)這兩箱沙糖桔是否符合一級(jí)果要求，以及選擇哪箱沙糖桔更好，并寫出依據(jù)．
【分析】（1），箱抽取的10個(gè)砂糖桔測(cè)得的直徑數(shù)值哪個(gè)出現(xiàn)次數(shù)最多，即為，對(duì)箱抽取的10個(gè)砂糖桔測(cè)得的直徑從大到小排列，取最中間兩數(shù)的平均值，即為；
（2）由折線圖可知，箱砂糖桔直徑比箱砂糖桔直徑波動(dòng)小，所以箱砂糖桔直徑的方差比箱砂糖桔直徑的方差小；
（3）、兩箱砂糖桔直徑均在之間，符合一級(jí)果要求，比較方差，選擇方差小的，直徑相差較?。?br>【解答】解：（1），
，
，
故答案為：4.5，4.5，4.45；
（2）由折線圖可知，箱砂糖桔直徑比箱砂糖桔直徑波動(dòng)小，即，
故答案為：；
（3）、兩箱砂糖桔直徑均在之間，符合一級(jí)果要求，
，
選擇箱砂糖桔更好，直徑相差較小．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，關(guān)鍵是掌握平均數(shù)公式．
7．（2023?豐潤(rùn)區(qū)二模）一個(gè)三位數(shù)，若它的十位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和，那么稱這個(gè)三位數(shù)為“和諧數(shù)”．
（1）最小的三位“和諧數(shù)”是 110 ，最大的三位“和諧數(shù)”是 ；
（2）若一個(gè)“和諧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，且、都是自然數(shù)），請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示該“和諧數(shù)”；
（3）判斷任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能否被11整除，若能，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不能，請(qǐng)舉出反例．
【分析】（1）設(shè)個(gè)位數(shù)字為，百位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，則“和諧數(shù)”為：，由此可得結(jié)論；
（2）按題意列代數(shù)式即可；
（3）由可得結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)個(gè)位數(shù)字為，百位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，
“和諧數(shù)”為：，
當(dāng)，時(shí)，有最小的三位“和諧數(shù)”是110，
當(dāng)，時(shí)，有最大的三位“和諧數(shù)”是990，
故答案為：110，990；
（2），
該“和諧數(shù)”為：；
（3）能，理由：
由（1）得“和諧數(shù)”為：，
，
任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能被11整除．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義問(wèn)題，涉及到列代數(shù)式、整式加減等問(wèn)題，正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2022?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，若滿足千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)為“倍和數(shù)”、例如：
，，是倍和數(shù)”；
，，不是“倍和數(shù)”；
（1）判斷1047和4657是否為“倍和數(shù)”？并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)一個(gè)“倍和數(shù)” 千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字不相等，且千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等于8時(shí)，記這個(gè)“倍和數(shù)” 的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為，記百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為，令，當(dāng)能被3整除時(shí)，求出滿足條件的所有“倍和數(shù)” ．
【分析】根據(jù)新概念判斷即可
【解答】（1），
，
是0”倍和數(shù)“
，
，
不是”倍和數(shù)“
（2）設(shè)“倍和數(shù)” ，（其中，且，為整數(shù)）．
，，，
千位數(shù)上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)不相等，
，
能被3整除，
為整數(shù)），
，
，
，
，
或7，
，
，
或3，
故滿足條件的所有“倍和數(shù)” 為：1137，1317，7131，7311
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式中的新題型，結(jié)合概念的整除即可解答
9．（2022?兩江新區(qū)模擬）材料一：若一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“巧數(shù)”．
材料二：一個(gè)四位數(shù)滿足各個(gè)數(shù)位數(shù)字都不為0，且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)，以及十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)均為“巧數(shù)”，則稱這個(gè)四位數(shù)為“雙巧數(shù)”．若，，則記．
（1）請(qǐng)任意寫出兩個(gè)“巧數(shù)”，并證明任意一個(gè)“巧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍；
（2）若，都是“雙巧數(shù)”，其中，，，，，，，，且，，，，，均為整數(shù)），規(guī)定，，當(dāng)時(shí)，求的最大值．
【分析】（1）設(shè)出兩位數(shù)，根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)是“巧數(shù)”得出，最后根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)是完全平方數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)是“巧數(shù)”得出，進(jìn)而表示出新的兩位數(shù)和三位數(shù)，再根據(jù)這個(gè)三位數(shù)與這個(gè)兩位數(shù)的差為一個(gè)完全平方數(shù)得出是完全平方數(shù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，，
則這個(gè)兩位數(shù)為，
這個(gè)兩位數(shù)是“巧數(shù)”，
，
，
即：這個(gè)兩位數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，這個(gè)兩位數(shù)是24；
當(dāng)時(shí)，，這個(gè)兩位數(shù)為36；
（2），
，
，
；
，
，
，
，
，，
，即，解得，
，，
都是“雙巧數(shù)”，
，解得，
，，
若要使最大，
則其分母最小，分子最大．
，
，且為正整數(shù)，
取3，
的最大值為2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了數(shù)字問(wèn)題，兩位數(shù)和三位數(shù)的表示，新定義，掌握新定義“巧數(shù)”得出是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022?江津區(qū)一模）一個(gè)三位數(shù)，將的百位數(shù)字和十位數(shù)字相加，所得數(shù)的個(gè)位數(shù)字放在之后，得到的四位數(shù)稱為的“如虎添翼數(shù)”，將的“如虎添翼數(shù)”的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新的三位數(shù)，把四個(gè)新的三位數(shù)的和與3的商記為．例如：，，的“如虎添翼數(shù)” 是2971，將2971的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新的三位數(shù)：971、271、291、297，則．
（1）258的“如虎添翼數(shù)”是 2587 ， ；
（2）證明任意一個(gè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)，它的“如虎添翼數(shù)”與的個(gè)位數(shù)字之和能被11整除；
（3）一個(gè)三位數(shù)且，它的“如虎添翼數(shù)” 能被17整除，求的最大值．
【分析】（1）根據(jù)概念進(jìn)行計(jì)算從而作出判斷；
（2）令，然后根據(jù)概念并結(jié)合整式的加減運(yùn)算進(jìn)行分析證明；
（3）將變形為，然后結(jié)合概念表示出的如虎添翼數(shù)，并結(jié)合整除的概念及，的取值范圍分析其最值．
【解答】解：（1），
的如虎添翼數(shù)為2587，
將2587的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到新的三位數(shù)：587；287；257；258；
，
故答案為：2587；463；
（2）令，，且，均為整數(shù)），則百位數(shù)字和十位數(shù)字的和為，
的如虎添翼數(shù)為，
其如虎添翼數(shù)和其個(gè)位數(shù)字之和為，
，且，均為整數(shù)，
任意一個(gè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)，它的“如虎添翼數(shù)”與的個(gè)位數(shù)字之和能被11整除；
（3），
百位數(shù)字和十位數(shù)字相加得，
當(dāng)時(shí)，
的如虎添翼數(shù)為：
，
在千位，
對(duì)的大小影響較大，
應(yīng)取更大值，
由是個(gè)三位數(shù)，則，
，即最大取8，
時(shí)，的如虎添翼數(shù)能被17整除，則能被17整除，
，
，
的如虎添翼數(shù)為9231，
，
即的最大值為1002．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義題目，理解新定義概念，掌握整式加減的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
11．（2022?開州區(qū)模擬）一個(gè)自然數(shù)能分解成，其中，均為兩位數(shù)，的十位數(shù)字比的十位數(shù)字少1，且，的個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”．
例如：，6比7小1，，是“雙十?dāng)?shù)”；
又如：，3比4小1，，不是“雙十?dāng)?shù)”．
（1）判斷357，836是否是“雙十?dāng)?shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”，將兩位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊，構(gòu)成一個(gè)新的四位數(shù)．例如：，，若與的十位數(shù)字之和能被5整除，且能被7整除，求所有滿足條件的自然數(shù)．
【分析】（1）直接利用題目中的解題方法進(jìn)行求解即可；
（2）首先表示出，利用與的十位數(shù)字之和能被5整除，將與的十位數(shù)字所有情況列出來(lái)，再利用能被7整除來(lái)排除，從而得到所有滿足條件的自然數(shù)．
【解答】解：（1），
1比2小1，，
不是雙十?dāng)?shù)．
，
2比3小1，，
是雙十?dāng)?shù)．
（2）自然數(shù)，兩位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊構(gòu)成一個(gè)新的四位數(shù)，
設(shè)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，
的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，
與的十位數(shù)字之和能被5整除，
或或，
①當(dāng)時(shí)，
，
的十位數(shù)字為2，的十位數(shù)字為3，
能被7整除，
僅當(dāng)時(shí)，時(shí)滿足條件，
，
②當(dāng)時(shí)，
不滿足條件，
這種情況舍去，
③當(dāng)時(shí)，
，
的十位數(shù)字為7，的十位數(shù)字為8，
能被7整除，
當(dāng)時(shí)，時(shí)滿足條件，
，
當(dāng)時(shí)，時(shí)滿足條件，
，
綜上，滿足條件的自然數(shù)的值為864，6319，6396．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)與式里的新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確題干所給條件，利用已知條件進(jìn)行推理排除即可求解．
12．（2022?重慶）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)，若能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和整除，則稱是的“和倍數(shù)”．
例如：，是13的“和倍數(shù)”．
又如：，不是“和倍數(shù)”．
（1）判斷357，441是否是“和倍數(shù)”？說(shuō)明理由；
（2）三位數(shù)是12的“和倍數(shù)”， ，，分別是數(shù)其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且．在，，中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為（A），最小的兩位數(shù)記為（A），若為整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)“和倍數(shù)”的定義依次判斷即可；
（2）根據(jù)“和倍數(shù)”的定義表示（A）和（A），代入中，根據(jù)為整數(shù)可解答．
【解答】解：（1），
不是“和倍數(shù)”；
，
是9的“和倍數(shù)”；
（2）由題意得：，，
由題意得：（A），（A），
，
，為整數(shù)，
，
，
，5，7，
，7，5，
①當(dāng)，時(shí)，（舍，，
則或372；
②當(dāng)，時(shí)，，
則或156；
③當(dāng)，時(shí)，此種情況沒(méi)有符合的值；
綜上，滿足條件的所有數(shù)為：732或372或516或156．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問(wèn)題，根據(jù)新定義問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
13．（2022?銅梁區(qū)模擬）對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同．且個(gè)位數(shù)字不為0，的百位數(shù)字與十位數(shù)字之差是千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)為“雙減數(shù)”，對(duì)于一個(gè)“雙減數(shù)” ，將它的千位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)為，個(gè)位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)為，規(guī)定：．
例如：．因?yàn)?，所?028是一個(gè)“雙減數(shù)”則．
（1）判斷3401，5713是否是“雙減數(shù)”，并說(shuō)明理由；如果是，求出的值；
（2）若“雙減數(shù)” 的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被11整除，且是3的倍數(shù)，求的值．
【分析】（1）根據(jù)“雙減數(shù)”的定義判斷并求值即可；
（2）設(shè)，根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可推導(dǎo)得：，，再分兩種情況討論即可：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)．
【解答】解：（1），，且滿足各個(gè)位上的數(shù)字互不相等，且個(gè)位數(shù)字不為0，
是“雙減數(shù)，5713不是“雙減數(shù)”．
．
，，不滿足“雙減數(shù)”的定義，
不是“雙減數(shù)”．
（2）設(shè)，由題意可知：是3的倍數(shù)，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被11整除，且百位數(shù)與十位數(shù)之差是千位數(shù)與個(gè)位數(shù)之差的兩倍．
均為整數(shù)）①，為正整數(shù)）②，③．
，
，
由①知，，
，
，
，
或，即或．
當(dāng)時(shí)，，
，，
代入②得，，
當(dāng)時(shí)，，
，，
代入②得，，
根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可得：的最大值為30，最小值為6，
，
只能取11或22．
當(dāng)時(shí)，可得或；
當(dāng)時(shí)，與的值可能為，（舍去），
，
，，
；
當(dāng)時(shí)，，則或（舍去），
，此時(shí)，，．
；
當(dāng)時(shí)，可得（舍或（舍．
或1064．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解．
14．（2022?大足區(qū)模擬）對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)，如果的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和，的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”．例如：，滿足，，所以7431是“和諧數(shù)”．例如：，滿足，但，所以6413不是“和諧數(shù)”．
（1）判斷8624和9582是不是“和諧數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）若是“和諧數(shù)”，且與22的和能被13整除，求滿足條件的所有“和諧數(shù)” ．
【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義直接進(jìn)行判斷即可；
（2）設(shè)的個(gè)位數(shù)為，十位數(shù)為，根據(jù)是“和諧數(shù)”，則的百位數(shù)為，千位數(shù)為，再根據(jù)與22的和能被13整除，即可解答．
【解答】解：（1），，，
是“和諧數(shù)”；
，，
不是“和諧數(shù)”；
（2）設(shè)的個(gè)位數(shù)為，，十位數(shù)為，，且、為整數(shù)，
是“和諧數(shù)”，
的百位數(shù)為，千位數(shù)為，
，
與22的和能被13整除，
能被13整除，
能被13整除，
，且、為整數(shù)，
，
只能取0，1，2，3，4，
時(shí)，或時(shí)，或時(shí)，或，或，或，（不合題意舍去）或，（不合題意舍去）或，（不合題意舍去）或，（不合題意舍去），
，或，或，或，（不合題意舍去）或，（不合題意舍去），
的值為2110或5321或8532．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道新定義題目，考查了有理數(shù)整除的相關(guān)性質(zhì)，利用代數(shù)式的值進(jìn)行相關(guān)分類討論，得出結(jié)果，解題的關(guān)鍵是能夠理解定義．
15．（2022?南川區(qū)模擬）對(duì)于一個(gè)三位數(shù)的正整數(shù)，滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，它的百位數(shù)字減去十位數(shù)字的差等于十位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字的差，那么稱這個(gè)數(shù)為“平衡數(shù)”，對(duì)于任意一個(gè)“平衡數(shù)”，將它的前兩位數(shù)加上后兩位數(shù)所得的和記為；將它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)加上交換這個(gè)兩位數(shù)所得到的新兩位數(shù)的和記為；把與的差除以9所得結(jié)果記為：．例如，因?yàn)椋?46是一個(gè)“平衡數(shù)”，所以，，則．
（1）計(jì)算：，；
（2）若、都是“平衡數(shù)”其中，，，，，，、、、都是整數(shù)），規(guī)定，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
【分析】（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）根據(jù)新定義，結(jié)合已知條件，用一個(gè)字母表達(dá)，再根據(jù)這個(gè)字母的取值范圍即可得出答案．
【解答】解：（1），
．
（2），，，，，，，，，都是整數(shù)），
，
，
，
，
整理得，
即，
，
，
是“平衡數(shù)”，
，
，
則，
，
，
解得，
為整數(shù)，且，
或6或7，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義題型、列代數(shù)式、有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)題干中所給的新定義及運(yùn)算規(guī)則完成計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
16．（2024?唐山一模）數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個(gè)數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個(gè)算式是“佳偶和諧式”．
小亮寫出如下算式：；；．
發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”．
（1）驗(yàn)證：是“佳偶和諧式”；
（2）證明：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；
（3）小紅通過(guò)小亮的結(jié)論推廣得到一個(gè)命題：任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題．
【分析】（1）直接根據(jù)“佳偶和諧式”的定義，即可求解；
（2）設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為，，再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式“的定義，即可求解；
（3）設(shè)任意兩個(gè)偶數(shù)分別為，，再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式’的定義，即可求解．
【解答】解：（1）證明：，
是“佳偶和諧式”；
（2）證明：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為，，
則
，
任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；
（3）設(shè)任意兩個(gè)偶數(shù)分別為，，
，
任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，
該命題是真命題．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是因式分解的應(yīng)用和命題與定理，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
題型二：函數(shù)中的新定義問(wèn)題
1．（2023?益陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)在的左邊）．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線與拋物線所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求的取值范圍．
【分析】（1）解方程；
（2）表示出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點(diǎn)不確定，需分類討論；
（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，分別求出的范圍．
【解答】解：（1）令，得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與拋物線得：
，
，
或，
，，
點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
，
，
，
，
若，則，即，所以，
若，則，即，所以，
若，則，即，此方程無(wú)解．
或．
（3）如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，
，，，
，
格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，
落在軸和直線上的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)各為13個(gè)，
落在軸的格點(diǎn)應(yīng)滿足，即，
①若，則即，所以線段上的格點(diǎn)應(yīng)該為，，，，
②若，，，所以線段上的格點(diǎn)正好13個(gè)，
綜上，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并與直角三角形和新定義結(jié)合，關(guān)鍵是弄清格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，并對(duì)點(diǎn)、進(jìn)行定位．
2．（2023?義烏市模擬）【概念發(fā)現(xiàn)】
對(duì)于平面上的圖形，先將其向上平移個(gè)單位，再將平移后的圖形沿著直線翻折得到圖象，記此變換過(guò)程為圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換，若在另一圖形上存在一動(dòng)點(diǎn)，圖形上存在一動(dòng)點(diǎn)，記長(zhǎng)度的最大值為，長(zhǎng)度的最小值為．
【理解應(yīng)用】
（1）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，，，記線段為圖形，先將線段向上平移1個(gè)單位，再沿著直線翻折得到線段，記線段’，記線段為圖形，則圖形的 1 ， 滑動(dòng)對(duì)稱變換得到圖形．記原點(diǎn)為圖形，則 ， ．
【思維提升】
（2）如圖2，在坐標(biāo)平面內(nèi)，半徑為2，圓心，，，記為圖形，線段記為圖形，圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換得到圖形，求與的值．
【拓展延伸】
（3）如圖3，記直線的圖象為圖形，反比例的圖象為圖形，圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換得到圖形，則 ．
【分析】（1）根據(jù)滑動(dòng)對(duì)稱變換的概念，此變換過(guò)程為圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換，則，；
（2）圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換得到的圖形為：圓心為，半徑為2的圓，則，；
（3）圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換得到的圖形為直線，求出與直線平行且與雙曲線相切的直線，則為兩平行線之間的距離．
【解答】解：（1）根據(jù)滑動(dòng)對(duì)稱變換的概念，記線段為圖形，先將線段向上平移1個(gè)單位，再沿著直線翻折，此變換過(guò)程為圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換，且，’ ，，．
故答案為：1；2；；．
（2）圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換得到的圖形為：圓心為，半徑為2的圓，如圖所示：
，，
，，
，．
（3）圖形的滑動(dòng)對(duì)稱變換得到的圖形為直線，如圖所示：
設(shè)圖中與平行的直線為：，與反比例聯(lián)立得
，
，
△，
或（舍掉），
，
，
，
在直角三角形中，，，則，邊上的高；
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義下考查了最值問(wèn)題，包括點(diǎn)線，線圓，直線與雙曲線，關(guān)鍵是作出變換后的圖形，最終轉(zhuǎn)化成點(diǎn)點(diǎn)距．
3．（2023?姜堰區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)，其中、、為常數(shù)，，定義：函數(shù)是的衍生函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)的衍生點(diǎn)，設(shè)函數(shù)與其衍生函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
（1）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)、，其衍生點(diǎn)，求函數(shù)的解析式；
（2）①若函數(shù)的衍生函數(shù)為，求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②函數(shù)的圖象如圖所示，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)、兩點(diǎn)的位置；
（3）是否存在常數(shù)，使得無(wú)論為何值，函數(shù)的衍生點(diǎn)始終在直線上，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由衍生點(diǎn)，知，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；
（2）①由衍生函數(shù)的定義求出，聯(lián)立與，解方程組求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②仿照①的過(guò)程進(jìn)行求解；
（3）求出直線的表達(dá)式，代入點(diǎn)，尋求，，之間的關(guān)系．
【解答】解：（1）函數(shù)的衍生點(diǎn)，
，
函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)、，
，
，
．
（2）①函數(shù)的衍生函數(shù)為，
，
，
或，
、，
②由圖象結(jié)合（1）得，
，
，
或，
、，見圖所示：
（3）點(diǎn)，，，
，
或，
、，
設(shè)直線的表達(dá)式為，則
，
，
，
代入得，，
，
是任意實(shí)數(shù)，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是緊靠定義，尤其第（3）問(wèn)，用字母表示，有一定難度．
4．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．
（1）寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若，過(guò)軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．
【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長(zhǎng)，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②分情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．
【解答】解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為：，
，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，，
，，
，
，
，
解得或，
或．
②的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，
Ⅰ、當(dāng)時(shí)，，
且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，
，解得或（舍；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，
，解得或（舍；
Ⅱ、當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為；
，
解得（舍；
Ⅲ、當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；
綜上，的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問(wèn)題，涉及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2022?湘西州）定義：由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線與拋物線組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線和拋物線與軸有著相同的交點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為、．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)是軸下方拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，求線段與線段的長(zhǎng)度的比值．
（3）如圖②，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）將、代入中，即可求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，則，，分別求出，，再求比值即可；
（3）先求出，設(shè)，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，可得，或，；②當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)不存在．
【解答】解：（1）將、代入中，
，
解得，
，
在中，令，則，
；
（2）設(shè)，則，，
，，
；
（3）存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得的對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
，
設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，
，
，
，
解得或，
，或，；
②當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)，是函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)是函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”．
（1）在①；②；③三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”的有 ②③ （填序號(hào)）；
（2）若關(guān)于的一次函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求的值；
（3）若關(guān)于的二次函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；
（2）在以為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，結(jié)合圖象求的值即可；
（3）在以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【解答】解：（1）①到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2，，
，，
不是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”；
②到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1，1，
，，
是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”；
③到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1，1
，，
是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”；
故答案為：②③；
（2）當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
如圖1，在以為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
由圖可知，，，
一次函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
綜上所述：的值為3或；
（3）在以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”一定存在，
如圖2，設(shè)，，，，
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，或；
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”一定存在．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義問(wèn)題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)，，，，，都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，．
①求，的值；
②若時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)函數(shù)的和諧點(diǎn)為，可得，求解即可；
（2）將點(diǎn)，代入，再由有且只有一個(gè)根，△，兩個(gè)方程聯(lián)立即可求、的值；
②由①可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)滿足題意．
【解答】解：（1）存在和諧點(diǎn)，理由如下，
設(shè)函數(shù)的和諧點(diǎn)為，
，
解得，
和諧點(diǎn)為；
（2）①點(diǎn)，是二次函數(shù)的和諧點(diǎn)，
，
，
二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，
有且只有一個(gè)根，
△，
，；
②由①可知，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的最大值為3，最小值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為3，最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，并與二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合解題是關(guān)鍵．
8．（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形，其中，，，，，，，，、為正方形外兩點(diǎn)，．給出如下定義：如果線段平移個(gè)單位后，兩端點(diǎn)均落在正方形的邊上，則稱的最小值為線段到正方形的“平移距離”，記為．
（1）如圖1，平移線段，得到兩條端點(diǎn)在正方形邊上且長(zhǎng)度為1的線段和，則這兩條線段的位置關(guān)系是 平行 ；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn) 的線段的長(zhǎng)度等于；
（2）若點(diǎn)，都在直線上，求的值；
（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)平移前后的對(duì)應(yīng)線段平行及平行公理的推論可得和的位置關(guān)系是平行；最短距離是第一次平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，即可判斷連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于；
（2）設(shè)平移后交正方形于點(diǎn)、．作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則，推理可得和均為，那么點(diǎn)、、在同一條直線上，根據(jù)的三角函數(shù)值可得、的長(zhǎng)，即可求得的長(zhǎng)，那么平移的距離等于的長(zhǎng)減去的長(zhǎng)；
（3）由題意得，點(diǎn)平移到點(diǎn)處時(shí)，平移的距離最小，點(diǎn)平移到或者的中點(diǎn)時(shí)，平移的距離最大，那么可得的取值范圍．
【解答】解：（1）平移前后的對(duì)應(yīng)線段平行，
，．
．
點(diǎn)的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別是和，，
在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于．
故答案為：平行，；
（2）設(shè)平移后交正方形于點(diǎn)、．作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則．
．
點(diǎn)，都在直線上，
，．
，．
．
由題意得：，
點(diǎn)在線段上．
，，，
，．
．
．
；
（3）①點(diǎn)平移到點(diǎn)處時(shí)，平移的距離最?。?br>點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
；
②點(diǎn)平移到或者的中點(diǎn)時(shí)，平移的距離最大，以的中點(diǎn)為例．
點(diǎn)是的中點(diǎn)，坐標(biāo)為，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查一次函數(shù)的應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：平面內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，則；直線解析式的比例系數(shù)的絕對(duì)值是1，那么這條直線與軸或軸的夾角為．
9．（2024?烏魯木齊一模）我們將使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對(duì)于函數(shù)，令，可得，我們就說(shuō)1是函數(shù)的零點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)的零點(diǎn)為，，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次，，，，如果，求的值；
（3）直線的零點(diǎn)為1，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，若時(shí)，線段有最小值，求．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值即可；
（2）由題意可得，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)，求出的值即可；
（3）求出的值，聯(lián)立方程組，整理得，再求，分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)有最小值，解得或（舍；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有最小值，解得或（舍；當(dāng)，即，此時(shí)的最小值為0．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
解得，
一次函數(shù)的零點(diǎn)是；
（2）當(dāng)時(shí)，，
△，
或，
，，
，
；
（3）直線的零點(diǎn)為1，
，
解得，
，
聯(lián)立方程組，
整理得，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有最小值，
解得或（舍；
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有最小值，
解得或（舍；
當(dāng)，即，此時(shí)的最小值為0；
綜上所述：的值為3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弄清定義，分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?崇川區(qū)校級(jí)四模）規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一組點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，我們則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“—函數(shù)”．這組點(diǎn)稱為“點(diǎn)”．例如：點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)和互為“—函數(shù)”，點(diǎn)與點(diǎn)則為一組“點(diǎn)”．
（1）已知函數(shù)和互為“—函數(shù)”，請(qǐng)求出它們的“點(diǎn)”；
（2）已知函數(shù)和互為“—函數(shù)”，求的最大值并寫出“點(diǎn)”；
（3）已知二次函數(shù)與互為“—函數(shù)”有且僅存在一組“點(diǎn)”，如圖，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，與軸交于，，，其中，，過(guò)頂點(diǎn)作軸的平行線，點(diǎn)在直線上，記的橫坐標(biāo)為，連接，，．若，求的最小值．
【分析】（1）設(shè)在上，則在上，由此得到方程組，求解方程組即可；
（2）設(shè)在上，則在上，由此得到方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，有最大值2019，再求“點(diǎn)”即可；
（3）設(shè)在上，則在上，由此可得方程組，整理得，由題意可得△，即，從而得到頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，則，整理得，證明，得到，可得，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．
【解答】解：（1）設(shè)在上，則在上，
，
解得或，
“點(diǎn)”為與或，與，；
（2）設(shè)在上，則在上，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值2019，
此時(shí)“點(diǎn)”為與；
（3）設(shè)在上，則在上，
，
整理得，
有且僅存在一組“點(diǎn)”，
△，即，
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的橫坐標(biāo)為，
，，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，弄清定義是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)，，，，都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷二次函數(shù)的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)．
①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
②若時(shí)，函數(shù)的最小值為1，最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（可通過(guò)畫出函數(shù)圖象草圖來(lái)求解）
【分析】（1）設(shè)函數(shù)的和諧點(diǎn)為，代入求解即可；
（2）①將點(diǎn)代入，再由有且只有一個(gè)根，△，兩個(gè)方程聯(lián)立即可求、的值；
②由①可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)滿足題意．
【解答】解：（1）存在和諧點(diǎn)，和諧點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
設(shè)函數(shù)的和諧點(diǎn)為，可得，
解得或，
和諧點(diǎn)為，；
（2）①點(diǎn)是二次函數(shù)的和諧點(diǎn)，
，
，
二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，
有且只有一個(gè)根，
△，
，，
該二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
②由①可知，，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的最小值為1，最大值為3，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為1，最大值為3．
【點(diǎn)評(píng)】題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，并與二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?海州區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩點(diǎn)，和，，它們橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值之和稱為這兩個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離，表示為：．
（1）如果點(diǎn)，則原點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離 5 ；
（2）函數(shù)的圖象如圖1所示，是圖象上一點(diǎn)，原點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（3）點(diǎn)，分別在軸和軸的正半軸上，對(duì)于線段上任意一點(diǎn)，都滿足，則直線的函數(shù)表達(dá)式為 ；
（4）如圖2，點(diǎn)，的半徑為2，點(diǎn)在上，則的最小值為 ．
【分析】（1）點(diǎn)，，直接套用公式計(jì)算；
（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則點(diǎn)，根據(jù)建立方程恒成立，求出、；
（4）設(shè)，在圓上滿足，，則直線與圓有交點(diǎn)，聯(lián)立方程組消建立的方程有解，利用△求最值．
【解答】解：（1）點(diǎn)，，
，
故答案為：5；
（2）設(shè)點(diǎn)，
，
，即，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：；
（3）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則點(diǎn)，
點(diǎn)，分別在軸和軸的正半軸上，點(diǎn)在線段上，
，，
，
，即，
點(diǎn)是任意一點(diǎn)，
，
，，
直線的函數(shù)表達(dá)式為，
故答案為：；
（4）設(shè)，，，
，，
，即①，
，
，代入①得，
，
△，
，
，
的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義下考查了方程思想，圖象交點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是緊扣定義，套用公式．
13．（2023?黃石模擬）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”，例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．
（1）試判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”為點(diǎn)和點(diǎn)．
①已知實(shí)數(shù)、滿足，，且，求的值；
②已知實(shí)數(shù)、滿足，，且，求的值；
③若函數(shù)的圖象記為將其沿直線翻折后的圖象記為，由，兩部分組成的圖象記為，試求圖象上的“等值點(diǎn)”．
【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義，解方程即可，注意；
（2）①根據(jù)，，變形得到，，可知，是方程的兩個(gè)根，即，是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，求出、代入即可；
②仿照①的做法，注意把當(dāng)成一個(gè)整體；
③先求出的表達(dá)式，再求出它的“等值點(diǎn)”，注意的范圍，最后求上的“等值點(diǎn)”．
【解答】解：（1）函數(shù)的圖象上存在“等值點(diǎn)”，“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)為，．理由如下：
函數(shù)的圖象上若存在“等值點(diǎn)”，則，
，
，，
，
，
函數(shù)的圖象上存在“等值點(diǎn)”，“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)為，．
（2）①實(shí)數(shù)、滿足，，
，，
，是方程的兩個(gè)根，即，是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，
，或，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
．
②實(shí)數(shù)、滿足，，
，，
，是方程的兩個(gè)根，即，是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，
，或，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
．
③函數(shù)的頂點(diǎn)為，它關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
的函數(shù)表達(dá)式為，
，
或（舍，
上的“等值點(diǎn)”為，．
函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”為點(diǎn)．
圖象上的“等值點(diǎn)”為和，．
【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義下考查了兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)與方程的關(guān)系，滲透了數(shù)形結(jié)合和整體的思想．
14．（2022?長(zhǎng)沙）若關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)稱之為函數(shù)的“共同體函數(shù)”．
（1）①若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的“共同體函數(shù)” 的值；
②若函數(shù)，，為常數(shù)），求函數(shù)的“共同體函數(shù)” 的解析式；
（2）若函數(shù)，求函數(shù)的“共同體函數(shù)” 的最大值；
（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最大值等于函數(shù)的“共同體函數(shù)“的最小值．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）①由題意求出，，再由定義可求的值；
②分兩種情況討論：②當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，有，；
（2）由題意，，，則，所以有最大值；
（3）分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，，；②當(dāng)時(shí)，，，；③當(dāng)，即，，，；④當(dāng)，，，，畫出的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得，解得．
【解答】解：（1）①，
，
函數(shù)，
函數(shù)的最大值，函數(shù)的最小值，
；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有最大值，有最小值，
；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有最大值，有最小值，
；
綜上所述：；
（2），即，
函數(shù)最大值，最小值，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；
（3）存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最大值等于函數(shù)的“共同體函數(shù)“的最小值，理由如下：
，
函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，的最大值為，
①當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，，
，
此時(shí)的最小值為；，解得；
②當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，，
，
此時(shí)的最小值為；
③當(dāng)，即，
此時(shí)，，
，
的最小值為；，解得；
④當(dāng)，即，
此時(shí)，，
，
的最小值為；
的函數(shù)圖象如圖所示：的最小值為，
由題意可得，
解得；
綜上所述：的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，根據(jù)定義結(jié)合所學(xué)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合解題，分類討論是解題的關(guān)鍵．
15．（2024?長(zhǎng)沙三模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)時(shí)，，為實(shí)數(shù)，且，我們稱這個(gè)函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．比如：函數(shù)在上是“民主函數(shù)”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)是上的“民主函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若一次函數(shù)在上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含，的代數(shù)式表示）；
（3）若拋物線在上是“民主函數(shù)”，且在上的最小值為，設(shè)拋物線與直線交于，點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若的內(nèi)心為，外心為，試求的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)“民主函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)“民主函數(shù)”的定義以及一次函數(shù)的增減性，分兩種情況進(jìn)行求解即可；
（3）由，，得，則拋物線在上是遞增的，可知時(shí)，，且最小值為，得出拋物線的解析式，從而得出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，可得的坐標(biāo)，再利用面積法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得答案．
【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，則，
反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
，
反比例函數(shù)是上的“民主函數(shù)”；
（2）由題意，得：當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則，
解得：，
即；
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則，
解得：，
即，
綜上所述，或；
（3）拋物線的頂點(diǎn)式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，，
，
拋物線在上是遞增的，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
，
解得：，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，
假設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即，
，
解得：，，
在中，，，，
，，
外心在線段的垂直平分線上，設(shè)，
則，
，
，
，
在中，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，設(shè)內(nèi)心到各邊距離為，得
，
，
是等腰三角形，軸為的角平分線，
的內(nèi)心在軸上，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)等知識(shí)，理解新定義，得出拋物線的解析式從而得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?南山區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖所示，拋物線與拋物線的部分圖象組成一個(gè)“月牙線”，相同的交點(diǎn)分別為，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，試判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，拋物線第三象限上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）令，求解方程，可求、點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入即可求函數(shù)的解析式；
（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，得到，即可判斷三角形形狀；
（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)，直線的解析式，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，根據(jù)所求的點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況，利用鉛錘法求相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）令，則，
解得或，
，，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，
；
（2），
，
，
，，，
，
是等腰三角形；
（3）存在一點(diǎn)，使得，理由如下：
點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，
，
解得或，
或，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
解得，
，；
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
解得，
，；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，弄清“月牙線”的定義，利用鉛錘法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?宛城區(qū)校級(jí)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于的部分關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為，也可以寫成．
（1）在圖③中畫出函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象．
（2）函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．
（3）已知拋物線，關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn)，，，，當(dāng)，時(shí)，均滿足，直接寫出的取值范圍 ．
【分析】（1）根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫出函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的圖象即可；
（2）分直線過(guò)“鏡面函數(shù)”圖象與直線的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況求解即可；
（3）根據(jù)題意可作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于的不等式組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，即為函數(shù)函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象，
（2）如圖，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；
此時(shí)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)直線與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有：，
整理得，，
此時(shí)，△，
解得，，
時(shí)，△，
綜上，的值為4或；
（3）根據(jù)題意可知，該拋物線的“鏡面函數(shù)”為：，
函數(shù)圖象如圖所示：
當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
若當(dāng)，時(shí)，均滿足，
則需滿足，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．
18．（2024?昆山市模擬）定義：若存在實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)同時(shí)滿足一次函數(shù)和反比例函數(shù)，則二次函數(shù)為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“生成”函數(shù)．
（1）試判斷（需要寫出判斷過(guò)程）：一次函數(shù)和反比例函數(shù)是否存在“生成”函數(shù)，若存在，寫出它們的“生成”函數(shù)和實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)．
（2）已知：整數(shù)，，滿足條件，并且一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“生成”函數(shù)，求的值．
（3）若同時(shí)存在兩組實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)，和，使一次函數(shù)和反比例函數(shù)為“生成”函數(shù)，其中，實(shí)數(shù)，，設(shè)，求的取值范圍．（注：一元二次方程的求根公式為
【分析】（1）只需將與組成方程組，并求出該方程組的解即可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)題意得，解得．然后根據(jù)求出的取值范圍，進(jìn)而求出的取值范圍，就可求出整數(shù)的值；
（3）由，可得，，，，即可得到，，由題可得，，從而得到，利用二次函數(shù)的增減性并結(jié)合即可得到的取值范圍．
【解答】解：（1）聯(lián)立，
解得或．
則一次函數(shù)和反比例函數(shù)存在“生成”函數(shù)，
它們的“生成”函數(shù)為，實(shí)數(shù)對(duì)坐標(biāo)為，；
（2）根據(jù)題意得：
，
解得：．
，
，
解得，
，
，
．
是整數(shù)，
；
（3），，
，，，，
，，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
由題意可知：、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查解方程組、解不等式組、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式等知識(shí)，有一定的難度，運(yùn)用配方法及二次函數(shù)的增減性是解決第（3）小題的關(guān)鍵．
19．（2023?婺城區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)，作該函數(shù)圖象中，點(diǎn)及點(diǎn)右側(cè)部分關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)及點(diǎn)右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，稱這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)“．例如：圖1是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“迭代函數(shù)“的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)“的解析式為．
（1）寫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)“的解析式為 ．
（2）若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)“圖象經(jīng)過(guò)，則 ．
（3）已知正方形的頂點(diǎn)分別為：
，，，，其中．
①若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形有3個(gè)公共點(diǎn)，則 ；
②若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【分析】（1）根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義畫出函數(shù)的“迭代函數(shù)”的圖象，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意可得，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在原拋物線上，代入即可得出的值；
（3）①根據(jù)題意，作出此“迭代函數(shù)”，結(jié)合圖象可得出結(jié)論；
②根據(jù)題意，作出此“迭代函數(shù)”，結(jié)合圖象可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)為直線與函數(shù)的交點(diǎn)，點(diǎn)，
，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
設(shè)所在直線的解析式為：，
，
解得，
；
故答案為：；
（2）根據(jù)題意可得，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在原拋物線上，
，
解得；
故答案為：；
（3）①如圖，當(dāng)正方形的邊過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)正方形與此迭代函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)；
如圖，當(dāng)時(shí)，正方形與此迭代函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)繼續(xù)增大，交點(diǎn)超過(guò)4個(gè)，不符合題意；
故答案為：3；
②如圖，當(dāng)時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形有5個(gè)交點(diǎn)，
如圖時(shí)，當(dāng)時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形有4個(gè)交點(diǎn)，符合條件；
如圖時(shí)，當(dāng)時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形有4個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，此迭代函數(shù)與正方形有3個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
如圖，當(dāng)時(shí)，此迭代函數(shù)過(guò)點(diǎn)，迭代函數(shù)與正方形有5個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，迭代函數(shù)與正方形有5個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
故答案為：或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“迭代函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．
20．（2023?開福區(qū)校級(jí)一模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義，當(dāng)自變量滿足，為實(shí)數(shù)，時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為，則稱該函數(shù)為理想函數(shù)．
（1）當(dāng)，時(shí)，在①；②中， ② 是理想函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)是理想函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）已知二次函數(shù)是理想函數(shù)，且最大值為．將該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象記為，若圖象的頂點(diǎn)為，與軸交于，在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為的外心和內(nèi)心，求以為邊長(zhǎng)的正方形面積．
【分析】（1）根據(jù)理想函數(shù)的定義，依次判斷即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)理想函數(shù)的定義，對(duì)的值進(jìn)行討論，分別求解即可；
（3）根據(jù)理想函數(shù)的定義可求出的值，進(jìn)而求出的表達(dá)式，由此可得，，的坐標(biāo)，得出是直角三角形，再在中可求出的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①，，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，最小值為，
最大值為，則，故①不是理想函數(shù)；
②，，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，最小值為，最大值為，則，故②是理想函數(shù)；
故答案為：②；
（2），
，
．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
則當(dāng)時(shí)，最大值為6，
，即．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
則當(dāng)時(shí)，最大值為，
，即，此方程無(wú)實(shí)根．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)沒(méi)有最大值，不合題意，舍去．
綜上所述，的值為；
（3）最大值為，
，即，
，
，
，即，
此時(shí)，
對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取最大值，
，
，不合題意，舍去，
當(dāng)，即時(shí)，
①若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取最大值．
，解得不合題意，舍去），
②，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取最大值，
，，不合題意，舍去；
綜上，的值為，
，則圖象的解析式為：，
圖象的頂點(diǎn)為，與軸交于，在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，
，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
如圖，點(diǎn)是的外心，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)是的內(nèi)心，即點(diǎn)是內(nèi)切圓圓心，
，
，
，
，
．
即以為邊長(zhǎng)的正方形面積為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合新定義，弄清理想函數(shù)的定義，熟知直角三角形的內(nèi)心和外心的位置是解題關(guān)鍵．
21．（2023?門頭溝區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圖形上的兩點(diǎn)，（點(diǎn)，不重合）和另一點(diǎn)，給出如下定義：連接，，如果，則稱點(diǎn)為點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”．
（1）如圖1，已知線段上的兩點(diǎn)，．
①點(diǎn)，，中，點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”是 點(diǎn)和點(diǎn) ；
②如果過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，求的取值范圍；
（2）如圖2，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)，在直線上，且．如果直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)題中，可得出：，再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)給出的坐標(biāo)分別求出和，分別驗(yàn)證是否成立，即可求出答案；
②根據(jù)題意可知和，則可判斷出點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，則根據(jù)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，可得出點(diǎn)到此直線的距離，根據(jù)中點(diǎn)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出，解出不等式即可求出答案；
（2）先計(jì)算直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，，根據(jù)確定點(diǎn)，，在以為圓心，以為半徑的圓上，分情況討論：當(dāng)時(shí)，如圖2；當(dāng)時(shí)，如圖3；當(dāng)時(shí)，如圖4；當(dāng)時(shí)，如圖5；分別根據(jù)點(diǎn)到直線的距離小于等于列不等式可解答．
【解答】解：（1）①，，
，
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，
則，，
，即，
，
，
點(diǎn)是點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”；
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，
則，，
，即，
，即與不垂直，
點(diǎn)不是點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”；
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，
則，，
，即，
，
，
點(diǎn)是點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”；
故答案為：點(diǎn)和點(diǎn)；
②根據(jù)①可得：，
，
，
如圖所示：點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，
過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，
如圖所示，點(diǎn)到此直線的距離，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
解得：；
（2）在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，，
，
，，在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
分三種情況：
①當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，則，，
是等腰直角三角形，
，
直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，則，，
直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，
，
，
；
③當(dāng)時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作于，則，，
直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，
，
，
；
④當(dāng)時(shí)，如圖5，過(guò)點(diǎn)作于，則，，
直線上存在點(diǎn)，的“條件拐點(diǎn)”，
，
，
；
綜上，的取值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了新定義“條件拐點(diǎn)”的理解和運(yùn)用，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，正確的作出圖形和分類討論是解題的關(guān)鍵．
22．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：將圖形繞直線上某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再關(guān)于直線對(duì)稱，得到圖形，我們稱圖形為圖形關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形．已知點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo) ；
（2）若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）；
（3）已知的半徑為1，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)重合．若線段，其關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，可得，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分析可知，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，不存在，則點(diǎn)在軸下方，根據(jù)題意作出圖形，設(shè)出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出結(jié)論；
（3）由（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)，由關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)重合可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由線段，其關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，找到臨界點(diǎn)，可得出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖1，根據(jù)二次關(guān)聯(lián)圖形的定義分別找到和，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，
，
，
，
，，
，
；
故答案為：；
（2）分析可知，點(diǎn)在軸的下方，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
由（1）知，
，，
，
由題意可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，，
解得，
；
（3）由（2）知，
，
點(diǎn)在上，
，
解得（舍或；
，如圖3，
線段，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，
若其關(guān)于點(diǎn)的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，如圖3，可知點(diǎn)是一個(gè)臨界點(diǎn)，
連接，
，
△是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，
，，
，，
，，
由對(duì)稱性可知，另外一點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
的取值范圍為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義類問(wèn)題，主要考查軸對(duì)稱最值問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓的定義等相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是理解給出新定義，畫出對(duì)應(yīng)的圖形．
題型三：三角形中的新定義問(wèn)題
1．（2023?晉中模擬）閱讀下列材料并完成任務(wù)．
任務(wù)：
（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指什么？
（2）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；
（3）如圖3，在中，，點(diǎn)是的一個(gè)旁心且在邊的下方．
①利用尺規(guī)作出旁心；（保留作圖痕跡，不寫作法）
②若，外接圓的半徑為2，則 ．
【分析】（1）由證明過(guò)程“平分，，，”知“依據(jù)”是角平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等；
（2）利用三角形全等可得，，，再進(jìn)行線段間的運(yùn)算；
（3）①利用尺規(guī)作出的平分線，外角的平分線，交點(diǎn)即是旁心；
②構(gòu)造特殊直角三角形去求解．
【解答】解：（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指角平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等；
（2），
，
，
同理可得，，
；
（3）①利用尺規(guī)作出旁心
②如圖所示：
，
外接圓的圓心是的中點(diǎn)，
外接圓的半徑為2，
，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
平分，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義下考查了角平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，三角形全等，解直角三角形等知識(shí)，對(duì)于（3）②，關(guān)鍵是構(gòu)造特殊直角三角形，利用方程去解決．
2．（2024?道里區(qū)校級(jí)一模）①請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
定義：點(diǎn)是內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在，或中，如果有一個(gè)三角形與相似，那么稱點(diǎn)是的“相似點(diǎn)”．
例：如圖 ①，點(diǎn)在的內(nèi)部，，，則，故點(diǎn)為的“相似點(diǎn)“．
請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：
（1）如圖②，在中，，，平分，求證：點(diǎn)為的“相似點(diǎn)”；
（2）如圖③，若為銳角三角形，點(diǎn)是的“相似點(diǎn)”，且點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)在的平分線上，連接，若，求的值；
（3）如圖④，在菱形中，是上一點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，連接，，若點(diǎn)是的“相似點(diǎn)”，且，求證：．
【分析】（1）根據(jù)條件可得，所以點(diǎn)為的自相似點(diǎn)；
（2）先得出，得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，得出，得出結(jié)論；
（3）先得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，最后依據(jù)，得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：，，
．
平分，
，
，
，
，
點(diǎn)為的“相似點(diǎn)“；
（2）解：點(diǎn)是的“相似點(diǎn)“，且點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)在的平分線上，
，
，
平分，
，
，
，，
，
；
（3）證明：點(diǎn)是的“相似點(diǎn)“，，
，
，
，
，
，
分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，
四邊形是菱形，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義問(wèn)題，主要考查了相似三角形的判定以及三菱形的判定與性質(zhì)，理解新定義以及從已知條件中獲取正確的信息是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?平谷區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于，其中，，給出如下定義：將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，與的過(guò)點(diǎn)的高線交于點(diǎn)，將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，我們稱為的留緣點(diǎn)．
（1）若，，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出的留緣點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知，，若線段上存在的留緣點(diǎn)，求的取值范圍．
【分析】（1）先根據(jù)題意畫出圖形，然后再說(shuō)明四邊形是菱形，再確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線是點(diǎn)和留緣點(diǎn)的中垂線，判斷線段上的點(diǎn)與點(diǎn)組成線段的中垂線位置變化，判斷直線與軸交點(diǎn)的范圍，即可求出的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)即為的留緣點(diǎn)，連接，
，，
，，，
是正三角形，
，
將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
是正三角形，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，．
（2）如圖所示，連接、，作、的中垂線，交軸與點(diǎn)、，設(shè)、，
點(diǎn)、分別在、的中垂線上，
，，
，，
，，
線段上存在的留緣點(diǎn)，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正三角形，菱形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握正三角形、菱形、垂直平分線的性質(zhì)．
4．（2022?廣陵區(qū)一模）學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．
類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖，在中，，頂角的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．
根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：
（1）的值為 ．
． ．1 ．．2
（2）對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是 ．
（3）已知，其中為銳角，試求的值．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角，構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)正對(duì)的定義解答．
【解答】解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為時(shí)，等腰三角形底角為，
則三角形為等邊三角形，
則．
故選．
（2）當(dāng)接近時(shí)，接近0，
當(dāng)接近時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．
于是的取值范圍是．
故答案為．
（3）如圖，在中，，．
在上取點(diǎn)，使，
作，為垂足，令，，
則，
又在中，，．
，．
則在中，，．
于是在中，，．
由正對(duì)的定義可得：．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一道新定義的題目，考查了正對(duì)這一新內(nèi)容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進(jìn)行類比解答．
5．（2023?丹徒區(qū)模擬）如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若滿足，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”．
（1）如圖2，．
①求證：點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”；
②在邊上還存在某一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得點(diǎn)也是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”，請(qǐng)?jiān)趫D2中僅用圓規(guī)作圖，找出點(diǎn)的位置，并寫出證明過(guò)程．（保留作圖痕跡）
（2）如圖3，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”．
①若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若滿足條件的點(diǎn)恰有2個(gè)，直接寫出長(zhǎng)的取值范圍是 ．
【分析】（1）①由考慮平角，只要證明即可；
②分別做線段、的中垂線，兩條中垂線交于點(diǎn)，則為的外心，以為圓心，為半徑作圓交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．用同弧所對(duì)的圓周角相等證明；
（2）①通過(guò)求出的長(zhǎng)度，然后求出直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用、兩點(diǎn)間的距離公式解方程求出點(diǎn)；
②求出兩個(gè)臨界狀態(tài)時(shí)的：一是當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；二是的外接圓與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)．
【解答】（1）①證明：，，
，
，
，
點(diǎn)是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”；
②解：以為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，如圖：
連接，
，，
，
，
，
，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
，
，
，
也是點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”；
（2）解：①，，
，
，，
，
，
直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)，
，
，
，，
，或，；
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的外接圓與線段恰有兩個(gè)交點(diǎn)，恰有兩個(gè)“和諧點(diǎn)”，如圖：
點(diǎn)，，
，
由①知，
，即，
，
；
當(dāng)?shù)耐饨訄A與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖：
此時(shí)的外接圓與線段相切，則，且為直徑，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
綜上，若滿足條件的點(diǎn)恰有2個(gè)，長(zhǎng)的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義下考查了三角形相似，解直角三角形，圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，滲透了方程和數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是理解定義，緊靠．對(duì)于（2）②，關(guān)鍵是找出兩個(gè)臨界狀態(tài)時(shí)的：一是當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；二是的外接圓與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)．
6．（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在，于點(diǎn)，，則為標(biāo)準(zhǔn)三角形．
【概念感知】
判斷：對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”．
（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．
（2）頂角為的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．
【概念理解】
若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為 ．
【概念應(yīng)用】
（1）如圖，若為標(biāo)準(zhǔn)三角形，于點(diǎn)，，求的最小值．
（2）若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．
【分析】【概念感知】（1）根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊互相垂直且相等，即可判斷；
（2）作出圖形，分別對(duì)底邊上的高和腰上的高進(jìn)行討論，即可求解；
【概念理解】當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，；當(dāng)是等腰三角形，，，，設(shè)，則，求出，則；
【概念應(yīng)用】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線，作點(diǎn)關(guān)于該平行線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)的值最小，求出即可；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作交于，設(shè)，則，由等積法求出，用勾股定理分別求出，，，則可求；②當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作交于，設(shè)，則，由勾股定理分別求出，，，再由等積法求出，即可求．
【解答】解：【概念感知】
（1）如圖1：等腰直角三角形中，，
，
等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形，
故答案為：；
（2）如圖2，在等腰三角形中，，，，
，
，
，
，
不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；
如圖3，在等腰三角形中，，，，
此時(shí)，
不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；
故答案為：；
【概念理解】
如圖1，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，；
如圖4，當(dāng)是等腰三角形，，，，
，
設(shè)，則，
在中，，
；
故答案為：或；
【概念應(yīng)用】
（1）如圖5，過(guò)點(diǎn)作的平行線，作點(diǎn)關(guān)于該平行線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)的值最小，
，
，
在中，，
的最小值為；
（2）在中，，，
，，
，，
的最小角為，
①如圖6，當(dāng)時(shí)，，
過(guò)點(diǎn)作交于，
設(shè)，則，
，
，
在中，，
，
在中，，
在中，；
②如圖7，當(dāng)時(shí)，，
過(guò)點(diǎn)作交于，
設(shè)，則，
在中，，
，
在中，，
，
，
在中，；
綜上所述：最小角的正弦值為或
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解定義，分類討論，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
7．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)四模）我們定義：若一個(gè)三角形最大邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到最大邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形的“比例中點(diǎn)”．例如：如圖1，已知鈍角中，是鈍角，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”．
（1）如圖2，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，，若點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 ；
（2）如圖3，已知中，，，，若點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，求；
（3）如圖4，已知是等邊三角形，因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟?，所以其中任意一條邊都可以看成最大邊，試判斷等邊三角形有沒(méi)有“比例中點(diǎn)”？說(shuō)明理由．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，，勾股定理得出，根據(jù)建立方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理得出，根據(jù)新定義建立方程，解方程即可求解；
（3）同（2）的方法進(jìn)行計(jì)算，得出方程無(wú)解即可求解．
【解答】解：（1）如圖2所示，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，，
，
設(shè)，則，
，，
在中，，
點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，
，
，
解得：或，
或，
當(dāng)時(shí)，，，即；
當(dāng)時(shí)，，，即；
故答案為：或；
（2）點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，
，
設(shè)，則，
如圖3所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
中，，，，
，，
設(shè)，則，
，
，
解得：，
，，
，
，
解得：或，
或18；
（3）等邊三角形沒(méi)有“比例中點(diǎn)”．理由如下：
設(shè)點(diǎn)是的“比例中點(diǎn)”，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，
，
設(shè)，則，
如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
中，，
，，，
，
，
，
此方程無(wú)解，
等邊三角形沒(méi)有“比例中點(diǎn)”．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何新定義，坐標(biāo)與圖形，已知正切求邊長(zhǎng)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，建立方程解方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?任城區(qū)三模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖①在中，，頂角的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：
（1） 1 ．
（2） ．
（3）如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．
【分析】（1）頂角為的等腰三角形是等邊三角形，從而可得；
（2）頂角為的等腰三角形是等腰直角三角形，從而可得；
（3）在上取，作于點(diǎn)，分別表示出、，、，繼而可求出的值．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）設(shè)，，則，
在上取，作于點(diǎn)，如圖所示：
則，，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形及勾股定理的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是理解“”的定義，難度一般．
題型三：四邊形中的新定義問(wèn)題
1．（2024?河北區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，，，等邊的頂點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（Ⅱ）將等邊沿水平方向向右平移，得到等邊△，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，設(shè)，等邊△與矩形重疊部分面積記為．
①如圖②，當(dāng)邊與相交于點(diǎn)，邊與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)且矩形與△重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【分析】（Ⅰ）已知、、點(diǎn)的坐標(biāo)，四邊形是矩形，求得、的長(zhǎng)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，已知等邊的頂點(diǎn)，，可得垂直平分，即 關(guān)于軸對(duì)稱，可得點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）①過(guò)作軸于，得，五邊形的面積四邊形的面積四邊形的面積矩形的面積三角形的面積矩形的面積三角形的面積，根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)且矩形與△重疊部分為五邊形，可得的取值范圍；
②分、、、、，討論的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由題意得，，，
四邊形是矩形，
，，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
等邊的頂點(diǎn)，
，，即，
，即，
垂直平分，
，
，
故答案為：，；
（Ⅱ）①在矩形中，其頂點(diǎn)，，，，
則軸，軸，
在等邊中，，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，得， 關(guān)于軸對(duì)稱，
過(guò)作軸于，得，
等邊△是由等邊 沿水平方向向右平移得到的，
，
在中，，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形的面積矩形的面積三角形的面積，
四邊形的面積為，
同理，四邊形的面積為，
則五邊形的面積為，即，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且矩形與△重疊部分為五邊形，
；
②時(shí)，
，
，
，
時(shí)，
，
五邊形的面積矩形的面積三角形的面積，
，
時(shí)，
，
五邊形的面積矩形的面積三角形的面積，
，
時(shí)，
，
矩形的面積矩形的面積三角形的面積三角形的面積，
，
時(shí)，
，
矩形的面積，
，
綜上，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形綜合題，關(guān)鍵是注意分段討論．
2．（2023?靖江市校級(jí)三模）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)度 5 ．
【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，、是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）
【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知是上一定點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形、不重合且、、三點(diǎn)不共線），對(duì)角線與交于點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．
【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的定義列式求解即可；
（2）作，，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，即可得到垂等四邊形，連接，并相交于點(diǎn)，證明，得到，證明，即可得到結(jié)果；
（3）方法一：連接，，根據(jù)已知條件求出，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；
【解答】（1）由垂等四邊形的定義得，
又，
，
．
（2）作，，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，即可得到垂等四邊形，如圖，
連接，并相交于點(diǎn)，
．，
，，
，即，
，，，
．
．
，，
四邊形是垂等四邊形．
（3）連接，，由（2）可得等腰，
，
作，易證得，
設(shè)，，可得方程，
解得或3，如圖：
或，
作，
．
，
，
或，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用和四邊形綜合知識(shí)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?射陽(yáng)縣一模）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)．
（1）判斷：一個(gè)內(nèi)角為的菱形 是 等距四邊形；（填“是”或“不是”
（2）如圖2，在的網(wǎng)格圖中有、兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诮o出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出、兩個(gè)格點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形以為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)．端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為 ；
（3）如圖，在海上，兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令，兩艇同時(shí)出發(fā)，艇直接回到駐地，艇到島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地（在島執(zhí)行任務(wù)的時(shí)間忽略不計(jì)），已知，，三點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，，，，若艇速度為，試問(wèn)艇的速度是多少時(shí)，才可以和艇同時(shí)回到駐地？
【分析】（1）一個(gè)內(nèi)角為的菱形，得出等邊三角形，再得出等距四邊形．
（2）利用勾股定理求出的長(zhǎng)為，再找到格點(diǎn)，使得，得到等距四邊形，利用勾股定理求出端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)．
（3）添加輔助線，得到直角三角形，利用勾股定理，列方程，求解．
．
【解答】解：（1）菱形中，，
當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，
，
，
一個(gè)內(nèi)角為的菱形是等距四邊形．
故答案為：是．
（2）
如圖①，，
，
．
如圖②，
．
端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
（3）如圖③作于，于．
，，
，
四邊形是矩形．
，．
中，，，
．
，
．
設(shè)，
，
，
有中：，’
，
解得：．
，
．
，
．
答：艇的速度是時(shí)，才可以和艇同時(shí)回到駐地．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一道新概念題，必須認(rèn)真閱讀，掌握新概念，勾股定理，等腰三角形三線合一，多知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用是難點(diǎn)．
4．（2023?蒲城縣一模）【了解概念】
定義提出：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
【理解運(yùn)用】
（1）如圖1，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段、的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖1的方格紙中畫出一個(gè)等鄰邊四邊形，要求：點(diǎn)在格點(diǎn)上；
（2）如圖2，在等鄰邊四邊形中，，，，，求的長(zhǎng)；
【拓展提升】
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸正半軸上，已知，，是的中點(diǎn)．在矩形內(nèi)或邊上，是否存在點(diǎn)，使四邊形為面積最大的“等鄰邊四邊形”，若存在，請(qǐng)求出四邊形的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)“等鄰邊四邊形”的定義作圖即可；
（2）連接，根據(jù)是等邊三角形得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，的長(zhǎng)度，根據(jù)的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度，最后利用勾股定理求出即可；
（3）先確定存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)，列方程求出的值，然后確定點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的面積最大值即可．
【解答】解：（1）由題意知，四邊形是等鄰邊四邊形，
作圖如下：（答案不唯一）
（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）在矩形內(nèi)或邊上，存在點(diǎn)，使四邊形為面積最大的“等鄰邊四邊形”，
理由如下：
如圖，當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰邊四邊形”，當(dāng)取最大值時(shí)，四邊形為面積最大的“等鄰邊四邊形”，
四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，
，，，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
，
，
，
解得，
，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
，
存在點(diǎn)，使四邊形為面積最大的“等鄰邊四邊形”，此時(shí)四邊形的面積最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四邊形的綜合題，正確理解“等鄰邊四邊形”的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?涪城區(qū)模擬）定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．
【性質(zhì)初探】如圖1，已知，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，四邊形恰為等腰梯形．求的度數(shù)；
【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形是矩形，以為一邊作等腰梯形，，連結(jié)、．求證：；
【拓展應(yīng)用】如圖3，的對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．若，求的長(zhǎng)．
【分析】【性質(zhì)初探】過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，證明，即可求解；
【性質(zhì)再探】證明，即可求解；
【拓展應(yīng)用】連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別證明是等腰三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，從而可求，，在中，用勾股定理求出的長(zhǎng)即為所求的長(zhǎng)．
【解答】【性質(zhì)初探】解：過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，
，
，
，
四邊形恰為等腰梯形，
，
，
，
，
；
【性質(zhì)再探】證明：四邊形是矩形，
，
四邊形是等腰梯形，
，
由（1）可知，，
，
；
【拓展應(yīng)用】解：連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，
是的中點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?常州模擬）定義：我們把對(duì)角線相等的凸四邊形叫做“等角線四邊形”．
（1）在已經(jīng)學(xué)過(guò)的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形“中，一定是“等角線四邊形”的是 ②④ （填序號(hào)）；
（2）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接，，求證：四邊形是等角線四邊形；
（3）如圖2，中，，，，為線段的垂直平分線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是等角線四邊形，求這個(gè)等角線四邊形的面積．
【分析】（1）由矩形和正方形的性質(zhì)可直接求解；
（2）由“”可證，可得，可得結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解．
【解答】（1）解：矩形、正方形的對(duì)角線相等，
矩形和正方形是“等角線四邊形”，
故答案為：②④；
（2）證明：連接，，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
四邊形是等角線四邊形；
（3）當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，如圖，
是的中垂線，
，
，，，
，
四邊形為等角線四邊形，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，
四邊形為等角線四邊形，
，
，，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
綜上所述：這個(gè)等角線四邊形的面積為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，理解等角線四邊形的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”．
（1）如圖1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，若四邊形是以為“相似對(duì)角線”的四邊形，請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺，就可以在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)，請(qǐng)你在圖1中找出滿足條件的點(diǎn)，保留畫圖痕跡（找出2個(gè)即可）
（2）①如圖2，在四邊形中，，，對(duì)角線平分．請(qǐng)問(wèn)是四邊形的“相似對(duì)角線”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若，求的值．
（3）如圖3，在（2）的條件下，若時(shí)，將以為位似中心，位似比為縮小得到，連接、，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫出的長(zhǎng)．
【分析】（1）先求出，，，再分情況求出或，即可畫出圖形；
（2）先判斷出即可得出精論；
分兩種情況，①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先由得出，，再得出，再求出，繼而求出，即可得出結(jié)論；②設(shè)與交于點(diǎn)，先得出為等腰直角三角形，再得出，再得出，繼而求出，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1所示，
，，，，
四邊形是以為“相似對(duì)角線”的四邊形，
當(dāng)時(shí)，或，
或，
或，
或，
同理：當(dāng)時(shí)，或，
如圖中，，，，即為所求；
（2）①是，理由：
，平分，
，
，
又，
，
，
是四邊形的“相似對(duì)角線”；
②，
，
，
，
；
（3）①由（2）可知為等腰直角三角形，，
，
，且相似比為，
，，
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意可得：于，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
；
②如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
，
為等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
同理可證，
即，
，
綜上，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題．主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，勾股定理，判斷兩三角形相似是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春?柯橋區(qū)月考）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．
（1）閱讀與理解：
如圖1，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．四邊形 是 （填“是”或“不是” 等補(bǔ)四邊形．
（2）探究與運(yùn)用：
①如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
（3）思考與延伸：
在等補(bǔ)四邊形中，，，當(dāng)對(duì)角線長(zhǎng)度最大時(shí)，以為斜邊作等腰直角三角形，直接寫出線段的長(zhǎng)度．
【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知，，再根據(jù)弧相等證，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)弧相等可得圓周角相等；
②連接，先證，推出，再證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求的長(zhǎng)；
（3）由前面的探究可知等是等補(bǔ)四邊形的外接圓的直徑時(shí)長(zhǎng)度最大，求得此時(shí)的直徑．
【解答】【解答】解：（1）證明：四邊形為圓內(nèi)接四邊形，
，，
點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，
弧弧，
，
四邊形是等補(bǔ)四邊形；
（2）①四邊形是等補(bǔ)四邊形，四點(diǎn)共圓
弧弧，
，即平分；
②如圖3所示，連接，
圖3
四邊形是等補(bǔ)四邊形，
，
又，
，
平分，
，
由①知，平分，
，
，
又，
，
，
即，
．
（3）當(dāng)對(duì)角線是直徑時(shí)，長(zhǎng)度最大，
以為斜邊作等腰直角三角形，分同側(cè)異側(cè)兩種情況：
①如圖4，在的異側(cè)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
②如圖5，在的同側(cè)，過(guò)作的垂線段交于點(diǎn)，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行探究，運(yùn)用等．
9．（2023?澧縣三模）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，正方形中是上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，則四邊形 是 （填“是”或“不是” “直等補(bǔ)”四邊形；
（2）如圖2，已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，，，，過(guò)點(diǎn)作于．
①過(guò)作于點(diǎn)，試證明：，并求的長(zhǎng)；
②若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，可得出，即可得出答案；
（2）①首先證明四邊形是矩形，則，，再證，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，等量代換即可得；由，可得，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的值即可；
②延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出、的值，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可求解．
【解答】解：（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與重合，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
，，
四邊形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形．
故答案為：是；
（2）①證明：四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，，，，
，，
，
，，
，，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
；
四邊形是矩形，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
解得：或（舍去），
的長(zhǎng)是8；
②周長(zhǎng)，
當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，
如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，即，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，即的周長(zhǎng)最小，
在中，，
四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
周長(zhǎng)的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的一個(gè)綜合題，主要考查新定義，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，第（2）①題關(guān)鍵在證明三角形全等，第（2）②題關(guān)鍵確定的位置．
10．（2023?平遠(yuǎn)縣一模）綜合與實(shí)踐
折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．在折紙過(guò)程中，我們可以研究圖形的運(yùn)動(dòng)和性質(zhì)，也可以在思考問(wèn)題的過(guò)程中，初步建立幾何直觀，現(xiàn)在就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來(lái)折紙吧．定義：將紙片折疊，若折疊后的圖形恰能拼合成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的長(zhǎng)方形，這樣的長(zhǎng)方形稱為完美長(zhǎng)方形．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：
如圖1，將紙片按所示折疊成完美長(zhǎng)方形，若的面積為12，，則此完美長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng) 3 ，面積為 ．
（2）類比探究：
如圖2，將紙片按所示折疊成完美長(zhǎng)方形，若的面積為20，，求完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
（3）拓展延伸：
如圖3，將紙片按所示折疊成完美長(zhǎng)方形，若，，則此完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 ，面積為 ．
【分析】（1）由折疊可知點(diǎn)是中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)三角形面積求的長(zhǎng)，由，點(diǎn)是中點(diǎn)可知是中位線，得到進(jìn)而求完美長(zhǎng)方形面積；
（2）根據(jù)折疊可知，，，從而可得，根據(jù)平行四邊形面積可求得的長(zhǎng)為4進(jìn)而可求周長(zhǎng)；
（3）由折疊可證點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，進(jìn)一步可證四邊形是平行四邊形，所以，即長(zhǎng)方形對(duì)角線長(zhǎng)為15，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到方程，解出，從而可得完美長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和寬，最后求周長(zhǎng)面積即可．
【解答】解：（1）由折疊可知，，，，
，點(diǎn)是中點(diǎn)，
，
，
即，
過(guò)點(diǎn)作于，
四邊形是矩形，
，
，
是中點(diǎn)，
，
，
，
，
完美長(zhǎng)方形的面積為，
故答案為：3，6；
（2）由折疊可知，，
，
同理可知，，
長(zhǎng)方形的面積為，
，
長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；
（3）由折疊可證點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，
由題意知，，
，，
為平行四邊形，
，
在中，設(shè)，則，
由勾股定理得：，
又，
，
，，
周長(zhǎng)為：，
面積為：，
故答案為：42，108．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
11．（2023?五華縣一模）【定義】：
對(duì)角線相等且所夾銳角為的四邊形叫“等角線四邊形”．
如圖1，四邊形為“等角線四邊形”，即，．
【定義探究】：
（1）判斷下列四邊形是否為“等角線四邊形”，如果是在括號(hào)內(nèi)打“”，如果不是打“”．
①對(duì)角線所夾銳角為的平行四邊形．
②對(duì)角線所夾銳角為的矩形．
③對(duì)角線所夾銳角為，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形．
【性質(zhì)探究】：
（2）如圖2，以為邊，向下構(gòu)造等邊，連接，請(qǐng)直接寫出與的大小關(guān)系；
（3）請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【應(yīng)用提升】：
（4）若“等角線四邊形”的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則該四邊形周長(zhǎng)的最小值為 ．
【分析】（1）根據(jù)定義即可求解；
（2）證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)即可求解；
（3）先構(gòu)造平行四邊形，可得對(duì)應(yīng)線段相等，再求出，構(gòu)造直角三角形求出，即可得出答案；
（4），根據(jù)（2）（3）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可求解．
【解答】解：（1）①對(duì)角線所夾銳角為的平行四邊形的對(duì)角線不一定相等，則不能判①是“等角線四邊形”，
選擇；
②對(duì)角線所夾銳角為的矩形，對(duì)角線相等，且所夾銳角為，故②是“等角線四邊形”，
選擇；
③對(duì)角線所夾銳角為，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形，則四邊形的對(duì)角線相等，故③是“等角線四邊形”，
選擇．
故答案為：①；②；③；
（2）是等邊三角形，
，．
，
．
，
，
四邊形是平行四邊形，
．
中，，
即；
（3）如圖，過(guò)作，且，連接，，
四邊形是平行四邊形，
，．
，
．
，
．
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
，，
．
在中，，
，
則．
；
（4）若“等角線四邊形”的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則，
由（2）（3）可得，，
．
該四邊形周長(zhǎng)的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形綜合問(wèn)題，新定義問(wèn)題，特殊角三角函數(shù)值，平行四邊的性質(zhì)與判定等，掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?任城區(qū)校級(jí)三模）定義：長(zhǎng)寬比為為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．
下面，我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè)矩形，如圖①所示．
操作1：將正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕為．
操作2：將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)，點(diǎn)分別落在邊，上，折痕為．
則四邊形為矩形．
證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則．
由折疊性質(zhì)可知，，則四邊形為矩形．
．
．
，即．
．
．
四邊形為矩形．
閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
（1）在圖①中，所有與相等的線段是 、 ，的值是 ；
（2）已知四邊形為矩形，模仿上述操作，得到四邊形，如圖②，求證：四邊形是矩形；
（3）將圖②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個(gè)“矩形”，則的值是 ．
【分析】（1）由折疊即可得到，設(shè)，則有，，根據(jù)，就可求出，然后運(yùn)用三角函數(shù)的定義即可求出的值；
（2）只需借鑒閱讀中證明“四邊形為矩形”的方法就可解決問(wèn)題；
（3）同（2）中的證明可得：將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“矩形”，將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“矩形”，將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“矩形”，由此就可得到的值．
【解答】解：（1）由折疊可得：
，，
．
設(shè)，則．
，，
，
解得．
．
故答案為：、，；
（2），，
．
由折疊可得，，．
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，，
，
，即，
，
，
，
四邊形是的矩形；
（3）同理可得：
將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“矩形”，
將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“矩形”，
將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“矩形”，
所以將圖②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個(gè)“矩形”，
故答案為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、勾股定理等知識(shí)，考查了閱讀理解能力、操作能力、歸納探究能力、推理能力，運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是一道好題．
題型五：圓中的新定義問(wèn)題
1．（2024?大連模擬）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】
如圖，某公園在一個(gè)扇形草坪上的圓心處垂直于草坪的地上豎一根柱子，在處安裝一個(gè)自動(dòng)噴水裝置，噴頭向外噴水，愛思考的小騰發(fā)現(xiàn)噴出的水流呈現(xiàn)出拋物線形狀．
【提出問(wèn)題】
噴出的水距地面的高度米與噴出的水與池中心的水平距離米之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
【分析問(wèn)題】
小騰測(cè)出連噴頭在內(nèi)柱高，噴出的水流在與點(diǎn)的水平距離4米處達(dá)到最高點(diǎn)，點(diǎn)距離地面2米．于是小騰以所在直線為軸，垂直于的地平線為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到與函數(shù)關(guān)系式．
【解決問(wèn)題】
（1）如圖1，在建立的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，水流的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線水流對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí)，這個(gè)草坪剛好被水覆蓋，求噴水裝置能噴灌的草坪的面積（結(jié)果用含的式子表示）；
（3）在扇形的一塊三角形區(qū)域地塊中，現(xiàn)要建造一個(gè)矩形花壇，如圖2的設(shè)計(jì)方案是使、分別在、上，在上．設(shè)米，當(dāng)為多少米時(shí)，矩形花壇的面積最大？最大面積是多少平方米？
【分析】（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，代入、兩點(diǎn)，可得；
（2）令，求得，即為草坪半徑，用扇形面積公式可得；
（3）已知，借助輔助線和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，表示出，求得矩形花壇的面積表示，可得當(dāng)為多少米時(shí)，矩形花壇的面積最大，最大面積是多少平方米．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，
水流的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，代入點(diǎn)，
得，
解得：，
；
（2）令，則，
噴水裝置能噴灌的草坪的面積（平方米）；
（3）由矩形可得，，，，
，
過(guò)作，交于點(diǎn)，
，，
，
，
，，
同理可得，，
，，
，
，
同理可得，，
，，
，
，
，，
矩形花壇的面積，
時(shí)，矩形花壇的面積最大為平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積、二次函數(shù)，關(guān)鍵是掌握扇形面積公式．
2．（2023?湖南模擬）定義：如圖1，是的直徑，若弦，則稱弦為的緯線．
（1）如圖1，弦是的緯線，求證：；
（2）弦和弦都是半徑為5的的緯線，，，，求這兩條緯線之間的距離；
（3）如圖2，弦和弦是直徑兩側(cè)的緯線，連接、、、、、，的半徑為，記四邊形，，的面積依次為，，，若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件時(shí)，求的最大值（用含的式子表示）．
①；
②其中的一條緯線長(zhǎng)不超過(guò)半徑．
【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理即可證明；
（2）作交于，則，連接，；根據(jù)勾股定理可得，，分類討論：當(dāng)弦和弦在圓心的同一側(cè)時(shí)；，即可求得；當(dāng)弦和弦在圓心的兩側(cè)時(shí)；，即可求得；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，，，分別求出，，，根據(jù)，可得，，故，根據(jù)勾股定理可得，令，故，分析該二次函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，有最大值為，即可求得．
【解答】解：（1）如圖，連接，
，
，
和所對(duì)的弧相等，
，
（2）弦和弦都是的緯線，
，，
作交于，則，連接，，
，，，
根據(jù)勾股定理可得，，
有兩種情況：
當(dāng)弦和弦在圓心的同一側(cè)時(shí)，；
當(dāng)弦和弦在圓心的兩側(cè)時(shí)，，
和的距離是1或7；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
設(shè)，，，，
則，，，
，
，
即，
或，
若，則
若，則
，
則，
，
，
在中，，
，
則號(hào)
令，
，
對(duì)稱軸為，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為，
的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等，運(yùn)用分類討論思想和借助二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?靖江市校級(jí)三模）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)度 5 ．
【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，、是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）
【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知是上一定點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形、不重合且、、三點(diǎn)不共線），對(duì)角線與交于點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．
【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的定義列式求解即可；
（2）作，，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，即可得到垂等四邊形，連接，并相交于點(diǎn)，證明，得到，證明，即可得到結(jié)果；
（3）方法一：連接，，根據(jù)已知條件求出，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；
【解答】（1）由垂等四邊形的定義得，
又，
，
．
（2）作，，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，即可得到垂等四邊形，如圖，
連接，并相交于點(diǎn)，
．，
，，
，即，
，，，
．
．
，，
四邊形是垂等四邊形．
（3）連接，，由（2）可得等腰，
，
作，易證得，
設(shè)，，可得方程，
解得或3，如圖：
或，
作，
．
，
，
或，
或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用和四邊形綜合知識(shí)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?海淀區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，，且，兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在外．給出如下定義：平移線段，得到線段，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線段上所有的點(diǎn)都在的內(nèi)部或上，則線段長(zhǎng)度的最小值稱為線段到的“平移距離”．
（1）如圖1，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，線段到的“平移距離”為 2 ，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，，，線段到的“平移距離”為 ；
（2）若點(diǎn)，都在直線上，記線段到的“平移距離”為，求的最小值；
（3）如圖2，若點(diǎn)坐標(biāo)為，線段到的“平移距離”為1，畫圖并說(shuō)明所有滿足條件的點(diǎn)形成的圖形（不需證明）．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及線段到的“平移距離”的定義判斷即可．
（2）如圖1中，作等邊，點(diǎn)在軸上，，設(shè)直線交軸于，交軸于．則，，，過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形求出即可判斷．
（3）如圖3，連接，交于點(diǎn)，則，，運(yùn)用“平移距離”的定義和平移的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)“平移距離”的定義可得：線段到的“平移距離”為2，
如圖1，設(shè)與軸交于，線段向下平移得到的弦，線段與軸交于點(diǎn)，
則，，，
，
，
線段到的“平移距離”為，
故答案為：2，；
（2）如圖2中，作等邊，點(diǎn)在軸上，，
設(shè)直線交軸于，交軸于．則，，，
過(guò)點(diǎn)作于，
，，
，
，
，
觀察圖象可知，線段到的“平移距離”為的最小值為．
（3）如圖3，連接，交于點(diǎn)，
則，
到任意一點(diǎn)距離的最小值為，
點(diǎn)，，
設(shè)平移后圓上另一點(diǎn)為，由題意得：，
有三種情況：
①點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
②點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
③點(diǎn)與點(diǎn)，重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
如圖可知所有滿足條件的點(diǎn)形成的圖形是以為圓心圓心角為的．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，線段到的“平移距離”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
5．（2023?青山區(qū)模擬）在同一個(gè)圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”，如圖①，、是的弦，如果，，垂足為，則、是等垂弦．
（1）如圖②，是的弦，作、，分別交于點(diǎn)、，連接，求證：、是的等垂弦；
（2）在圖①中，的半徑為5，為等垂弦、的分割點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．
【分析】（1）連接，證明可得，再利用圓周角定理得即可；
（2）作，垂足為，作，垂足為，則四邊形為矩形，證明可得四邊形為正方形，由可得，再根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】（1）證明：如圖①，連接，
，，
，
，
，
，
，
同理，
，即，
，，
、是的等垂弦．
（2）解：如圖②，作，垂足為，作，垂足為，則四邊形為矩形，
、是的等垂弦，
，，
，
，，
，
，
矩形為正方形，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：，則．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義題型，運(yùn)用了圓周角定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2023?天寧區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為任意一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)．給出如下定義：記，兩點(diǎn)間的距離的最小值為（規(guī)定：點(diǎn)在上時(shí)，，最大值為，那么把的值稱為點(diǎn)與的“關(guān)聯(lián)距離”，記作．
（1）如圖，點(diǎn)，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．
① 2 ；
②若點(diǎn)在線段上，求的取值范圍；
（2）若點(diǎn)在直線上，直接寫出的取值范圍；
（3）正方形的邊長(zhǎng)為，若點(diǎn)在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足的最小值為1，最大值為，直接寫出的最小值和最大值．
【分析】（1）①運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，即可求得答案；
②根據(jù)新定義“關(guān)聯(lián)距離”，分別求出，，即可得出答案；
（2）設(shè)，可得，，運(yùn)用新定義“關(guān)聯(lián)距離”，可得，再利用，即可求得答案；
（3）如圖2，找出特殊位置，分別畫出圖形，即可得出答案．
【解答】解：（1）①到的距離的最小值，最大值，
，
故答案為：2；
②當(dāng)在點(diǎn)處，，
當(dāng)在點(diǎn)處，，
；
（2）設(shè)，
，，
，
點(diǎn)在直線上，
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，如圖1，
則時(shí)，，時(shí)，，
，，，
，，
，
當(dāng)時(shí)，最小，
，即，
，
無(wú)最大值，
；
（3）如圖2，的最小值為1，最大值為，
兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為，
，
的最小值是，
在中，，，，
，
解得：（舍去）或；
的最小值為，最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查考查了圓的性質(zhì)和新定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
7．（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．對(duì)于一個(gè)角，將一個(gè)圖形先繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，稱為一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”．
（1）點(diǎn)在線段上，則在點(diǎn)，，，中，有可能是由點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)是 ， ；
（2）軸上的一點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)， ；
②當(dāng)時(shí)，若軸，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）以點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓．若在上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)在軸上，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”新定義即可判斷；
（2）①由旋轉(zhuǎn)可得和均為等邊三角形，進(jìn)而推出△△，即可證得結(jié)論；
②根據(jù)“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”新定義得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，進(jìn)而得出，再利用勾股定理即可求得答案；
（3）點(diǎn)在上，則繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后的的軌跡為繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后的上，關(guān)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后得到點(diǎn)，則在關(guān)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后的上，若滿足題意，只需與軸有交點(diǎn)在粉弧上，且，則與軸相切，再證得△△，即可求得答案．
【解答】解：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)；
故答案為：，；
（2）①當(dāng)時(shí)，如圖，
軸上的一點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)，
和均為等邊三角形，
，，，
，
，
△△，
，
故答案為：2；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則，
如圖，將軸作一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到直線，
軸，點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
（3）點(diǎn)在上，則繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后的的軌跡為繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后的上，關(guān)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后得到點(diǎn)，則在關(guān)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度以后的上，若滿足題意，只需與軸有交點(diǎn)在粉弧上，且，
如圖，與軸相切，則，在軸上取點(diǎn)，連接，使，
，
，，，，
△△，
，
故；
如圖，與軸相切，則，在軸上取點(diǎn)，連接，使，
，，
，
，
，
，
△，
，
，
；
綜上所述，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，理解并熟練運(yùn)用“對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”新定義是解題關(guān)鍵．
8．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于與，給出如下定義：若的一個(gè)頂點(diǎn)在上，除這個(gè)頂點(diǎn)外與存在且僅存在一個(gè)公共點(diǎn)，則稱為的“相關(guān)三角形”．
（1）如圖1，的半徑為1，點(diǎn)，為的“相關(guān)三角形”．
在點(diǎn)，，，這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)可以與 點(diǎn)重合；
（2）如圖2，的半徑為1，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，點(diǎn)在第一象限，若為直角三角形，且為的“相關(guān)三角形”．求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）的半徑為，直線與在第一象限的交點(diǎn)為，點(diǎn)，若平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），使得為等腰直角三角形，且為的“相關(guān)三角形”．直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）利用相關(guān)三角形的定義逐個(gè)經(jīng)判斷即可；
（2）由相關(guān)三角形有一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，得到點(diǎn)在第一象限的圓上，再通過(guò)點(diǎn)的位置和點(diǎn)的位置，明確直角只有，先確定點(diǎn)，作，然后根據(jù)找到點(diǎn)符合條件的位置，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)符合條件的位置，分別計(jì)算即可．
（3）通過(guò)點(diǎn)的位置及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，明確與只能有一個(gè)交點(diǎn)，得到半徑最大值，再由與直線交點(diǎn)在第一象限，得到半徑最小值，畫圖確定無(wú)論點(diǎn)在圓上還是圓內(nèi)，圓外均存在滿足條件的等腰直角三角形，得到半徑的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖，各點(diǎn)在圖中位置，
由于邊已與圓有1個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)、均不在圓上，故只有在圓上，且與與點(diǎn)除外只有一個(gè)交點(diǎn)，
由，，可知點(diǎn)在圓上，且與相切，可知△與圓只有及兩個(gè)交點(diǎn)，滿足“相關(guān)三角形”條件，故點(diǎn)可與重合，
與有額外交點(diǎn)，不在圓上，均不滿足條件．
故答案為：．
（2）為的“相關(guān)三角形”．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外，與有一個(gè)交點(diǎn)，故點(diǎn)只能在圓上，且除點(diǎn)外與沒(méi)有其他交點(diǎn)．
為直角三角形，且點(diǎn)在第一象限，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在第一象限，
故只有，又，
當(dāng)點(diǎn)在處，時(shí)，最小，但此時(shí)不合題意，的中點(diǎn)，到點(diǎn)的距離為的一半，得到，
，在圓上，得到，解得，
當(dāng)與相切時(shí)，最大，因?yàn)槔^續(xù)增大，則與會(huì)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作于點(diǎn)，
則，
，
解得，
，
綜上所述，，
（3）直線與在第一象限的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，
故最大時(shí)，在上，最大為，最小時(shí)，直線與相切，最小為，
頂點(diǎn)在上，當(dāng)與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)在圓上，與有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足“相關(guān)三角形”的條件；
若點(diǎn)在圓內(nèi)，則與無(wú)交點(diǎn)，與有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足“相關(guān)三角形”的條件；
若點(diǎn)在圓外，則與有一個(gè)交點(diǎn)，與無(wú)交點(diǎn)，不滿足“相關(guān)三角形”的條件；
故與僅能有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)與相切時(shí)，，直線與軸的交點(diǎn)，
，，
恰有，，
當(dāng)時(shí)，與只有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)，圓上，圓外時(shí)，與均只有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足“相關(guān)三角形”的條件，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題為新定義類型的綜合題，需按照定義進(jìn)行判斷，本題還涉及直角三角形，等腰直角三角形等知識(shí)，解題時(shí)還需注意分類討論．
9．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線，給出如下定義：若直線與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線關(guān)于該圓的“圓截距”．
（1）如圖1，的半徑為1，當(dāng)，時(shí)，直接寫出直線關(guān)于的“圓截距”；
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①如圖2，若的半徑為1，當(dāng)時(shí)，直線關(guān)于的“圓截距”小于，求的取值范圍；
②如圖3，若的半徑為2，當(dāng)?shù)娜≈翟趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線關(guān)于的“圓截距”的最小值2，直接寫出的值．
【分析】（1）根據(jù)和的值直接寫出直線的解析式，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出“圓截距”即可；
（2）①根據(jù)圓的垂徑定理，確定弦長(zhǎng)為時(shí)，弦的位置，注意分類，確定直線的解析式，根據(jù)直線的增減性確定的取值范圍即可；
②當(dāng)最短弦長(zhǎng)為2時(shí)，分弦在軸上方和軸下方兩種情況討論求解．
【解答】解：（1），，
直線的解析式為，
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
則，，
，
即直線關(guān)于的“圓截距”為；
（2）
①如圖2，設(shè)直線與正半軸交點(diǎn)為，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，的半徑為1，
圓與軸正半軸交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，直線的解析式為，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，
解得；
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
，，
，
，
，，
，，
設(shè)直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，
則，
關(guān)于的“圓截距”小于，
的取值范圍是；
設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，
點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
，
根據(jù)圓的對(duì)稱性，直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)，
，
，
的坐標(biāo)為，
，
解得，
直線的解析式為，
關(guān)于的“圓截距”小于，
的取值范圍是；
綜上，的取值范圍是或．
②當(dāng)?shù)娜≈翟趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線關(guān)于的“圓截距”的最小值2，
設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)的“圓截距”的最小值2，
如圖，即，，
由題知，為等邊三角形，
，
，
由勾股定理得，，
根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，一次函數(shù)的解析式和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?天寧區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于與上一點(diǎn)，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足：射線與交于點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，．
（1）如圖1，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的半徑是，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”．
①若點(diǎn)在軸正半軸上，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)是 ， ；
②若點(diǎn)在第一象限，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于、，若一次函數(shù)的圖象上存在唯一一點(diǎn)，使點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”，求的值．
【分析】（1）①在軸正半軸時(shí)，如圖1，設(shè)點(diǎn)為與軸正半軸的交點(diǎn)，根據(jù)“倍距點(diǎn)”的定義，可求得，，即可求出答案；
②若時(shí)，如圖2，作軸于，軸于，連接，先證得，再根據(jù)“倍距點(diǎn)”的定義和三角函數(shù)即可求得答案；
（2）先求得，，，進(jìn)而得出，取的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，則直線的解析式為，當(dāng)與直線相切時(shí)，一次函數(shù)的圖象上存在唯一一點(diǎn)，使點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”，設(shè)切點(diǎn)為或，連接，，根據(jù)，，，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①在軸正半軸時(shí)，如圖1，設(shè)點(diǎn)為與軸正半軸的交點(diǎn)，
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的半徑是，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”，
，，
點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，，
故答案為：，；
②若時(shí)，如圖2，作軸于，軸于，連接，
，
，
，
，
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的半徑是，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”， ，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
由比例式得：，，
，
，；
（2）存在符合條件的點(diǎn)．如圖3，
一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于、，
令，則，令，則，
解得，
，，，
，，
軸軸，
，
，
，
取的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，
則直線的解析式為，
當(dāng)與直線相切時(shí)，一次函數(shù)的圖象上存在唯一一點(diǎn)，使點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的“倍距點(diǎn)”，
設(shè)切點(diǎn)為或，連接，，
則，
，
，
，，，
，，，，
或，
解得：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓與一次函數(shù)綜合題，考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象，特殊角三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，新定義等，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義“倍距點(diǎn)”的理解和運(yùn)用．
11．（2023?石景山區(qū)一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和圖形、給出如下定義：若圖形上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圖形上，則稱點(diǎn)為圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）圖形是線段，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①如圖1，在點(diǎn)，，，中，線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是 、 ；
②如圖2，若直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求的取值范圍；
（2）圖形是以為圓心，1為半徑的．已知點(diǎn)，，．若線段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可知是線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；
②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得的最小值，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得的最大值，可得的取值范圍為；
（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可知：當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡有交點(diǎn)時(shí)，取得最大值；當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡相切時(shí)，取得最小值；列出不等式分別求得的最小值和最大值即可．
【解答】解：（1）①如圖1，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，
點(diǎn)、為圖形線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，
故答案為：、．
②如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得的最小值，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得的最大值，
把代入，得，
解得：；
把代入，得；
解得：；
的取值范圍為；
（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可知：當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡有交點(diǎn)時(shí)，取得最大值；當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡相切時(shí)，取得最小值；如圖3，
則，
解得：，
的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，圓的性質(zhì)，“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
12．（2023?大興區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），若是以線段為斜邊的直角三角形，則稱點(diǎn)為線段的直點(diǎn)．
（1）若，
①在點(diǎn)，，這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn) 是線段的直點(diǎn)；
②點(diǎn)為線段的直點(diǎn)，點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的橫坐標(biāo) 滿足，點(diǎn)為線段的直點(diǎn)，且，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）①按所給點(diǎn)，逐個(gè)計(jì)算，再根半徑比較即可；
②連接作直線，交于、，則是的最小值，是的最大值，再分別計(jì)算、即可；
（2）若點(diǎn)在處和若點(diǎn)在處時(shí)，分別求出當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)即可．
【解答】解：（1）①若，
則，．
以為圓心，1為半徑作圓，
則線段的直點(diǎn)滿足在上，
，，
，
在內(nèi)，
不是線段的直點(diǎn)；
，
，
在上，
是線段的直點(diǎn)；
，
，
在外，
不是線段的直點(diǎn)；
故答案為：．
②如圖，作直線，交于、，則是的最小值，是的最大值，
點(diǎn)，
，
，，
，
（2）在直線上且滿足，
點(diǎn)在如圖中的兩個(gè)點(diǎn)之間，
當(dāng)時(shí)，
若點(diǎn)在處，，
連接交于，
當(dāng)時(shí)，，
即，
若點(diǎn)在處，，
連接交于，
當(dāng)時(shí)，，
即，
的取值范圍．
當(dāng)時(shí)，
即，
的取值范圍．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)圓最值的應(yīng)用解答，一次函數(shù)性質(zhì)及勾股定理的計(jì)算是解題關(guān)鍵．
13．（2023?房山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有圖形和點(diǎn)，我們規(guī)定：若圖形上存在點(diǎn)、（點(diǎn)和可以重合），滿足，其中點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則稱點(diǎn)是圖形的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”．
（1）如圖1所示，已知，點(diǎn)，點(diǎn)．
①在點(diǎn)，，中，是線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的是 ， ；
②線段上是否存在線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出符合要求的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作．坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)滿足，再以點(diǎn)為圓心，1為半徑作，若上存在的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；
②不存在，根據(jù)“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的定義進(jìn)行討論可得結(jié)論；
（2）畫出圖形進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：（1）①如圖1，點(diǎn)，，，
，
，，
，
線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”是，，
故答案為：，；
②不存在，理由如下：
設(shè)為線段上任意一點(diǎn)，則它與線段上點(diǎn)的距離最小值為0，最大值為和中的較大值，
，，
點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，它到線段上任意一點(diǎn)的距離大于等于4，
若、是線段上的任意兩點(diǎn)，則，，
不存在，
線段上不存在線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”；
（2）如圖2，由②可知線段上不存在的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”， 上存在的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，理解題意，弄清“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的定義，取特殊點(diǎn)特殊位置是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)一模）【概念學(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，，則對(duì)線段的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為 4 ．
（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，求的取值范圍．
（4）、，且，將對(duì)線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是 ．
【分析】（1）由題意即可求解；
（2）由題意可知，到圓的最小距離為3，即到圓心的距離為4，設(shè)，則，即可求解；
（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出；同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；
（4）由題意可知，是一條傾斜角度為，長(zhǎng)度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦，，如果落在弧上，或者落在弧上，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得，對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4，
故答案為：4；
（2）由題意可知，到圓的最小距離為3，
即到圓心的距離為4，
設(shè)，
則，
解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或，，
故答案為：或，；
（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為1，
，，
，
，
則，
設(shè)，則，
由勾股定理可得：，
解得（舍，
，
此時(shí)．
同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，
經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點(diǎn)，
或；
（4）由題意可知，是一條傾斜角度為，長(zhǎng)度為的線段，
可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦，，
如果落在弧上，或者落在弧上，則成立，
當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為，
此時(shí)，
綜上，，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形相似、新定義等，數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．
15．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形和點(diǎn)，若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿足且，則稱點(diǎn)是圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
已知點(diǎn)，，．
（1）在點(diǎn)，，，，，中， ， 是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
（2）是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
①當(dāng)時(shí)，若線段上任一點(diǎn)均為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；
②記線段與線段組成折線，若存在，使折線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出的最小值．
【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合勾股定理進(jìn)行判斷即可；
（2）①根據(jù)題意推得三角形為含30度角的直角三角形，根據(jù)瓜豆原理可得求得點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，推得的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以為圓心，和為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成的圓環(huán)中，結(jié)合圖形求得半徑的取值范圍；
②結(jié)合①中的結(jié)論，畫出滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的范圍，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1），
為直角三角形，
滿足，
根據(jù)勾股定理可得：，
，，
；
，，
；
，，
，
，且，
是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
，且，
是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
，且，
，，
，
對(duì)于線段上的任意兩點(diǎn)、，
當(dāng) 時(shí)，，如圖，則必是銳角，不可能是直角，
不是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
故答案為：，．
（2）①由（1）可得：，
為直角三角形，
，
即，
即三角形為含30度角的直角三角形，如圖：
則點(diǎn)是以為斜邊且含30度角的直角三角形的直角頂點(diǎn)．
在圓上取點(diǎn)，，則對(duì)于任意位置的和，符合的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有2個(gè)，如圖：
以點(diǎn)為例，當(dāng)點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)為圓上一定點(diǎn)，且，，
則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，故點(diǎn)的軌跡也為圓，令點(diǎn)的軌跡為圓，如圖：
當(dāng)，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
，，
則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，
當(dāng)點(diǎn)也在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，也隨之運(yùn)動(dòng)，
則掃過(guò)的區(qū)域?yàn)?和為半徑圍成的圓，
即的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以為圓心，和為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成的圓環(huán)中，
當(dāng)線段與半徑為 交于點(diǎn)時(shí)，最小，如圖：
則，
解得，
當(dāng)線段與半徑為的圓相切時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)作，如圖：
則，
即，
解得，
則，
解得，
②當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍如圖陰影部分：
當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍如圖陰影部分：
當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在不同線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)上的范圍如圖陰影部分：
綜上，所有區(qū)域疊加一起為：
由①可知，滿足的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍為圓環(huán)，
故若使得圓環(huán)能夠完整“包住”關(guān)聯(lián)點(diǎn)，圓環(huán)中外圓 的必須經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，，，，
四邊形為矩形，
，
則，
即，
解得 （負(fù)值舍去）；
綜上，的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，勾股定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，借助三角形面積求高，解一元一次方程，解一元二次方程等，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)推得滿足條件關(guān)聯(lián)點(diǎn)的范圍是圓環(huán)，根據(jù)臨界點(diǎn)求最值是解題的關(guān)鍵．
16．（2024?北京一模）對(duì)于平面內(nèi)的兩點(diǎn)、，作出如下定義：若點(diǎn)是點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)，在點(diǎn)，，，，中，是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是 ， ．
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（3）點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)是以為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．若直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）如圖中，滿足條件的點(diǎn)在半圓上（不包括點(diǎn)以及軸上的點(diǎn)），點(diǎn)，滿足條件．
（2）如圖中，以為圓心，3為半徑作半圓，交軸于，當(dāng)直線與半圓有交點(diǎn)（不包括，時(shí)，滿足條件．
（3）根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓上，設(shè)點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在半圓上（將半圓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過(guò)的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，求出圖3（2），圖3（3）中，的值，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，，，
，，
點(diǎn)不是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
，作軸于點(diǎn)，
，
，
，
點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
，作軸于點(diǎn)，
則，
，
，
，
不是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
，，作軸于點(diǎn)，
則，
，
，
是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；
綜上所述，在點(diǎn)，，，中，是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是，，
故答案為：，．
（2）在軸上取點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，
解得：，
當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角時(shí)，點(diǎn)一定可以落在某條直線上，
過(guò)點(diǎn)作直線，垂足在第四象限時(shí)，如圖，
則，，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
，
，
．
（3）根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在半圓上，設(shè)點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在半圓上（將半圓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過(guò)的區(qū)域?yàn)閳D3（1）中陰影部分，
如圖3（2）中，陰影部分與直線相切于點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
，即，
解得，
如圖3（3）中，陰影部分與相切于點(diǎn)，，，則，，
，
解得，
觀察圖象可知，．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問(wèn)題，屬于壓軸題．
17．（2023?清江浦區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，若線段或的垂直平分線與線段有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)為線段的融合點(diǎn)．
（1）已知，，
①在點(diǎn)，，中，線段的融合點(diǎn)是 ， ；
②若直線上存在線段的融合點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）已知的半徑為4，，，直線過(guò)點(diǎn)，記線段關(guān)于的對(duì)稱線段為．若對(duì)于實(shí)數(shù)，存在直線，使得上有的融合點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）①分別求出的線段垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，，直線的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，，直線的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，再根據(jù)定義判斷即可；
②線段的融合點(diǎn)在以、為圓心，為半徑的圓及內(nèi)部，當(dāng)與圓有交點(diǎn)時(shí)，直線上存在線段的融合點(diǎn)；
（2）由（1）可知，的融合點(diǎn)在以、為圓心，為圓心的圓及內(nèi)部，圓與圓、圓的公共區(qū)域?yàn)橐詾閳A心2為半徑，以為圓心的圓環(huán)與圓有交點(diǎn)，臨界情況是圓內(nèi)含時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，由此可求的取值范圍為或．
【解答】解：（1）①，，
的線段垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，，
是線段的融合點(diǎn)；
，，
設(shè)直線的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，
，
解得，
直線的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，，
不是線段的融合點(diǎn)；
，，
設(shè)直線的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，
，
解得，
直線的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，
是線段的融合點(diǎn)；
故答案為：，；
②線段的融合點(diǎn)在以、為圓心，為半徑的圓及內(nèi)部，
，，
，
當(dāng)與圓相切時(shí)，或，
時(shí)，直線上存在線段的融合點(diǎn)；
（2）由（1）可知，的融合點(diǎn)在以、為圓心，為圓心的圓及內(nèi)部，
，，
，
上有的融合點(diǎn)，
圓與圓、有交點(diǎn)，
圓與圓、圓的公共區(qū)域?yàn)橐詾閳A心2為半徑，以為圓心的圓環(huán)與圓有交點(diǎn)，臨界情況是圓內(nèi)含時(shí)，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，
；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，
；
綜上所述：的取值范圍為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，弄清定義，根據(jù)題意能夠確定線段的融合點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．
18．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）在平面內(nèi)，為線段外的一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則稱為線段的直角點(diǎn)．特別地，當(dāng)該三角形為等腰直角三角形時(shí)，稱為線段的等腰直角點(diǎn)．
（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在點(diǎn)，，，中，線段的直角點(diǎn)是 、 ；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．
①若，如圖2所示，若是線段的直角點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的半徑為1，若上存在線段的等腰直角點(diǎn)，求出的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)給出的定義結(jié)合圖形可直接判斷；
（2）①根據(jù)題意，可以分三種情況：當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
②以為邊向下作正方形，則，，是線段的等腰直角點(diǎn)．求出點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用直線與圓的位置關(guān)系確定的取值范圍．
【解答】解：（1），，
，
是線段的直角點(diǎn)；
，，
，
，，
，
在以為圓心，為直徑的圓上，
，
是線段的直角點(diǎn)；
故答案為：、；
（2）①，，
，
．
根據(jù)題意，若點(diǎn)為線段的直角點(diǎn)，則需要分三種情況：
當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
設(shè)，
，
，解得，
；
當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
設(shè)，
，
，解得，
；
當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，取的中點(diǎn)，
則，
設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，
由直角三角形的性質(zhì)可知，，
，解得，
，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
②如圖，以為邊向下作正方形，連接，交于點(diǎn)，則，，是線段的等腰直角點(diǎn)．
根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，在直線上運(yùn)動(dòng)，在直線上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，
，．
由此可得出臨界情況如圖：
如圖3（1）中，當(dāng)與相切時(shí)，；
如圖3（2）中，當(dāng)與相切時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，連接，
則為等腰直角三角形，且，
；
，，即；
如圖3（3）中，當(dāng)與相切時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，連接，
則為等腰直角三角形，且，
；
，，即；
如圖3（4）中，當(dāng)與相切時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，連接，
則為等腰直角三角形，且，
；
，，即；
綜上，符合題意的的取值范圍：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，直角三角形的存在性，等腰直角三角形的存在性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
19．（2023?秀洲區(qū)校級(jí)二模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”；
（1）若平行四邊形是“婆氏四邊形”，則四邊形是 ③ ．（填序號(hào)）
①矩形②菱形③正方形
（2）如圖1，中，，以為弦的交于，交于，連接、、，，，若四邊形是“婆氏四邊形”，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，四邊形為的內(nèi)接四邊形，連接，，，，，，已知，
①求證：四邊形是“婆氏四邊形”；
②當(dāng)時(shí)，求半徑的最小值．
【分析】（1）先證明平行四邊形是矩形，再由定義證明矩形是正方形，即可求解；
（2）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得，，，設(shè)，則，，在中，用勾股定理可求解；
（3）①根據(jù)圓周角定理得出，從而得出，即可證明；
②過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)作交于，證明，設(shè)，則，，，在中，，當(dāng)時(shí)，有最小值，即半徑的最小值為．
【解答】（1）解：平行四邊形為的內(nèi)接四邊形，
，，
，
平行四邊形是矩形，
四邊形是“婆氏四邊形”，
，
矩形是正方形，
故答案為：③；
（2）解：，，，
，，
為直徑，
，
四邊形是“婆氏四邊形”，
，
，，
設(shè)，則，，
在中，，
解得，
；
（3）①證明：如圖2，設(shè)，相交于點(diǎn)，
，，，
，
，
，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
四邊形是“婆氏四邊形”；
②解：過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)作交于，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
在中，，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
半徑的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬），是上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)在的內(nèi)部．若為直角，則稱為關(guān)于的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心在邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱為關(guān)于的最佳內(nèi)直角．如圖1，是關(guān)于的內(nèi)直角，是關(guān)于的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系中．
（1）如圖2，的半徑為5，，是上兩點(diǎn)．
①已知，，，在，，中，是關(guān)于的內(nèi)直角的是 ， ；
②若在直線上存在一點(diǎn)，使得是關(guān)于的內(nèi)直角，求的取值范圍．
（2）點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)，，對(duì)于線段上每一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，請(qǐng)直接寫出的最大值，以及取得最大值時(shí)的取值范圍．
【分析】（1）判斷點(diǎn)，，是否在以為直徑的圓弧上即可得出答案；
（2）求得直線的解析式，當(dāng)直線與弧相切時(shí)為臨界情況，證明，可求出此時(shí)，則答案可求出；
（3）可知線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值2，再分點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合兩種情況求出臨界位置時(shí)的值即可得解．
【解答】解：（1）如圖1，
，，，
，，，
不在以為直徑的圓弧上，
故不是關(guān)于的內(nèi)直角，
，，，
，，，
，
，
是關(guān)于的內(nèi)直角，
同理可得，，
是關(guān)于的內(nèi)直角，
故答案為：，；
（2）是關(guān)于的內(nèi)直角，
，且點(diǎn)在的內(nèi)部，
滿足條件的點(diǎn)形成的圖形為如圖2中的半圓（點(diǎn)，均不能取到），
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，，
，，
并可求出直線的解析式為，
當(dāng)直線過(guò)直徑時(shí)，，
連接，作直線交半圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，
，，
，
，
是半圓的切線．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，直線的解析式為，
直線的解析式為，此時(shí)，
的取值范圍是．
（3）對(duì)于線段上每一個(gè)點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，
點(diǎn)一定在的邊上，
，，線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，
當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值，
即的最大值為2．
分兩種情況：
①若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，那么點(diǎn)必須在邊上，此時(shí)，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
當(dāng)與重合時(shí)，，
此時(shí)的取值范圍是，
②若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，臨界位置有兩個(gè)，一個(gè)是當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，另一個(gè)是當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)的取值范圍是，
綜合以上可得，的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的關(guān)鍵．
抽取序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
箱沙糖桔直徑
4.5
4.4
4.6
4.5
4.4
4.5
4.6
4.6
4.5
4.4
箱沙糖桔直徑
4.4
4.3
4.4
4.7
4.4
4.8
4.5
4.2
4.8
4.5
統(tǒng)計(jì)量
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
4.5
4.5
4.4
三角形的旁心
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和其他兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)，稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心．如圖1，的平分線與另外兩個(gè)內(nèi)角，的外角平分線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的一個(gè)旁心．
旁心與三角形的半周長(zhǎng)（即周長(zhǎng)的一半）關(guān)系密切，如圖2，過(guò)的旁心分別作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．
下面是部分證明過(guò)程：
平分，，，
．（依據(jù)）
同理可得，．

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