通用的解題思路：
解決這類問題的基本思路是觀察一歸納一猜想一證明(驗證)，具體做法是:①認
真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關系:②分析概括所給數(shù)式圖
的特征，歸納它們的共性和蘊含的變化規(guī)律，猜想得出一個一般性的結論;③結
合問題所給的材料查是證明或驗證結論的正確性。
題型一：數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想
1．（2024?馬鞍山一模）觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
．
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出你猜想的第個等式： （用含的等式表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)前4個等式的規(guī)律求解此題；
（2）根據(jù)前5個等式歸納出此題規(guī)律進行求解．
【解答】解：（1）第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
第5個等式：，
故答案為：；
（2）由題意得，
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
，
第個等式：．
故答案為：．
【點評】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關鍵是能準確理解題意，并通過觀察、計算、歸納進行求解．
2．（2024?包河區(qū)一模）觀察下列等式：
；
；
；
（1）猜想并寫出第6個等式 ． ；
（2）猜想并寫出第個等式 ；
（3）證明（2）中你猜想的正確性．
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解即可；
（2）分析所給的等式的形式，進行總結即可；
（3）把（2）中的左邊進行整理，從而可求證．
【解答】解：（1）由題意得：第6個等式．
故答案為：；
（2）由題意得：第個等式．
故答案為：；
（3）（2）中的等式左邊
右邊．
故猜想成立．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規(guī)律．
3．（2024?嘉善縣一模）觀察下面的等式：，，，，
（1）寫出的結果；
（2）按照上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論；（用含的等式表示，為正整數(shù)）
（3）試運用相關知識，推理說明你所得到的結論是正確的．
【分析】（1）由上述等式得，，所以；
（2）觀察上面的等式可得，；
（3）計算是否等于．
【解答】解：（1）由上述等式得，；
（2）；
（3）．
【點評】本題考查了算術平方根，關鍵是從等式中找到規(guī)律．
4．（2024?新樂市一模）每個人都擁有一個快樂數(shù)字，我們把自己出生的年份減去組成這個年份的數(shù)字之和，所得的差就是我們自己的快樂數(shù)字．比如我國著名的數(shù)學家華羅庚出生于1910年，他的快樂數(shù)字是．
（1）某人出生于1949年，他的快樂數(shù)字是 1926 ；
（2）你再舉幾個例子并觀察，這些快樂數(shù)字都能被 整除，請你用所學知識說明你的猜想．
（3）請你重新對快樂數(shù)字定義，并寫出一個你找到的規(guī)律（直接寫出結果，不用證明）．
【分析】（1）根據(jù)快樂數(shù)字的定義即可解決問題．
（2）按要求舉幾個例子，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（3）根據(jù)（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進行重新定義即可．
【解答】解：（1）由題知，
，
即他的快樂數(shù)字是1926．
故答案為：1926．
（2）例如：1986，1995，
，
，
觀察發(fā)現(xiàn)，這些快樂數(shù)字都能被9整除．
證明如下，
令這個四位數(shù)為：，，
則
，
故此代數(shù)式是9的倍數(shù)，
所以猜想是正確的．
（3）定義如下，
若一個四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字相等，個位數(shù)字與百位數(shù)字相等，則稱這個數(shù)為“快樂數(shù)字”．
發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是，
“快樂數(shù)字”能被101整除．（答案不唯一）．
【點評】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，理解題中“快樂數(shù)字”的定義是解題的關鍵．
5．（2024?長安區(qū)一模）某班數(shù)學小組在研究個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律時，得到了下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）填空： 5625 ；
（2）已知且為整數(shù)，猜想第個等式（用含的等式表示），并證明．
【分析】（1）計算，根據(jù)上述等式得；
（2）根據(jù)上述等式，得出規(guī)律，，且為整數(shù)），再證明即可．
【解答】解：（1）5625；
；
（2），，且為整數(shù)）
證明：
，
猜測的算式正確．
【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和列代數(shù)式，從題目中找出數(shù)字與等式的變化規(guī)律是解題的關鍵．
6．（2024?廬江縣一模）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）各等式都成立時， ；
（2）在（1）的條件下，寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)所給等式，求出得值即可解決問題．
（2）觀察所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
因為，
解得，
所以的值為．
故答案為：．
（2）因為第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
，
觀察所給等式各部分的變化規(guī)律可知，
第個等式：；
證明如下，
左邊；
右邊；
左邊右邊，
所以此等式成立．
【點評】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律進而得出第的等式是解題的關鍵．
7．（2023?利辛縣模擬）觀察下列等式：
第①個等式：，
第②個等式：，
第③個等式：，
第④個等式：，
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：
（1）寫出第⑤個等式；
（2）寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)等式的計算規(guī)律分析即可；
（2）利用等式的計算規(guī)律寫出猜想，再運用平方差公式計算證明．
【解答】解：（1）第⑤個等式為：；
（2）第個等式（用含的式子表示）為：，
證明：左邊，
右邊，
左邊右邊，
．
【點評】本題考查了數(shù)字規(guī)律的探究，熟練掌握平方差公式的應用是解答本題的關鍵．
8．（2023?全椒縣三模）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
第5個等式：；
；
按照以上規(guī)律，解決下列問題
（1）寫出第6個等式： ；
（2）寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并驗證其正確性．
【分析】（1）根據(jù)前5個等式規(guī)律寫出第6個等式；
（2）根據(jù)前5個等式猜想出第個等式并驗證．
【解答】解：（1）第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
第5個等式：，
可得第6個等式為：，
故答案為：；
（2）由題意可猜想得，第個等式為：，
證明：
，
第個等式為：．
【點評】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關鍵是能準確理解題意，并通過觀察、計算、歸納進行求解．
9．（2023?夏邑縣校級三模）設是一個兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字．例如：當時，表示的兩位數(shù)是45．
（1）嘗試：
①當 時，；
②當 時，；
③當時，；
④當時， ．
（2）歸納：與有怎樣的大小關系？試說明理由．
（3）運用：若與的和為6325，求的值．
【分析】（1）根據(jù)規(guī)律直接得出結論即可；
（2）根據(jù)即可得出結論；
（3）根據(jù)題意列出方程求解即可．
【解答】解：（1）①當 時，；
②當 時，；
③當時，；
③當時，，
故答案為：；
（2），理由如下：
；
（3）由題知，，
即，
解得或（舍去），
的值為7．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律得出的結論是解題的關鍵．
10．（2023?鳳臺縣校級三模）觀察等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
根據(jù)以上等式的規(guī)律，解答下列問題：
（1）直接寫出第5個等式： ；
（2）猜想并寫出第個等式，證明你所猜想的正確性．
【分析】先分別找出分子分母的規(guī)律，再猜想出等式，并證明即可．
【解答】解：（1）先得到第一個分數(shù)的分子分母分別為7，，
第二個分數(shù)的分子分母分別為1，7，
第三個分數(shù)的分子分母分別為1，，
故得：．
（2）第個等式：
證明：左邊右邊，
得證．
【點評】本題主要考查學生找出分子分母的規(guī)律，再猜想出等式的能力，用分式運算證明是難點．
11．（2023?蕭縣三模）觀察下列等式：第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第4個等式： ；
（2）寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)題目中的三個等式各部分的變化規(guī)律，可解決問題．
（2）根據(jù)此等式各部分的變化規(guī)律，可歸納猜想出第個等式．將所得等式的左邊通分，與右邊相等，則可得出此等式成立
【解答】解：（1）由題知，
第4個等式為：．
故答案為：；
（2）猜想第個等式為：．
證明：左邊右邊，
所以此等式成立．
【點評】本題考查了數(shù)式變化規(guī)律的歸納猜想問題，抓住等式中各部分的變化規(guī)律是解決問題的關鍵．
12．（2023?無為市四模）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式： ．
（2）寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解即可；
（2）利用所給的規(guī)律進行求解即可．
【解答】解：（1）按照以上規(guī)律，第5個等式為：；
故答案為：；
（2）按照以上規(guī)律，第個等式為：．證明如下：
等式左邊
，
等式右邊，
等式左邊等式右邊，
等式成立．
【點評】本題主要考查分式的加減法，數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是讀懂題意，找到已知等式的規(guī)律．
13．（2023?思明區(qū)模擬）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話從左往右讀和從右往左讀，結果完全相同．文學上把這樣的現(xiàn)象稱為“回文”，數(shù)學上也有類似的“回文數(shù)”，比如252，7887，34143．小明在計算兩位數(shù)減法的過程中意外地發(fā)現(xiàn)有些等式從左往右讀的結果和從右往左讀的結果一樣，如：；；．數(shù)學上把這類等式叫做“減法回文等式”．
（1）①觀察以上等式，請你再寫出一個“減法回文等式”；
②請歸納“減法回文等式”的被減數(shù)（十位數(shù)字為，個位數(shù)字為與減數(shù)應滿足的條件，并證明．
（2）兩個兩位數(shù)相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，請你直接寫出“乘法回文等式”的因數(shù)與因數(shù)應滿足的條件．
【分析】（1）①根據(jù)題意寫出一個“減法回文等式“即可；
②由已知“減法回文等式”的定義證明即可；
（2）類似“減法回文等式”定義得到“乘法回文等式”，再根據(jù)“乘法回文等式”定義證明即可．
【解答】解：（1）①觀察已知等式，再寫出一個“減法回文等式”可以是（答案不唯一）；
②歸納“減法回文等式”的被減數(shù)（十位數(shù)字為，個位數(shù)字為與減數(shù)應滿足的條件是，證明如下：
，即，
整理，得：，
；
（2）兩個兩位數(shù)相乘，也存在“乘法回文等式“，“乘法回文等式“的因數(shù)與因數(shù)應滿足的條件是，理由如下：
，
即，
整理，得：
，
．
【點評】本題主要考查了整式的加減，注意發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出運算的規(guī)律解決問題．
14．（2023?武安市三模）某數(shù)學興趣小組研究如下等式：，，，．觀察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘，且積有一定的規(guī)律”．
（1）根據(jù)上述的運算規(guī)律，直接寫出結果： 3016 ； ；
（2）設其中一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為．
①請用含，的等式表示這個運算規(guī)律，并用所學的數(shù)學知識證明；
②上述等式中，分別將左邊兩個乘數(shù)的十位和個位數(shù)字調(diào)換位置，得到新的兩個兩位數(shù)相乘（如調(diào)換為．若記新的兩個兩位數(shù)的乘積為，①中的運算結果為，求證：能被99整除．
【分析】（1）根據(jù)上述的運算規(guī)律計算，即可求解；
（2）①根據(jù)題意可得這兩個兩位數(shù)分別為，，從而得到這個運算規(guī)律為，然后分別計算等式的左右兩邊，即可求解；
②由①得：，可得新的兩個兩位數(shù)分別為，，進而得到，然后計算出，即可解答．
【解答】（1）解：根據(jù)題意得：，；
故答案為：3016；5625；
（2）①解：其中一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，
另一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，
這兩個兩位數(shù)分別為，，
根據(jù)題意得：這個運算規(guī)律為，
證明：左邊，
右邊，
左邊右邊；
②證明：由①得：，
分別將左邊兩個乘數(shù)的十位和個位調(diào)換位置，得到新的兩個兩位數(shù)相乘，
新的兩個兩位數(shù)分別為，，
，
，
，為正整數(shù)，
為整數(shù)，
能被99整除．
【點評】本題主要考查了整式的混合運算，因式分解的應用，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵．
15．（2024?安徽模擬）【觀察】觀察下列式子：
①；
②；
③；
④；
【猜想】根據(jù)上述式子猜想式子⑥： 7 ；
【發(fā)現(xiàn)】用含的式子表示出第個式子： ；
【應用】利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．
【分析】猜想：根據(jù)上述四個式子猜想第六個式子即可；
發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上述式子得出一般規(guī)律，即；
應用：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算即可．
【解答】解：猜想：⑥：，
故答案為：7，8；
發(fā)現(xiàn)：第個式子：，
故答案為：；
應用：原式．
【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算和列代數(shù)式，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵．
16．（2024?蕪湖二模）如圖被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第3行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，，我們把第1個數(shù)記為，第2個數(shù)記為，第3個數(shù)記為，，第個數(shù)記為．
（1）根據(jù)這列數(shù)的規(guī)律， 36 ， ；
（2）這列數(shù)中有66這個數(shù)嗎？如果有，求；如果沒有，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意，可以得出規(guī)律：第個數(shù)記為，再求即可；
（2）設，求解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：
；
；
；
；
，
第個數(shù)記為，
；
故答案為：36；．
（2）設，
解得：，
這列數(shù)中有66這個數(shù)，．
【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出數(shù)字間的變化規(guī)律是解題的關鍵．
17．（2024?池州二模）觀察下列式子：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
（1）請寫出第4個等式： ；
（2）設一個兩位數(shù)表示為，根據(jù)上述規(guī)律，請寫出的一般性規(guī)律，并予以證明．
【分析】（1）根據(jù)前3個等式的規(guī)律，即可寫出答案；
（2）根據(jù)前3個等式的運算過程，即可得出一般性規(guī)律，再進行證明即可．
【解答】解：（1），
故答案為：；
（2）一般性規(guī)律：．
證明：等式左邊，
等式右邊，
等式左邊等式右邊，即．
【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和有理數(shù)的混合運算，找出等式的變化規(guī)律是解題的關鍵．
18．（2024?廬江縣校級模擬）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
（1）請你按照上述等式規(guī)律寫出第5個等式；
（2）根據(jù)上述等式規(guī)律寫出第個等式；
（3）證明（2）中你所寫等式的正確性．
【分析】（1）根據(jù)前幾個等式，可得第5個等式：；
（2）第個等式：；
（3）證明等式左邊等于等式右邊即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）左邊右邊，
等式成立．
【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，從題目中找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關鍵．
19．（2024?沅江市一模）設，，，容易知道，，，如果一個數(shù)能表示為8的倍數(shù)，我們就說它能被8整除，所以，，都能被8整除．
（1）試探究是否能被8整除，并用文字語言表達出你的結論．
（2）若一個數(shù)的算術平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出，，這一系列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并說出當滿足什么條件時，為完全平方數(shù)．
【分析】（1）由題意，是相鄰倆奇數(shù)、的平方差，化簡結果是8的倍數(shù)，可整除；
（2）由找到前四個完全平方數(shù)，從下標2、8、18、32可知它們是一個完全平方數(shù)的2倍．
【解答】解：（1）由題意得：
能被8整除．
（2）由（1）知，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，．
這一系列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)依次為：16、64、144、256．
由、、、四個完全平方數(shù)可知，
所以為一個完全平方數(shù)兩倍時，是完全平方數(shù)．
【點評】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，利用代數(shù)式來表示一般規(guī)律，利用已總結的規(guī)律進一步探索、發(fā)現(xiàn)、歸納得出下一步結論是本題難點．
20．（2023?新華區(qū)校級二模）【發(fā)現(xiàn)】如果一個整數(shù)的個位數(shù)字能被5整除，那么這個整數(shù)就能被5整除．
【驗證】如：，
又和10都能被5整除，5能被5整除，
能被5整除，
即：345能被5整除．
（1）請你照著上面的例子驗證343不能被5整除；
（2）把一個千位是、百位是、十位是、個位是的四位數(shù)記為．請照例說明：只有等于5或0時，四位數(shù)才能被5整除．
【遷移】（3）設是一個三位數(shù)，請證明；當?shù)暮湍鼙?整除時，能被3整除．
【分析】（1）仿照所給的例子進行求解即可；
（2）仿照所給的例子進行求解即可；
【遷移】仿照所給的例子進行求解即可．
【解答】證明：（1），
100和10都能被5整除，3不能被5整除，
不能被5整除，
即343不能被5整除；
（2），
1000和100和10都能被5整除，
當能被5整除時，能被5整除；
只有等于5或0時，四位數(shù)才能被5整除．
【遷移】證明：，
，
能被3整除，
若“”能被3整除，則能被3整除．
【點評】此題主要考查了整式的加減，列代數(shù)式，掌握相應的運算法則是解本題的關鍵．
題型二：圖案規(guī)律中的猜想歸納思想
1．（2023?棗莊）（1）觀察分析：在一次數(shù)學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征： 軸對稱圖形 ， ；
（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．
【分析】（1）觀察圖形可得出結論．
（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接畫出圖形即可．
【解答】解：（1）觀察圖形可知：三個圖形都為軸對稱圖形且面積相等，
故答案為：軸對稱圖形，面積相等．
（2）如圖：（答案不唯一）
【點評】本題考查了軸對稱的知識，利用軸對稱進行圖形的變換是解題的關鍵．
2．（2024?肥西縣一模）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請根據(jù)圖中的信息完成下列的問題：
（1）在圖②中用了 8 塊白色正方形，在圖③中用了 塊白色正方形；
（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第個圖形要用 塊白色正方形；
（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以請說明它是第幾個圖形；如果不能，說明你的理由．
【分析】（1）觀察如圖可直接得出答案；
（2）認真觀察題目中給出的圖形，結合問題（1），通過分析，即可找到規(guī)律，得出答案；
（3）根據(jù)問題（2）中總結的規(guī)律，列出算式，如果結果是整數(shù)，則能夠拼出具有以上規(guī)律的圖形，否則，不能．
【解答】解：（1）觀察如圖可以發(fā)現(xiàn)，圖②中用了8 塊白色正方形，在圖③中用了11 塊白色正方形；
故答案為：8，11；
（2）在圖①中，需要白色正方形的塊數(shù)為；
在圖②中，需要白色正方形的塊數(shù)為；
在圖③中，需要白色正方形的塊數(shù)為；
由此可以發(fā)現(xiàn)，第幾個圖形，需要白色正方形的塊數(shù)就等于3乘以幾，然后加2．
所以，按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第個圖形要用塊白色正方形；
故答案為：；
（3）能恰好用完2024塊白色正方形，理由如下：
假設第個圖形恰好能用完2021塊白色正方形，則，
解得：，
即第674個圖形中恰好用完2024塊白色正方形．
【點評】此題主要考查了列代數(shù)式這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，通過分析、思考，總結出圖形變化的規(guī)律．
3．（2024?鏡湖區(qū)校級一模）將一些相同的“☆”按如圖所示擺放，觀察其規(guī)律并回答下列問題：
（1）圖6中的“☆”的個數(shù)有 35 個；
（2）圖中的“☆”的個數(shù)有 個；
（3）圖中的“☆”的個數(shù)可能是100個嗎；如果能，求出的值；如果不能，試用一元二次方程的相關知識說明理由．
【分析】（1）圖1中的“☆”的個數(shù)有個，圖2中的“☆”的個數(shù)有個，圖3中的“☆”的個數(shù)有個，圖4中的“☆”的個數(shù)有個，由此得到規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求即可得到答案；
（3）令，解方程求出的值，看是否是正整數(shù)即可得到答案．
【解答】解：（1）圖1中的“☆”的個數(shù)有個，
圖2中的“☆”的個數(shù)有個，
圖3中的“☆”的個數(shù)有個，
圖4中的“☆”的個數(shù)有個，
可以得到規(guī)律，圖中的“☆”的個數(shù)有個，
圖6中的“☆”的個數(shù)有個，
故答案為：35；
（2）由（1）得圖中的“☆”的個數(shù)有個，
故答案為：；
（3）圖中的“☆”的個數(shù)不可能是100個，理由如下：
令，則，
解得，
又為整數(shù)，
圖中的“☆”的個數(shù)不可能是100個．
【點評】本題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解一元二次方程，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵．
4．（2024?宣城模擬）【觀察思考】
如圖，這是由正方形和等邊三角形組成的一系列圖案，其中第1個圖案有4個正方形；第2個圖案有6個正方形；第3個圖案有8個正方形；
依此規(guī)律，請解答下面的問題．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）第5個圖案有正方形 12 個．
（2）第個圖案有正方形 個．
【規(guī)律應用】
（3）結合圖案中正方形的排列方式，現(xiàn)有4050個正方形，若干個三角形（足夠多）．依此規(guī)律，是否可以組成第個圖案（正方形一次性用完），若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正方形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可解決問題．
（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可解決問題．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
第1個圖案中正方形的個數(shù)為：；
第2個圖案中正方形的個數(shù)為：；
第3個圖案中正方形的個數(shù)為：；
，
所以第個圖案中正方形的個數(shù)為個，
當時，
（個，
即第5個圖案中正方形的個數(shù)為12個．
故答案為：12．
（2）由（1）知，
第個圖案中正方形的個數(shù)為個．
故答案為：．
（3）存在．
令，
解得，
所以可以組成第個圖案，的值為2024．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)正方形的個數(shù)依次增加2是解題的關鍵．
5．（2024?淄博模擬）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按如圖的方式鋪地面：
（1）觀察圖形，填寫下表：
（2）依上推測，第個圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為 ，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）；
（3）白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數(shù)可能是2024塊嗎？若能，求出是第幾個圖形；若不能，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，數(shù)出圖中黑色瓷磚塊數(shù)和黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)即可．
（2）根據(jù)（1）中求出的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（3）根據(jù)（2）中的結論即可解決問題．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
第1個圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為：，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為：；
第2個圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為：，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為：；
第3個圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為：，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為：；
，
所以第個圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為塊，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為塊；
故答案為：10，21．
（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，
第個圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為塊，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為塊；
故答案為：塊，塊．
（3）不可能．
令，
解得，
又因為為正整數(shù)，
所以白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數(shù)不可能是2024塊．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑色瓷磚的塊數(shù)依次增加3，黑白瓷磚的總塊數(shù)依次增加6是解題的關鍵．
6．（2024?蜀山區(qū)模擬）某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設．圖1為有1塊六邊形地磚時，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時，正方形地磚有11塊，三角形地磚有10塊；．
（1）按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加 5 塊，三角形地磚會增加 塊；
（2）若鋪設這條小路共用去塊六邊形地磚，分別用含的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量；
（3）當時，求此時正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量．
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正方形和三角形地磚的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
圖1中三角形地磚塊數(shù)為：，正方形地磚塊數(shù)為：，六邊形地磚塊數(shù)為：1；
圖2中三角形地磚塊數(shù)為：，正方形地磚塊數(shù)為：，六邊形地磚塊數(shù)為：2；
圖3中三角形地磚塊數(shù)為：，正方形地磚塊數(shù)為：，六邊形地磚塊數(shù)為：3；
，
所以圖中三角形地磚塊數(shù)為塊，正方形地磚塊數(shù)為塊，六邊形地磚塊數(shù)為塊；
由此可見，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加5塊，三角形地磚會增加4塊．
故答案為：5，4．
（2）由（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，
當鋪設這條小路共用去塊六邊形地磚時，
用去正方形地磚的塊數(shù)為塊，用去三角形地磚的塊數(shù)為塊．
（3）當時，
（塊，
（塊，
所以（塊，
即此時正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量為228塊．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形、正方形和六邊形地磚塊數(shù)變化的規(guī)律是解題的關鍵．
7．（2024?瑤海區(qū)校級模擬）將字母“”，“ ”按照如圖所示的規(guī)律擺放，其中第1個圖形中有1個字母，有4個字母；第2個圖形中有2個字母，有6個字母；第3個圖形中有3個字母，有8個字母；根據(jù)此規(guī)律解答下面的問題：
（1）第4個圖形中有 4 個字母，有 個字母；
（2）第個圖形中有 個字母，有 個字母（用含的式子表示）；
（3）第2024個圖形中有 個字母，有 個字母．
【分析】根據(jù)圖中信息找規(guī)律即可：（1）根據(jù)規(guī)律作答即可；（2）根據(jù)規(guī)律找到個數(shù)與的關系即可；（3）代入（2）中的關系式計算即可．
【解答】解：（1）第1個圖形中有1個字母，有4個字母；
第2個圖形中有2個字母，有6個字母；
第3個圖形中有3個字母，有8個字母，
依此類推，
第4個圖形中有4個字母，有10個字母；
（2）觀察規(guī)律：
第1個圖形中有1個字母，
第2個圖形中有2個字母，
第3個圖形中有3個字母，
，
字母的數(shù)量等于，
第個圖形中有個字母，
同理觀察規(guī)律：
第1個圖形中有4個字母；
第2個圖形中有6個字母；
第3個圖形中有8個字母；
；
字母的個數(shù)是字母的個數(shù)的2倍多2，字母的數(shù)量等于，
字母的個數(shù)是，
即第個圖形中有個字母；
（3）根據(jù)第（2）問，將數(shù)字代入即可，
字母的數(shù)量等于，
第2024個圖形中有2024個字母，
字母的個數(shù)是，
第2024個圖形中有4050個字母．
【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類以及列代數(shù)式，解答本題的關鍵在于找到規(guī)律．
8．（2024?蚌埠模擬）【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）若圖1中小正方形個數(shù)記作，圖2中小正方形個數(shù)記作，，圖中小正方形個數(shù)記作，則 ， ；（用含的式子表示）
【規(guī)律應用】
（2）結合上述規(guī)律，試說明是否存在正整數(shù)，使得等于的4倍？
【分析】（1）根據(jù)所給圖形依次求出，，，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
圖1中小正方形的個數(shù)為：，即；
圖2中小正方形的個數(shù)為：，即；
圖3中小正方形的個數(shù)為：，即；
，
所以圖中小正方形的個數(shù)為個，即；
則
．
故答案為：，．
（2）存在．
由題知，
，
解得，．
因為為正整數(shù)，
所以，
故存在這樣的正整數(shù)6，使得等于的4倍．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)小正方形個數(shù)的變化規(guī)律是解題的關鍵．
9．（2024?蜀山區(qū)一模）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：
（1）第5個圖案有 34 顆黑色棋子，第個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為 ；
（2）據(jù)此規(guī)律用2024顆黑色棋子，是否能擺放成一個圖案，如果能，是第幾個圖案？如果不能，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，依次求出黑色棋子的顆數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
第1個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；
第2個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；
第3個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；
第4個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為：；
，
所以第個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為顆，
當時，
（顆，
即第5個圖案中黑色棋子的顆數(shù)為34顆．
故答案為：34，．
（2）不能．
令，
解得（舍負），
因為為正整數(shù)，
所以用2024顆黑色棋子不能擺成一個圖案．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)棋子個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關鍵．
10．（2024?長豐縣一模）如圖，第1個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
第2個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
第3個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
（1）在第個圖案中，“〇”的個數(shù)為 ，“●”的個數(shù)為 ．（用含的式子表示）
（2）根據(jù)圖案中“●”和“〇”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得第個圖案中“●”的個數(shù)是“〇”的個數(shù)的．
【分析】（1）根據(jù)所給圖形，發(fā)現(xiàn)“●”和“〇”個數(shù)變化的規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
第1個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
第2個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
第3個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
，
所以第個圖案中“〇”的個數(shù)為，“●”的個數(shù)為；
故答案為：，．
（2）由題知，
，
解得或6，
因為為正整數(shù)，
所以．
故正整數(shù)的值為6．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“●”和“〇”個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關鍵．
11．（2024?阜陽一模）【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）第4個圖案中黑色方塊的個數(shù)為 13 ，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為 ．
（2）第個圖案中黑色方塊的個數(shù)為 ，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）
【規(guī)律應用】
（3）白色方塊的個數(shù)可能比黑色方塊的個數(shù)多2024嗎？若能，求出是第幾個圖案；若不能，請說明理由．
【分析】（1）依次求出圖形中黑色方塊及黑、白兩種方塊的總數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由所給圖形可知，
第1個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；
第2個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；
第3個圖案中黑色方塊的個數(shù)為：，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為：；
，
所以第個圖案中黑色方塊的個數(shù)為塊，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為塊．
當時，
，
，
即第4個圖案中黑色方塊的個數(shù)為13塊，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為45塊；
故答案為：13，45．
（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，
第個圖案中黑色方塊的個數(shù)為塊，黑、白兩種方塊的總個數(shù)為塊；
故答案為：，．
（3）不能．
若白色方塊的個數(shù)比黑色方塊的個數(shù)多2024，
則，
解得，
因為為正整數(shù)，
所以白色方塊的個數(shù)不能比黑色方塊的個數(shù)多2024．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑、白兩種顏色地磚個數(shù)變化的規(guī)律是解題的關鍵．
12．（2024?安徽模擬）【觀察思考】下列是由空白長方形和陰影長方形構成的圖案：
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含的式子填空：
圖1中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
圖2中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
圖3中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
（1）圖中有 塊陰影長方形，空白長方形有 （塊；
【規(guī)律應用】
（2）在圖中，是否存在空白長方形的塊數(shù)恰好比陰影長方形塊數(shù)少8塊？若存在，通過計算求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題中所求出的陰影長方形及空白長方形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
因為圖1中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
圖2中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
圖3中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
，
所以圖中有塊陰影長方形，空白長方形有（塊；
故答案為：，，．
（2）存在．
假設在圖中，存在空白長方形的塊數(shù)恰好比陰影長方形塊數(shù)少8塊，
則，
解得或6，
又因為為正整數(shù)，
所以，
即圖6中空白長方形的塊數(shù)恰好比陰影長方形塊數(shù)少8塊．
【點評】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形用含的代數(shù)式表示出圖中陰影及空白長方形的個數(shù)是解題的關鍵．
13．（2023?蕪湖三模）觀察與思考：我們知道，那么結果等于多少呢？
請你仔細觀察，找出下面圖形與算式的關系，解決下列問題：
（1）嘗試：第5個圖形可以表示的等式是 ；
（2）概括： ；
（3）拓展應用：求的值．
【分析】（1）根據(jù)所給的圖形與等式的形式進行求解即可；
（2）分析所給的等式的形式，進行總結即可；
（3）利用（2）的規(guī)律進行求解即可．
【解答】解：（1）第5個圖形可以表示的等式是：，
故答案為：；
（2），
故答案為：；
（3）
．
【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出存在的規(guī)律．
14．（2023?青島二模）如圖，個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△的面積為，△的面積為，，△的面積為．
【規(guī)律探究】：
【結論歸納】
（用含的式子表示）
【分析】由個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則，，，在一條直線上，可作出直線．求得△的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，求得的值，同理求得的值，繼而求得的值．
【解答】解：個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則，，，在一條直線上，作出直線．
探究一：
，
，
，
△是等邊三角形，且邊長，
△△，
，
，
探究二：
同理：，
，
；；
探究三：
同理：，
，
，，
結論歸納：
，
，
．
故答案為：；；；；；．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．
15．（2023?定遠縣二模）豐艷花卉市場將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個圖案需要5盆花卉，第2個圖案需要13盆花卉，第3個圖案需要25盆花卉，以此類推．
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）第4個圖案需要花卉 41 盆；
（2）第個圖案需要花卉 盆（用含的代數(shù)式表示）；
（3）已知豐艷花卉市場春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．
【分析】（1）第1個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第2個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，第3個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，，據(jù)此可求解；
（2）根據(jù)（1）進行總結即可；
（3）可設第個花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，結合（2）進行求解即可．
【解答】解：（1）第1個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，
第2個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，
第3個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，
第4個圖案需要花卉的盆數(shù)為：，
故答案為：41；
由（1）可得：第個圖案需要花卉的盆數(shù)為：；
故答案為：；
（3）設第個花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，
由題意得：，
解得：，
，
答：該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)為2601．
【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出存在的規(guī)律．
16．（2023?定遠縣校級一模）用同樣大小的兩種不同顏色（白色．灰色）的正方形紙片，按如圖方式拼成長方形．
觀察思考
第（1）個圖形中有張正方形紙片；
第（2）個圖形中有張正方形紙片；
第（3）個圖形中有張正方形紙片；
第（4）個圖形中有張正方形紙片；
以此類推
規(guī)律總結
（1）第（5）個圖形中有 30 張正方形紙片（直接寫出結果）；
（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想： ；（用含的代數(shù)式表示）
問題解決
（3）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計算：．
【分析】（1）觀察圖形的變化即可得第（5）個圖形中正方形紙片張數(shù)；
（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)即可猜想：；
（3）根據(jù)（2）即可進行計算．
【解答】解：（1）第（1）個圖形中有張正方形紙片；
第（2）個圖形中有張正方形紙片；
第（3）個圖形中有張正方形紙片；
第（4）個圖形中有張正方形紙片；
，
第（5）個圖形中有張正方形紙片張正方形紙片；
故答案為：30；
（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)猜想：；
故答案為：；
（3）
．
【點評】本題考查了規(guī)律型圖形的變化類，解決本題的關鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．
17．（2024?宣城一模）如圖所示的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個數(shù)為8，周長為18．
（1）推測第4個圖形中，正方形的個數(shù)為 23 ，周長為 ；
（2）推測第個圖形中，正方形的個數(shù)為 ，周長為 ；（都用含的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）依次數(shù)出，2，3，4時正方形的個數(shù)，算出圖形的周長；
（2）根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第個圖形中，正方形的個數(shù)及周長．
【解答】解：（1）時，正方形有8個，即，
周長是18，即，
當時，正方形有13個，即，
周長是28，即，
當時，正方形有18個，即，
周長是38，即，
當時，正方形有23個，即，
周長是48，即，
故答案為：23，48．
（2）由（1）可知，時，正方形有個，周長是，
故答案為：，．
【點評】本題主要考查的是圖形的變化規(guī)律，從題目中找出正方形的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．
18．（2024?安徽二模）【觀察思考】如圖，是某同學在棋盤上用圍棋擺成的圖案．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）第⑤個圖案中“●”的個數(shù)為 15 ，“”的個數(shù)為 ；
（2）第個圖案中“●”的個數(shù)為 ，“”的個數(shù)為 ；
【規(guī)律應用】
（3）該同學準備用100枚“●”棋子和100枚“”棋子擺放第個圖案，擺放成完整的圖案后，寫出的最大值為 ；此時還剩下 枚棋子．
【分析】（1）依次列出前5個圖中黑子和白子的個數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)第個圖案中白子為個，黑子為個，然后倒序相加，即可求解；
（3）使，解得：（舍負值），因此最大為13，再求解即可．
【解答】解：（1）第①圖中黑子為：1（個，
第②個圖中黑子為：（個，
第③個圖中黑子為：（個，
第④個圖中黑子為：（個，
第⑤個圖案中黑子的個數(shù)為：（個；
第①個圖中“”的個數(shù)為：（個，
第②個圖中“”的個數(shù)為：（個，
第③個圖中“”的個數(shù)為：（個，
第④個圖中“”的個數(shù)為：（個，
第⑤個圖中“”的個數(shù)為：（個；
故答案為：15；20．
（2）根據(jù)（1），可得規(guī)律：
第個圖案中“●”的個數(shù)為：個，
令為①式，
為②式，
由①②得：，其中有個，
（個，
第個圖案中“”的個數(shù)為：（個，
故答案為：，．
（3）使，
解得：（舍負值），
最大為13，
使用“”的個數(shù)為：（個；
使用“●”的個數(shù)為：（個；
剩余（個，
故答案為：13，57．
【點評】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，從題目中找出棋子的變化規(guī)律是解題的關鍵．
19．（2024?合肥模擬）【觀察思考】
如圖，春節(jié)期間，廣場上用紅梅花（黑色圓點）和黃梅花（白色圓點）組成“中國結”圖案．
【規(guī)律總結】
請用含的式子填空：
（1）第個圖案中黃梅花的盆數(shù)為 ；
（2）第1個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第2個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第3個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，第4個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，，第個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為 ；
【問題解決】
（3）已知按照上述規(guī)律擺放的第個“中國結”圖案中紅梅花比黃梅花多68盆，結合圖案中紅梅花和黃梅花的排列方式及上述規(guī)律，求的值．
【分析】（1）根據(jù)上述中國結的圖形進行歸納計算即可；
（2）結合上述圖形和題目即可得出結果；
（3）結合圖案中紅梅花和黃梅花的排列方式及上述規(guī)律，列出代數(shù)式并求解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)上述圖形可知，
第1個圖案中黃梅花的盆數(shù)可表示為，
第2個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，
第3個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，
第4個圖案中紅梅花的盆數(shù)可表示為，
，
第個圖案中黃梅花的盆數(shù)為：，
故答案為：；
（2）根據(jù)題意可知：
第個圖案中紅梅花的盆數(shù)表示為：，
故答案為：；
（3）由題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
即第9個圖案中紅梅花比黃梅花多68盆．
【點評】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，從圖形中找出梅花的變化規(guī)律是解題的關鍵．
20．（2024?河北一模）圖1、圖2均由邊長為1的小正方形按照一定的規(guī)律排列而組成的．
設圖1中第個圖形有小正方形的個數(shù)為，圖2中第個圖形有小正方形的個數(shù)為．
（1）請用含的代數(shù)式表示、，并求時，的值；
（2）比較和的大小，并說明理由．
【分析】（1）由圖1可知，①2；②；③；，則，由圖2可知，①；②；③；，則，再計算時，的值；
（2）利用作差法進行比較即可．
【解答】解：（1）由圖1可知，，
由圖2可知，，
當時，；
（2）理由如下：
，
，
．
【點評】本題考查的是列代數(shù)式和圖形的變化規(guī)律，從題目中找出圖形的變化規(guī)律是解題的關鍵．
21．（2024?安慶一模）如圖，已知圖①是一塊邊長為1，周長記為的等邊三角形卡紙，把圖①的卡紙剪去一個邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再剪去一個邊長為的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個邊長為的等邊三角形后，得到圖④、⑤、⑥
（1）第5個圖形中卡紙的周長 ；
（2）記圖中的卡紙的周長為，則 ；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根據(jù)上述圖形變化，即可得出答案；
（2）先求出，，，的值，再求，，即可找出一般規(guī)律；可得；
（3）根據(jù)（2）可知，再求解即可．
【解答】解：（1），
故答案為：．
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
（3），
，
可得，
解得：．
【點評】本題主要考查的是圖形的變化規(guī)律，從題目中找出三角形的周長變化規(guī)律是解題的關鍵．
圖形
①
②
③
黑色瓷磚的塊數(shù)
4
7
10
黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)
9
15

探究一
探究二
探究三
△△，
，
．
，
，
， ．
，
，
，

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