通用的解題思路：
1、角的數(shù)量關(guān)系處理的一般方法如下：
（1）證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三角形和相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；
（2）證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；
（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角．
2.特殊角問題處理的一般方法如下：
（1）運(yùn)用三角函數(shù)值；
（2）遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形；
（4）遇90°構(gòu)造直角三角形．
題型一：角相等問題
對(duì)于二次函數(shù)中的角相等問題，首選方法是利用等角的三角比解決問題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。
二次函數(shù)中的角相等問題比較靈活，在遇到具體問題時(shí)具體分析，合理構(gòu)造等角，解決問題。
1．（2024·山西太原·三模）綜合與探究
如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．
(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求的最大值．
(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（23-24九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)請(qǐng)直接寫出、、三點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)如圖，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；
(3)如圖，若點(diǎn)在拋物線上且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
3．（23-24九年級(jí)下·湖南永州·開學(xué)考試）綜合與探究．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
(1)求此拋物線的表達(dá)式；
(2)已知以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓記作圓，以點(diǎn)A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對(duì)稱軸直線與圓A的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由；
(3)已知點(diǎn)在軸的正半軸上，且在點(diǎn)的上方，如果，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(4)如圖2，點(diǎn)、是對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長(zhǎng)的最小值．
6．（2024·上海靜安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)在此拋物線上．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)聯(lián)結(jié)、、，求的值；
(3)如果點(diǎn)P在對(duì)稱軸右方的拋物線上，且，過點(diǎn)P作軸，垂足為Q，請(qǐng)說明，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
7．（2024·廣西·一模）如圖，已知拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，P是拋物線上一點(diǎn)，連接、．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
8．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù) . 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn) E，與x軸交于點(diǎn) F． 連接．

(1)若 ， 求B 點(diǎn)和C 點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù) 的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得 請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．
9．（2024·廣東·一模）綜合應(yīng)用．
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線l，交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
10．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，已知，，．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型二：二倍角關(guān)系問題
對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的二倍角問題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題。對(duì)于等角問題，往往有以下解決路徑：
等角的構(gòu)造方法
（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；
（2）用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；；
（3）利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個(gè)相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)建數(shù)量關(guān)系；
（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。
二倍角的構(gòu)造方法
如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.
這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了
1．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段與直線相交于點(diǎn)

(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)P作軸，垂足為D，線段與直線相交于點(diǎn)E．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)請(qǐng)直接寫出，的值；
(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
4．（2024·西藏·二模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線，拋物線與y軸交于C點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于D，直線與交于點(diǎn)E，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖（乙），若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足，求M的坐標(biāo)．
題型三：兩角和與差問題
1．（2024·山西臨汾·一模）綜合與探究
如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，作直線．
(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；
(1)如圖1，求的長(zhǎng)度．
(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接，取上一點(diǎn)，以為底向下作等腰，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，試用含的代數(shù)式表示的值為______（直接填空）．
(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、且，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)．
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸分別交于點(diǎn)A，B．連接，點(diǎn)D是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，連接，求面積的最大值；
(3)如圖2，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段上，連接，若，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的最大值．
4．（2024·山東泰安·一模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，作直線．
(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)是拋物線上在第三象限的一個(gè)點(diǎn)，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積是面積的一半時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
5．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．
(1)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為____________，____________，____________；
(2)連接，交線段于點(diǎn)D，
①當(dāng)與x軸平行時(shí)，求的值；
②當(dāng)與x軸不平行時(shí)，求的最大值；
(3)連接，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；
(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．
8．（23-24九年級(jí)下·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)連接，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)Q為新拋物線上一點(diǎn)，直線與射線交于點(diǎn)G，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．
9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)______________；
(2)如圖1，點(diǎn)在第二象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)解析式；
(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)在第四象限的拋物線上，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，若
，求點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線的解析式．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，拋物線分別交軸于點(diǎn)和（在左側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，的面積是．
(1)如圖1，求的值；
(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接和，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)如圖3，在（2）的條件下，，直線和直線相交于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，，且，在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使，若求點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型四：特殊角問題
1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），且．在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交拋物線于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖3，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，記的面積為的面積為，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．

(1)求的面積；
(2)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且使得中有一個(gè)角是，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
3．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)經(jīng)過的直線軸，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H．
①求證：A，D，H三點(diǎn)共線；
②M是拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于，直線l與y軸交于點(diǎn)D．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：
(2)設(shè)直線l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為F，若，求直線l的解析式：
(3)若在x軸上存在一點(diǎn)P，使，且，直接寫出k的值．
5．（2024·河北邯鄲·一模）【建立模型】（1）如圖1，點(diǎn)B是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；
【類比遷移】（2）如圖2，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)B，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、直線交x軸于點(diǎn)D．
①點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
6．（2024·安徽滁州·一模）已知拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)如圖1，已知點(diǎn)P是位于上方的拋物線上的一點(diǎn)，作，垂足為M，求線段長(zhǎng)度的最大值；
(3)如圖2，已知點(diǎn)Q是第四象限拋物線上一點(diǎn)，，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
7．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
8．（2024·山西大同·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)C，作直線．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接交于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)F．使得?若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線軸，過點(diǎn)D作，交直線l于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)F，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
10．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù) . 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn) E，與x軸交于點(diǎn) F． 連接．

(1)若 ， 求B 點(diǎn)和C 點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù) 的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得 請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．
11．（2024·山東棗莊·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，B（點(diǎn)A在B左邊），交y軸于C，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．
(1)求拋物線的關(guān)系式；
(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
12．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，B與y軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m，，連接．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求m的值，并直接寫出的面積；
(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)P）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)C與點(diǎn)Q之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)Q）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)時(shí)，直接寫出m的值．
13．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值；
(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，拋物線交x軸正半軸于點(diǎn)A，過頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若時(shí)，則函數(shù)的取值范圍是______；
(3)點(diǎn)為右側(cè)第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)B，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接、，若，求直線的解析式．
15．（2024·廣東廣州·一模）已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)D是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交射線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且這兩個(gè)點(diǎn)滿足，試求點(diǎn)D到直線的最大距離．
16．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線交軸于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，若點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，軸交于點(diǎn)N，求的最大值；
(3)如圖2，在軸上取一點(diǎn)，拋物線沿方向平移個(gè)單位得新拋物線，新拋物線與軸交于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，線段關(guān)于線段的對(duì)稱線段所在直線交新拋物線于點(diǎn)，直線與直線所成夾角為，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

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