2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專(zhuān)題訓(xùn)練：二次函數(shù)綜合壓軸題（角度問(wèn)題） 1．已知：拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的交于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式的一般式；(2)若拋物線第一象限上有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)直線與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B到直線l的距離最大時(shí)，求的面積．  2．如圖，拋物線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B點(diǎn)，C三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)將繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是否落在拋物線上？說(shuō)明理由．(3)P為拋物線上直線上方的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)點(diǎn)D在拋物線上，連接．在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為                  ；(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．①直接寫(xiě)出拋物線解析式為：                  ；②如圖1，點(diǎn)B，以為底的等腰交拋物線于點(diǎn)P，將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，求的坐標(biāo)；(3)如圖2，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作直線l平行于y軸，直線交拋物線另一點(diǎn)于E，交直線l于點(diǎn)D，過(guò)M作軸，交拋物線于另一點(diǎn)N，過(guò)E作于點(diǎn)F．若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．  4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸相交于原點(diǎn)O和點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸；(2)求的值；(3)點(diǎn)D在拋物線上，如果，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．  5．如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸．(2)若R為拋物線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求R的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P    使得A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線與x軸交于和，與y軸交于點(diǎn)C，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)M為直線上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線，交直線于點(diǎn)Q，求周長(zhǎng)的最大值；(3)點(diǎn)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，交BC于點(diǎn)E，求的最大值；(3)如圖2，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得2∠PCB＝∠OCB，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，D為線段AB上一點(diǎn)．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E，與直線BC相交于點(diǎn)F，求出點(diǎn)E到直線BC距離d的最大值；(3)連接CD，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否等于45°？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． 9．圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q沿BO以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接PD，與BC交于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)求出P，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡(jiǎn)）；(3)試探究在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)t的值與F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  10．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)直線交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與全等時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．  11．拋物線y＝ax2+c（a<0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸上方．(1)如圖1，若P(1，2)，A(-3，0)．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上異于點(diǎn)P一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．  12．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左），交y軸于點(diǎn)C(1)當(dāng)時(shí)，①如圖1，求△ABC的面積；②如圖2，若拋物線上有一點(diǎn)P，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(2)過(guò)點(diǎn)B且與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線交y軸于點(diǎn)D，求的值．  13．如圖1，一次函數(shù)y＝x﹣4的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2﹣x＋c的圖象過(guò)B，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  14．如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A（1，﹣4），點(diǎn)B在x軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．  15．如圖，拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且DA＝DC．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 　　，用含m的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)為 　　；(2)若△ACD與△BCO的面積之比為5：9，求該拋物線的表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上，且當(dāng)∠PBC＝∠DAB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．  16．如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，OA＝1，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，tan∠OAC＝3，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且滿(mǎn)足∠PAB＝2∠ACO，求直線PA與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q在拋物線上，且在x軸下方，直線AQ，BQ分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M、N．求證：DM+DN為定值，并求出這個(gè)定值． 17．如圖，拋物線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）將繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是否落在拋物線上？說(shuō)明理由．（3）為拋物線上直線BC上方的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PCOB面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)在拋物線上，連接BC，BD．在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  18．如圖，直線y＝﹣x＋3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式．（2）如果一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)B、點(diǎn)C三點(diǎn)，并交于拋物線AC段于點(diǎn)E，求∠OEB的度數(shù)．（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為等腰三角形，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案：1．(1)(2)或(3)10 2．(1)(2)點(diǎn)落在拋物線上 (3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4)存在，P坐標(biāo)為 3．(1)(2)①；②的坐標(biāo)為；(3)  4．(1)，直線(2)3(3)或 5．(1)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或或 6．(1)(2)(3)或 7．(1)(2)的最大值為(3)存在，或 8．(1)A（-2，0），B（3，0），C（0，3）；(2)點(diǎn)E到直線BC的距離d的最大值為；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ADB'能等于45°，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，-3）或（-3，3）． 9．(1)(2)，(3)存在，t=3，，  10．(1)或(2)(3)或或或． 11．(1)①；②(-1，2)或(，)(2)是定值，定值為2． 12．(1)①3；②(2)1 13．(1)(2)或(3)存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3） 14．(1) (2)點(diǎn)M坐標(biāo)為：（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）(3)存在，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或 15．(1)（﹣1，0），(2)y＝﹣x2+2x+3(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）和 16．(1)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，﹣3）(2)直線PA在與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）(3)證明見(jiàn)解析，DM+DN＝8 17．（1）；（2）點(diǎn)落在拋物線上；（3）P(,)；（4）(，)．18．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）45°；（3）存在，點(diǎn)P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，4+）、（1，4﹣）；（4）存在，16+8． 

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