1．（2022?南充）拋物線y＝x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A，B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，?BCPQ頂點(diǎn)P在拋物線上，如果?BCPQ面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)M在第二象限的拋物線上，點(diǎn)N在MO延長線上，OM＝2ON，連接BN并延長到點(diǎn)D，使ND＝NB．MD交x軸于點(diǎn)E，∠DEB與∠DBE均為銳角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
2．（2022?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B．
（1）求a的值；
（2）將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？
（3）Q是x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)M恰好在拋物線F上．試探究：此時(shí)無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)G，使∠PQG總為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2022?西寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接BE，求△BCE的面積；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．（2022?湖北）拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點(diǎn)E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．
5．（2022?蘇州）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數(shù)；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得∠ACP＝75°，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的取值范圍．
6．（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．
（1）A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ， ．
（2）連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，
①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求的值；
②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求的最大值；
（3）連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2022?錦州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
8．（2022?西寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接BE，求△BCE的面積；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9．（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段BC上，連接PD并延長交x軸于點(diǎn)E，連接CE，記△DCE的面積為S1，△DBP的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與線段BC交于點(diǎn)G，當(dāng)∠PBC+∠CFG＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
10．（2022?新市區(qū)校級(jí)三模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCD＝2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸真題匯編
專題04 二次函數(shù)中角度問題壓軸真題訓(xùn)練
1．（2022?南充）拋物線y＝x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A，B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，?BCPQ頂點(diǎn)P在拋物線上，如果?BCPQ面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)M在第二象限的拋物線上，點(diǎn)N在MO延長線上，OM＝2ON，連接BN并延長到點(diǎn)D，使ND＝NB．MD交x軸于點(diǎn)E，∠DEB與∠DBE均為銳角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如圖1，
作直線l∥BC且與拋物線相切于點(diǎn)P1，直線l交y軸于E，作直線m∥BC且直線m到BC的距離等于直線l到BC的距離，
∵BC的解析式為y＝x﹣4，
∴設(shè)直線l的解析式為：y＝x+m，
由＝x+m得，
x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（m+4）＝4，
∴m＝﹣，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，
∴x＝2，y＝﹣，
∴P1（2，﹣），
∵E（0，﹣），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），
即（0，﹣），
∴直線m的解析式為：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），
綜上所述：點(diǎn)P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；
（3）如圖2，
作MG⊥x軸于G，作NH⊥x軸于H，作MK⊥DF，交DF的延長線于K，
設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
∴OH＝，
∵NH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴＝，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴＝2?，
∴EF＝，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴＝，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣﹣4＝，
∴M（﹣4，）．
2．（2022?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B．
（1）求a的值；
（2）將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？
（3）Q是x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)M恰好在拋物線F上．試探究：此時(shí)無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)G，使∠PQG總為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由題意可知，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m2），
∵點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝y(tǒng)A﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)t＝m時(shí)，s的最大值為m2，
∵s的最大值為4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為n，則M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），
∵點(diǎn)Q在x軸正半軸上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如圖，過點(diǎn)Q作x軸的垂線KN，分別過點(diǎn)P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK?GN＝KQ?QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2?QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
3．（2022?西寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接BE，求△BCE的面積；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0）．
將A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n（m≠0），
將A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3．
∵點(diǎn)C在直線AB上，CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1×1+3＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE?OB﹣AE?CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面積為2．
（3）存在，理由如下：
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3）．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)記為P1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸于點(diǎn)M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合題意，舍去），m2＝2，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)記為P2，過點(diǎn)P2作P2N⊥x軸于點(diǎn)N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合題意，舍去），m2＝4，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（4，﹣5）．
綜上所述，拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（4，﹣5）．
4．（2022?湖北）拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點(diǎn)E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴頂點(diǎn)D（2，﹣4）．
（2）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OD的右側(cè)時(shí)，DP∥y軸，如圖，
∴P（2，0）；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OD左側(cè)時(shí)，設(shè)直線DP與y軸交于點(diǎn)G，則△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
設(shè)OG＝t，則DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直線DG的解析式為：y＝﹣x﹣，
令y＝0，則﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵點(diǎn)B（5，5）與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，
∴M（﹣1，5）．
如圖，分別過點(diǎn)M，Q作y軸的平行線，交直線OB于點(diǎn)N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝時(shí)，的最大值為．
提示：本題也可分別過點(diǎn)M，Q作BO的垂線，用m分別表示高線，再求比，也可得出結(jié)論．
5．（2022?蘇州）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數(shù)；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得∠ACP＝75°，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；
（2）如圖1中，連接AE．
∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F(xiàn)（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；
（3）如圖，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)Q．
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)Q總是在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
又∵∠CAQ＞15°，
同法可得m＞，
∵m＞0，
∴0＜m＜．
6．（2022?黃石）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．
（1）A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ， ．
（2）連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，
①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求的值；
②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求的最大值；
（3）連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，則﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案為：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x軸，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x軸，
∴＝＝．
②如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
則P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，的最大值為．
另解：分別過點(diǎn)P，A作y軸的平行線，交直線BC于兩點(diǎn)，仿照以上解法即可求解．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
過點(diǎn)C作CF∥x軸交拋物線于點(diǎn)F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延長CP交x軸于點(diǎn)M，
∵CF∥x軸，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM為等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直線CM的解析式為：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在點(diǎn)P滿足題意，此時(shí)m＝．
7．（2022?錦州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）過點(diǎn)D作DH∥y軸，交AC于點(diǎn)H，如圖所示：
設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），直線AC的解析式為y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y軸，
∴△OCN∽△DHN，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的值最大，
∴；
（3）由題意可得如圖所示：
過點(diǎn)P作y軸的平行線PH，分別過點(diǎn)C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴，
∵，
∴，
設(shè)點(diǎn)P（n，﹣n2+2n+3），
由題意可知：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴，
當(dāng)時(shí)，解得：，
當(dāng)時(shí)，解得：
綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或或．
8．（2022?西寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接BE，求△BCE的面積；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0）．
將A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n（m≠0），
將A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3．
∵點(diǎn)C在直線AB上，CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1×1+3＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE?OB﹣AE?CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面積為2．
（3）存在，理由如下：
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3）．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)記為P1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸于點(diǎn)M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合題意，舍去），m2＝2，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)記為P2，過點(diǎn)P2作P2N⊥x軸于點(diǎn)N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合題意，舍去），m2＝4，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（4，﹣5）．
綜上所述，拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（4，﹣5）．
9．（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段BC上，連接PD并延長交x軸于點(diǎn)E，連接CE，記△DCE的面積為S1，△DBP的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與線段BC交于點(diǎn)G，當(dāng)∠PBC+∠CFG＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將B（4，0）、C（0，﹣4）兩點(diǎn)代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣3m﹣4），
則，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x軸，
∴點(diǎn)P與C關(guān)于對(duì)稱軸x＝對(duì)稱，
∴P（3，﹣4）；
（3）如圖，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x軸于N，連接PC交x軸于點(diǎn)H，
設(shè)P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表達(dá)式為：y＝kx+d（k≠0），
將P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表達(dá)式為：y＝（n﹣3）x﹣4，
將y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ?BC＝PN?HB+OC?HB，
∵BC＝＝，
∴，
∵，
由題可知，，
∴，
將代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，
方法二：將CF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得C'，連接CC'，作CE⊥l于E，
求出點(diǎn)C'（），
從而求出直線CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直線BP的解析式與拋物線求交點(diǎn)即可．
10．（2022?新市區(qū)校級(jí)三模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCD＝2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，即點(diǎn)C（0，﹣2）；
（2）以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，如下圖，分點(diǎn)P在BC上方和下方兩種情況，
當(dāng)點(diǎn)P在BC的上方時(shí)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，
∵∠OBC+∠PBH＝90°，∠HPB+∠PBH＝90°，
∴∠OBC＝∠HPB，
∴∠OBC＝∠HPB＝，解得：PH＝5，
即點(diǎn)P（，5）；
當(dāng)點(diǎn)P在BC的下方時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，
同理可得：tan∠HCP＝tan∠OBC＝，
即，即，
解得：HC＝3，則OH＝5，
即點(diǎn)P（，﹣5）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，5）或（，﹣5）；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（0，2），則∠CBE＝2∠ABC＝∠BCD，
∴BE∥CD，
設(shè)直線BE的表達(dá)式為：y＝kx+2，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝4k+2，解得：k＝﹣；
∵BE∥CD，
故設(shè)直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x+t，
由點(diǎn)C的坐標(biāo)知，t＝﹣2，
即直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣2，
聯(lián)立y＝x2﹣x﹣2和y＝﹣x﹣2，并解得：x＝0（舍去）或2，
即點(diǎn)D（2，﹣3）．

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