通用的解題思路：
題型一：平行四邊形的存在性
解題策略：
1.直接計(jì)算法根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，按這條線段為邊或?yàn)閷?duì)角線兩大類，分別計(jì)算
（適用于：已知兩點(diǎn)的連線就在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸）
2.構(gòu)造全等法過頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，利用對(duì)邊所在的兩個(gè)三角形全等，把平行且相等的對(duì)邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對(duì)應(yīng)邊相等
（適用于：已知兩點(diǎn)的連線，不與坐標(biāo)軸平行，容易畫出草圖）
3.平移坐標(biāo)法
利用平移的意義，根據(jù)已知兩點(diǎn)間橫、縱坐標(biāo)的距離關(guān)系，得待定兩點(diǎn)也有同樣的數(shù)量關(guān)系。
（適用于：直接寫出答案的題）
題型二：菱形存在性
由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和等腰三角形存在性問題的方法。
題型三：矩形存在性
由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和直角三角形存在性問題的方法。
題型四：正方形存在性
由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。
題型五：梯形存在性
解梯形的存在性問題一般分三步：
第一步分類，第二步畫圖，第三步計(jì)算．
一般是已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在某個(gè)圖象上求第四個(gè)點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)圍成梯形．過三角形的每個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，這條直線與圖象的交點(diǎn)就是要探尋的梯形的頂點(diǎn)．
因?yàn)樘菪斡幸唤M對(duì)邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便．
題型一：平行四邊形的存在性
1．（2024·甘肅武威·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．
(1)求此拋物線的表達(dá)式；
(2)已知拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：）或
【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式可求出，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用交點(diǎn)式即可求解二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)合軸對(duì)稱最短路徑可得的周長為最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求出直線的解析式是，由拋物線的對(duì)稱軸為，代入直線的解析式即可求解；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，設(shè)點(diǎn)，則，由此列式求解即可．
【詳解】（1）解：由拋物線的表達(dá)式可知，，
∴，
∴，
∴，，，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
∴，
∴，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：由（1）可知，拋物線的表達(dá)式為：，
∴對(duì)稱軸為，
∴點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸得對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置，即的周長為最小，
已知，，
設(shè)直線的解析式為：，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為：，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)；
（3）解：由（1）和（2）可知，拋物線的解析式為，直線的解析式為，
∴如圖所示，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，則，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：）或．
2．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到 一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索題 發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會(huì)用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請(qǐng)利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．
材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對(duì)全體對(duì)象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．
請(qǐng)閱讀上述材料，完成題目：
如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)存在．的最大值為；
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或，．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，則，根據(jù)三角形面積公式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線得到，討論：當(dāng)時(shí)，則，利用平行四邊形的性質(zhì)得，從而得到此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，由于點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，所以點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，設(shè)，則，然后把代入得，則解方程求出得到此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，
，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：存在．
當(dāng)，，解得，則，
設(shè)，則，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為；
（3）解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
當(dāng)時(shí)，則，
以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
，
點(diǎn)坐標(biāo)為或；
當(dāng)時(shí)，
以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
，
點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，
點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，
設(shè)，則，
把代入得，解得，，
此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)C
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得；
（2）由，可得直線解析式為，設(shè)，由，有，即可解得；
（3）可得直線的表達(dá)式為，知在直線上，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作軸于，根據(jù)，可得直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，有，，，從而可得直線的表達(dá)式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即得，，故，與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
；
（2）解：由，可得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
，要使四邊形恰好是平行四邊形，只需，
，
解得，
；
（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使得與相似，理由如下：
是的中點(diǎn)，點(diǎn)，
點(diǎn)，
由（2）知，
直線的表達(dá)式為，
，
在直線上，，，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作軸于，如圖：
，故，
，
，
直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，
，，
，
由點(diǎn)，可得直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時(shí)，有，
，
解得或（在右側(cè)，舍去），
；
當(dāng)時(shí)，，
，
解得（舍去）或，
，
綜上所述，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行四邊形，相似三角形等知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明，從而得到與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
4．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)設(shè)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
【分析】（1）由待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可得到答案；
（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，設(shè)，，由列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵過點(diǎn)，
∴，解得，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為：；
∵點(diǎn)在上，
∴，即，
∵點(diǎn)在上，
∴，解得，
∴二次函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：∵點(diǎn)在軸上，且在上，
∴，即，
如圖所示：
∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴，
設(shè)，，則有，
或，解得或，
是直線上的點(diǎn)，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、平行四邊形性質(zhì)、二次函數(shù)與平行四邊形綜合等知識(shí)，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)綜合題型解法是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等；
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，同理可解．
【詳解】（1）解：（1）的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)，
，則點(diǎn)，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，
∵，
∴，
∴，
則；
（2）存在，理由：
由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
∴
解得：
∴直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：
，解得：，
則點(diǎn)，或，；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，同理可得：
，解得：（舍去）或2，
則點(diǎn)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或．
6．（2024·甘肅武威·一模）如圖．拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限的拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求的面積；
(3)過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）把和代入拋物線，求出和的值即可解決問題；
（2）連接, 把 代入得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)即可求出結(jié)果；
（3）求出直線的表達(dá)式，作軸, 交于點(diǎn), 設(shè) ，得到的表達(dá)式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo);
【詳解】（1）解：∵拋物線 交軸于點(diǎn)和點(diǎn), 交軸于點(diǎn),
，解得 ，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）連接,
由拋物線的解析式為，
代入，得 ，解得 ，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,
，
，
，
得，，
得 ；
（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，
，解得 ，
，
作軸, 交于點(diǎn),
設(shè)
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
，
，
解得 ，
，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，割補(bǔ)法求三角形面積，平行四邊形的存在性問題，本題的關(guān)鍵是理解平行四邊形的性質(zhì).
7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)將拋物線沿軸的正方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，是新拋物線與軸的交點(diǎn)靠近軸，是原拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在新拋物線上存在一點(diǎn)，使得以為邊，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質(zhì)；
（1）將點(diǎn)，代入拋物線表達(dá)式，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律得出，進(jìn)而求得點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)題意得出，即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入拋物線表達(dá)式，
得解得
該拋物線的表達(dá)式為．
（2），
拋物線的對(duì)稱軸為直線，平移后的拋物線表達(dá)式為，
把代入：得，
解得，
．
是原拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在新拋物線上，
設(shè)，．
當(dāng)為平行四邊形的一邊時(shí)，
且．
由題可知．
．
即，解得或．
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，是否存在以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)如圖2，若點(diǎn)D是第四象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)E，連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．
(3)最大值，D的坐標(biāo)為
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或?yàn)閷?duì)角線時(shí)，同理可解；
（3）過點(diǎn)D作軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)N，證明，得到，即，即可求解．
【詳解】（1）∵
∴
∴
∴
把，代入拋物線解析式得：，
解得：，
∴該拋物線解析式為；
（2）存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
設(shè)，，
分三種情況考慮：
①當(dāng)與為對(duì)角線時(shí)，由，，
得：，
解得：（舍去），
∴；
②當(dāng)與為對(duì)角線時(shí)，
得：，
解得：（舍去），
∴；
③當(dāng)與為對(duì)角線時(shí)，
得：，
解得：，，
∴或；
綜上，存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．
（3）∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴，
過點(diǎn)D作軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)N，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
9．（2024·山西大同·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．作直線，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，連接，，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；直線的函數(shù)表達(dá)式為，
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為()，()，
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用；待定系數(shù)法求解析式，面積問題，平行四邊形問題；
（1）待定系數(shù)法求得拋物線解析式，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線的解析式，即可求解；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，根據(jù)得出，進(jìn)而表示出，解方程，即可求解．
（3）先求得拋物線對(duì)稱軸，設(shè))，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí), 當(dāng)為對(duì)角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解．
【詳解】（1）解：把，分別代入得
解得
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
當(dāng)時(shí)，，則
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，
解得：，
直線的函數(shù)表達(dá)式為，
（2）如圖過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形
設(shè)則 ，
解得(舍棄)，
（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為()或()或()
由題知，拋物線拋物線的對(duì)稱軸，
把代入，的
)
設(shè))
分以下三種情況討論：
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，， ，解得
)
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，，解得
)
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，，解得
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為()，()，．
10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)D．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．
【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)解析式，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式；
（2）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，進(jìn)而可得，分三種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即對(duì)角線的中點(diǎn)重合，分別列方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，
解得：，
∴該拋物線的表達(dá)式為；
（2）對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由如下：
∴頂點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
則：
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴設(shè)，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，
解得：，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，
解得：，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，
解得：，
∴；
綜上所述，對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得以，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
11．（2024·上海虹口·二模）新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．
已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．
(1)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，
（1）將點(diǎn)代入表達(dá)式，求出m的值，根據(jù)“輪換拋物線”定義寫出即可；
（2）根據(jù)輪換拋物線定義得出拋物線表達(dá)式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，并求出P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出列方程并解出m值，進(jìn)而解決問題；
（3）先求，結(jié)合求出的點(diǎn)P、E、F坐標(biāo)得出及，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，解方程即可解決．
【詳解】（1）解：拋物線：與軸交于點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)，代入，得，
，
拋物線表達(dá)式為，
拋物線的“輪換拋物線”為表達(dá)式為；
（2）解：拋物線：，
當(dāng)時(shí)，，即與y軸交點(diǎn)為，
拋物線：的“輪換拋物線”為，
拋物線表達(dá)式為，
同理拋物線與y軸交點(diǎn)為，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
拋物線的對(duì)稱軸與直線交點(diǎn)，
點(diǎn)在點(diǎn)的上方，
，
解得：，
，
四邊形為平行四邊形，
，即，
解得：，
；
（3）解：點(diǎn)在拋物線上，
當(dāng)時(shí)，，即，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，
，，
，
，
，
，
解得：．
12．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得：，
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得：，
∴
（2）∵，，，
設(shè)，
∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：，
∴；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：
∴
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：
∴
綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或
（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
設(shè)，則
解得：（舍去）
∴點(diǎn)
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：.
∴直線的解析式
∵，，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)若直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線向左平移個(gè)單位長度后，為平移后拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．在（）的條件下求得的點(diǎn)，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，有最大值為
(3)能，
【分析】
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設(shè)，進(jìn)而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值；
（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為，由（2）知，設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分類討論即可求解，①當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)．
【詳解】（1）解： 拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為
對(duì)稱軸為
與x軸另一交點(diǎn)為
∴設(shè)拋物線為
∴拋物線的表達(dá)式為
（2）在拋物線上
∴設(shè)
在第一象限

∴當(dāng)時(shí)，有最大值為
（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為
由（2）知
設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形．

①當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，
平行四邊形對(duì)角線互相平分
，即
在拋物線上
的坐標(biāo)為
②當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)
同理可得，即
則
的坐標(biāo)為
③當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)
，即
則
的坐標(biāo)為
綜上所述：存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形．
的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)而得到的最小值為的長，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；
（3）分，，分別為對(duì)角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
設(shè)直線，
則：，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則：，，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，

∵，，
∴，
即：的最小值為：；
（3）解：存在；
∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，，
當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：
①為對(duì)角線時(shí)：，

∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)：，

∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)：，

∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
15．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)連接，，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，若F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，，
(2)的面積最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)或或
【分析】
（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式分別求出自變量和函數(shù)值為0時(shí)自變量或函數(shù)值即可求出A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）過點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)，則，則，根據(jù)，可得，則當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（3）設(shè)，，再分當(dāng)為對(duì)角線時(shí)， 當(dāng)為對(duì)角線時(shí)， 當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同建立方程求解即可。
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴；
在中，當(dāng)時(shí)，解得或，
∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)P作軸交于D，
設(shè)，則，
∴，
∵
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（3）解：∵，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得： ，
解得，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得： ，
解得，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得： ，
解得，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．
16．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；
(3)時(shí)，有最大值，最大值為．
【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）由二次函數(shù)，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論：當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；
（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，
可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線 解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．
【詳解】（1）將，代入，得
，解得
∴拋物線解析式為：
（2）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
點(diǎn)Q坐標(biāo)；
當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，
同理得，
解得，或，
∴
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)或
綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；
（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
設(shè)直線的解析式為：
則，解得
∴直線：
同理由點(diǎn)，，可求得直線 ：
設(shè)點(diǎn)，，
則，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴時(shí)，，有最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．
17．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究：如圖1，已知拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，且.
(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(3)如圖2，若拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，試探究，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或
【分析】（1）由，得，解得，.可得點(diǎn)，的坐標(biāo)，由，得.可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)作軸交于，由平行線分線段成比例性質(zhì)得，再求得直線的解析式為，再設(shè)直線的解析式為，用待定系數(shù)法求解即可；
（3）分為為對(duì)角線時(shí)；為對(duì)角線時(shí)；為對(duì)角線時(shí)三種情況分類討論，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）由，得，
解得，
點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，
由，得
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）過點(diǎn)作軸交于
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得
∴直線的解析式為，
，
設(shè)直線的解析式為，
解，得
∴直線的解析式為；
（3）在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∵拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，
∴對(duì)稱軸為直線.
由（2）可得，當(dāng)時(shí)，
由（1）可知，，；
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
將點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位長度，
即可得到點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
將點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位長度，即可得到點(diǎn)，
③當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，
將點(diǎn)向上平移一個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位長度，
即可得到點(diǎn)，點(diǎn)Q為
綜上所述，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．
18．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究
如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式；
(2)如圖，連接交于點(diǎn)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過頂點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)的或
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)當(dāng)時(shí)，得，解方程求出的值即可；根據(jù)，坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明得，設(shè)，，得到，求解即可；
（3）確定直線的解析式為，確定，設(shè)，，然后分三種情況：①若為平行四邊形的對(duì)角線；②若為平行四邊形的邊；③若為平行四邊形的邊，分別建立一元二次方程求解即可．
【詳解】（1）解：
，
∴，
當(dāng)時(shí)，得：，
解得：，，
∴，，
當(dāng)時(shí)，得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為和直線的解析式為；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)的或；

（3）∵點(diǎn)在直線上，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，
∴，
解得：，，
∴，
設(shè)在直線上存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)，，
①若為平行四邊形的對(duì)角線，則：
，得：，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得：，（舍去），
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②若為平行四邊形的邊，
∴，
∵軸，
∴軸，
則：，得：，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得：，（舍去），
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③若為平行四邊形的邊，
∴，
∵軸，
∴軸，
則：，得：，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得：，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)點(diǎn)，本題運(yùn)用了分類討論的思想．掌握函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2024·山東泰安·一模）綜合與實(shí)踐
如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，連接和，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)借助圖1探究，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）將代入，求出點(diǎn)坐標(biāo)，將代入，求出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解，
（2）過點(diǎn)作直線，根據(jù)，，得到直線表達(dá)式，設(shè)直線的表達(dá)式為：，與拋物線聯(lián)立，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，，代入，即可求解，
（3）設(shè)，，分、、分別為對(duì)角線三種情況討論，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解，
本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵當(dāng)時(shí)，，解得：，，
∴，，
（2）解：過點(diǎn)作直線，

∵，，
設(shè)直線表達(dá)式為： ，則：，解得：，
∴直線表達(dá)式為：，
∵，
∴設(shè)直線的表達(dá)式為：，
與拋物線聯(lián)立，，得：，整理得：，
當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
故答案為：，
（3）解：，，
設(shè)，，
當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，解得：或，
∴或
當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，解得： 或（舍），
∴，
當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，解得： 或（舍），
∴，
故答案為：或或或．
20．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）若直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為E，作軸交直線于點(diǎn)F，求線段最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿x軸的正方向平移2個(gè)單位長度得到新拋物線，Q是新拋物線與x軸的交點(diǎn)（靠近y軸），N是原拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在新拋物線上存在一點(diǎn)M，使得以M、N、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)線段最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有或或
【分析】（1）先求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)交點(diǎn)式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；
（2）延長交于點(diǎn)H，設(shè)，則，用含m的式子表示出的長，化為頂點(diǎn)式即可求出最值；
（3）分為邊、為對(duì)角線兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)求解．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函數(shù)的表達(dá)式為：，
把代入得：，
解得：，
故該拋物線得表達(dá)式為；
（2）解：延長交于點(diǎn)H，如圖，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：∵，
∴拋物線y的對(duì)稱軸為直線，平移后的拋物線表達(dá)式為，
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵N是原拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵點(diǎn)M在新拋物線上，
∴設(shè)，
①當(dāng)為邊時(shí)，
點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到，或點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴或，
解得：或6，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的存在性問題等，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
21．（2024·山東聊城·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于（為坐標(biāo)原點(diǎn)）、兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)，連接，，求面積的最大值；
(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入即可求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)Q，直線的解析式，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，可得，當(dāng)時(shí)，有最大值，即可得的最大值；
（3）設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，分三種情況討論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求n的值即可求N點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)為，
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入得，，
∴，
∴；
（2）設(shè)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t，
令拋物線解析式的，得到，
解得，，
∴A的坐標(biāo)為，
設(shè)直線AB的解析式為，
將，代入，得
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
∴面積的最大值為；
（3）存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，
∴，
∴，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，
∴，
∴，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，
∴，
∴，
綜上所述：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；
（3）分3種情況求解：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；根據(jù)，確定點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解．
【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，
把點(diǎn)，點(diǎn)代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，，
∴，
當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，
∴，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
把代入可得，
解得，
∴直線的解析式為，
又∵過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，且拋物線對(duì)稱軸為，
∴
∴，
解得（不合題意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下．
由題意，，
∴，．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸的上方，
∵，
∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合題意，舍去），．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合，所以此種情況不存在；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸的下方，點(diǎn)E在射線上，
如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為R，

∴，，
∴．
∵，
∴M為的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合題意，舍去），．
綜上可知，存在或，使．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．
23．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸直線交拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，連接，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，其中．
①若，請(qǐng)求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②在線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以C，P，D，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、線段長度的表示方法、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中（2），確定是本題解題的關(guān)鍵．
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）①證明，得到直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：，即可求解；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或角線時(shí)，同理可解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：，則點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，
則點(diǎn)，
①由點(diǎn)的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
∵，則，
則直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：，
解得：，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為：；
②存在，理由：
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：
，
解得：(不合題意的值已舍去)；
當(dāng)或角線時(shí)，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
綜上，．
24．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，M是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線軸于點(diǎn)N.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)直線是拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，求四邊形的面積
(3)求的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(4)在（3）的條件下，若P是拋物線的對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，Q是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存點(diǎn)點(diǎn)P、Q，使以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)5
(3)最大值為，.
(4)存在，或或
【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后利用求出面積即可；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則點(diǎn)，表示，然后利用二次函數(shù)的配方法求最值即可；
（4）分是對(duì)角線、是對(duì)角線和是對(duì)角線三種情況，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算解題．
【詳解】（1）由題意得：.解得：
∴拋物線的函數(shù)解析式是：.
（2）∵.
∴當(dāng)MN是拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)是，點(diǎn).
連接BN.
則；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則點(diǎn).
∴，.
∴.
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
這時(shí)點(diǎn).
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)，.
分三種情況討論：
①當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，解得：，這時(shí)點(diǎn).
②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，解得：，這時(shí)點(diǎn).
③當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，解得：，這時(shí)點(diǎn).
綜上所述，存或或，使以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
25．（2024·四川宜賓·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)M，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l對(duì)稱．點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D在對(duì)稱軸l上，直接寫出所有使得以點(diǎn)A、、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)最大值為，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)解析式為．
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
設(shè)直線解析式為，
∵，，
∴，
解得：，
∴直線解析式為，
設(shè)，則，
∴，，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
∵，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l對(duì)稱，
∴，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，
設(shè)，，
∵以點(diǎn)A、、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴對(duì)角線的中點(diǎn)的坐標(biāo)相同，
如圖，
①當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，，
解得：，
∴．
②當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，，
解得：，
∴．
③當(dāng)、為對(duì)角線時(shí)，，
解得：，
∴．
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式．
26．（2024·甘肅天水·一模）拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．
(1)求拋物線、直線的函數(shù)解析式；
(2)在直線上方拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得的面積達(dá)到最大，若存在則求這個(gè)最大值及點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在則說明理由．
(3)點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為：，直線的函數(shù)解析式為
(2)存在使得的面積達(dá)到最大，最大值為8
(3)存在這樣的點(diǎn)E，坐標(biāo)為或或
【分析】（1）先將、代入拋物線，即可求出拋物線解析式，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，再將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)H，垂足為G，連接，設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)的面積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的定義分為對(duì)角線時(shí)，為對(duì)角線時(shí)，和為對(duì)角線時(shí)，三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線，得，
解得：，
拋物線的解析式為：；
令，則，
解得：或，
，
，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
直線的函數(shù)解析式為；
（2）解：過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)H，垂足為G，連接，

設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
的面積為，則，
，
當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為8，
此時(shí)；
（3）解：存在，求解過程如下：
設(shè)，，
由平行四邊形的定義分以下2種情況：
①如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
F點(diǎn)在x 軸上，
，，
，
則，
解得或（舍去），
，
②如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
則，即，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
③如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
∵F點(diǎn)在x 軸上，
∴，，
∴，
則，即，
解得或（舍去），
，
綜上，存在這樣的點(diǎn)E，坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、平行四邊形的定義等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分3種情況討論是解題關(guān)鍵，勿出現(xiàn)漏解．
27．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，在軸下方作軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)．當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，作直線，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒1個(gè)單位長度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以相同的速度從點(diǎn)出發(fā)沿線段勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)返回到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．過點(diǎn)向軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值為4或6或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)出頂點(diǎn)式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；
（2）設(shè)，對(duì)稱性得到，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形，得到，列出方程求解即可；
（3）分，，三種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)為，
設(shè)，
將代入得：，解得：，
，即；
（2）設(shè)，則，
對(duì)稱軸為直線
∴，
∴，
由題意，得：四邊形為矩形，
∴當(dāng)時(shí)，矩形為正方形，
∴
解得：（舍），
把代入得，
當(dāng)矩形為正方形時(shí)，，
（3）由（2）可知：．
設(shè)直線的解析式為，
將代入，得：
解的：，
直線的解析式為．
聯(lián)立，解得，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且，
，分三種情況考慮：
①當(dāng)時(shí)，如圖所示，，
．
，解得：（舍去），；
②當(dāng)時(shí)，，
，解得：（舍去），；
③，
如圖所示，
，

解得（舍去），，
綜上所述，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，的值為4或6或．
28．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．
(1)若，求n的值；
(2)拋物線與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．
①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；
②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)時(shí)，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)的值為1；
(2)①；②假設(shè)存在，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．
【分析】
（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直線的表達(dá)式為：，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為；由垂徑定理知，點(diǎn)在的中垂線上，則；由四邊形為平行四邊形，則，求出，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）
解：把代入得；
故的值為1；
（2）
解：①在中，令，則，
解得或，
，，
點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
，
令，得，
即當(dāng)，且，
則，解得：（正值已舍去），
即時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高處；
②假設(shè)存在，理由：
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，
由①得，，，，對(duì)稱軸為直線，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，
作的中垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
則直線的表達(dá)式為：．
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由垂徑定理知，點(diǎn)在的中垂線上，則．
四邊形為平行四邊形，
則，
解得：，
即，且，
則，
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．
【點(diǎn)睛】
本題為反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)基本知識(shí)、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)，其中（3），數(shù)據(jù)處理是解題的難點(diǎn)．
29．（2024·山西陽泉·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．過點(diǎn)作直線軸，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，作直線．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)為拋物線上第二象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求；
(3)若點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，直線的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；證明，求得，得到點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）作軸，軸，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得是的中位線，用分別表示的坐標(biāo)，利用，列式計(jì)算即可求解；
（3）由題意得即軸，求得解方程，求得，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)，
∴點(diǎn)，
∴，，，
由題意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得，解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：作軸，軸，垂足分別為，連接，
∵，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴是的中位線，
∴，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）解：由題意得即軸，
∵點(diǎn)，
∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，
解方程，得，
∴點(diǎn)或，
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，
∴當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為,
當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，
∴當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
30．（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知，，連接，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
備用圖
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．
(2)在線段的下方是否存在點(diǎn)P，使得的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積最大值．
(3)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，C，P，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的面積最大值為；
(3)存在，N點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線的函數(shù)解析式求解，即可解題；
（2）過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，表示出，利用二次函數(shù)的最值，得到的最大值，推出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的面積最大值；
（3）根據(jù)以點(diǎn)B，C，P，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分以下三種情況討論，①當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，③以，為對(duì)角線時(shí)，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)求解，即可解題．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入中，
有，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：存在，理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，
設(shè)直線的解析式為，把，代入，
可得，解得，
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
點(diǎn)P在直線的下方，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
的面積最大值為；
（3）解：存在，理由如下：
點(diǎn)N是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為，P點(diǎn)坐標(biāo)為，
以點(diǎn)B，C，P，N為頂點(diǎn)的平行四邊形：
①當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，
，且，解得，，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為；
②當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，
，且，解得，，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為；
③以，為對(duì)角線時(shí)，
，且，解得，，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為．
綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
31．（2024·廣東惠州·一模）綜合探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)在第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，可設(shè)拋物線解析式為，知，代入得到完整解析式即可；
（2）作，交延長線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定證明，設(shè)，得出數(shù)據(jù)代入中求解，得到點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)拋物線的解析式為，設(shè)，結(jié)合已知，，分“以為對(duì)角線”、“以為對(duì)角線”和“以為對(duì)角線”三種情況討論，根據(jù)坐標(biāo)系中平行四邊形頂點(diǎn)的相對(duì)位置，用含式子表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出完整坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為，，
∴拋物線解析式為，即；
（2）解：如圖，作，交延長線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
∵，，拋物線表達(dá)式為，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴數(shù)據(jù)代入中，得：，
解得：（舍去），，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：存在；
∵拋物線的解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，
∵拋物線解析式中，
∴，
當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，
∵，，，
∴，，則，
把代入，得：，
∴；
當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，
∵，，，
∴，，則，
把代入，得：，
∴；
當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，
∵，，，
∴，，則，
把代入，得：，
∴．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)、二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分類討論是解題的關(guān)鍵．
32．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)若D為拋物線的頂點(diǎn)，求的面積；
(3)若P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)；
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，得到，根據(jù)的面積為求解即可；
（3）根據(jù)題意分三種情況討論，①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，③當(dāng)，時(shí)，作于點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：由題知，拋物線過點(diǎn)，，
，解得，
該拋物線的解析式為；
（2）解：，D為拋物線的頂點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
又拋物線對(duì)稱軸為，
，
將代入中，有，解得，
直線的解析式為，
作軸，交于點(diǎn)，連接，，

有，
，
的面積為：；
（3）解：存在，

①當(dāng)，時(shí)，
，
的坐標(biāo)為；
②當(dāng)，時(shí)，
，
的坐標(biāo)為；
③當(dāng)，時(shí)，作于點(diǎn)，
有，，
，
，，
，
的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用．
33．（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交于，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，求周長的最大值；
(3)若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)在軸上，是否存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
(4)將拋物線向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點(diǎn)，使得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的任意一條直線與新拋物線交于，兩點(diǎn)時(shí)，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
(4)存在，定點(diǎn)，的值為
【分析】（1）把，點(diǎn)代入，得出關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組求出、的值，即可得答案；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，設(shè)，則，根據(jù)，及、兩點(diǎn)坐標(biāo)得出是等腰直角三角形，利用表示出的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可得答案；
（3）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的坐標(biāo)相同，分、、為對(duì)角線三種情況，列方程組求出、的值即可得答案；
（4）根據(jù)平移規(guī)律得出新的拋物線解析式為，設(shè)的解析式為，，，則，聯(lián)立拋物線與直線的解析式得，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用、、、分別表示和，代入，根據(jù)為定值得出值及定值即可．
【詳解】（1）解：∵，在拋物線上，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：．
（2）∵拋物線的表達(dá)式為：，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∵，，
∴，
解得：
∴直線的解析式為，
設(shè)其中，則，
∴
∵，，
∴
∵軸，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∴的周長
，
∴當(dāng)時(shí)，的周長有最大值，．
（3）由題意知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
解得：，
∴，
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
解得：，
∴，
③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
解得：，
解得：，
綜上所述，存在點(diǎn)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
（4）當(dāng)拋物線向左平移1個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位后，得到新的拋物線，即，
設(shè)的解析式為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
聯(lián)立新拋物線與直線的解析式得：
∴，
∴，，
，
同理，，
，
∵為定值，
∴，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
∴定點(diǎn)的值為4．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，包括待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像的平移、求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、求二次函數(shù)的最大值、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及規(guī)律是解題關(guān)鍵
34．（2024·山西朔州·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，直線交拋物線于另一點(diǎn)E．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試探究當(dāng)m為何值時(shí)，線段最大？請(qǐng)求出的最大值．
(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)B，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，當(dāng)時(shí)，有最大值為
(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，或
【分析】（1）將，代入得：，求解即可得出拋物線解析式，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于，，求出得出，從而得到當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，設(shè)點(diǎn)，則，則，求出的最大值即可；
（3）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，分三種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)；當(dāng)為邊，平行四邊形為時(shí)；當(dāng)為邊，平行四邊形為時(shí)；分別利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將，代入得：，
解得：，
二次函數(shù)的解析式為：；
在中，當(dāng)時(shí)，，
，
點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，
，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將，代入解析式得：，
解得：，
直線的表達(dá)式為；
（2）解：存在，
如圖，過點(diǎn)作軸的平行線交于，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，
設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
的最大值為；
（3）解：，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
由（2）可得，點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，
點(diǎn)B，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則，
解得：，此時(shí)，即；
當(dāng)為邊，平行四邊形為時(shí)，，
解得：，此時(shí)，即；
當(dāng)為邊，平行四邊形為時(shí)，，
解得：，此時(shí)，即；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合—線段問題，二次函數(shù)綜合—特殊四邊形問題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)輔助線，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
35．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知拋物線 與x軸交于、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，與y軸交于C點(diǎn)，且的面積為6．
(1)求拋物線的對(duì)稱軸和解析式；
(2)平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點(diǎn)Q在原拋物線上，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求平移后拋物線的表達(dá)式；
(3)若過定點(diǎn)K的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)（N在M點(diǎn)右側(cè)），過N點(diǎn)的直線 與拋物線交于點(diǎn) G， 求證： 直線必過定點(diǎn)．
【答案】(1)直線,
(2)
(3)見解析
【分析】（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，可得，根據(jù)的面積可得點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，據(jù)此即可求解；
（3）設(shè)，可求出直線的解析式；根據(jù)直線過定點(diǎn)K可得；結(jié)合題意可求出點(diǎn)，即可進(jìn)一步求出直線的解析式，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的對(duì)稱軸為直線
∵，
∴
令，則
∴
∵的面積為6．
∴，
解得：
∴，
將代入得：，
解得：，
∴
（2）解：∵，
∴
設(shè)點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴且
∴，即：
∵頂點(diǎn)Q在原拋物線上，
∴，
解得：
∴
∴平移后拋物線的表達(dá)式為：
（3）解：設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵直線過定點(diǎn)
∴
得：
∵直線 過N點(diǎn)，
∴，，
∴
令，
解得：
∴
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵，
∴直線的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴直線必過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及了函數(shù)解析式的求解，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)的平移等知識(shí)點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
36．（2015·山東臨沂·一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對(duì)稱軸上一點(diǎn)， 軸，與對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)C，且四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)C的坐標(biāo)是；
(3)P的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）將，代入，列方程組并且解該方程組求出a、b的值，即可得到拋物線的解析式為；
（2）將拋物線的解析式配方成頂點(diǎn)式，求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，，由平行四邊形的性質(zhì)得，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)是；
（3）分三種情況，一是；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)L，作交的延長線于點(diǎn)H，則，證，設(shè)，則，于是得，求得，則；二是，可證明，則，得，．
三是，設(shè)交于點(diǎn)J，則，由平行四邊形的性質(zhì)得，，所以，則．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，，
∵四邊形是平行四邊形，
，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，
拋物線，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
（3）解：存在點(diǎn)P，使是直角三角形，

①當(dāng)時(shí)，
作交的延長線于點(diǎn)H，則，，
，
，
設(shè)，則，
，
，
解得，
，
②點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)L．
，
，，
，
，
，
，
，
．
③當(dāng)時(shí)，
設(shè)交于點(diǎn)J，作軸于點(diǎn)L，
，，，
，
軸，，
，
∵四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
， ；
綜上所述，存在點(diǎn)P，使是直角三角形，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
37．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，對(duì)稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．問是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線，將點(diǎn)代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．
（3）先得出直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，進(jìn)而建立方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵對(duì)稱軸為直線，
∴①，
將點(diǎn)代入得，
∴②，
聯(lián)立①②得，，
∴解析式為；
（2）設(shè)，如圖所示，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，，
則，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，

，
∵，
∴，
由對(duì)稱性可知，，
∴，
∴
解得：
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或
如圖3，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，，

由對(duì)稱性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)定值，理由見詳解
【分析】（1）將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；
（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，在①中，只要點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點(diǎn)P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
，
解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，，
；
②如圖，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上圖，根據(jù)對(duì)稱性：，
③當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由①知，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且時(shí)，也滿足條件，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)仍為；
綜上所述：的坐標(biāo)為或或．
（3）解：是定值，
理由：如圖，直線經(jīng)過，
可設(shè)直線的解析式為，
、在拋物線上，
可設(shè)，，
，
整理得：，
，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
當(dāng)與對(duì)調(diào)位置后，同理可求；
故的定值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會(huì)根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．
39．（2024·四川廣元·二模）如圖，已知直線：交 x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的圖象過點(diǎn) B，C，且與x軸交于另一點(diǎn)A（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)）．在直線 下方的拋物線上有一點(diǎn) P，過點(diǎn) P 作軸，垂足為 F，交 于點(diǎn)M，連接，，，交于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式．
(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
(3)連接，，已知點(diǎn) D 是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 的面積最大時(shí)，在該拋物線上是否存在動(dòng)點(diǎn) Q，使得以點(diǎn) A，M，Q，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？ 若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)三角形面積公式等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn) A 作軸，交于點(diǎn)H，得到，得到：，再求出，設(shè)則，求出，得到，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)先表示出P的坐標(biāo)，最后再分三種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）解∶直線的解析式為，
，．
將點(diǎn) ，代入得

解得 ，
拋物線的解析式為：．
（2）（2）令，
解得：

如圖 1，過點(diǎn) A 作軸，交于點(diǎn)H．
．
．

將代入中，得．
．
設(shè)則，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)， ，
故當(dāng)時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為．
（3）（3）存在，，， ，
由（1）易得該拋物線的對(duì)稱軸為直線 ，
設(shè)
由圖可得，
當(dāng)時(shí)，有最大值1，此時(shí)．
①如圖2，當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，．
，點(diǎn) D 在直線 上，
∴線段 是由線段向左平移 個(gè)單位長度或向右平移個(gè)單位長度，再上下平移得到的．
當(dāng)點(diǎn) A 向左平移個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn) Q 的橫坐標(biāo)則，
，
當(dāng)點(diǎn)M向右平移 個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn) Q 的橫坐標(biāo)，則，
，
②如圖 3，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，互相平分．
設(shè)
，
則，
綜上，存在或或使得以點(diǎn) A，M，Q，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
40．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)構(gòu)造，使點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，為的中點(diǎn)，求的最小值；
(3)為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的橫坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)列出關(guān)于、的方程組，求解即可；
（2）證明，得到，設(shè)，求出點(diǎn)，，得到點(diǎn)，則，即可求解；
（3）分三種情況：①若是斜邊，則；②若是斜邊，則；③若是斜邊，則，分別列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，連接，
∵拋物線的解析式為，，
當(dāng)時(shí)，得，
∴，
∴軸，即軸，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
設(shè)，則，
∴，，
∴，，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵，軸，
∴，
在中，， ，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為；
（3）∵拋物線交軸于、兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，得，
解得：或，
∴，，
設(shè)，則
，
，
∵、、、構(gòu)成的四邊形是矩形，
∴是直角三角形，
①若是斜邊，則，
∴，
解得：，，（舍去），（舍去），
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；
②若是斜邊，則，
∴，
解得：或（舍去），
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；
③若是斜邊，則，
∴，
解得：或（舍去），
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，考查了待定系數(shù)法確定解析式，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意并分類求解是解題的關(guān)鍵．
題型二：菱形存在性
1．（2024·陜西渭南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)連接，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)的坐標(biāo)為)或 或．
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）由（）得，則拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，則，，，然后分當(dāng)為菱形的邊時(shí)，則或，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，兩種情況即可；
本題主要考查了二次函數(shù)、菱形的性質(zhì)和勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)、正確求出二次函數(shù)表達(dá)式并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，則，
∴，
∴點(diǎn)，
∵拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）由（）得
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，
∴，，，如圖，
當(dāng)為菱形的邊時(shí)，則或，
∴或，即或（無解），
解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為)或 ；
當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，則，
∴，即，
解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上可得：存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為)或 或．
2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E．
(1) ， ；
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）把代入，運(yùn)用待定系數(shù)法解二次函數(shù)的解析式，即可作答．
（2）因?yàn)?，先排除一種情況，再進(jìn)行分類討論，即和，分別列式計(jì)算，即可作答．
（3）根據(jù)菱形性質(zhì)，結(jié)合圖象性質(zhì)，進(jìn)行分類討論，即四邊形為菱形或四邊形為菱形，運(yùn)用中點(diǎn)法列式，以及勾股定理，代入數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點(diǎn)，
∴把代入
得
解得
∴
故答案為：；
（2）解：∵軸
∴
∴
∵是直角三角形
∴當(dāng)時(shí)，
∴
∴
∵對(duì)稱軸
∴
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
∴當(dāng)時(shí)，
設(shè)的解析式為
∴把代入
∴得
解得
∴
設(shè)點(diǎn)
則
∵
∴
∴
∵
∴
則
即
解得（此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，故舍去）
∴點(diǎn)
綜上或
（3）解：存在，或
如圖：依題意，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，由（2）知的解析式為
設(shè)點(diǎn)，
∵四邊形為菱形
∴
即
則
由（2）知，此時(shí)
∴
∴
即如下圖所示：
如圖：依題意，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)
∵點(diǎn)，
∴
即
∵
∴
∴解得，（舍去）
∴
∴
綜上或
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，菱形性質(zhì)，待定系數(shù)法解函數(shù)解析式，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，熟練運(yùn)用分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·青海西寧·一模）如圖，拋物線 與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B 是拋物線的頂點(diǎn)，直線 是拋物線的對(duì)稱軸，且與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)點(diǎn)D是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接， 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)．
(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是x軸上方拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn) P 在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)A，D，M，P為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到，推出點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)，分，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線 與y軸交于點(diǎn)，直線 是拋線物的對(duì)稱軸，
∴，解得：，
∴；
（2）解：由題意，得：，
∵，
∴，
∴，
連接，則：，
∵
∴點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，
∴，
聯(lián)立，解得：或，
∴；
（3）解：設(shè)，
∵，，
∴，，，
∵點(diǎn)A，D，M，P為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，
∴分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，則：，
解得：或（舍去）；
∴；
當(dāng)時(shí)，則：，
解得：或（舍去），
∴；
綜上：或．

4．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)為或或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)題意，分別求得，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，②當(dāng)為邊時(shí)，分，，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
則，，
∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
∵，
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，
∴，
∴面積的最大值；
（3）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，當(dāng)時(shí)，，即，
∵，
∴,
，，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中點(diǎn)重合，
∴，
解得：，
∴，
②當(dāng)為邊時(shí)，
當(dāng)四邊形為菱形，

∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中點(diǎn)重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
當(dāng)時(shí)；
如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，
∴點(diǎn)為或，
綜上所述，點(diǎn)為或或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細(xì)心的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
5．（23-24九年級(jí)上·廣東中山·期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)為圖形的“夢(mèng)之點(diǎn)”．
(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形ABCD“夢(mèng)之點(diǎn)”的是______；
(2)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．連接，判斷的形狀并說明理由．
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以為對(duì)角線，以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形的內(nèi)部或者邊上即可得到答案；
（2）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義求出的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出的長，根據(jù)勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面積公式計(jì)算即可得到答案；
（3）由（2）可得，，求出直線的解析式為，由菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)、在直線上，聯(lián)立，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，
矩形的“夢(mèng)之點(diǎn)”滿足，，
點(diǎn)是矩形的“夢(mèng)之點(diǎn)”，不是矩形的“夢(mèng)之點(diǎn)”．
（2）點(diǎn)是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，
，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，，
，
頂點(diǎn)，
，，，
，
是直角三角形．
（3）由（2）可得，，
設(shè)直線的解析式為：，
將代入得：，
解得：，
直線的解析式為：，
以為對(duì)角線，以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
，
點(diǎn)、在直線上，
點(diǎn)在二次函數(shù)上，
聯(lián)立，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性質(zhì)、一次函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，理解題意，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
6．（23-24九年級(jí)上·重慶南岸·期末）如圖，已知拋物線與x軸交于和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)F，交x軸交于點(diǎn)E．當(dāng)取得最大值時(shí)，求m的值和的最大值；
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為P，Q是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)R，使得以點(diǎn)C，R，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，的最大值為
(3)或或或
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)和，利用待定系數(shù)法求解即可得；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；
（3）先求出點(diǎn)，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分三種情況：①當(dāng)為菱形的對(duì)角線，時(shí)；②當(dāng)為菱形的對(duì)角線，時(shí)；③當(dāng)為菱形的對(duì)角線，時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)和代入得：，
解得，
則拋物線的函數(shù)解析式為．
（2）解：由題意可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)和代入得：，解得，
則直線的解析式為，
，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
（3）解：，
則此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，，
①如圖1，當(dāng)為菱形的對(duì)角線，時(shí)，
，即，
解得，
或，
由菱形的性質(zhì)可知，，
，
∴當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，；
②如圖2，當(dāng)為菱形的對(duì)角線，時(shí)，
，即，
解得或（此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去），
，
設(shè)此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵菱形的對(duì)角線互相平分，
∴，解，
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③如圖3，當(dāng)為菱形的對(duì)角線，時(shí)，
，即，
解得，
，，
由菱形的性質(zhì)可知，，
，
，即，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，本題的關(guān)鍵在于利用分類討論思想解決問題．
7．（2023·四川廣安·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上位于直線上方一動(dòng)點(diǎn)，且在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作x軸的平行線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿x軸向右平移6個(gè)單位長度，平移后的拋物線與平移前的拋物線交于點(diǎn)H，M為平移前拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)H，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的函數(shù)解析式為
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，利代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式；
（2）先求出直線的函數(shù)解析式為和拋物線的對(duì)稱軸為．設(shè)，則，，得到．進(jìn)一步即可求出答案；
（3）求出點(diǎn)．設(shè)．求出，，．設(shè)．分三種情況分別進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為．
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，則，
解得．
∴拋物線的函數(shù)解析式為．
（2）設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，代入得，
，
解得
∴直線的函數(shù)解析式為．
由，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線．
設(shè)，則，，
∴，，
∴．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
（3）∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴平移后的拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，即點(diǎn)．
∵M(jìn)為平移前拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，平移前拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴設(shè)．
∵，
∴，，．
設(shè)．
①如圖1，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
∴，解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
∵，，
∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
即的中點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
∴，，或，，
解得，，或，，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，
∴，此方程無解．故此種情況不存在；
③如圖2，當(dāng)PH為對(duì)角線時(shí)，，

∴，解得，即．
∵，，
∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得，，，解得，，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、勾股定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)S最大為12.5，
(3)存在，，
【分析】
（1）首先求出點(diǎn)，點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）先求出點(diǎn)，再作軸于E，連接，依題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，則，，，分別求出，，，然后根據(jù)列出S與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)S有最大值求出m，進(jìn)而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作軸，與交于點(diǎn)K，先由勾股定理求出，，再根據(jù)可求出t，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)K為的中點(diǎn)求出k的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)K為的中點(diǎn)可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）
解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
對(duì)稱軸是直線：，
有：，解得：，
拋物線的表達(dá)式為：；
（2）
解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得：，，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)，點(diǎn)，
，，
作軸于E，
點(diǎn)D在第二象限內(nèi)的拋物線上，且橫坐標(biāo)為m
點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，
，，
，
軸，則四邊形為直角梯形，
，
又，，
，
即，
又，
，
當(dāng)時(shí)，S為最大，
此時(shí)
點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（3）
解：存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，理由如下：
點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，
可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，
以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，
，與互相垂直平分，
設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作軸，與交于點(diǎn)K，
點(diǎn)，，
，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為，
點(diǎn)K為的中點(diǎn)，
，，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
點(diǎn)K為的中點(diǎn)，
，，
解得：，，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】此題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，對(duì)稱軸，菱形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及求二次函數(shù)最值、對(duì)稱軸的方法，理解菱形的四條邊都相等，對(duì)角線互相平分．
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 交軸于點(diǎn)， 兩點(diǎn)， 交軸于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) 作． 于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn) ，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2） 問的條件下，將該拋物線沿射線的方向平移 個(gè)單位后得到新拋物線．點(diǎn) 為平移后的新拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)． 在平面內(nèi)確定一點(diǎn)． 使得四邊形 是菱形，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先根據(jù)題意求得的最大值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而可求解；
（3）根據(jù)平移性質(zhì)和菱形的性質(zhì)分、、分別為對(duì)角線三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線 交軸于點(diǎn)， 兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：
（2）解：令，
∴，則，
∵，，則，
設(shè)直線的表達(dá)式為 ，
∴，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為 ，
設(shè)，則
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)；
∵，
∴的周長為，
∵軸，
∴， ，
∴
∴，即
∴周長的最大值為，此時(shí)；
（3）解：∵，，
∴根據(jù)平移性質(zhì)，該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度，相當(dāng)于向右2個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，則平移后的拋物線的對(duì)稱軸為，
設(shè)，，，
∴
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則，
∴，
解得，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為；
當(dāng)或?yàn)閷?duì)角線時(shí)，或，
則或，
解得或
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為或，
綜上，滿足題意的N點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
10．（2024·湖南·一模）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于，頂點(diǎn)為A．
(1)如圖1，求直線的函數(shù)解析式；
(2)如圖1，將直線繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線并交拋物線于點(diǎn)N，若Q為x軸上一點(diǎn)，求的最小值；
(3)如圖2，將拋物線平移得到，頂點(diǎn)由A平移到，若點(diǎn)B在直線上，點(diǎn)D和E分別在拋物線和上，那么四邊形是否可以為菱形？若可以，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不可以，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)可以，點(diǎn)D坐標(biāo)為或
【分析】（1）將代入可求出，化成頂點(diǎn)式求出，由待定系數(shù)法，即可求解；
（2）過作交于，過作交于，由勾股定理得可求出的長，由正弦函數(shù)得， 求出及三角函數(shù)值，設(shè)，由勾股定理得，由三角形面積可求出的坐標(biāo)，從而可求的坐標(biāo)，而，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即可求解；
（3）設(shè)，由勾股定理求得，即，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：將代入得，
，
解得：，
，
，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
則有，
解得：，
故直線的函數(shù)解析式為；
（2）解：如圖，過作交于，過作交于，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
∴，
設(shè)，
，
∵，
∴
整理得：，
解得：，(舍去)，
，
設(shè)直線的解析式為，則有，
解得：，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：，，
，
，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，如圖，
；
故的最小值為；
（3）解：可以，理由如下：

頂點(diǎn)由A平移到，點(diǎn)B在直線上，
，
，
四邊形是菱形，
，
設(shè)，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
D點(diǎn)坐標(biāo)或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，解直角三角形，二次函數(shù)與特殊三角形綜合，二次函數(shù)與特殊四邊形綜合，垂線段最短等，能將最值轉(zhuǎn)化為垂線段最短，并將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程求解是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·四川德陽·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)C，拋物線過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接，與直線相交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求E點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)；
(3)或或或或
．
【分析】（1）先求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解；
（2）如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則易得，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)與的關(guān)系列出關(guān)于t的方程，解方程可求出t的值，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，②當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
∴、，
∵拋物線的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：令，解得，，
∴，
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則，
如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
（3）∵拋物線的解析式為，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
在（2）的條件下，
∵點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè)，
∴，
∵點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵，
∴， ，，
①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，，即，，
∴，
∴，
∴或；
②當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，即，
∴，
解得，
∴；
③當(dāng)，即，
∴，
∴或，
∴或；
綜上所述，M的坐標(biāo)為或或或或
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理及菱形的判斷和性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．
12．（2024·四川瀘州·一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若在線段上存在一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）將、兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式，求出，的值即可得出答案；
（2）先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的解析式，即可表示點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，再證明，可得，，然后表示出點(diǎn)，最后將點(diǎn)代入直線解析式，求出答案即可；
（3）先將關(guān)系式配方得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分兩種情況討論：當(dāng)為菱形的邊時(shí)，作，再求出，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，作，可知，，再設(shè)，表示，在中，根據(jù)勾股定理求出的值， 可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的解析式是；
（2）由（1）得，點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，
直線經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖①所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，
，
．
，，
，
在和中，
，
，
，．
，
點(diǎn)在直線上，
，
解得：，
把代入中得，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）存在．
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
分兩種情況討論：
當(dāng)為菱形的邊時(shí)，如圖所示②：過作于．
， ，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示③：過點(diǎn)作于．
由題意可知，，，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等．
13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)無論a取何值，拋物線一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），點(diǎn)H是線段上一點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q（），使得以為頂點(diǎn)且以為邊的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將A代入即可求解；
（2）根據(jù)解析式確定拋物線必過定點(diǎn)和，，分為①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，兩種情況分別畫圖求解即可；
（3）求出直線的解析式，設(shè)P，Q，分為①，②，兩種情況分別求解即可；
【詳解】（1）解：將代入，
解得，
；
（2），
當(dāng)或者時(shí)，，
無論a為何值，拋物線必過定點(diǎn)和，
點(diǎn)M和點(diǎn)C重合，
，
①當(dāng)時(shí)，如圖1，為等腰直角三角形，
，
②當(dāng)時(shí)，如圖2，為等腰直角三角形，
；
圖1 圖2
（3）直線的解析式為，過點(diǎn)A，C，
求得直線的解析式為，
設(shè)P，Q，
M，H1，
①如圖3，，
，
解得，
P1，
根據(jù)菱形性質(zhì)，可以得出Q1，
②如圖4，，
，
解得，
P2，
根據(jù)菱形性質(zhì)，可以得出Q2，
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
圖3 圖4
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式便是相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度及方程思想的應(yīng)用．
14．（2024·山東棗莊·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）待定系數(shù)法結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)，可得的長，利用分割法將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
（3）分和兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
∵，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
設(shè)直線的解析式為，
把，代入，得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則：，，
∴，
∴，
∴四邊形面積，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大為，此時(shí)點(diǎn)．
（3）存在：設(shè)點(diǎn)，則：，，
∵，
∴，，，
∵軸，
∵軸，
∴，
∴為菱形的邊，
當(dāng)時(shí)，則：，
解得：（不合題意，舍去），或，
∵
∴
∴或
∴或；
當(dāng)時(shí)，則：，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
綜上或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分割法求面積，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解．
15．（2024·甘肅天水·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)面積最大值為，此時(shí)
(3)的坐標(biāo)為或或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，四邊形面積，菱形的性質(zhì)．
（1）由拋物線對(duì)稱軸是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，得，再用兩點(diǎn)式即可；
（2）連接，設(shè)，則，由再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可；
（3）由，得直線解析式為，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是一組對(duì)邊，分兩種情況，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，分別列出方程組解出未知數(shù)即可．
【詳解】（1）解：拋物線對(duì)稱軸是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，連接，
設(shè)，則，
在中，令，得，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，面積取最大值，此時(shí)；
（3）在軸上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：
由，得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是一組對(duì)邊，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，且，
，
解得（舍去，此時(shí)與重合）或，
，
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，且，
，
解得（舍去）或或，
或．
綜上，的坐標(biāo)為或或．
16．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；
（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線．
【詳解】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，
∴
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令，
∴，
由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
∴；
當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，
∴，
∴；
當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，
∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．
（3）存在，理由如下：
拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
設(shè)，，
∵，
則，
，
，
∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，

∴，
解得：，
∴或
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，
∴
以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，
∴，
解得：，
∴；
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
∴，
解得：
∴，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為： ，或，或，或或
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)最大值為，此時(shí)
(3)或或
【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；
（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，則；再由得到，故當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對(duì)角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，
∴，即，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為；
（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，
∴，
∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：設(shè)，則，，
∵軸，
∴軸，即，
∴是以、為頂點(diǎn)的菱形的邊；
如圖3-1所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，即軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∴，
∴；
如圖3-2所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-3所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-4所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如圖3-5所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，這與題意相矛盾，
∴此種情形不存在
如圖3-6所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)交于S，

∵軸，
∴，
∵，
∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，
∴此種情況不存在；
綜上所述，或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
18．（2024九年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積的最大值為
【分析】（1）將，代入，可得關(guān)于，的二元一次方程，求解可得拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，由菱形的性質(zhì)可知垂直平分，求出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，求出即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)，則，則可求，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大．
【詳解】（1）解：∵，在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）存在點(diǎn)，使四邊形為菱形，理由如下：
設(shè)，則，交于，
∵四邊形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
解得：，（負(fù)值不合題意，舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
∴軸，
∵二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，
當(dāng)時(shí)，得，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形的面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的最值，三角形和四邊形的面積等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的對(duì)稱性，及三角形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）方法一：連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，解得．
∴拋物線的表達(dá)式為：．
（2）解：方法一：如下圖，連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．

∵
，
∴．
令中，則，
解得或，
∴，
設(shè)直線為，
∵過點(diǎn)，，，
∴，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：．
設(shè)，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下圖，

拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
如下圖，連接，，

∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
∴，
∵，，，
∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直線的表達(dá)式為：．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
如下圖，連接，，，

同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直線的表達(dá)式為：．
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
20．（2024·山東淄博·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，已知經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)如圖3，在（2）的條件下，將直線與y軸的交點(diǎn)F向下平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)P．
①連接，求的度數(shù)；
②將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，直線與x軸交于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在某個(gè)位置，使得四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為；頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(2)
(3)；所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接，在上取一點(diǎn)G，使，連接，過點(diǎn)A作，交拋物線于點(diǎn)E，，此時(shí)點(diǎn)D到直線的距離等于點(diǎn)B到直線距離的倍，即，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式先求出，從而求得直線的解析式和直線的解析式，聯(lián)立即可求解；
（3）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)即可求解；分情況討論：當(dāng)為邊時(shí)和當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，結(jié)合菱形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，設(shè)拋物線解析式為，
把代入得：，解得：
∴拋物線解析式為
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（2）解：連接，在上取一點(diǎn)G，使，連接，過點(diǎn)A作，交拋物線于點(diǎn)E，
∴，此時(shí)點(diǎn)D到直線的距離等于點(diǎn)B到直線距離的倍，即
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴，解得：或（舍）
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∵，
∴設(shè)直線的解析式為，
代入得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得：，解得或（舍）
當(dāng)時(shí)，
∴；
（3）解：①∵直線的解析式為，
令，得，∴
∴將直線與y軸的交點(diǎn)F向下平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)
∵
∴，
∴；
②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
當(dāng)為邊時(shí)，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，
∴，解得：，
∴或
∴，或
∴，，即，或，，，
解得：，或，
∴或；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∴
∴或；
綜上所述：所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，也考查了解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形的運(yùn)動(dòng)問題，正確的確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵；注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想進(jìn)行解題．
題型三：矩形存在性
1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式，設(shè)，則，，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先求得拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，分當(dāng)點(diǎn)在軸上和點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，證明，求得，再證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在拋物線上，列式計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)
解得
拋物線的解析式為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得
∴直線的解析式為，

設(shè)，
∵軸，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)在直線上，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
答：的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：，
則拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，
情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為拋物線的頂點(diǎn)，

∵四邊形為矩形，
∴與縱坐標(biāo)相同，
∴；
情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形為矩形，
過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵拋物線對(duì)稱軸為，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
綜上所述：符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．
2．（22-23九年級(jí)上·重慶開州·期末）如圖1，拋物線與x軸交于，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，點(diǎn)P、Q為直線下方拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作軸交于點(diǎn)N，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到新的拋物線，在的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且為矩形一邊，求出此時(shí)所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法即可解答；
（2）設(shè)，則，進(jìn)而得到；再表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；
（3）分兩種情況：當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的下方，過D作，當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的上方，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、平移和矩形的判定定理解答即可．
【詳解】（1）解：把和代入，得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：拋物線（）與y軸交于點(diǎn)C，令，則，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
點(diǎn)P、Q為直線下方拋物線上的兩點(diǎn)，設(shè)，則，
∴，，
∴，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
（3）解：由題意可得：，
∴的對(duì)稱軸為，
∴拋物線與y軸交于點(diǎn)C．
∴，
∵，
∴，，
當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的下方，過D作，如圖所示：
∵D在的對(duì)稱軸為，
∴，
∴，，即點(diǎn)，
∴點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位可得到點(diǎn)D，則點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位可得到；
當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的上方，如圖所示：

設(shè)的對(duì)稱軸為與x軸交于F，
∵D在的對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即點(diǎn)，
∴點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位、向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)D，則點(diǎn)C向左平移1個(gè)單位、向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)；
綜上分析可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式、運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【生活情境】
為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長，寬的長方形水池進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池．同時(shí)，再建造一個(gè)周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池．
【建立模型】
如果設(shè)水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③．
【問題解決】
（1）求水池2面積的最大值；
（2）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，求的取值范圍；
【數(shù)學(xué)抽象】
（3）在圖③的圖象中，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)（點(diǎn)不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形且，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）水池2面積的最大值是9；（2）水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x（m）的取值范圍是或；（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或．
【分析】
（1）配成頂點(diǎn)式，即可求解；
（2）由題意得：，即可求解；
（3）分點(diǎn)P在直線上方，和點(diǎn)P在直線下方，兩種情況討論，證明，則，列式計(jì)算即可求解．
【詳解】
解：（1）∵，
∴水池2面積的最大值是9；
（2）由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C，E，所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C，E；
聯(lián)立方程組，
解得，，，
∴，，
∴水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x（m）的取值范圍是或，
（3）∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)P在直線上方，

過點(diǎn)和分別作對(duì)稱軸直線的垂線，垂足分別為和，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
當(dāng)點(diǎn)P在直線下方，

過點(diǎn)作對(duì)稱軸直線的垂線，點(diǎn)和分別作的垂線，垂足分別為和，
同理，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
解得，．
不符題意，舍去．
∴，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，配方法求二次函數(shù)的極值，二次函數(shù)與二次方程的聯(lián)系，充分理解函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)學(xué)意義是解題的關(guān)鍵．
4．（23-24九年級(jí)下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．

(1)求此拋物線的解析式：
(2)在直線下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使四邊形的面積最大？最大面積是多少？
(3)點(diǎn)在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)和點(diǎn)，使點(diǎn)構(gòu)成矩形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，，或，或或，
【分析】（1）由題意得出，，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，求出點(diǎn)，則，求出，作軸交于，設(shè)點(diǎn)，則，，表示出，再根據(jù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；
（3）分三種情況：當(dāng)四邊形為矩形時(shí)；當(dāng)四邊形為矩形時(shí)；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)；分別求解即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，，
將，代入得：，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）解：設(shè)直線的解析式為：，
將，代入解析式得：，
解得：，
直線的解析式為：，
在中，令，得出，
解得：，，
，
，
，
如圖，作軸交于，

設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，為；
（3）解：，
，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入解析式得：，
解得：，
直線的解析式為，
如圖，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，

則，
設(shè)直線的解析式為，
將代入解析式得：，
解得：，
直線的解析式為，
令，則，
，
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)到點(diǎn)，是將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，向上平移0.5個(gè)單位長度得到，
點(diǎn)由點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，向上平移0.5個(gè)單位長度得到，即；
如圖，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，

則，
設(shè)直線的解析式為，
將代入解析式得：，
解得：，
直線的解析式為，
令，則，
，
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)到點(diǎn)，是將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長度，向上平移1.5個(gè)單位長度得到，
點(diǎn)由點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長度，向上平移1.5個(gè)單位長度得到，即；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)，，
四邊形是矩形，
，
，
解得：或，
，或，；
綜上所述，，或，或或，．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)綜合—面積問題、二次函數(shù)綜合—特殊四邊形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
5．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)、，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，拋物線過點(diǎn)、．過作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以、長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；
(2)將矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值；
③拋物線與邊、分別相交于點(diǎn)、，點(diǎn)、在拋物線的對(duì)稱軸同側(cè)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過點(diǎn)．過作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以長為邊向上構(gòu)造矩形．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【分析】（1）根據(jù)題意得出點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法求解析式即可求解．
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，可得，即可求解．
②根據(jù)題意得出，，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意即可求解．
③作輔助線，利用勾股定理求得，設(shè)出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)代入，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，即可求解．
【詳解】（1）根據(jù)題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
將點(diǎn)，代入拋物線，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）①軸交拋物線另一點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，
，
矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．
，，
整理得，
，，
，
；
②如圖，

，，
，
，
，
由①可得，，
，的橫坐標(biāo)為，分別代入，，
，，
，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
，
解得或（大于4，舍去）．
③如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，
，
，
設(shè)，則，，
將點(diǎn)代入，
得，
解得，
當(dāng)，，
，
將代入，
解得，
或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及掌握復(fù)雜運(yùn)算屬于中考?jí)狠S題．
6．（2024·吉林四平·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包含端點(diǎn)）記為圖像．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，圖像的最大值與最小值的差為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為，以、為鄰邊構(gòu)造矩形，當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)；
(3)的取值范圍是或．
【分析】（）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（）根據(jù)的取值范圍，結(jié)合圖象分類討論即可；
（）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，結(jié)合圖象求出，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，結(jié)合圖象求出；
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）將，代入，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）令，則，
∴，
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，圖象的最大值為，最小值為，
∴，
當(dāng)時(shí)，圖象的最大值為，最小值為，
∴；
當(dāng) 時(shí)，圖象的最大值為，最小值為，，
綜上可知：；
（3）∵軸，
∴ ，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，
∵，
∴，解得，
∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
綜上所述：的取值范圍是或．
7．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）將點(diǎn)，代入解析式即可求解；
（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時(shí)，可求，，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，，即可求解；
（3）①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，同理可求．
【詳解】（1）解：由題意得
解得，
故拋物線的表達(dá)式；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過點(diǎn)D作直線軸，
，，，
①如圖，當(dāng)時(shí)，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合題意，舍去，
，
；
②如圖，當(dāng)時(shí)，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
綜上所述：線段的長為或．
（3）解：設(shè)點(diǎn)，，
當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則為直角，
①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，
如圖，過作軸交軸于，交過作軸的平行線于，
，
∵為直角，
則，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形鄰邊之比為，即或，
即和的相似比為或，
即，
由題意得：，，
∴，
則，
即，
解得：，（不符合題意，舍去）；
②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

同理可得：，
解得：，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，分類求解是解答本題的關(guān)鍵．
8．（20-21九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期中）如圖1，拋物線與x軸交于和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將原拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使以點(diǎn)A，M，N，H為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)H點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）設(shè)頂點(diǎn)式，展開得，解方程求出a即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)題意推出，為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，推出的表達(dá)式，從而建立起的函數(shù)表達(dá)式，最終利用函數(shù)法求最值；
（3）先通過勾股定理求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，再由矩形對(duì)角線的性質(zhì)，直接計(jì)算H的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
即，
，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
是等腰直角三角形，，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得，
解得，
，
P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，
設(shè)，則，
，其中，
如圖，延長交于點(diǎn)G，則，
由題意可得是等腰直角三角形，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)；
（3）解：平移后的函數(shù)解析式為，
將與聯(lián)立，得，
解得兩條拋物線交點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
如圖，以為邊，作交對(duì)稱軸于，可構(gòu)造矩形，設(shè)，
，，，
，
，
解得，
設(shè)，由A，M，，四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：
，
解得，
；
同理，以為邊，作交對(duì)稱軸于，可構(gòu)造矩形，設(shè)，
，
，
解得，即，
設(shè)，由A，M，，四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：
，
解得
；
如圖，以為對(duì)角線，作交對(duì)稱軸于，可構(gòu)造矩形，設(shè)，
，
，
解得，，即，，
設(shè)，由A，M，，四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：
，
解得，
；
設(shè)，由A，M，，四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：
，
解得，
；
綜上可知，H點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用函數(shù)法求線段和最值問題，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，矩形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是一道關(guān)于二次函數(shù)綜合題和壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度較大；熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵．
9．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，拋物線的對(duì)稱軸與軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為拋物線上第四象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長；
(3)在（）的條件下，若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，則平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）令，得，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，解得或，從而即可求得、的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，由，構(gòu)造方程．求得或（舍去），從而求得，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求的點(diǎn)，利用勾股定理即可得解；
（3）分是矩形的邊和是對(duì)角線兩種情況，利用矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)及平移的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：中，令，得，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
∴，；
（2）解∶設(shè)，
∵，
∴，，
∵，
∴．
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線：，
把，代入得，
，
解得，
∴直線：，
∵，
∴設(shè)：，
∵，
∴拋物線對(duì)稱軸為，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在一點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
（?。┊?dāng)是矩形的邊時(shí)，有兩種情形：
①如解圖①，四邊形是矩形時(shí)，直線與軸交于點(diǎn)，
由（）可知，代入中，得，
∴直線的表達(dá)式為．
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即
∴，
∴．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴，即；
②如解圖②，四邊形是矩形時(shí)，
∵直線的表達(dá)式為，，
∴設(shè)直線的表達(dá)式為，
將代入，得，
∴直線的表達(dá)式為．
令，得，
∴．
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴，即．
（ⅱ）當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，設(shè)，
∵，，
則，，，
∵是直角頂點(diǎn)，
∴，即
整理得，方程無解，此種情形不存在，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）分別令，，通過解一元二次方程即可得出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法即可確定直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖，設(shè)直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得，，證明，得到，確定，繼而確定，確定直線的解析式為，最后解聯(lián)立方程即可；
（3）設(shè)，分三種情況：①當(dāng)為矩形的對(duì)角線；②當(dāng)為矩形的邊；③當(dāng)為矩形的邊，分別討論即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，得，解得：，，
當(dāng)時(shí)，得，
∴，，，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
綜上，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，；直線的解析式為；
（2）如圖，設(shè)直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∵拋物線的解析式為，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為，
∵軸，，
∴，，
∴
∵平分，
∴
∴，
∴，
∴，
∵直線：與直線：交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，得：，
∴，
∴，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且在直線：上，
∴，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∵以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，設(shè)，
①如圖，當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)對(duì)角線與交于點(diǎn)，
∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
∴，
解得：或，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②如圖，連接并延長交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)為矩形的邊時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵直線：與拋物線對(duì)稱軸：交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，得：，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③如圖，當(dāng)為矩形的邊時(shí)，設(shè)交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，得，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵直線：與拋物線對(duì)稱軸：交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，得：，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，確定一次函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類討論的思想．解題的關(guān)鍵是正確理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
題型四：正方形存在性
1．（2024·陜西·一模）如圖，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
(2)C為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形是正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或
【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；把代入拋物線的解析式，求出，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在x軸下方時(shí)，當(dāng)M在x軸上方時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：，
，
當(dāng)時(shí)，，
．
（2）解：存在，理由如下：
由題意四邊形是正方形，則是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等婹直角三角形．
設(shè)，
①當(dāng)在x軸下方時(shí)，如圖1，過點(diǎn)C作軸于E，此時(shí)是等腰直角三角形，
，
，
（舍去），，
此時(shí)．
②當(dāng)M在x軸上方時(shí)，如圖2，過點(diǎn)C作軸于F，
同理可得：，
，
，（舍去），
此時(shí)．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形是正方形，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．
2．（2024·河南洛陽·一模）如圖，拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作矩形，使邊在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形是正方形？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把，坐標(biāo)代入解析式，用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和拋物線的對(duì)稱性可求出，然后得出點(diǎn)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入（1）中拋物線求出即可．
【詳解】（1）解： 拋物線過點(diǎn)，
，
，
拋物線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
即，，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
，
解得，
拋物線解析式為；
（2）解：當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，
，，，
，
，
把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，
整理得：，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及矩形和正方形的性質(zhì)，公式法解一元二次方程，關(guān)鍵是求出拋物線解析式．
3．（2024·山西太原·一模）綜合與探究
如圖1，已知拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①求線段的長（用含的代數(shù)式表示）；
②已知點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)①；②點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為，證明，推出，據(jù)此求解即可；
②先求得軸，且，分三種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將代入得，，
解得，，
∵點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）①∵軸，軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∵軸于點(diǎn)G，
∴，，
∵軸，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴，
∴軸，且，
當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為；
當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，則，解得，，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖，此時(shí)，
由正方形的性質(zhì)得，
∴時(shí)，解得，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．
（1）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到中，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
（2）由題意和可得點(diǎn)坐標(biāo)，與點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)，中解出解析式，從而得出點(diǎn)坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)為正方形的一條邊時(shí)，②當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）將，代入中，
得，
解得：
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）由題意和可得，
，
可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，
將代入得：，
，
直線的函數(shù)表達(dá)式為.
設(shè)（），分兩種情況：
①當(dāng)為邊時(shí)，如圖1，四邊形是正方形（點(diǎn)、可互換位置）.
則，
故的縱坐標(biāo)與的縱坐標(biāo)相等為，
將代入中，可得的橫坐標(biāo)為，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
，即，
解得（，要舍）或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖2，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，
，，
易得，
則，
則的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)在直線上，
，
解得或2（，要舍），
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上可得：存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
題型五：梯形存在性
1．（2022·上海楊浦·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)、、三點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸：
(2)分別聯(lián)結(jié)、、，直線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)此直線將四邊形的面積平分時(shí)，求的值；
(3)設(shè)點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱軸即可；
（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線與交于點(diǎn)，分別用含的式子表示出的坐標(biāo)，利用直線將四邊形的面積平分，得到列式求解即可；
（3）分，三種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)、、三點(diǎn)，
設(shè)：，
則：，
解得：，
∴，
∴對(duì)稱軸為：；
（2）解：∵，
當(dāng)時(shí)：；
∴，
∴，
∵、、
∴，，，
∵直線與線段交于點(diǎn)，且平分四邊形的面積，
∴直線與線段相交，設(shè)交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，即：，
解得：；
（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，此時(shí)：；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：；
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴
③當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：；
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴
綜上：點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，的坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23九年級(jí)上·甘肅慶陽·期中）如圖，已知拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè))，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)直接寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使得的值最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，，
(2)連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，
(3)或
【分析】（1）令，解方程可得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)；令，求出，可確定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，則為的最小值，求出直線的解析式，令，即可求解；
（3）分為梯形的底邊和為梯形的底和為梯形的底三種情況討論，求出另一底邊的解析式即可
【詳解】（1）解：在中令，
解得，
∴，
在中令，得，
∴；
（2）解：如圖，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，連接，
∵，
∴
∴的最小值即為的長，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
∵，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：,
∴直線的解析式為，
∵拋物線的對(duì)稱軸為，
∴
（3）存在，分兩種情況：
①如圖，當(dāng)為梯形的底時(shí)，點(diǎn)與重合時(shí)，四邊形是梯形，此時(shí)點(diǎn)為,
②如圖，當(dāng)為梯形的底時(shí)，過點(diǎn)作，與拋物線交于點(diǎn)，
點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得
直線的解析式為
，
可設(shè)直線的解析式為
點(diǎn)在直線上，
直線的解析式為
聯(lián)立，
解得，
,；
③當(dāng)為梯形的底時(shí)，過點(diǎn)作，與拋物線交于點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，則，解得
直線的解析式為
，
可設(shè)直線的解析式為
點(diǎn)在直線上，
直線的解析式為
聯(lián)立，
解得(舍去)，(舍去)
綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)求最短距離，特殊四邊形問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線，其頂點(diǎn)為．
(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．
①試求拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；
②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點(diǎn)是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，且四邊形是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．
【答案】(1)拋物線開口向上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)①與；②新拋物線的表達(dá)式為
【分析】（1）由，故該拋物線開口向上，將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為，則，解出方程即可求解；
②新拋物線頂點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)，則新拋物線的對(duì)稱軸為，與軸的交點(diǎn)為，由四邊形是梯形，則直線在軸左側(cè)，而點(diǎn)，點(diǎn)，則，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴該拋物線開口向上，
又 ∵，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∴這條拋物線開口向上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為，
∴，
解得：，，
∴拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為與；
②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點(diǎn)是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，且四邊形是梯形，
∴，與不平行，
∵新拋物線頂點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)，
∴新拋物線的對(duì)稱軸為：，與軸的交點(diǎn)，
又∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∴新拋物線是由拋物線向左平移個(gè)單位得到的，表達(dá)式為：．
∴新拋物線的表達(dá)式為．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，正確利用二次函數(shù)基本知識(shí)、梯形基本性質(zhì)進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵．
4．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，若的面積與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)在第四象限，且為拋物線上的點(diǎn)，若四邊形是梯形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)的坐標(biāo)為或
(3)當(dāng)四邊形是梯形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式求解即可；
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的面積與的面積相等，關(guān)鍵關(guān)于m的方程求解即可；
（3）分，兩種情況討論即可.
【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，
把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式，得：
解得：
拋物線的表達(dá)式為．
把代入得．
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：拋物線的對(duì)稱軸為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則長為，
的高為點(diǎn)到直線的距離，
的高為，
在中，，
的面積與的面積相等，
，
，
，即或，
的坐標(biāo)為或；
（3）解：如圖，連接，過點(diǎn)作平行于的直線，與拋物線交于點(diǎn)，連接，
此時(shí)有，四邊形是梯形，
函數(shù)取時(shí)，可得，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為，
且由（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)的直線方程為，代入點(diǎn)，點(diǎn)
有：解得：
的直線方程為，
，
的直線方程可設(shè)為，
把點(diǎn)代入，有，
，
的直線方程為，
聯(lián)立直線與拋物線的方程：
，整理得：，
解得（舍），，
把代入拋物線方程得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
若過作平行于的直線時(shí)，點(diǎn)不在第四象限，此種情況不符合題意，排除，
綜上所述，當(dāng)四邊形是梯形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
5．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上），與軸交于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若為直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
①求線段的最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得四邊形為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在
【分析】（1）過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，得出，是等腰直角三角形，則，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）①如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，交于點(diǎn)，得出得出直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，設(shè)，則，，得出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，即可求解；
②根據(jù)題意得出，進(jìn)而建立方程，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
∵當(dāng)時(shí)，，則，，
設(shè)，則，則是等腰直角三角形，
∴，
∵當(dāng)時(shí)，，則
∵
∴，則是等腰直角三角形，
∴，
即
解得：
∴
將點(diǎn)，代入，
∴
解得：
∴
（2）①如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，交于點(diǎn)，
∵，
∴
∴，
設(shè)，
∵交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
∴
又∵軸，
∴
設(shè)直線的解析式為，代入，
∴
解得：
解得：
設(shè)直線的解析式為，
設(shè)，
將代入，則
∴，
∴，
∴，
∵
∴
解得：
∴
∴時(shí)，的最大值為
則的最大值為；
②∵，四邊形為等腰梯形，
∴，
由①可得
∴，
∵,
∴
∵，
∴
∵
∴
解得：
∴否存在點(diǎn)，使得四邊形為等腰梯形，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰梯形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

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二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）--2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）--2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練
中考幾何模型壓軸題 專題24《特殊平行四邊形的存在性》

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