方法必備04 新定義與閱讀理解歸納遷移探究題-【知識(shí)清單】最新中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一覽表

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2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類(lèi)討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類(lèi)討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
方法必備04新定義與閱讀理解歸納遷移探究題（9個(gè)考點(diǎn)23年中考真題大題50題專(zhuān)練）
一．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題） 二．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）
三．二次函數(shù)綜合題（共7小題） 四．三角形綜合題（共5小題）
五．四邊形綜合題（共18小題 六．圓周角定理（共1小題）
七．圓的綜合題（共4小題） 八．幾何變換綜合題（共4小題）
九．相似形綜合題（共8小題）
一．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
1．（2023?達(dá)州）【背景】在一次物理實(shí)驗(yàn)中，小冉同學(xué)用一固定電壓為的蓄電池，通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器來(lái)改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值 亮度的實(shí)驗(yàn)（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻、之間關(guān)系為，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出如下數(shù)據(jù)：
（1） ， ；
（2）【探究】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建出函數(shù)，結(jié)合表格信息，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
①在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象；
②隨著自變量的不斷增大，函數(shù)值的變化趨勢(shì)是 ．
（3）【拓展】結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，當(dāng)時(shí)，的解集為 ．
二．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）
2．（2023?濟(jì)南）綜合與實(shí)踐
如圖1，某興趣小組計(jì)劃開(kāi)墾一個(gè)面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長(zhǎng)為．
【問(wèn)題提出】
小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：若，能否圍出矩形地塊？
【問(wèn)題探究】
小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問(wèn)題：
設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．
如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和 ，因此，木欄總長(zhǎng)為時(shí)，能?chē)鼍匦蔚貕K，分別為：，；或 ， ．
（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空；
【類(lèi)比探究】
（2）若，能否圍出矩形地塊？請(qǐng)仿照小穎的方法，在圖2中畫(huà)出一次函數(shù)圖象并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題延伸】
當(dāng)木欄總長(zhǎng)為時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過(guò)平移得到的，在平移過(guò)程中，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)．
（3）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出直線過(guò)點(diǎn)時(shí)的圖象，并求出的值；
【拓展應(yīng)用】
小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問(wèn)題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問(wèn)題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長(zhǎng)均不小于，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．
3．（2023?涼山州）閱讀理解題：閱讀材料：
如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．
證明：設(shè)，
，
，
易證．
，，
，，
，
若時(shí)，當(dāng)，則．
同理：若時(shí)，當(dāng)，則．
根據(jù)上述材料，完成下列問(wèn)題：
如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，已知．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫(xiě)出、的值；
（3）求直線的解析式．
三．二次函數(shù)綜合題（共7小題）
4．（2023?益陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)在的左邊）．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線與拋物線所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求的取值范圍．
5．（2023?江西）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題提出
某興趣小組開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，以為邊作正方形．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ，正方形的面積為，探究與的關(guān)系．
初步感知
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)， ；
②關(guān)于的函數(shù)解析式為 ．
（2）當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)是關(guān)于的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象．請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求關(guān)于的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．
延伸探究
（3）若存在3個(gè)時(shí)刻，，對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
① ；
②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．
6．（2023?宿遷）規(guī)定：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點(diǎn)稱(chēng)為“兄弟點(diǎn)”．
（1）下列三個(gè)函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是 （填寫(xiě)序號(hào)）；
（2）若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”， 是其中一個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．
①求實(shí)數(shù)的值；
②直接寫(xiě)出另外兩個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是 、 ；
（3）若函數(shù)為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，求的取值范圍．
7．（2023?鹽城）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱(chēng)二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．
【初步理解】
（1）現(xiàn)有以下兩個(gè)函數(shù)：①；②，其中， 為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．（填序號(hào)）
【嘗試應(yīng)用】
（2）函數(shù)為常數(shù)，的圖象與軸交于點(diǎn)，其軸點(diǎn)函數(shù) 與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)．若，求的值．
【拓展延伸】
（3）如圖，函數(shù)為常數(shù)，的圖象與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上取一點(diǎn)，使得．以線段的長(zhǎng)度為長(zhǎng)、線段的長(zhǎng)度為寬，在軸的上方作矩形．若函數(shù)為常數(shù)，的軸點(diǎn)函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上，求的值．
8．（2023?長(zhǎng)沙）我們約定：若關(guān)于的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，，則稱(chēng)函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：
（1）若關(guān)于的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求，，的值；
（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，，點(diǎn)與點(diǎn)，始終在關(guān)于的函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．
①求函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸；
②函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖象頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，函數(shù)的圖象與軸交于不同兩點(diǎn)，，函數(shù)的圖象與軸交于不同兩點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．（2023?山西）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)時(shí)，求的值；
②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值．
10．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類(lèi)型圖象上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱(chēng)：定點(diǎn)為圖象的焦點(diǎn)，定直線為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，其中，．
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
（1）請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程： ， ；
【技能訓(xùn)練】
（2）如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離是它到軸距離的3倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
【能力提升】
（3）如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．直線交軸于點(diǎn)，拋物線上動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離始終等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離．
請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：
（4）如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)求出的面積．
四．三角形綜合題（共5小題）
11．（2023?金華）問(wèn)題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？
探究1：圖3是“橋”側(cè)面示意圖，，為橫梁與地面的交點(diǎn)，，為圓心，，，是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)，測(cè)得，點(diǎn)到的距離為，試判斷四邊形的形狀，并求的值．
探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．
①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；
②若有根橫梁繞成的環(huán)為偶數(shù)，且，試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長(zhǎng)．
12．（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個(gè)已知角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)和，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．請(qǐng)寫(xiě)出平分的依據(jù)： ；
類(lèi)比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可，他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)，重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)的射線是的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈到岔路口的距離和休息椅到岔路口的距離相等，試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈的位置．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
13．（2023?揚(yáng)州）【問(wèn)題情境】
在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和△，，，設(shè)．
【操作探究】
如圖1，先將和△的邊、重合，再將△繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．
（1）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；
（2）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；
（3）如圖2，取的中點(diǎn)，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 ．
14．（2023?宿遷）【問(wèn)題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖①，即．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)處恰好通過(guò)鏡子看到建筑物的頂端．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物的高度；
【活動(dòng)探究】
觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖②：他讓小軍站在點(diǎn)處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過(guò)鏡子看到廣告牌頂端，測(cè)出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過(guò)鏡子看到廣告牌的底端，測(cè)出．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌的高度；
【應(yīng)用拓展】
小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖③：①讓小軍站在斜坡的底端處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離，小明通過(guò)移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至處，讓小軍恰好能看到塔頂；②測(cè)出；③測(cè)出坡長(zhǎng)；④測(cè)出坡比為（即．通過(guò)他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．
15．（2023?成都）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，，是邊上一點(diǎn)，且為正整數(shù)），是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)．
【初步感知】
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．
【深入探究】
（2）①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；
②請(qǐng)通過(guò)類(lèi)比、歸納、猜想，探究出線段，，之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．
【拓展運(yùn)用】
（3）如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，若，求點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．
五．四邊形綜合題（共18小題）
16．（2023?煙臺(tái)）【問(wèn)題背景】
如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接；②將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，作射線交于點(diǎn)．
【問(wèn)題提出】
在矩形中，，，求線段的長(zhǎng)；
【問(wèn)題解決】
經(jīng)過(guò)小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：
方案一：連接，如圖2．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線段的長(zhǎng)；
方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，如圖3．經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算可求出線段的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段的長(zhǎng)．
17．（2023?衡陽(yáng)）問(wèn)題探究
（1）如圖1，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．在線段上任取一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連接、．
①求證：；
②將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處．當(dāng)點(diǎn)在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
遷移探究
（2）如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
18．（2023?西寧）折疊問(wèn)題是我們常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)解決的相關(guān)問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．
【操作】如圖1，在矩形中，點(diǎn)在邊上，將矩形紙片沿所在的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)．
【猜想】．
【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
矩形紙片沿所在的直線折疊，
，
四邊形是矩形，
（矩形的對(duì)邊平行），
，
（等量代換），
．
【應(yīng)用】
如圖2，繼續(xù)將矩形紙片折疊，使恰好落在直線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．
（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
19．（2023?山西）閱讀與思考
下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)： 填空：材料中的依據(jù)1是指： ．
依據(jù)2是指： ．
（2）請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫(huà)一個(gè)四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形、使得四邊形為矩形；（要求同時(shí)畫(huà)出四邊形的對(duì)角線）
（3）在圖1中，分別連接，得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線，長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
20．（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng)．
（1）操作判斷
小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片和拼成“”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為 ．
（2）深入探究
小紅在保持矩形不動(dòng)的條件下，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，．
探究一：當(dāng)點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖②．求的面積．
探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖③．求線段長(zhǎng)度的最大值和最小值．
21．（2023?吉林）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形．轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條，發(fā)現(xiàn)四邊形總是平行四邊形．其判定的依據(jù)是 ．
【探究提升】取兩張短邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形紙條和，其中，，將它們按圖②放置，落在邊上，，與邊分別交于點(diǎn)，．求證：是菱形．
【結(jié)論應(yīng)用】保持圖②中的平行四邊形紙條不動(dòng)，將平行四邊形紙條沿或平移，且始終在邊上，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，得到圖③．若四邊形的周長(zhǎng)為40， 為銳角），則四邊形的面積為 ．
22．（2023?徐州）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，，由勾股定理，得同理，故．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．
【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，，，．
求證：．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，，點(diǎn)在邊上，則的最小值為 ．
23．（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：
【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，試猜想四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；
【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．
24．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，連接．
【問(wèn)題引入】
（1）請(qǐng)你在圖1或圖2中證明（選擇一種情況即可）；
【探索發(fā)現(xiàn)】
（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．
．
25．（2023?寧夏）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題背景
數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．
探究發(fā)現(xiàn)
如圖1，在中，，．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則 ，設(shè)，，那么 （用含的式子表示）；
（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個(gè)比值被稱(chēng)為黃金比．在（1）的條件下試證明：；
拓展應(yīng)用
當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．
如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．
26．（2023?鹽城）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題情境】
如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，．
【活動(dòng)猜想】
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答： ．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上．
【深入探究】
（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
27．（2023?鎮(zhèn)江）發(fā)現(xiàn)如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：
①取、的中點(diǎn)、，在邊上作．
②連接，過(guò)點(diǎn)、作、，垂足分別為、．
③將四邊形剪下，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置．
④延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．
小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：
①點(diǎn)、、在一條直線上；
②四邊形是矩形；
③；
④四邊形與的面積相等．
任務(wù)請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．
任務(wù)如圖2，四邊形中，，、分別是、的中點(diǎn)，連接．求證：．
任務(wù)如圖3，有一張四邊形紙片，，，，，，小麗分別取、的中點(diǎn)、，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng)．
28．（2023?山西）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題；
深入探究：（2）老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題．
①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問(wèn)題；
②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．
29．（2023?淮安）綜合與實(shí)踐
定義：將寬與長(zhǎng)的比值為為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬與長(zhǎng)的比值是 ．
（2）操作驗(yàn)證：
用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2）
第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，連接；
第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；
第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)、分別落在邊、上，展開(kāi)，折痕為．
試說(shuō)明：矩形是1階奇妙矩形．
（3）方法遷移：
用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．
30．（2023?常州）對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，若存在點(diǎn)，使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對(duì)角線重合，則稱(chēng)該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．例如，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是矩形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．
（1）若菱形為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形的邊長(zhǎng)是 ；
（2）如圖1，四邊形為“可旋四邊形”，邊的中點(diǎn)是四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．求的度數(shù)；
（3）如圖2，在四邊形中，，與不平行．四邊形是否為“可旋四邊形”？請(qǐng)說(shuō)明理由．
31．（2023?湘潭）問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)，以為邊長(zhǎng)向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
特例感知：（1）當(dāng)在上時(shí)，連接，相交于點(diǎn)，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；
（2）小紅繼續(xù)連接，并延長(zhǎng)與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)，如圖②．根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
規(guī)律探究：
（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．
32．（2023?河南）李老師善于通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線軸，作關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖形△，再分別作△ 關(guān)于軸和直線對(duì)稱(chēng)的圖形△和△，則△可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 ；△可以看作是向右平移得到的，平移距離為 個(gè)單位長(zhǎng)度．
（2）探究遷移
如圖2，中，，為直線下方一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再分別作點(diǎn)關(guān)于直線和直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和，連接，，請(qǐng)僅就圖2的情形解決以下問(wèn)題：
①若，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若，求，兩點(diǎn)間的距離．
（3）拓展應(yīng)用
在（2）的條件下，若，，，連接，當(dāng)與的邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
33．（2023?棗莊）問(wèn)題情境：如圖1，在中，，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別沿，折疊后均與點(diǎn)重合，折痕分別交，，于點(diǎn)，，，．
猜想證明：（1）如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決：（2）如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開(kāi)后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別交，于點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)線段交于點(diǎn)，求四邊形的面積．
六．圓周角定理（共1小題）
34．（2023?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：
數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．
（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系： ， ；
（2）類(lèi)比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（4）實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則 ．
七．圓的綜合題（共4小題）
35．（2023?廣東）綜合探究
如圖1，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．連接交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．
①如圖2，與相切，求證：；
②如圖3，與相切，，求的面積．
36．（2023?泰州）已知：、為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓上，為所對(duì)的圓周角．
知識(shí)回顧
（1）如圖①，中，、位于直線異側(cè)，．
①求的度數(shù)；
②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；
逆向思考
（2）如圖②，若為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用
（3）如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)在上，滿足的所有點(diǎn)中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．
37．（2023?長(zhǎng)春）【感知】如圖①，點(diǎn)、、均在上，，則銳角的大小為 度．
【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)在弧上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，通過(guò)證明．可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
．
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．
【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，，點(diǎn)在上，且點(diǎn)與點(diǎn)在的兩側(cè)，連接、、，若，則的值為 ．
38．（2023?青海）綜合與實(shí)踐
車(chē)輪設(shè)計(jì)成圓形的數(shù)學(xué)道理
小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車(chē)輛，車(chē)輪都是圓形的．為什么車(chē)輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學(xué)道理嗎？帶著這樣的疑問(wèn)，小青做了如下的探究活動(dòng)：
將車(chē)輪設(shè)計(jì)成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛．
（1）探究一：將車(chē)輪設(shè)計(jì)成等邊三角形，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程如圖1，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，，圓心角．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是（水平線），請(qǐng)?jiān)趫D2中計(jì)算到的距離．
（2）探究二：將車(chē)輪設(shè)計(jì)成正方形，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程如圖3，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，，圓心角．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是（水平線），請(qǐng)?jiān)趫D4中計(jì)算到的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
（3）探究三：將車(chē)輪設(shè)計(jì)成正六邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程如圖5，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，圓心角 ．
此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是（水平線），在圖6中計(jì)算到的距離 （結(jié)果保留根號(hào)）．
（4）歸納推理：比較，，大小： ，按此規(guī)律推理，車(chē)輪設(shè)計(jì)成的正多邊形邊數(shù)越多，其中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心連線（水平線）的距離 （填“越大”或“越小” ．
（5）得出結(jié)論：將車(chē)輪設(shè)計(jì)成圓形，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程如圖7，其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)前后中心連線（水平線）的距離 這樣車(chē)輛行駛平穩(wěn)、沒(méi)有顛簸感．所以，將車(chē)輪設(shè)計(jì)成圓形．
八．幾何變換綜合題（共4小題）
39．（2023?巴中）綜合與實(shí)踐．
（1）提出問(wèn)題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
①的度數(shù)是 ．
② ．
（2）類(lèi)比探究．如圖2，在和中，，且，，連接、并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
①的度數(shù)是 ；
② ．
（3）問(wèn)題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
①說(shuō)明為等腰三角形．
②求的度數(shù)．
40．（2023?湖北）【問(wèn)題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，，，連接，，探究，的位置關(guān)系．
【問(wèn)題探究】
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系： ．
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）當(dāng)，，時(shí)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．
41．（2023?貴州）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，，過(guò)點(diǎn)作射線，垂足為，點(diǎn)在上．
（1）【動(dòng)手操作】
如圖②，若點(diǎn)在線段上，畫(huà)出射線，并將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中的度數(shù)為 度；
（2）【問(wèn)題探究】
根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）【拓展延伸】
如圖③，若點(diǎn)在射線上移動(dòng)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
42．（2023?大連）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個(gè)等腰三角形紙片，，，要求同學(xué)們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論．
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
奮進(jìn)小組在邊上取一點(diǎn)，連接，將這個(gè)紙片沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如圖1所示．
如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，．
如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，連接，若已知和的長(zhǎng)，則可求的長(zhǎng)．
問(wèn)題提出與解決
奮進(jìn)小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你解答．
問(wèn)題1：在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿翻折得到．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：．
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，連接，若，，求的長(zhǎng)．
拓展延伸
小剛受到探究過(guò)程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫(huà)圖，并提出問(wèn)題2，請(qǐng)你解答．
問(wèn)題2：如圖4，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．
九．相似形綜合題（共8小題）
43．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．
【類(lèi)比遷移】
（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．
44．（2023?襄陽(yáng)）【問(wèn)題背景】
人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的．想一想，這是為什么？（此問(wèn)題不需要作答）
九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，為常數(shù)）．
【特例證明】
（1）如圖1，將的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩直角邊分別與邊，相交于點(diǎn)，．
①填空： ；
②求證：．（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明；也可過(guò)點(diǎn)分別作，的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②．
【類(lèi)比探究】
（2）如圖2，將圖1中的沿方向平移，判斷與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并說(shuō)明理由．
【拓展運(yùn)用】
（3）如圖3，點(diǎn)在邊上，，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，若，求的值．
45．（2023?湖州）【特例感知】
（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．
【變式求異】
（2）如圖2，在中，，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．已知，，，求的值．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在中，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），連結(jié)，以為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)．若，，是常數(shù)），求的值（用含，的代數(shù)式表示）．
46．（2023?江西）課本再現(xiàn)
定理證明
（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖，并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．
已知：在中，對(duì)角線，垂足為．
求證：是菱形．
知識(shí)應(yīng)用
（2）如圖2，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，，，．
①求證：是菱形；
②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．
47．（2023?武漢）問(wèn)題提出 如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題探究 （1）先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的大?。?br>（2）再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展 將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．
48．（2023?常州）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上，且點(diǎn)、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)，，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊的中點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測(cè)、的長(zhǎng)度．
（1）如圖2，小麗取，，，，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)， ；
（2）小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的，總成立．請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．
49．（2023?赤峰）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．
【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；
【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，求的值．
50．（2023?福建）閱讀下列材料，回答問(wèn)題．
（1）補(bǔ)全小明求解過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容；
（2）小明求得用到的幾何知識(shí)是 ；
（3）小明僅利用皮尺，通過(guò)5次測(cè)量，求得．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度，寫(xiě)出你的測(cè)量及求解過(guò)程．
要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母，，表示，角度用，，表示；測(cè)量次數(shù)不超過(guò)4次（測(cè)量的幾何量能求出，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．
1
3
4
6
4
3
2.4
2
圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁，夾住橫梁，使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．
圖2是長(zhǎng)為，寬為的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓，圓心分別為，，，，，縱梁是底面半徑為的圓柱體，用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．
瓦里尼翁平行四邊形
我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，順次連接，，，，得到的四邊形是平行四邊形．
我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱(chēng)為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁， 是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．
①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．
③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：
證明：如圖2，連接，分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
，分別為，的中點(diǎn)，，．（依據(jù)
．，．
四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，，即．
，即，
四邊形是平行四邊形，（依據(jù)．
，．同理，
思考
我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過(guò)來(lái)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．
工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對(duì)其視線可及的，兩點(diǎn)，可測(cè)得的大小，如圖3．
小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度．其測(cè)量及求解過(guò)程如下：
測(cè)量過(guò)程：
（ⅰ）在小水池外選點(diǎn)，如圖4，測(cè)得，；
（ⅱ）分別在，上測(cè)得，；測(cè)得．
求解過(guò)程：
由測(cè)量知，，，，，
，又① ，
，．
又，② ．
故小水池的最大寬度為．