2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難轉(zhuǎn)簡(jiǎn)，把不熟轉(zhuǎn)熟，把未知轉(zhuǎn)為已知的問題。
第20講 圖形的相似與位似
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156399149" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc156399150" 考點(diǎn)一 比例線段的概念與性質(zhì)
\l "_Tc156399151" 題型01 成比例線段
\l "_Tc156399152" 題型02 圖上距離與實(shí)際距離
\l "_Tc156399153" 題型03 利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確
\l "_Tc156399154" 題型04 利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值
\l "_Tc156399155" 題型05 利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值
\l "_Tc156399156" 題型06 理解黃金分割的概念
\l "_Tc156399157" 題型07 黃金分割的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc156399158" 題型08 由平行線分線段成比例判斷式子正誤
\l "_Tc156399159" 題型09 平行線分線段成比例（A型）
\l "_Tc156399160" 題型10 平行線分線段成比例（X型）
\l "_Tc156399161" 題型11 平行線分線段成比例與三角形中位線綜合
\l "_Tc156399162" 題型12 平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線
\l "_Tc156399163" 題型13 平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線
\l "_Tc156399164" 考點(diǎn)二 相似圖形的概念與性質(zhì)
\l "_Tc156399165" 題型01 理解相似圖形的概念
\l "_Tc156399166" 題型02 相似多邊形
\l "_Tc156399167" 題型03 相似多邊形的性質(zhì)
\l "_Tc156399168" 考點(diǎn)三 位似圖形
\l "_Tc156399169" 題型01 位似圖形的識(shí)別
\l "_Tc156399170" 題型02 判斷位似中心
\l "_Tc156399171" 題型03 根據(jù)位似的概念判斷正誤
\l "_Tc156399172" 題型04 求兩個(gè)位似圖形的相似比
\l "_Tc156399173" 題型05 畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形
\l "_Tc156399174" 題型06 求位似圖形的坐標(biāo)
\l "_Tc156399175" 題型07 求位似圖形的線段長(zhǎng)度
\l "_Tc156399176" 題型08 在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長(zhǎng)
\l "_Tc156399177" 題型09 在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積
考點(diǎn)一 比例線段的概念與性質(zhì)
線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比．
比例線段的定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比的外項(xiàng)，b、c叫比的內(nèi)項(xiàng)，
【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即ab=bd或a：b=b：d，線段 b 叫做線段a和d的比例中項(xiàng).
【解題思路】
1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；
2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：第一條第二條=第三條第四條），而不能寫成ab=dc.
比例的性質(zhì)：
1）基本性質(zhì)：ab=cd?ad=bc ab=bc?b2=ac
2）變形：ab=cd?&ac=bd，(交換內(nèi)項(xiàng))&db=ca，(交換外項(xiàng))&dc=ba．(同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)) 核心內(nèi)容：ad=bc
3）合、分比性質(zhì)：ab=cd?a±bb=c±dd
【補(bǔ)充】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：ab=cd?&b?aa=d?cc&a?ba+b=c?dc+d
4）等比性質(zhì)：如果ab=cd=ef=?=mn=k， 那么a+c+e+?+mb+d+f+?+n=k(b+d+f+?+n≠0).
【補(bǔ)充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果ab=cd，則ab=cd=a+cb+d(b+d≠0).
5）黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.
【注意】1）AC=5?12AB≈0.648AB (5?12叫做黃金分割值). 簡(jiǎn)記為：長(zhǎng)全＝短長(zhǎng)＝5?12
2）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).
【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：
如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：
①經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12AB.
②連接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).
6）平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得ABBC=DEEF或ABAC=DEDF或BCAB=EFDE或BCAC=EFDF或ABDE=BCEF等
①把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面的兩種情況：
推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
1. 求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
2. 通常四條線段a、b、c、d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另外一個(gè)單位也可以.
題型01 成比例線段
【例1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列長(zhǎng)度的各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（ ）
A．2，5，6，8B．3，6，9，2C．1，2，3，4D．3，6，7，9
【答案】B
【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A.∵2×8≠5×6，
∴2，5，6，8不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；
B.∵2×9=3×6，
∴3，6，9，2能構(gòu)成比例線段，符合題意；
C.∵1×4≠3×2，
∴1，2，3，4不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；
D.∵3×9≠6×7，
∴3，6，7，9不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．
【變式1-1】（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（ ）
A．8B．6C．4D．1
【答案】B
【分析】利用成比例線段的定義得到a:b=c:d，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求d的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：a:b=c:d，
即1:2=3:d，
解得d=6．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段．
【變式1-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)，那么b= 厘米．
【答案】6
【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到a:b=b:c，然后利用比例性質(zhì)計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是理解四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段，當(dāng)a:b=b:c時(shí)，線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)．
【詳解】∵線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)，
∴a:b=b:c， 即b2=ac=3×12，
∴b=6cm，
故答案為：6 ．
題型02 圖上距離與實(shí)際距離
【例2】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長(zhǎng)度約為25cm，該路段的實(shí)際長(zhǎng)度約為（ ）
A．3200mB．3000mC．2400mD．2000m
【答案】D
【分析】首先設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度是xcm然后根據(jù)比例尺的定義，即可得方程1:8000=25:x，解此方程即可求得答案，注意統(tǒng)一單位．
【詳解】解：設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度為xcm，
根據(jù)題意得：1:8000=25:x
解得：x=200000，
∵200000cm=2000m
∴該路段實(shí)際長(zhǎng)度約為2000m
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)比例尺的定義列方程，注意統(tǒng)一單位．
【變式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙兩地的實(shí)際距離為250km，如果畫在比例尺為1:5 000 000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是 cm．
【答案】5
【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離÷實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是250×1000×100×15000000=5cm，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．
題型03 利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確
【例3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎?x=3y（x≠0，y≠0），則下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．x2=y3D．xy=23
【答案】A
【分析】根據(jù)若ab=cd(b≠0，d≠0)，則ad=bc，進(jìn)行逐一判斷即可求解．
【詳解】解：A.可化為2x=3y，故此項(xiàng)符合題意；
B. 可化為xy=6，故此項(xiàng)不符合題意；
C. 可化為3x=2y，故此項(xiàng)不符合題意；
D. 可化為3x=2y，故此項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例是性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（ ）
A．2a=3bB．a(chǎn)+b=5C．a(chǎn)+ba=52D．a(chǎn)+3b+2=1
【答案】C
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、當(dāng)a=4，b=6時(shí)，a:b=2:3，但是a+b=10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、由a:b=2:3，得a+ba=52，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、當(dāng)a=4，b=6時(shí)，a:b=2:3，但是a+3b+2=78，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識(shí)點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積，比較簡(jiǎn)單．
題型04 利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值
【例4】（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）若5?x:x=2:3，則x= ．
【答案】3
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到方程35?x=2x，再解方程即可求解．
【詳解】解：∵5?x:x=2:3，
∴35?x=2x，
15?3x=2x，
解得x=3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若ab=34，且a+b=7，則a的值為 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到3b=4a，結(jié)合a+b=7求得a的值即可．
【詳解】解：由a：b=3：4知3b=4a，
所以b=43a.
所以由a+b=7得到：a+43a=7，
解得：a=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若ab=cd，則ad=bc．
題型05 利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值
【例5】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●?◆▲=◆●+▲，則▲，●，◆這三種物體的重量比為（ ）
A．2:3:4B．2:4:3C．3:4:5D．3:5:4
【答案】B
【分析】可設(shè)▲●=●?◆▲=◆●+▲ =k，利用等比性質(zhì)可得k的值，設(shè)▲為x，●為y，◆為z，得到3個(gè)等式，聯(lián)立可得用x表示y、z，相比即可．
【詳解】解：設(shè)▲●=●?◆▲=◆●+▲ =k，▲為x，●為y，◆為z，
∴k=x+y?z+zy+x+y+x=x+y2x+y=12，
∴x=12y,y?z=12x,z=12x+y，
∴y=2x,z=32x，
∴▲，●，◆這三種物體的重量比為2:4:3．
故選：B．
【點(diǎn)睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知x:y=3:2，那么x?y:x= ．
【答案】1:3
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，表示出y是解題的關(guān)鍵．先用x表示出y，再代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵x:y=3:2，
∴y=23x，
∴x?y:x=x?23x:x=13x:x=1:3，
故答案為：1:3．
【變式5-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鬮a=dc=12a≠c，則2b?d2a?c= ．
【答案】12/0.5
【分析】根據(jù)等比性質(zhì)、合比性質(zhì)轉(zhuǎn)換即可．
【詳解】解：∵ba=dc=12a≠c，
∴2b2a=dc=12a≠c，
∴2b?d2a?c=12a≠c，
故答案為12．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確理解等比性質(zhì)、合比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023·江西撫州·校聯(lián)考一模）解方程：
(1)xx?3=2x?6；
(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b?2c=15，求a?2b+3c的值．
【答案】(1)x1=3，x2=2；
(2)24
【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用因式分解法解一元二次方程，此題得解；
（2）由a:b:c=2:3:4，可設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k，根據(jù)2a+3b?2c=15可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值，進(jìn)而可得出a、b、c的值，將其代入a?2b+3c中即可求出結(jié)論．
【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，xx?3?2x?3=0，
即x?3x?2=0，
即x?3=0或x?2=0，
解得：x1=3，x2=2；
（2）解：∵a:b:c=2:3:4，
∴設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k．
∵2a+3b?2c=15，
∴4k+9k?8k=15，
解得：k=3，
∴a=6，b=9，c=12，
∴a?2b+3c=6?18+36=24．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根據(jù)比例關(guān)系結(jié)合2a+3b?2c=15列出關(guān)于k的一元一次方程．
【變式5-4】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-509或6．
【分析】當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，依據(jù)等比性質(zhì)可得2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，得b+c+d=﹣a，代入即可計(jì)算出k的值．
【詳解】∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，
∴當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，由等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，
k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；
當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，b+c+d=﹣a，
∴k=2ab+c+d=2a?a=-2；
當(dāng)k=23時(shí)，k2?3k?4=232?3×23?4=? 509；
當(dāng)k=?2時(shí)，k2?3k?4=?22?3×?2?4=6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．
題型06 理解黃金分割的概念
【例6】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（ ）
A．ABAP=APBPB．ABBP=BPAP
C．APBP=5?12D．ABAP=5?12
【答案】A
【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)．
【詳解】解：如圖，
∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，
∴APAB=PBAP=5?12，
故選：A．
【變式6-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖是古希臘時(shí)期的帕提農(nóng)神廟（Part?enn Temple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD:DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（ ）

A．平移B．旋轉(zhuǎn)C．軸對(duì)稱D．黃金分割
【答案】D
【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案．
【詳解】解：∵AD:DC≈0.618，
∴體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為5?12≈0.618是解本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC．若AC=6 cm，則AB的長(zhǎng)為 cm．
【答案】35+3/3+35
【分析】利用黃金比例列出方程解答即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，
∴ACAB=5?12，
∴6AB=5?12，
∴AB=35+3．
故答案為：35+3．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，正確應(yīng)用黃金比是解答本題的關(guān)鍵．
題型07 黃金分割的實(shí)際應(yīng)用
【例7】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5?12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對(duì)角線AC，BD相交于O且BC=2，則關(guān)于黃金矩形ABCD，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5?12
C．AC=8?25D．矩形ABCD的周長(zhǎng)C=25+2
【答案】C
【分析】計(jì)算得出AB=5?1，根據(jù)矩形的性質(zhì)求得各項(xiàng)，即可判斷．
【詳解】解：∵ABBC=5?12，且BC=2，
∴AB=5?1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
∴S△AOB=14S矩形ABCD=14×2×5?1=5?12，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
∴AC=5?12+22=10?25≠8?25，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)C=25?1+2=25+2，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA為一邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)為AB，寬為CB的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系是（ ）
A．S1>S2B．S12（舍去）或x=3?5，
檢驗(yàn)，當(dāng)x=3?5時(shí)，原分式方程有意義，
∴x=3?5，即AC=3?5，
∴BC=2?3?5=5?1，
∴該雕像的下部設(shè)計(jì)高度為5?1m，
故答案為：5?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質(zhì)，解比例方程是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值、我們知道：如圖1，如果BCAC=ACAB，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請(qǐng)直接寫出CB與AC的比值是___________；
(2)【尺規(guī)作黃金分割點(diǎn)】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AEAC的值；
(3)【問題解決】如圖3，用邊長(zhǎng)為4的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CE，試說明：C是AB的黃金分割點(diǎn)．
【答案】(1)5?12
(2)5?12
(3)見解析
【分析】（1）由BCAC=ACAB得到CB?AB=AC2，由AB=AC+CB，代入后整理得到CBAC2+CBAC?1=0，解方程即可得到答案；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，由勾股定理得，AB=5，由BD=BC=1得到AD=AB?BD=5?1，則AE=AD=5?1，即可得到AEAC的值；
（3）設(shè)EC與MN相交于點(diǎn)P，作PQ⊥EN于點(diǎn)Q，由MN∥AB，MN=AB，且M為AE的中點(diǎn)得到MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，可得到PQ=MP=12AC，設(shè)PQ=MP=12AC=x，則PN=4?x，由勾股定理得到EN=25，由sin∠ENM=PQPN=EMEN得到x4?x=225，解得x=5?1，則AC=25?2，求出ACAB=5?12，BCAC=5?12，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵BCAC=ACAB，
∴CB?AB=AC2，
∵AB=AC+CB，
∴CB?AC+CB=AC2，
整理得，CB2+CB?AC?AC2=0，
兩邊同除以AC2得，CBAC2+CBAC?1=0，
解得CBAC=5?12，CBAC=?5?12（不合題意，舍去），
∴CB與AC的比值是5?12，
故答案為：5?12
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=22+12=5，
∵BD=BC=1，
∴AD=AB?BD=5?1，
∴AE=AD=5?1，
∴AEAC=5?12，
即AEAC的值為5?12；
（3）設(shè)EC與MN相交于點(diǎn)P，作PQ⊥EN于點(diǎn)Q，

∵M(jìn)N∥AB，MN=AB，且M為AE的中點(diǎn)，
∴MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，
∵EC平分∠AEN，
∴PQ=MP=12AC，
設(shè)PQ=MP=12AC=x，
則PN=MN?PM=4?x，
∵EN=EM2+MN2=22+42=25，
∴sin∠ENM=PQPN=EMEN，
∴x4?x=225，
解得x=5?1，
經(jīng)檢驗(yàn)x=5?1是分式方程的根，
∴AC=2x=25?2，
∴ACAB=25?24=5?12，
BCAC=4?25?225?2=5?12，
∴BCAC=ACAB=5?12，
∴C是AB的黃金分割點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、解方程等知識(shí)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式7-4】（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)(AP>BP)，若滿足BPAP=APAB，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．

(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>BC)，若AB=1，則AC的長(zhǎng)為 ______．
(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線．求證：點(diǎn)D是AC的黃金分割點(diǎn)．
(3)如圖3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點(diǎn)E，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于M．BC=1，請(qǐng)你直接寫出CM的長(zhǎng)為__________．
【答案】(1)5?12
(2)證明見解析
(3)CM=5+12
【分析】（1）設(shè)AC=a，則BC=1?a，根據(jù)黃金分割的含義可得：BCAC=ACAB，即AC2=BC·AB，再解方程即可；
（2）證明△CBD∽△CAB，推出CDBC=BCAC，推出CDAD=ADAC，可得結(jié)論．
（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，可得AF=BF=BC=1，證明ME⊥AB，MB=MA，∠CAM=72°?36°=36°=∠BAC，可得C是BM的黃金分割點(diǎn)，且BCBC)，AB=1，
設(shè)AC=a，則BC=1?a，
∴BCAC=ACAB，即AC2=BC·AB，
∴a2=1?a，
∴a2+a?1=0，
解得：a=5?12（負(fù)根舍去），
∴AC=5?12；
（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴AD=BD，BC=BD， 即AD=BD=BC，
又∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴ CDBC=BCAC ，
∴CDAD=ADAC ，
∴D點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn)．
（3）如圖，連接AM，
同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，
∴AF=BF=BC=1，
∵E為AB的中點(diǎn)，AF=BF，
∴ME⊥AB，
∴MB=MA，

∴∠ABM=∠BAM=72°，∠AMB=36°，
∴∠CAM=72°?36°=36°=∠BAC，
同理可得C是BM的黃金分割點(diǎn)，且BC

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