?備戰(zhàn)中考初中數(shù)學導練學案50講
第26講 圖形的相似與位似
【疑難點撥】
1. 三角形相似的“基本圖形”：幾何圖形大都由基本圖形復合而成,因此熟悉三角形相似的基本圖形,有助于快速準確地識別相似三角形,從而順利找到解題思路和方法.
（1）平行線型： 如圖1、圖2,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC,形象地說圖1為“A”型,圖2為“X”型,故稱之為平行線型的基本圖形.

（2）相交線型：如圖3、圖4,若∠AED=∠B,則△ADE∽△ABC,稱之為相交線型的基本圖形.

圖3 圖4
（3）母子型：將圖5中的DE向下平移至點C,則得圖5,有△ACD∽△ABC,稱之為“子母”型的基本圖形.特別地,令∠ACB=,CD則為斜邊上高(如圖6), 則有△ACD∽△ABC∽△CBD.

（4）旋轉(zhuǎn)型：將圖7中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度,則得圖11,稱之為旋轉(zhuǎn)型的基本圖形.

2.正確運用相似三角形的“對應”關(guān)系：在證兩個三角形相似時，和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對應角和對應邊．（1）有的根據(jù)題設條件，兩個三角形相似的對應性沒有明確，具有結(jié)論的不確定性，因而應分兩種情況解答此題．（2）因為題設只要求兩個直角三角形相似，并沒有指明具體的對應關(guān)系．同樣具有結(jié)論的不確定性，因此本題應分兩種情況解答．
3. 怎樣尋找相似三角形：證明線段的比例式（或等積式）的常用方法是利用相似三角形，常見的幾種策略：
（1）三點定型法，基本方法就是找出與結(jié)論中的線段有關(guān)的兩個三角形，然后證明這兩個三角形相似，利用“相似三角形對應邊成比例”推出結(jié)論；
（2）等線段代換法，有時求證比例式中的四條線段都在圖形的同一條直線上，不能組成三角形，或即使四條線段能構(gòu)成兩個三角形，但這兩個三角形根本不相似，這時，我們可以根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替，再用三點定型法確定相似三角形；
（3）等式代換法，當用三點定型法不能確定三角形，或雖然能確定三角形，但這兩個三角形不可能相似，同時也無等線段代換時，可考慮用等比代換法，即用“中間比”進行轉(zhuǎn)換，然后再用“三點定型法”確定三角形．
【基礎篇】
一、選擇題：
1. 如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，則EC的長是（　?。?br />
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
2. ．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　　）

A．B．C．D．
3. 如圖，△ABC經(jīng)過位似變換得到△DEF ， 點O是位似中心且OA=AD ， 則△ABC與△DEF的面積比是（　?。?
A、1：6 B、1：5 C、1：4 D、1：2
4. 在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：
甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．
乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（　?。?br />
A．兩人都對
B．兩人都不對
C．甲對，乙不對
D．甲不對，乙對
5. 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：
第一步，分別以點A、D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M、N；
第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F；
第三步，連接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長是（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空題：
6. （2018?山東菏澤?3分）如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若點B的坐標是（6，0），則點C的坐標是　 ?。?br />
7. （2018年四川省南充市）如圖，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延長線于點F．若AD=1，BD=2，BC=4，則EF=　?。?br />
8. （2018·四川宜賓·3分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4．若AA'=1，則A'D等于 .

三、解答與計算題：
9. 如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？





10. 定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．
如圖2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．





【能力篇】
一、選擇題：
11. 如圖，在5×5的正方形方格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，作一個與△ABC相似的△DEF ， 使它的三個頂點都在小正方形的頂點上，則△DEF的最大面積是（　?。?

A、5 B、10 C、 D、
12. （2018?江蘇揚州?3分）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點P，M．對于下列結(jié)論：
①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．① C．①② D．②③
13. 如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題：
14. 已知點A（0，1），B（-2，0），以坐標原點O為位似中心，將線段AB放大2倍，放大后的線段A′B′與線段AB在同一側(cè)，則兩個端點A′，B′的坐標分別為________.
?
15. （2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將△CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是　 （寫出所有正確結(jié)論的序號）
①當E為線段AB中點時，AF∥CE；
②當E為線段AB中點時，AF=；
③當A、F、C三點共線時，AE=；
④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF．

三、解答與計算題：
16. 如圖，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ， 動點M從點A出發(fā)，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發(fā)，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t ， 使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．












17. （2018·四川自貢·10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出經(jīng)過點B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D，若⊙O的直徑為5，BC=4；求DE的長．（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）









18. （2018·新疆生產(chǎn)建設兵團·12分）如圖，PA與⊙O相切于點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點B．連接PB，AO，并延長AO交⊙O于點D，與PB的延長線交于點E．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．







【探究篇】
19. （2018·浙江寧波·12分）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求證：△ABC是比例三角形．
（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC=90°時，求的值．






















20. （2018·山東濰坊·12分）如圖1，在?ABCD中，DH⊥AB于點H，CD的垂直平分線交CD于點E，交AB于點F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如圖2，作FG⊥AD于點G，交DH于點M，將△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，連接M′B．
①求四邊形BHMM′的面積；
②直線EF上有一動點N，求△DNM周長的最小值．
（2）如圖3，延長CB交EF于點Q，過點Q作QK∥AB，過CD邊上的動點P作PK∥EF，并與QK交于點K，將△PKQ沿直線PQ翻折，使點K的對應點K′恰好落在直線AB上，求線段CP的長．















第26講 圖形的相似與位似
【疑難點撥】
1. 三角形相似的“基本圖形”：幾何圖形大都由基本圖形復合而成,因此熟悉三角形相似的基本圖形,有助于快速準確地識別相似三角形,從而順利找到解題思路和方法.
（1）平行線型： 如圖1、圖2,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC,形象地說圖1為“A”型,圖2為“X”型,故稱之為平行線型的基本圖形.

（2）相交線型：如圖3、圖4,若∠AED=∠B,則△ADE∽△ABC,稱之為相交線型的基本圖形.

圖3 圖4
（3）母子型：將圖5中的DE向下平移至點C,則得圖5,有△ACD∽△ABC,稱之為“子母”型的基本圖形.特別地,令∠ACB=,CD則為斜邊上高(如圖6), 則有△ACD∽△ABC∽△CBD.

（4）旋轉(zhuǎn)型：將圖7中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度,則得圖11,稱之為旋轉(zhuǎn)型的基本圖形.

2.正確運用相似三角形的“對應”關(guān)系：在證兩個三角形相似時，和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對應角和對應邊．（1）有的根據(jù)題設條件，兩個三角形相似的對應性沒有明確，具有結(jié)論的不確定性，因而應分兩種情況解答此題．（2）因為題設只要求兩個直角三角形相似，并沒有指明具體的對應關(guān)系．同樣具有結(jié)論的不確定性，因此本題應分兩種情況解答．
3. 怎樣尋找相似三角形：證明線段的比例式（或等積式）的常用方法是利用相似三角形，常見的幾種策略：
（1）三點定型法，基本方法就是找出與結(jié)論中的線段有關(guān)的兩個三角形，然后證明這兩個三角形相似，利用“相似三角形對應邊成比例”推出結(jié)論；
（2）等線段代換法，有時求證比例式中的四條線段都在圖形的同一條直線上，不能組成三角形，或即使四條線段能構(gòu)成兩個三角形，但這兩個三角形根本不相似，這時，我們可以根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替，再用三點定型法確定相似三角形；
（3）等式代換法，當用三點定型法不能確定三角形，或雖然能確定三角形，但這兩個三角形不可能相似，同時也無等線段代換時，可考慮用等比代換法，即用“中間比”進行轉(zhuǎn)換，然后再用“三點定型法”確定三角形．
【基礎篇】
一、選擇題：
1. 如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，則EC的長是（　?。?br />
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【考點】平行線分線段成比例．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列式進行計算即可得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
即=，
解得EC=8．
故選B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2. ．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。?br />
A．B．C．D．
分析：首先求得△ABC三邊的長，然后分別求得選項A，B，C，D各三角形的三邊的長，最后根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案．熟悉三組對應邊的比相等的兩個三角形相似定理是解答此題的關(guān)鍵．
解析：解答：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、，
只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例．
故選：B．
3. 如圖，△ABC經(jīng)過位似變換得到△DEF ， 點O是位似中心且OA=AD ， 則△ABC與△DEF的面積比是（　?。?
A、1：6 B、1：5 C、1：4 D、1：2
【考點】位似變換
【解析】【解答】∵△ABC經(jīng)過位似變換得到△DEF ， 點O是位似中心且OA=AD ， ∴AC∥DF ，
∴△OAC∽△ODF ，
∴AC：DF=OA：OD=1：2，
∴△ABC與△DEF的面積比是1：4.
故選C.
【分析】由△ABC經(jīng)過位似變換得到△DEF ， 點O是位似中心且OA=AD ， 根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可得AC∥DF ， 即可求得AC：DF=OA：OD=1：2，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得△ABC與△DEF的面積比.
4. 在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：
甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．
乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（　?。?br />
A．兩人都對
B．兩人都不對
C．甲對，乙不對
D．甲不對，乙對
答案：A
解析：解答：甲：根據(jù)題意得：AB∥，AC∥，BC∥，
∴∠A=∠，∠B=∠，
∴△ABC∽△，
∴甲說法正確；
乙：∵根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則==3+2=5，==5+2=7，
∴，，
∴，
∴新矩形與原矩形不相似．
∴乙說法正確．
故選：A．

分析：甲：根據(jù)題意得：AB∥，AC∥，BC∥，可證得∠A=∠，∠B=∠，由兩角對應相等兩三角形相似得△ABC∽△；乙：根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則=C′D′=3+2=5，A′D′= =5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似．此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定．
5. 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：
第一步，分別以點A、D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M、N；
第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F；
第三步，連接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長是（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
【考點】平行線分線段成比例；菱形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖．
【分析】根據(jù)已知得出MN是線段AD的垂直平分線，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四邊形AEDF是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE=DE=DF=AF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，代入求出即可．
【解答】解：∵根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四邊形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故選D．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，菱形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應用，能根據(jù)定理四邊形AEDF是菱形是解此題的關(guān)鍵，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對應線段成比例．
二、填空題：
6. （2018?山東菏澤?3分）如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若點B的坐標是（6，0），則點C的坐標是　（2，2）?。?br />
【考點】SC：位似變換；D5：坐標與圖形性質(zhì)．
【分析】根據(jù)題意得出D點坐標，再解直角三角形進而得出答案．
【解答】解：分別過A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為3：4，點B的坐標是（6，0），
∴D（8，0），則DO=8，
故OC=4，
則FO=2，CF=CO?cos30°=4×=2，
故點C的坐標是：（2，2）．
故答案為：（2，2）．

【點評】此題主要考查了位似變換，運用位似圖形的性質(zhì)正確解直角三角形是解題關(guān)鍵．
7. （2018年四川省南充市）如圖，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延長線于點F．若AD=1，BD=2，BC=4，則EF=　?。?br />
【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：DE=，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF﹣DE=2﹣，
故答案為：
【點評】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
8. （2018·四川宜賓·3分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4．若AA'=1，則A'D等于 .

【考點】Q2：平移的性質(zhì)．
【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD為BC邊的中線知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根據(jù)△DA′E∽△DAB知（）2=，據(jù)此求解可得．
【解答】解：如圖，

∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD為BC邊的中線，
∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，
∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
則（）2=，即（）2=，
解得A′D=2或A′D=﹣（舍），
【點評】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．
三、解答與計算題：
9. 如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？

答案：2秒｜0.8秒
解析：解答：設經(jīng)過t秒時，以△QBC與△ABC相似，則AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴當時，△BPQ∽△BAC，
即，解得t=2（s）；
當時，△BPQ∽△BCA，
即，解得t=0.8（s）；
綜合上述，經(jīng)過2秒或0.8秒時，△QBC與△ABC相似．
分析：設經(jīng)過t秒時，以△QBC與△ABC相似，則AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：當時，△BPQ∽△BAC；當時，△BPQ∽△BCA．
10. 定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．
如圖2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．

【考點】黃金分割．
【分析】（1）判斷△ABC∽△BDC，根據(jù)對應邊成比例可得出答案．
（2）根據(jù)黃金比值即可求出AD的長度．
【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC?CD．
∴點D是線段AC的黃金分割點．

（2）∵點D是線段AC的黃金分割點，
∴AD=AC，
∵AC=2，
∴AD=﹣1．
【點評】本題考查了黃金分割的知識，解答本題的關(guān)鍵是仔細審題，理解黃金分割的定義，注意掌握黃金比值．
【能力篇】
一、選擇題：
11. 如圖，在5×5的正方形方格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，作一個與△ABC相似的△DEF ， 使它的三個頂點都在小正方形的頂點上，則△DEF的最大面積是（　?。?

A、5 B、10 C、 D、
【考點】相似三角形的性質(zhì)
【分析】要讓△ABC的相似三角形最大，就要讓AC為網(wǎng)格最大的對角線，據(jù)此可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
【解析】【解答】從圖中可以看出△ABC的三邊分別是2， ， ，
要讓△ABC的相似三角形最大，就要讓DF為網(wǎng)格最大的對角線，即是 ，
所以這兩，相似三角形的相似比是 : = :5
△ABC的面積為2×1÷2=1，
所以△DEF的最大面積是5．故選A ．
12. （2018?江蘇揚州?3分）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點P，M．對于下列結(jié)論：
①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．① C．①② D．②③
【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；
（2）通過等積式倒推可知，證明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．
【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正確
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP?MD=MA?ME
所以②正確
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四點共圓
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP?CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP?CM
所以③正確
故選：A．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷．在等積式和比例式的證明中應注意應用倒推的方法尋找相似三角形進行證明，進而得到答案．
13. 如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數(shù)是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
分析：根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出結(jié)論．此題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．
解答：如圖①，∠OAB=∠，∠AOB=∠時，△AOB∽△．

如圖②，AO∥BC，BA⊥，則∠=∠OAB，故△AOB∽△；
如圖③，∥OB，∠ABC3=，則∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；
如圖④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，則△AOB∽△．
故選：D．
二、填空題：
14. 已知點A（0，1），B（-2，0），以坐標原點O為位似中心，將線段AB放大2倍，放大后的線段A′B′與線段AB在同一側(cè)，則兩個端點A′，B′的坐標分別為________.
?

【考點】位似變換
【分析】由題意，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得兩個端點A′，B′的坐標.
?【解析】【解答】∵以坐標原點O為位似中心，將線段AB放大2倍，且點A（0，1），B（-2，0），
∴兩個端點A、B的對應點坐標分別為：（0，2）（-4，0）或（0，-2）（4，0），
∵放大后的線段A′B′與線段AB在同一側(cè)，
∴兩個端點A′、B′的坐標分別為：（0，2）（-4，0）.
故答案為：（0，2）（-4，0）.
15. （2018·四川宜賓·3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將△CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是?、佗冖邸。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）
①當E為線段AB中點時，AF∥CE；
②當E為線段AB中點時，AF=；
③當A、F、C三點共線時，AE=；
④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF．

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質(zhì)．
【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；
【解答】解：如圖1中，當AE=EB時，

∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，故①正確，
作EM⊥AF，則AM=FM，
在Rt△ECB中，EC==，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴=，
∴=，
∴AM=，
∴AF=2AM=，故②正確，
如圖2中，當A、F、C共線時，設AE=x．

則EB=EF=3﹣x，AF=﹣2，
在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，
∴x=，
∴AE=，故③正確，
如果，△CEF≌△AEF，則∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，顯然不符合題意，故④錯誤，
故答案為①②③．
【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
三、解答與計算題：
16. 如圖，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ， 動點M從點A出發(fā)，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發(fā)，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t ， 使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【解析】【分析】首先設經(jīng)過t秒時，△AMN與△ABC相似，可得AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），然后分別從當MN∥BC時，△AMN∽△ABC與當∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC去分析，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．
【答案】解答：存在t=3秒或4.8秒，使以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似（無此過程不扣分）
設經(jīng)過t秒時，△AMN與△ABC相似，
此時，AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），
①當MN∥BC時，△AMN∽△ABC ，
則 ＝ ，即 ＝ ，
解得t=3；
②當∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC ，
則 ＝ ，即 = ，
解得t=4.8；
故所求t的值為3秒或4.8秒．
17. （2018·四川自貢·10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出經(jīng)過點B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D，若⊙O的直徑為5，BC=4；求DE的長．（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）

【分析】（1）作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓即可解決問題；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解決問題；
【解答】解：（1）⊙O如圖所示；

（2）作OH⊥BC于H．

∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四邊形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
18. （2018·新疆生產(chǎn)建設兵團·12分）如圖，PA與⊙O相切于點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點B．連接PB，AO，并延長AO交⊙O于點D，與PB的延長線交于點E．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．

【分析】（1）要證明是圓的切線，須證明過切點的半徑垂直，所以連接OBB，證明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先應找出直角三角形，然后利用直角三角函數(shù)求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性質(zhì)求出EP或EO的長即可解決問題
【解答】（1）證明：連接OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中

∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切線．
（2）連接BD，則BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO與Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO～△PAO
=
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO與△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
∴sinE==

【點評】本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)．能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵．
【探究篇】
19. （2018·浙江寧波·12分）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求證：△ABC是比例三角形．
（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC=90°時，求的值．
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)
【分析】（1）根據(jù)比例三角形的定義分AB2=BC?AC、BC2=AB?AC、AC2=AB?BC三種情況分別代入計算可得；
（2）先證△ABC∽△DCA得CA2=BC?AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；
（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再證△ABH∽△DBC得AB?BC=BH?DB，即AB?BC=BD2，結(jié)合AB?BC=AC2知BD2=AC2，據(jù)此可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，
①當AB2=BC?AC時，得：4=3AC，解得：AC=；
②當BC2=AB?AC時，得：9=2AC，解得：AC=；
③當AC2=AB?BC時，得：AC=6，解得：AC=（負值舍去）；
所以當AC=或或時，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠BAC=∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴=，即CA2=BC?AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴CA2=BC?AB，
∴△ABC是比例三角形；

（3）如圖，過點A作AH⊥BD于點H，

∵AB=AD，
∴BH=BD，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BHA=∠BCD=90°，
又∵∠ABH=∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴=，即AB?BC=BH?DB，
∴AB?BC=BD2，
又∵AB?BC=AC2，
∴BD2=AC2，
∴=．
【點評】本題主要考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是理解比例三角形的定義，并熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
20. （2018·山東濰坊·12分）如圖1，在?ABCD中，DH⊥AB于點H，CD的垂直平分線交CD于點E，交AB于點F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如圖2，作FG⊥AD于點G，交DH于點M，將△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，連接M′B．
①求四邊形BHMM′的面積；
②直線EF上有一動點N，求△DNM周長的最小值．
（2）如圖3，延長CB交EF于點Q，過點Q作QK∥AB，過CD邊上的動點P作PK∥EF，并與QK交于點K，將△PKQ沿直線PQ翻折，使點K的對應點K′恰好落在直線AB上，求線段CP的長．

【分析】（1）①根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)進行解答即可；
②連接CM交直線EF于點N，連接DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分點P在線段CE上和點P在線段ED上兩種情況進行解答．
【解答】解：（1）①在?ABCD中，AB=6，直線EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3，
又BF：FA=1：5，
∴AH=2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴，
即，
∴HM=1.5，
根據(jù)平移的性質(zhì)，MM'=CD=6，連接BM，如圖1，
四邊形BHMM′的面積=；
②連接CM交直線EF于點N，連接DN，如圖2，

∵直線EF垂直平分CD，
∴CN=DN，
∵MH=1.5，
∴DM=2.5，
在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，
∴MC2=62+（2.5）2，
即MC=6.5，
∵MN+DN=MN+CN=MC，
∴△DNM周長的最小值為9．
（2）∵BF∥CE，
∴，
∴QF=2，
∴PK=PK'=6，
過點K'作E'F'∥EF，分別交CD于點E'，交QK于點F'，如圖3，

當點P在線段CE上時，
在Rt△PK'E'中，
PE'2=PK'2﹣E'K'2，
∴，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴，
即，
解得：，
∴PE=PE'﹣EE'=，
∴，
同理可得，當點P在線段DE上時，，如圖4，

綜上所述，CP的長為或．
【點評】此題考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)解答，注意（2）分兩種情況分析．






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