?考向一 最值問題
1.（2024?德州）已知拋物線，為實數(shù)．
(1)如果該拋物線經過點，求此拋物線的頂點坐標．
(2)如果當時，的最大值為4，求的值．
2.（2024?濟寧）已知二次函數(shù)的圖像經過，兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且．
(1)求a，c的值；
(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；
3.（2024?日照）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）．
(1)求證：不論a為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；
(2)當時，該二次函數(shù)的最大值與最小值之差為9，求此時函數(shù)的解析式；
4.（2024?威海）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．
(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚憽⒒颍?br>①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范圍；
(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．
?考向二 交點問題
1.（2024?德州）已知拋物線，為實數(shù)．
(1)如果該拋物線經過點，求此拋物線的頂點坐標．
(3)點，點，如果該拋物線與線段（不含端點）恰有一個交點，求的取值范圍．
2.（2024?日照）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）．
(1)求證：不論a為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；
?考向三 線段問題
1.（2024?煙臺）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．
(1)分別求拋物線和的表達式；
(2)如圖，點的坐標為，動點在直線上，過點作軸與直線交于點，連接，．求的最小值；
2.（2024?淄博）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），其中，是方程的兩個根，拋物線與軸相交于點．
(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；
(2)已知直線與，軸分別相交于點，．
②過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．設直線，相交于點．連接，．求線段的最小值．
3.（2024?東營）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)當點在直線下方的拋物線上時，過點作軸的平行線交于點，設點的橫坐標為t，的長為，請寫出關于的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；
?考向四 角度問題
1.（2024?煙臺）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．
(1)分別求拋物線和的表達式；
(3)如圖，點的坐標為，動點在拋物線上，試探究是否存在點，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
2.（2024?淄博）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），其中，是方程的兩個根，拋物線與軸相交于點．
(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；
(2)已知直線與，軸分別相交于點，．
①設直線與相交于點，問在第三象限內的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；
?考向五 三角形問題
1.（2024?泰安）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；
(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
?考向六 四邊形問題
1.（2024?濟南）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，頂點為；拋物線，頂點為．
(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；
(2)如圖1，連接，點是拋物線對稱軸右側圖象上一點，點是拋物線上一點，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；
?考向七 面積問題
1.（2024?濟南）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，頂點為；拋物線，頂點為．
(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；
(3)如圖2，連接，點是拋物線對稱軸左側圖像上的動點（不與點重合），過點作交軸于點，連接，求面積的最小值．
2.（2024?濟寧）已知二次函數(shù)的圖像經過，兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且．
(1)求a，c的值；
(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；
②如圖，在y軸左側該二次函數(shù)的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
3.（2024?青島）如圖①，中，中，，邊與重合，且頂點E與邊上的定點N重合，如圖②，從圖①所示位置出發(fā)，沿射線方向勻速運動，速度為；同時，動點O從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，與交于點P，連接，設運動時間為．解答下列問題：
(2)設四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；
4.（2024?日照）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）．
(3)若二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，該函數(shù)圖象與x軸交于兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．點C關于對稱軸的對稱點為D，點M為的中點，過點M的直線l（直線l不過兩點）與二次函數(shù)圖象交于兩點，直線與直線相交于點P．
①求證：點P在一條定直線上；
②若，請直接寫出滿足條件的直線l的解析式，不必說明理由．
一、解答題
1．（2024·山東濰坊·二模）如圖1是一個半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形，稱為“蛋圓”，已知A，B，C，D分別為“蛋圓”與坐標軸的交點，其中半圓直徑，圓心，拋物線部分的最大值為．
(1)求“蛋圓”中的拋物線的表達式及線段的長．
(2)如圖2，連接，點P為線段BD上方“蛋圓”上一點，過點P作交于點E，交于點F，求的最大值．
(3)點Q為“蛋圓”上任意一點，過點Q作交于H，是否存在點Q使得和相似．若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2024·山東聊城·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于，B4,0兩點，交y軸于點C．動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向終點B運動．當點P運動到線段上時，過點P作軸，交線段于Q，交拋物線于點D，設運動的時間t秒．

(1)求a，b的值．
(2)連接，當t為何值時的值最大，此時的面積為多少？
(3)作線段的垂直平分線交直線于點M，連接，隨著點P的運動，當點M在直線的上方且時，求點D的坐標．
3．（2024·山東濟南·三模）如圖，拋物線M過點，與x軸交于點A和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點D的坐標為．
(1)求拋物線M的表達式和點A的坐標；
(2)點F是線段上一動點，求周長的最小值；
(3)平移拋物線M得到拋物線N，已知拋物線N過點D，頂點為P，其對稱軸與拋物線M交于點Q，若，直接寫出點P的坐標．
4．（24-25九年級上·山東濟寧·期中）已知：拋物線經過A-2,0，與直線交x軸于點B，交y軸于點C，點P是拋物線對稱軸上一動點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當?shù)闹底钚r，求點P的坐標；
(3)在線段下方拋物線上一點F，連接，當面積最大時，求F點坐標及面積最大值．
5．（2024·山東青島·模擬預測）矩形中，E為中點．點從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿向點運動，同時點從點出發(fā)，同樣以每秒1個單位的速度沿向點運動．過作垂直于AD于，過作垂直于于，連接、．兩點同時出發(fā)，一點到達終點，兩點同時停止運動，設運動時間為．
(1)是否存在某一時刻，使、、三點共線？是否存在某一時刻，？（選作一題）
(2)設的面積為，求與的關系式，并求是否存在某一時刻，面積最大？如果存在，求出面積最大值，如果不存在，說明理由．
(3)是否存在某一時刻，使得位于的垂直平分線上？如果存在，求值；如果不存在，說明理由．
(4)連接，是否存在某一時刻，使平分？是否存在某一時刻，使平分？如果存在，請求出值；如果不存在，說明理由．（選作一題）
6．（2024·山東煙臺·一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、C，與y軸交于點B，并且經過不同的兩點、，當時，總有．直線l經過點B和點C，點D為拋物線的頂點，連接．
(1)求b的值；
(2)請求出四邊形的面積；
(3)直線l繞點C逆時針旋轉，與直線重合時終止運動，在旋轉過程中，直線l與線段交于點P，點P與點A、B不重合，點M為線段的中點．
①過點P作于點E，于點F，連接，在旋轉的過程中的大小是否發(fā)生變化，若不變化，求出的度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理由；
②在①的條件下，連接，直接寫出線段的最小值．
7．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖1，拋物線L：與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知．
(1)求m的值；
(2)點D是直線下方拋物線L上一動點，當?shù)拿娣e最大時，求點D的坐標；
(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，設拋物線M與拋物線L的交點為E，，垂足為F．證明是直角三角形．
8．（23-24九年級上·山東日照·期中）如圖，已知拋物線的圖象是由拋物線的圖象平移得到，且與x軸交于A，B兩點，C為第四象限拋物線上一動點，連接，作軸于D，設C點橫坐標為m．

(1)求A、B兩點坐標；
(2)求的最大值；
(3)當時，
①在拋物線上找一點N，使的內心在x軸上，求點N的坐標；
②M是拋物線對稱軸上一動點，在①的條件下，是否存在點M，使是以為腰的等腰三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
9．（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；
(3)若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；
(4)將拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位，得到一個新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點，使得當經過點的任意一條直線與新拋物線交于，兩點時，總有為定值？若存在，求出點坐標及定值，若不存在，請說明理由．
10．（22-23九年級上·山東濱州·期中）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點在拋物線上，且，求點的坐標；
(3)已知線段DE與線段關于平面內某點成中心對稱，其中DE的兩端點剛好一個落在拋物線上，一個落在對稱軸上，求出落在拋物線上的點的坐標．
參考：若點、，則線段的中點坐標為．
11．（2023·山東青島·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線；與x軸交于點A和C，與y軸交于點B．點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交線段于點M，已知點，且．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)求當M是中點時的P點坐標；
(3)作，垂足為N，連接，．
請從下列兩個問題中任選一個問題完成．
問題①：求的最大值；問題②：求的面積最大值．
(4)連接，當x為何值時，四邊形為平行四邊形？四邊形能為菱形嗎？若能求出P點坐標；若不能，說明理由．
12．（2023·山東淄博·二模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過，，三點．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖2，設點P是拋物線上在第一象限內的動點（不與B，C重合），過點P作，垂足為點D，點P在運動的過程中，以P，D，C為頂點的三角形與相似時，求點P的坐標；
(3)在y軸負半軸上是否存在點N，使點A繞點N順時針旋轉后，恰好落在第四象限拋物線上的點M處，且使，若存在，請求N點坐標，若不存在，請說明理由．（請在備用圖中自己畫圖）
13．（2022·山東泰安·模擬預測）如圖，拋物線經過點，且交軸于點，點是軸正半軸上的動點，交拋物線于點，軸交線段的延長線于點，作直線，交軸于點，交軸于點
(1)求拋物線的解析式．
(2)當為何值時，點恰好與點重合
(3)當時，請直接寫出線段的值．
14．（2024·山東濟寧·二模）如圖，直線與經過原點的拋物線相交于點，，與軸、軸分別相交于點，，拋物線與軸另一個交點為，點的坐標為，點在第一象限內且到軸、軸的距離相等．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在第四象限內，是拋物線上一動點．當以點為圓心，以為半徑的圓與直線相切于點時，求點的坐標；
(3)在第一象限內，拋物線的對稱軸上是否存在一點，使的內心也在拋物線的對稱軸上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
15．（2024·山東日照·二模）如圖（1），二次函數(shù)的圖象經過點．把過A，C兩點的直線繞點A旋轉，旋轉過程中記作直線l，l與拋物線的交于點P．

(1)①求這個二次函數(shù)的解析式；②若直線l始終與線段有交點，點B，C到直線l的距離分別為，求的最大值，并說明理由；
(2)如圖（2），當點P是拋物線的頂點時，過P作于H．若點Q在對稱軸右側的拋物線上，過點Q作于M，與相似，求點Q的坐標．
(3)直線l與的夾角為（為銳角），若，直接寫出點P的坐標．
課標要求
考點
考向
1．通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義．
2．能畫二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關系．
3．會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題．
4．知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.
綜合應用
考向一 最值問題
考向二 交點問題
考向三 線段問題
考向四 角度問題
考向五 三角形問題
考向六 四邊形問題
考向七 面積問題
考點 綜合應用
解題技巧
已知線段端點
若AB∥x軸，則，，如果能確定A,B兩點的相對位置，則線段的長不需要加絕對值，用右側點的橫坐標減去左側點的橫坐標即可；
若AB∥y軸，則，，如果能確定A,B兩點的相對位置，則線段的長不需要加絕對值，用上方點的縱坐標減去下方點的縱坐標即可；
若AB既不是水平的線段，也不是豎直的線段，則需要利用勾股定理求長，
易錯易混
滿足已知三角形條件的動點位置可能不止一個，應該考慮到所有情況；
不要忽略三角形存在的條件，比如是否滿足兩邊之和大于第三邊.
解題技巧
（1）求三角形的面積時，如果有一條邊平行于x軸或者y軸，則一般以它為底進行求解；
（2）若所求多邊形各頂點坐標已知，則可以利用間接法，過各頂點作水平或者豎直的線，通過“大-小”或者“小+小”即可求解.

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