?考向一 解分式方程
1．（2024·海南·中考真題）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）解分式方程時(shí)，去分母變形正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川廣元·中考真題）若點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)”，寫出一個(gè)“美好點(diǎn)”的坐標(biāo) ．
5．（2024·浙江·中考真題）若，則
6．（2024·北京·中考真題）方程的解為 .
7．（2024·陜西·中考真題）解方程：．
8．（2024·福建·中考真題）解方程：．
?考向二 分式方程的解
9．（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍（ ）
A．B．且
C．D．且
10．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（ ）
A．或B．C．或D．
11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．且B．C．D．且
12．（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是 ．
?考向一 列分式方程
13．（2024·四川巴中·中考真題）某班學(xué)生乘汽車從學(xué)校出發(fā)去參加活動(dòng)，目的地距學(xué)校60km，一部分學(xué)生乘慢車先行，另一部分學(xué)生再乘快車前往，他們同時(shí)到達(dá)．已知快車的速度比慢車的速度每小時(shí)快20km，求慢車的速度？設(shè)慢車的速度為，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的“口袋公園”．現(xiàn)需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動(dòng)，決定每袋粽子降價(jià)2元銷售．細(xì)心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購買10袋，求：每袋粽子的原價(jià)是多少元？設(shè)每袋粽子的原價(jià)是元，所得方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·山西·中考真題）某校組織學(xué)生開展“茶韻與書畫”為主題的研學(xué)課程，已知學(xué)校用于購買扇子的費(fèi)用為4000元，購買茶具的費(fèi)用為3200元，其中購買扇子的數(shù)量是購買茶具數(shù)量的2倍，并且扇子的單價(jià)比茶具的單價(jià)便宜3元．設(shè)購買扇子的單價(jià)為x元．則x滿足的方程為（ ）
A．B．
C．D．
?考向二 分式方程的實(shí)際應(yīng)用
17．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）A，B兩種機(jī)器人都被用來搬運(yùn)化工原料，A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)30千克，A型機(jī)器人搬運(yùn)900千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)600千克所用時(shí)間相等．A，B兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少干克化工原料？（ ）
A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60
18．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行所用時(shí)間相等，則江水的流速為（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·山東·中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（ ）
A．200B．300C．400D．500
20．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生產(chǎn)大小兩種型號(hào)的“龍辰辰”，大號(hào)“龍辰辰”單價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”單價(jià)貴15元，且用2400元購進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為 元．某網(wǎng)店在該廠家購進(jìn)了兩種型號(hào)的“龍辰辰”共60個(gè)，且大號(hào)“龍辰辰”的個(gè)數(shù)不超過小號(hào)“龍辰辰”個(gè)數(shù)的一半，小號(hào)“龍辰辰”售價(jià)為60元，大號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)多30%．若兩種型號(hào)的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤為 元．
21．（2024·山東東營·中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的．小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元，而今年5月份的水費(fèi)則是元．已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為，則可列分式方程為 ．
22．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術(shù)．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后與的比是，且，，，求四周邊襯的寬度．
23．（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時(shí)電價(jià)機(jī)制，引導(dǎo)電動(dòng)汽車在用電低谷時(shí)段充電，某市實(shí)施峰谷分時(shí)電價(jià)制度，用電高峰時(shí)段（簡稱峰時(shí)）：7：00—23：00，用電低谷時(shí)段（簡稱谷時(shí)）：23：00—次日7：00，峰時(shí)電價(jià)比谷時(shí)電價(jià)高元/度．市民小萌的電動(dòng)汽車用家用充電樁充電，某月的峰時(shí)電費(fèi)為50元，谷時(shí)電費(fèi)為30元，并且峰時(shí)用電量與谷時(shí)用電量相等，求該市谷時(shí)電價(jià)．
24．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共名工人．甲組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？
25．（2024·廣西·中考真題）綜合與實(shí)踐
在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．
【洗衣過程】
步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．
假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都?xì)埩羲?br>濃度關(guān)系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）
【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：
(1)如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？
(3)比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
26．（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從地到地的航天科技館參觀，已知地到地的路程為300千米，乘坐型車比乘坐型車少用2小時(shí)，型車的平均速度是型車的平均速度的3倍，求型車的平均速度．
27．（2024·重慶·中考真題）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對(duì)現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．
(1)為鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺(tái)了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？
(2)經(jīng)測(cè)算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？
28．（2024·重慶·中考真題）某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測(cè)算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知種外墻漆每千克的價(jià)格比種外墻漆每千克的價(jià)格多2元．
(1)求、兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？
(2)已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí)．問甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？
一、單選題
1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某生鮮超市在三月份用20000元進(jìn)購一批鐵皮西紅柿，四月份這種鐵皮西紅柿每千克降價(jià)了1元，此生鮮超市用18000元進(jìn)購?fù)N鐵皮西紅柿，卻多進(jìn)貨500千克．求三月份這種鐵皮西紅柿每千克多少元？設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，可列方程得（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·上海寶山·一模）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為；把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍．根據(jù)題意列方程為，其中x表示（ ）
A．快馬的速度B．慢馬的速度C．規(guī)定的時(shí)間D．以上都不對(duì)
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知是分式方程的解，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）野豪豬內(nèi)卷會(huì)用6000元購進(jìn)一批試卷，每套試卷含數(shù)理化三科，每套以比進(jìn)價(jià)高10元的優(yōu)惠價(jià)格賣給成員，在銷售過程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價(jià)送給了其他同學(xué)，最后野豪豬內(nèi)卷會(huì)盈利950元，則一套試卷的進(jìn)價(jià)為（ ）
A．50元B．100元C．120元D．240元
6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）為改善生態(tài)環(huán)境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計(jì)劃植樹20萬棵，由于工程進(jìn)度需要，實(shí)際每天植樹棵數(shù)比原計(jì)劃增加了，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．若設(shè)實(shí)際每天植樹x萬棵，則根據(jù)題意可得方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式組有且只有兩個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)的和是（ ）
A．B．10C．D．
二、填空題
8．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）分式方程的解是 ．
9．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x 的分式方程有增根，則k 的值為 ．
10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分元錢，每人分得若干，若再加上6人，平分元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求這兩次分錢的人數(shù)．答：（1）第一次分錢有 人；（2）第二次分錢有 人．
11．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則 ．
12．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）若代數(shù)式x與的比值等于，那么 ．
13．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 ．
14．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）有一組并聯(lián)電路，如圖所示，兩個(gè)電阻的電阻值分別為、，總電阻值為R，三者關(guān)系為：．若已知，則 ．
15．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）為深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平文化思想，認(rèn)真落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于文化和旅游工作的重要論述精神，更好發(fā)揮公共圖書館對(duì)推動(dòng)公共文化服務(wù)高質(zhì)量發(fā)展的重要作用，月日上午，以“城市是一本打開的書”為主題的“書香長沙·岳麓山閱讀”年世界讀書日暨公共圖書館服務(wù)宣傳周系列活動(dòng)啟動(dòng)式在湘江新區(qū)舉行．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)米和米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加宣傳活動(dòng)．已知甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的倍，但乙同學(xué)仍比甲同學(xué)提前分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)．根據(jù)上述條件可以計(jì)算出乙同學(xué)的速度是 米秒．
三、解答題
16．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）2024年5月10日，第二屆全國鄉(xiāng)村振興職業(yè)技術(shù)技能大賽在貴州省貴陽市閉幕，云南省選手?jǐn)孬@2金5銀2銅，在獎(jiǎng)牌榜上位居全國第三名，取得歷屆最佳成績．近年來，云南省大力發(fā)展面向鄉(xiāng)村振興的技能人才培養(yǎng)，把課堂學(xué)習(xí)和鄉(xiāng)村振興實(shí)踐緊密結(jié)合，為鄉(xiāng)村振興提供人才支持．甲、乙兩校認(rèn)真貫徹把課堂學(xué)習(xí)和社會(huì)實(shí)踐緊密結(jié)合的方針，組織學(xué)生到某農(nóng)業(yè)生產(chǎn)基地參加實(shí)踐活動(dòng)，已知甲、乙兩校的學(xué)生分別從距離農(nóng)業(yè)生產(chǎn)基地80千米和20千米的兩地同時(shí)出發(fā)，甲校學(xué)生行駛的速度是乙校學(xué)生行駛速度的2倍，乙校學(xué)生比甲校學(xué)生提前小時(shí)到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)．求甲、乙兩校學(xué)生行駛的速度各是多少？
17．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）為了提高道路的通行效率，陽泉市對(duì)大連街五渡口至保晉路口實(shí)行了燈控路口智能化改造，優(yōu)化了交通信號(hào)燈配時(shí)，駕駛員只要控制好車速，便能達(dá)到“一路綠燈”的效果．據(jù)了解，該路段總長約4.2公里，改造后通過該路段的車輛的平均行駛速度提高了，平均行駛時(shí)間減少了3分鐘，求改造前通過該路段車輛的平均速度．
18．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）為了扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，我市某中學(xué)針對(duì)七年級(jí)學(xué)生開設(shè)了“跟我學(xué)面點(diǎn)”烹飪課程，課程開設(shè)后學(xué)?；ㄙM(fèi)6000元購進(jìn)第一批面粉，用完后又花費(fèi)9600元購進(jìn)第二批面粉，第二批面粉采購量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的價(jià)格提高了0.4元，求第一批面粉的采購量為多少？
19．（2024·寧夏銀川·一模）下面是某同學(xué)解分式方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：
解：去分母，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
去括號(hào)，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第二步
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
解得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第四步
則原分式方程的解為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)第一步的依據(jù)是________________________________；
(2)上面的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是_________________．
20．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）重慶小面是重慶的特色美食，已成為重慶市民必不可少的早餐，其中“豌豆小面”和“雞雜小面”最受重慶市民喜歡．
(1)已知1份“豌豆小面”和2份“雞雜小面”共需要37元；3份“豌豆小面”和1份“雞雜小面”需41元．則“豌豆小面”和“雞雜小面”的單價(jià)分別是多少？
(2)面粉作為制作小面的主要原材料之一，某小面店第一次花費(fèi)1200元購進(jìn)某品牌面粉，第二次花費(fèi)同樣的錢比第一次購買該品牌面粉重量少了40千克，第二次購買面粉單價(jià)在第一次的購買面粉單價(jià)的基礎(chǔ)上漲了，求第二次購買面粉的價(jià)格是多少？
21．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）在“旅游示范公路”建設(shè)的的中，工程隊(duì)計(jì)劃在海邊某路段修建一條長的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的長度是計(jì)劃的倍，結(jié)果提前天完成任務(wù)，求計(jì)劃平均每天修建的長度．
22．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）宋代是茶文化發(fā)展的第二個(gè)高峰，宋代的飲茶主要以點(diǎn)茶為主，煎茶為輔，在點(diǎn)茶的基礎(chǔ)上升華為斗茶、分茶和茶百戲．某網(wǎng)店銷售如圖所示的兩種點(diǎn)茶器具套裝，已知甲種點(diǎn)茶器具套裝的單價(jià)比乙種點(diǎn)茶器具套裝的單價(jià)少36元，用1600元購進(jìn)甲種點(diǎn)茶器具套裝的數(shù)量是用980元購進(jìn)乙種點(diǎn)茶器具套裝數(shù)量的2倍．求甲、乙兩種點(diǎn)茶器具套裝的單價(jià)．
23．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）2023年12月，21世紀(jì)經(jīng)濟(jì)研究院發(fā)布《國際消費(fèi)中心城市建設(shè)年度報(bào)告（2023）》，長沙被列為發(fā)展型消費(fèi)中心城市（Gamma級(jí)）．根據(jù)市場需求，長沙市某企業(yè)為加快生產(chǎn)速度，更新了部分生產(chǎn)設(shè)備，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了，若更新設(shè)備前每天生產(chǎn)產(chǎn)品件．據(jù)此解答下列問題：
(1)更新設(shè)備后每天生產(chǎn) 件產(chǎn)品（用含的式子表示）；
(2)更新設(shè)備后生產(chǎn)6000件產(chǎn)品還比更新設(shè)備前的生產(chǎn)5000件產(chǎn)品少用2天，則更新設(shè)備后每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
24．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）擁有便捷的交通是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的前提，某地為了打造全新旅游體驗(yàn)，提高地域知名度，計(jì)劃修建一段音樂旅游公路．某施工隊(duì)承攬了這段旅游公路的施工，原計(jì)劃施工300米，施工隊(duì)在施工了60米后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該階段工程．問該工程隊(duì)原計(jì)劃每天施工多少米？
課標(biāo)要求
考點(diǎn)
考向
1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型;
2.能解可化為一元一次方程的分式方程:
3.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.
分式方程的運(yùn)算
考向一 解分式方程
考向二 分式方程的解
分式方程的應(yīng)用
考向一 列分式方程
考向二 分式方程的實(shí)際應(yīng)用
考點(diǎn)一 分式方程的運(yùn)算
易錯(cuò)易混提醒
解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有:
（1）去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng);
（2）忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.
（3）增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根，若這個(gè)整式方程本身無解，當(dāng)然原分式方程就一定無解.
考點(diǎn)二 分式方程的應(yīng)用

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