專題56 用樣本估計(jì)總體-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）解析版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】8
【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì)8
【考點(diǎn)2】總體集中趨勢(shì)的估計(jì)12
【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計(jì)17
【分層檢測(cè)】21
【基礎(chǔ)篇】21
【能力篇】30
考試要求：
1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).
2.會(huì)用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度.
知識(shí)梳理
1.總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù)：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝
eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2].
1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么
①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
2．（2022·全國(guó)·高考真題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：
則（）
A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
二、多選題
3．（2023·全國(guó)·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D．的極差不大于的極差
三、解答題
4．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．
(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；
(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．
5．（2022·全國(guó)·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
參考答案：
1．C
【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于 A, 根據(jù)頻數(shù)分布表可知, ,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 , 故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，
所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；
對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯(cuò)誤.
故選；C.
2．B
【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；
講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，
講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).
故選:B.
3．BD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，
則，
因?yàn)闆](méi)有確定的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，
可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值?br>則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，
例如：，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
顯然，即；故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；
故選：BD.
4．(1)
(2)一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱
(3)方差克，平均數(shù)克，預(yù)估平均質(zhì)量為克
【分析】（1）利用組合知識(shí)和超幾何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分層抽樣的定義進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)公式計(jì)算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.
【詳解】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，
樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
A事件的樣本點(diǎn)的公式，
所以；
（2）因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)，
所以8箱水果中有一級(jí)果抽取箱，二級(jí)果抽取箱；
（3）設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為，方差為，二級(jí)果質(zhì)量為，方差為，
總體樣本平均質(zhì)量為，方差為，
因?yàn)?，，，?br>所以克，
克．
預(yù)估平均質(zhì)量為克．
5．(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì)
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）法國(guó)當(dāng)?shù)貢r(shí)間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在巴黎舉行開(kāi)幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，奧運(yùn)會(huì)最重要的不是勝利，而是參與；對(duì)人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動(dòng).為了調(diào)查男生和女生對(duì)奧運(yùn)會(huì)的關(guān)注程度，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：
則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86
B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)
C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變
D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變
2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）
A．86B．87C．88D．90
二、多選題
3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校共有2000名男生，為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

A．樣本的眾數(shù)為67.5B．樣本的分位數(shù)為72.5
C．樣本的平均值為66D．該校男生中體重低于的學(xué)生大約為150人
4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)是一所大學(xué)的社會(huì)實(shí)踐基地，實(shí)踐結(jié)束后學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行考核評(píng)分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績(jī)位于后的學(xué)生劃定為不及格，把成績(jī)位于前的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（）
A．本次測(cè)試及格分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為60分B．本次測(cè)試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為75分
C．本次測(cè)試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分D．本次測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)
三、填空題
5．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)高三以來(lái)成績(jī)依次為110，93，92，93，88，86，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為．
6．（2024·云南曲靖·二模）抽樣統(tǒng)計(jì)得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)百分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，故A正確；
對(duì)于B：男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故B正確；
對(duì)于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；
對(duì)于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，
但是極差變小，所以方差變小，故D錯(cuò)誤.
故選：D
2．B
【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，
因?yàn)椋?br>所以第75百分位數(shù)是．
故選：B．
3．AB
【分析】由頻率分布直方圖的眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)以及頻數(shù)的計(jì)算公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A：樣本的眾數(shù)為67.5，故A正確；
對(duì)于B：設(shè)樣本的分位數(shù)為，
因?yàn)椋?br>則，解得：，故B正確；
對(duì)于C：設(shè)樣本的平均值為，
則，故C不正確；
對(duì)于D：該校男生中低于的學(xué)生所占的頻率為：，
該校男生中低于的學(xué)生大約為人，故D不正確.
故選：AB.
4．CD
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷AB，根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷，根據(jù)頻率分布直方圖左拖尾可判斷D．
【詳解】A．由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)小于60分的概率為，分?jǐn)?shù)小于50分的概率為，
所以分?jǐn)?shù)的分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，故A錯(cuò)誤；
B．由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)大于80分的概率為0.2，分?jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5，
所以優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，
則，
解得，故B錯(cuò)誤；
C．因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5，所以本次測(cè)試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分，故C正確；
D．因?yàn)轭l率分布直方圖左拖尾，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確．
故選：CD．
5．
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行求解.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，，
，故從小到大，選擇第3個(gè)數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)，即.
故答案為：92
6．159
【分析】利用百分位數(shù)的估計(jì)公式計(jì)算可得.
【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大排列為：，
由，得第75百分位數(shù)是.
故答案為：159
反思提升：
計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
【考點(diǎn)2】總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
一、單選題
1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（）

A．B．
C．D．
2．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（）

A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天
B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3
C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.625小時(shí)
D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的眾數(shù)為2.3小時(shí)
二、多選題
3．（2025·廣東·一模）現(xiàn)有十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，它們分別與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.已知的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（）
A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為
C．方差為D．極差為
4．（23-24高一下·全國(guó)·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）
A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)
B．圖（2）的平均數(shù)

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