【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】6
【考點(diǎn)1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6
【考點(diǎn)2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì)8
【考點(diǎn)3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用11
【分層檢測】13
【基礎(chǔ)篇】13
【能力篇】16
【培優(yōu)篇】17
考試要求：
從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.
知識梳理
1.直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.
(2)范圍：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3.二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.
4.平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
1.三個重要結(jié)論
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
真題自測
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為（ ）.
A．1B．2C．D．
2．（2024·全國·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
二、解答題
5．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
6．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
7．（2024·全國·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值為，求．
8．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>9．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
10．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．平面
2．（2024·遼寧大連·一模）已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，且，則
D．若，且，則
3．（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，且與所成的角和與所成的角相等，則
二、多選題
4．（2024·湖南邵陽·三模）如圖所示，點(diǎn)為正方體形木料上底面的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．存在點(diǎn)，使平面
C．不存在點(diǎn)，使平面
D．經(jīng)過點(diǎn)在上底面上畫一條直線與垂直，若與直線重合，則點(diǎn)為上底面中心
三、解答題
5．（2024·天津河北·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
6．（2024·山東濟(jì)寧·三模）圖1是由正方形ABCD和兩個正三角形組成的一個平面圖形，其中，現(xiàn)將沿AD折起使得平面平面，將沿CD折起使得平面平面，連接EF，BE，BF，如圖2.
(1)求證:平面；
(2)求平面與平面夾角的大小.
反思提升：
(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).
【考點(diǎn)2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則
2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）如圖，在長方形中，，，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上的動點(diǎn)．現(xiàn)將沿AF折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)D作，K為垂足．設(shè)，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在正四棱錐中，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，且，，，其中，則（ ）
A．當(dāng)時，平面平面
B．當(dāng)，，時，平面
C．當(dāng)，，時，點(diǎn)平面
D．當(dāng)，時，存在，使得平面平面
4．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，的重心為，以為球心的球與平面相切．若點(diǎn)在該球面上，則下列說法正確的有（ ）
A．存在點(diǎn)和實(shí)數(shù)，使得
B．三棱錐體積的最大值為
C．若直線與平面所成的角為，則的最大值為
D．若，則所有滿足條件的點(diǎn)形成的軌跡的長度為
三、解答題
5．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；
(2)若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.
6．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
(1)證明：平面ABC．
(2)若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．
反思提升：
(1)面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化
①兩種方法：
(i)面面垂直的定義；
(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).
②一個轉(zhuǎn)化：
在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.
(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”.
②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線垂直于第三個平面.
【考點(diǎn)3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知棱長為1的正方體分別是AB和BC的中點(diǎn)，則MN到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·陜西商洛·階段練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在棱上，且，則點(diǎn)到平面的距離之和為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有邊長均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregular slid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則下列說法正確的是（ ）

A．該多面體的表面積為
B．該多面體的體積為
C．該多面體的平行平面間的距離均為
D．過A、Q、G三點(diǎn)的平面截該多面體所得的截面面積為
4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，G為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．CG與所成角的余弦值為
B．與平面的交點(diǎn)H是的重心
C．三棱錐的外接球的體積為
D．與平面所成角的正弦值為
三、解答題
5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖所示，斜三棱柱的各棱長均為， 側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

(1)證明：點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)；
(2)求二面角的正切值．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖四棱臺中，，平面，.
(1)證明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值.
反思提升：
三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.求解時應(yīng)注意垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（ ）
A．B．C．D．18
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)O在線段上且，則點(diǎn)O到平面的距離是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，且，平面平面，則直線AC與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．1
4．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行的充要條件是
B．平面內(nèi)有兩條直線m，n分別與平面平行，則
C．若，且，則
D．平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面垂直，則
二、多選題
5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，為不同的兩點(diǎn)，直線，，為不同的三條直線，平面，為不同的兩個平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，，則直線
6．（2023·云南·三模）下列說法錯誤的是（ ）
A．若直線不平行于平面，，則內(nèi)不存在與平行的直線
B．若平面平面，平面平面，，則
C．設(shè)為直線，在平面內(nèi)，則“”是“且”的充分不必要條件
D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補(bǔ)
7．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在正四面體A－BCD中，，點(diǎn)O為的重心，過點(diǎn)O的截面平行于AB和CD，分別交BC，BD，AD，AC于E，F(xiàn)，G，H，則 （ ）
A．四邊形EFGH的周長為8
B．四邊形EFGH的面積為2
C．直線AB和平面EFGH的距離為
D．直線AC與平面EFGH所成的角為
三、填空題
8．（2024·陜西·三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的序號是 ．（填序號）
①；②；③平面；④平面平面．
9．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為 ．
10．（1997·全國·高考真題）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：
①若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線，則；
②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)所有的直線；
③若，且，則；
④若且，則；
⑤若，且，則．
其中正確命題的序號是 ．
四、解答題
11．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.
12．（2024·江蘇·二模）如圖，直三棱柱的體積為1，，，．
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在平行六面體中，已知，，則下列選項中錯誤的一項是（ ）
A．直線與BD所成的角為90°
B．線段的長度為
C．直線與所成的角為90°
D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．四點(diǎn)共面B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形
C．平面D．平面平面
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知平面平面，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 .
四、解答題
4．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長均為2.
(1)證明:平面；
(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·北京·三模）故宮角樓的屋頂是我國十字脊頂?shù)牡湫痛?，如圖1，它是由兩個完全相同的直三棱柱垂直交叉構(gòu)成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱和是兩個完全相同的直三棱柱，側(cè)棱與互相垂直平分，交于點(diǎn)I，，，則點(diǎn)到平面的距離是（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高二上·浙江金華·期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，是一個八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠商制作一個這種形狀棱長為，重量為的實(shí)心玩具，則下列說法正確的是（ ）

A．將玩具放到一個正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為.
B．將玩具放到一個球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為.
C．將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為.
D．將玩具放至水中，其會飄浮在水面上.
三、填空題
3．（2024·河北保定·三模）在三棱錐中，已知是邊長為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為
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判定定理
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
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判定定理
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l?β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α

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