專(zhuān)題27 解三角形的應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）解析版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】10
【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例10
【考點(diǎn)2】求解平面幾何問(wèn)題16
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題21
【分層檢測(cè)】30
【基礎(chǔ)篇】30
【能力篇】38
【培優(yōu)篇】43
考試要求：
能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.
知識(shí)梳理
1.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).
2.方位角
從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).
3.方向角
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.
2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（）
A．B．C．D．
2．（2021·全國(guó)·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
二、填空題
3．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則， .
4．（2021·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 .
三、解答題
5．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
參考答案：
1．B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
又，所以三點(diǎn)共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
2．A
【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．
【詳解】如圖所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．
3．
【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.
【詳解】由題意作出圖形，如圖，
在中，由余弦定理得，
即，解得（負(fù)值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案為：；.
4．25
【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.
【詳解】由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，
則其面積為：，
小正方形的面積：，
從而.
故答案為：25.
5．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)椋裕?br>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡(jiǎn)得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br>所以，
整理得．
又因?yàn)?，所以?br>即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br>以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br>由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，
長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例
一、單選題
1．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（）米.
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時(shí)測(cè)得分鐘后該船行駛至處，此時(shí)測(cè)得，則（）

A．觀測(cè)點(diǎn)位于處的北偏東方向
B．當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為
C．當(dāng)船行駛至處時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為
D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了
4．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開(kāi)展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離
B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測(cè)量旗桿頂端的仰角，再測(cè)量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測(cè)得旗桿頂端的仰角，正對(duì)旗桿前行5m到達(dá)處，再次測(cè)量旗桿頂端的仰角
三、填空題
5．（2024·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度米.
6．（2021·山東濱州·二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面a米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.
參考答案：
1．D
【分析】設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，則，，
，，
在中，
即，解得，
所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），
在中
，
所以，即炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為公里.
故選：D
2．B
【分析】在中，利用正弦定理求，進(jìn)而在中求山的高度.
【詳解】由題知，，，則，，
又，所以，所以，，
在中，，
根據(jù)正弦定理有，
且，
則，
在中，.
所以山高為米.
故選：B.
3．ACD
【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．
【詳解】A選項(xiàng)中，,，
因?yàn)樵贒的正北方向，所以位于的北偏東方向，故A正確.
B選項(xiàng)中，在中，，，則,又因?yàn)椋?br>所以km,故B錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正確.
D選項(xiàng)中，在中，，，則.
由正弦定理，得AC=km，故D正確.
故選：ACD．
4．BCD
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.
【詳解】對(duì)于A：如果，兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，故A不正確．
對(duì)于B：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；
對(duì)于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高，故C正確；
對(duì)于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；
故選：BCD.
5．204
【分析】根據(jù)仰角設(shè)出長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理列出的邊長(zhǎng)關(guān)系，解方程求解即可.
【詳解】設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，所以，所以.
因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.
故答案為：204
6．
【分析】根據(jù)題意，，分別求得，表達(dá)式，即可求得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可得答案.
【詳解】過(guò)C作，交AB于D，如圖所示：
則，
設(shè)，
在中，，
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以取最大值時(shí)，最大，
所以當(dāng)離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.
故答案為：
反思提升：
1.在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.
2.準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫(huà)出示意圖.
3.運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.
4.測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.
5.方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.
【考點(diǎn)2】求解平面幾何問(wèn)題
一、單選題
1．（2024·山東·二模）在中，設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)甲：，設(shè)乙：是直角三角形，則（）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，不正確的是（）
A．線性回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心
B．若平面平面，平面平面，則平面平面
C．若“，則”的逆命題為假命題
D．若為銳角三角形，則.
二、多選題
3．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）在正四棱臺(tái)中，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）
A．四棱臺(tái)的表面積是
B．四棱臺(tái)的體積是
C．的最小值為
D．的最小值為
三、填空題
5．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，點(diǎn)D，E是邊BC上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在B，E之間，，則 .
6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為．
參考答案：
1．D
【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡(jiǎn)命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】在中，由正弦定理及，得，
即，整理得，
由正弦定理得，則或，即或，
因此甲：或，顯然甲不能推乙；
乙：是直角三角形，當(dāng)角或是直角時(shí)，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.
故選：D
2．B
【分析】根據(jù)回歸方程的特征可判定A正確；根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，可判斷B不正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷C正確；根據(jù)三角形的性質(zhì)和正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，由回歸直線的概念知線性回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以A正確；
對(duì)于B中，若平面平面，平面平面，則平面平面或平面與平面相交，所以B不正確；
對(duì)于C中，命題“，則”逆命題為“，則”
因?yàn)椋渲械姆?hào)不確定，所以為假命題，所以C正確；
對(duì)于D中，若為銳角三角形，可得，即，
又由在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，所以D正確.
故選：B.
3．ABC
【分析】根據(jù)題意得，結(jié)合邊的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)邊的關(guān)系及基本不等式即可判斷BC；用邊長(zhǎng)為的三角形的周長(zhǎng)判斷D
【詳解】對(duì)于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，則成立，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D，邊長(zhǎng)為的三角形，滿足，但，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
4．ABD
【分析】求出四棱臺(tái)的表面積即可判斷A；由正四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算出體積，即可判斷B；將側(cè)面展開(kāi)在同一平面，結(jié)合余弦定理即可判斷CD．
【詳解】對(duì)于A，由題可知，四邊形為正方形，所以，
分別取的中點(diǎn)，則為側(cè)面高，
因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，側(cè)面高，
所以一個(gè)側(cè)面的面積為，
故正四棱臺(tái)的表面積為，故A正確；
對(duì)于B，連接，取中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，則正四棱臺(tái)的高為，，則，
在梯形中，，
所以四棱臺(tái)的體積，故B正確；

對(duì)于C，將側(cè)面展開(kāi)且處于同一平面，連接與交于點(diǎn)，如圖所示，則，所以，由上述結(jié)論可知，，
由余弦定理得，，解得，則，
所以，
因?yàn)闉槔馍系膭?dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），所以點(diǎn)不能共線，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，最短，
由余弦定理得，，解得，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ABD．

5．/
【分析】
由余弦定理求出，的值，結(jié)合題意即可推出，繼而利用正弦定理，即可求得答案.
【詳解】由題意知在中，，
則，
,
而，
又，則，
且，
故，即，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是求出，從而可利用正弦定理求解答案.
6．6
【分析】在中，利用正弦定理可得，進(jìn)而可求得的面積，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而可得的面積，即可得結(jié)果.
【詳解】在中，由正弦定理，可得，
所以的面積；
在中，由余弦定理，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，且，則，
所以的面積；
顯然當(dāng)B、D位于直線AC的兩側(cè)時(shí)，四邊形ABCD的面積較大，
此時(shí)四邊形的面積.
所以四邊形的面積的最大值為.
故答案為：6.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)
（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；
（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運(yùn)算．
反思提升：
平面幾何中解三角形問(wèn)題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題
一、解答題
1．（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.
2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.
(1)若，，求的面積；
(2)若，求的最大值.
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晩期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽(yáng)等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測(cè)天儀由桿和橫檔構(gòu)成，并且是的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng)．十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從點(diǎn)觀察．滑動(dòng)橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽(yáng)，此時(shí)視線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的影子恰好是．然后，通過(guò)測(cè)量的長(zhǎng)度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角（稱為太陽(yáng)高度角），最后通過(guò)查閱地圖來(lái)確定船員所在的位置．

(1)在某次測(cè)量中，，橫檔的長(zhǎng)度為20，求太陽(yáng)高度角的正弦值．
(2)在桿上有兩點(diǎn)，滿足．當(dāng)橫檔的中點(diǎn)位于時(shí)，記太陽(yáng)高度角為，其中，都是銳角．證明：．
4．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，，，點(diǎn)B，D在直線AC的兩側(cè)，，．
(1)求∠BAC；
(2)求與的面積之和的最大值．
5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，.
(1)求A；
(2)若，求的取值范圍.
6．（2023·陜西榆林·三模）已知分別為的內(nèi)角所對(duì)的邊，，且．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
參考答案：
1．(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等變換整理可得，結(jié)合最小正周期分析求解；
以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)最值可得.若選條件①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件②：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件③：利用面積公式、余弦定理可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解.
【詳解】（1）由題意可知：，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因?yàn)椋瑒t，
可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3，即.
若條件①：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又因?yàn)椋?br>可得，且，則，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因?yàn)殇J角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若條件②；因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，
則，
因?yàn)?，則，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因?yàn)殇J角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若選③：因?yàn)?，則，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因?yàn)殇J角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為.
2．(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根據(jù)正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)，在三角形中分別用正弦定理表示，從而建立關(guān)于的三角函數(shù)，進(jìn)而求三角函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，的外接圓半徑為4，所以，解得.
在中，，則，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）設(shè)，.
又，所以.
因?yàn)?，所?
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，
所以的最大值為.
3．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）方法一，根據(jù)三邊長(zhǎng)度，利用余弦定理，求，再求正弦值；
方法二，先求，再根據(jù)二倍角公式求；
（2）首先由正切公式，求得，再根據(jù)不等關(guān)系，放縮為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可比較角的大小.
【詳解】（1）方法一，
由題意，．由于是的中點(diǎn)，且，所以，
且．
由余弦定理，
．
從而，即太陽(yáng)高度角的正弦值為．
方法二
由題意，．由于是的中點(diǎn)，且，所以，
且．
于是，并且，
從而
即太陽(yáng)高度角的正弦值為．
（2）由題意，，．
由于，是銳角，則，，所以，
從而．
根據(jù)，可知
．
由于函數(shù)在單調(diào)遞增，且，，
所以，即．
4．(1)
(2)1
【分析】（1）在中，利用余弦定理求，結(jié)合勾股定理分析運(yùn)算；
（2）設(shè)，利用正弦定理和面積公式用表示面積，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算.
【詳解】（1）在中，由余弦定理，
即，
因?yàn)椋?
（2）設(shè)，則，
在中，由正弦定理，
可得，
因?yàn)榈拿娣e，
的面積，
可得與的面積之和
，
因?yàn)?，則，
可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1，
即與的面積之和的最大值為1.
5．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；
（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)分析運(yùn)算.
【詳解】（1）∵，即，
由于，則，即，
兩邊同乘以可得：，
則，且，解得.
（2）由題意及正弦定理，得，，
則
，
由（1）可知，且為銳角三角形，
則，解得，
則，所以，
故的取值范圍是.
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.
【詳解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因?yàn)椋?br>所以．
（2）由（1）知，
所以.
所以
，
因?yàn)?
所以，
所以，
所以，
故的取值范圍是.
反思提升：
解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（）
A．為銳角三角形B．為直角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無(wú)法確定
2．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在中，邊上的高等于，則（）
A．B．C．D．
4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（20-21高三上·河北張家口·階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）
A．，，則的外接圓半徑是4
B．若，則
C．若，則一定是鈍角三角形
D．若，則
6．（2023·重慶·三模）如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長(zhǎng)度的是（）
A．a(chǎn)，b，B．，，
C．a(chǎn)，，D．，，b
7．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開(kāi)展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離
B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測(cè)量旗桿頂端的仰角，再測(cè)量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測(cè)得旗桿頂端的仰角，正對(duì)旗桿前行5m到達(dá)處，再次測(cè)量旗桿頂端的仰角
三、填空題
8．（15-16高三下·河南·階段練習(xí)）如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡的頂上有一高度為的建筑物，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的處測(cè)得，沿山坡前進(jìn)到達(dá)處，又測(cè)得，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得．
9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為．
10．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積，從而得出圓周率為3.1416，在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為．
四、解答題
11．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知
(1)試判斷的形狀；
(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.
12．（21-22高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．
(1)求∠ACD；
(2)若△ABC為銳角三角形，求BC的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【詳解】由于,
故為鈍角，進(jìn)而三角形為鈍角三角形
故選：C
2．C
【分析】確定角范圍后，由正弦定理表示出，再利用三角函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故選：C．
3．B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)，結(jié)合圖形，即可求解.
【詳解】如圖，邊上的高為，，且，
所以，則，
則，，
所以，則.
故選：B
4．B
【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.
【詳解】由題意知，，
由正弦定理得，
所以.
故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.
故選：B.
5．BC
【解析】根據(jù)正弦定理可求出外接圓半徑判斷A，由條件及正弦定理可求出，可判斷B,由余弦定理可判斷C，取特殊角可判斷D.
【詳解】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯(cuò)誤；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；
因?yàn)?，所以C為鈍角，一定是鈍角三角形，故C正確；
若，顯然，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
6．ACD
【分析】由三角形全等的條件或者正、余弦定理即可判定.
【詳解】法一、根據(jù)三角形全等的條件可以確定A、C、D三項(xiàng)正確，它們都可以唯一確定三角形；
法二、對(duì)于A項(xiàng)，由余弦定理可知，可求得，即A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理可知，即C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，同上由正弦定理得，即D正確；
故選：ACD.
7．BCD
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.
【詳解】對(duì)于A：如果，兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，故A不正確．
對(duì)于B：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；
對(duì)于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高，故C正確；
對(duì)于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；
故選：BCD.
8．
【分析】根據(jù)題意，得到，由正弦定理計(jì)算，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】∵，，∴，
在中，由正弦定理有，
即，即，
在中，由正弦定理有，即，
所以，
因此.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.
9．
【分析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號(hào)成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.
【詳解】由余弦定理知：，而，
所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
10．
【分析】求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．
【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為，腰為1的等腰三角形，
∴該正十二邊形的面積為，
根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，
故答案為：．
11．(1)是直角三角形
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；
（2）由（1）和，得到，則周長(zhǎng)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周長(zhǎng)為，
因?yàn)?，可得?br>所以，當(dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為.
12．(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理求得，根據(jù)，得到，即可求解；
（2）在中，由正弦定理求得，根據(jù)為銳角三角形，求得，得到，進(jìn)而求得的取值范圍．
【詳解】（1）解：在中，由余弦定理得：
，所以，
又因?yàn)?，所以?br>（2）解：由，且，可得，
在中，由正弦定理得，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，，，
所以，可得，
則，所以，所以，
所以的取值范圍為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的面積可以是（）
A．2B．C．3D．4
三、填空題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為．
四、解答題
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平面四邊形中，．
(1)若四點(diǎn)共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值．
參考答案：
1．A
【分析】由于點(diǎn)E在弧上運(yùn)動(dòng)，引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，從而表達(dá)，再利用正弦定理來(lái)表示邊，來(lái)求得周長(zhǎng)關(guān)于角的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，同樣設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求出距離，然后同樣把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)，進(jìn)而求出取值范圍.
【詳解】
（法一）如圖，連接設(shè)，則，，
故．在中，由正弦定理可得，
則．
在中，由正弦定理可得，則．
平行四邊形的周長(zhǎng)為
．
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以，則，
即平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是．
（法二）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，
從而，，，
，
故平行四邊形的周長(zhǎng)為．
因?yàn)?，所以，所以?br>則，即平行四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是．
故選：A.
2．BC
【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用勾股定理可得，，，再利用由余弦定理和基本不等式得，從而求出的范圍，由可得，再根據(jù)選項(xiàng)可得答案.
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
因?yàn)?，，?br>所以，，，
由余弦定理得得
，可得
，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
即，解得，或，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)椋?br>所以
，
因?yàn)椋裕?br>所以，，
而，，，，
故選：BC.
3．
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求三角形的面積的取值范圍.
【詳解】由題意及正弦定理，得．
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以?br>由正弦定理，得，
所以，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，
所以，所以，從而．
4．(1)
(2)．
【分析】（1）由于四點(diǎn)共圓，所以，因此，然后在兩個(gè)三角形中分別用這兩角余弦定理建立等式即可求解；
（2）利用三角形面積公式可得：，然后結(jié)合第一問(wèn)的可得出含四邊形面積的表達(dá)式，再結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍及余弦函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由于四點(diǎn)共圓，所以，因此，
上述兩式相加得：，
得．
（2）由（1）得：，
化簡(jiǎn)得，①
四邊形的面積：，
整理得，②
①②兩邊分別平方然后相加得：
由于，，
因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)四邊形的面積最大，由，得，
故四邊形面積的最大值為．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·遼寧丹東·二模）在一座尖塔的正南方地面某點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，又在此尖塔正東方地面某點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋?，兩點(diǎn)距離為，在線段上的點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫樽畲?，則點(diǎn)到塔底的距離為（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·貴州黔南·二模）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且的面積為.則下列說(shuō)法正確的是（）
A．
B．的取值范圍為
C．若，則的外接圓的半徑為2
D．若，則的面積的取值范圍為
三、填空題
3．（20-21高一下·湖北宜昌·期末）拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知內(nèi)接于半徑為的圓，以BC，AC，AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為.若，則的面積最大值為 .
參考答案：
1．A
【分析】作出圖示，根據(jù)正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再運(yùn)用等面積法可求得選項(xiàng).
【詳解】如下圖所示，設(shè)，則，，
則，解得，
，解得，
所以，解得，
所以，，
要使點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫樽畲?，則需最大，也即需最小，所以，
又，即，
所以點(diǎn)到塔底的距離為，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查立體圖形的計(jì)算實(shí)際運(yùn)用，關(guān)鍵在于依據(jù)已知作出圖形，明確已知條件中的數(shù)據(jù)在圖形中的表示，再運(yùn)用解三角形的知識(shí)得以解決.
2．ABD
【分析】對(duì)A：借助面積公式與余弦定理計(jì)算即可得；對(duì)B：借助銳角三角形定義與三角形內(nèi)角和計(jì)算即可得；對(duì)C：借助正弦定理計(jì)算即可得；對(duì)D：借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來(lái)，結(jié)合的范圍即可得解.
【詳解】對(duì)A：由題意可得，由余弦定理可得，
即有，即，
由，故，即，故A正確；
對(duì)B：則，，解得，故B正確；
對(duì)C：由正弦定理可得，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：若，則，
由正弦定理可得，即，
即
，
由，則，故，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來(lái)，結(jié)合的范圍即可得解.
3．
【分析】設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，由正弦定理求出c，由題意可得，從而表示出，結(jié)合余弦定理求得，利用三角形面積公式即可求得答案.
【詳解】
的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，
由正弦定理可得，
如圖，連接,

因?yàn)槭且訠C，AC為邊向外作的等邊三角形的外接圓圓心，
故,故，
由題意知，
則，
又，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，
由題意知為等邊三角形，
故，
即的面積最大值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于明確拿破侖三角形的含義，即為等邊三角形，由此可結(jié)合正余弦定理以及基本不等式求解
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