【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】解三角形應(yīng)用舉例4
【考點2】求解平面幾何問題6
【考點3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題7
【分層檢測】9
【基礎(chǔ)篇】9
【能力篇】12
【培優(yōu)篇】13
考試要求：
能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.
知識梳理
1.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).
2.方位角
從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).
3.方向角
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.
2.解決與平面幾何有關(guān)的計算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
二、填空題
3．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則 ， .
4．（2021·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則 .
三、解答題
5．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
考點突破
【考點1】解三角形應(yīng)用舉例
一、單選題
1．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?，有建模課題組的學(xué)生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達(dá)B點（A，B，P，Q在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（ ）米.
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在海面上有兩個觀測點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時測得分鐘后該船行駛至處，此時測得，則（ ）

A．觀測點位于處的北偏東方向
B．當(dāng)天10：00時，該船到觀測點的距離為
C．當(dāng)船行駛至處時，該船到觀測點的距離為
D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了
4．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生需通過建立模型、實地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動．在以下不同小組設(shè)計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點間距離
B．在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達(dá)處，再次測量旗桿頂端的仰角
三、填空題
5．（2024·廣東湛江·二模）財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點A，點A在大廈底部的射影為點O，兩個測量基點B、C與O在同一水平面上，他測得米，，在點B處測得點A的仰角為（），在點C處測得點A的仰角為45°，則財富匯大廈的高度 米.
6．（2021·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為 米時看A，B的視角最大.
反思提升：
1.在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.
2.準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.
3.運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.
4.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.
5.方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.
【考點2】求解平面幾何問題
一、單選題
1．（2024·山東·二模）在中，設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)甲：，設(shè)乙：是直角三角形，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）下列命題中，不正確的是（ ）
A．線性回歸直線必過樣本點的中心
B．若平面平面，平面平面，則平面平面
C．若“，則”的逆命題為假命題
D．若為銳角三角形，則.
二、多選題
3．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，三邊長分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）在正四棱臺中，，，為棱上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．四棱臺的表面積是
B．四棱臺的體積是
C．的最小值為
D．的最小值為
三、填空題
5．（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知在中，，點D，E是邊BC上的兩點，點在B，E之間，，則 .
6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為 ．
反思提升：
平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
【考點3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題
一、解答題
1．（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.
(1)若，，求的面積；
(2)若，求的最大值.
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）十字測天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晩期的航海領(lǐng)域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測天儀由桿和橫檔構(gòu)成，并且是的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動．十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從點觀察．滑動橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經(jīng)過點，的影子恰好是．然后，通過測量的長度，可計算出視線和水平面的夾角（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．

(1)在某次測量中，，橫檔的長度為20，求太陽高度角的正弦值．
(2)在桿上有兩點，滿足．當(dāng)橫檔的中點位于時，記太陽高度角為，其中，都是銳角．證明：．
4．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）在平面四邊形ABCD中，，，點B，D在直線AC的兩側(cè)，，．
(1)求∠BAC；
(2)求與的面積之和的最大值．
5．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，.
(1)求A；
(2)若，求的取值范圍.
6．（2023·陜西榆林·三模）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．
(1)求；
(2)求的取值范圍．
反思提升：
解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形B．為直角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無法確定
2．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在中，邊上的高等于，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東 方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（20-21高三上·河北張家口·階段練習(xí)）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．，，則的外接圓半徑是4
B．若，則
C．若，則一定是鈍角三角形
D．若，則
6．（2023·重慶·三模）如圖，為了測量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長度的是（ ）
A．a(chǎn)，b，B．，，
C．a(chǎn)，，D．，，b
7．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建模活動，學(xué)生需通過建立模型、實地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動．在以下不同小組設(shè)計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點間距離
B．在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和
C．在地面上任意尋找一點，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達(dá)處，再次測量旗桿頂端的仰角
三、填空題
8．（15-16高三下·河南·階段練習(xí)）如圖所示，在一個坡度一定的山坡的頂上有一高度為的建筑物，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的處測得，沿山坡前進(jìn)到達(dá)處，又測得，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得 ．
9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為 ．
10．（2023·河南·模擬預(yù)測）割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率為3.1416，在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為 ．
四、解答題
11．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知
(1)試判斷的形狀；
(2)若，求周長的最大值.
12．（21-22高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．
(1)求∠ACD；
(2)若△ABC為銳角三角形，求BC的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點）運(yùn)動，且滿足，則的面積可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知平面四邊形中，．
(1)若四點共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·遼寧丹東·二模）在一座尖塔的正南方地面某點，測得塔頂?shù)难鼋菫?，又在此尖塔正東方地面某點，測得塔頂?shù)难鼋菫椋?，兩點距離為，在線段上的點處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲螅瑒t點到塔底的距離為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·貴州黔南·二模）已知銳角的三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積為.則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的取值范圍為
C．若，則的外接圓的半徑為2
D．若，則的面積的取值范圍為
三、填空題
3．（20-21高一下·湖北宜昌·期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點.”已知內(nèi)接于半徑為的圓，以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為.若，則的面積最大值為
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