【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】3
【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用3
【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5
【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示7
【分層檢測】8
【基礎(chǔ)篇】8
【能力篇】9
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.
4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
知識梳理
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
2．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．5D．6
4．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·全國·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
6．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用
一、單選題
1．（21-22高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣西·二模）已知內(nèi)角的對邊分別為為的重心，，則（ ）
A．B．
C．的面積的最大值為D．的最小值為
4．（2022·廣東惠州·一模）如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（ ）
A．與能構(gòu)成一組基底B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·天津紅橋·二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個對稱的半圓弧組成的，線段MN過點(diǎn)O且兩端點(diǎn)M，N分別在兩個半圓上，點(diǎn)P是大圓上一動點(diǎn)，令，，若，則 ；的最小值為 ．
6．（2024·天津·二模）在中，，是的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．設(shè)，，則可用，表示為 ，若，,則面積的最大值為 ．
反思提升：
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
一、單選題
1．（12-13高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·湖北十堰·模擬預(yù)測）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，向量與向量的夾角為銳角
C．存在，使得
D．若，則
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．
D．設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是
三、填空題
5．（2022·湖南岳陽·三模）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(包含B，C兩個端點(diǎn))，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為 ．
6．（2020·山西·三模）如圖，在△中，，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn).，則，滿足的等式是 .
反思提升：
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.
【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示
一、單選題
1．（23-24高二上·四川綿陽·期末）直線的一個方向向量是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
二、多選題
3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（ ）
A．B．
C．D．與的夾角為
4．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若，其中，，且，則四點(diǎn)共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得
三、填空題
5．（22-23高三上·廣西貴港·階段練習(xí)）已知向量，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則 ．
6．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，設(shè)向量，，若向量與向量共線，則角 ．
反思提升：
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·廣東·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（ ）

A．B．
C．D．
3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
二、多選題
5．（2021·全國·模擬預(yù)測）在中，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個單位向量，且，若（），則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則與同向的單位向量為
C．若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D．若，則的最小值為
三、填空題
8．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知向量，，則，則實(shí)數(shù) .
9．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
10．（2023·河南·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段 的中點(diǎn)，則 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．
12．（2023·湖南永州·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且向量與向量共線.
(1)求；
(2)若的面積為，求的值.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，且，則（ ）
A．B．C．D．2
二、多選題
2．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線段的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（ ）

A．1B．C．D．3
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，點(diǎn)，，．若與的交點(diǎn)為，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,
四、解答題
4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；
(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，求的最小值.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.下列四個結(jié)論正確的是（ ）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
二、多選題
2．（21-22高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知向量，，則下列命題正確的是（ ）
A．存在，使得B．當(dāng)時，與垂直
C．對任意，都有D．當(dāng)時，在方向上的投影為
三、填空題
3．（23-24高三下·天津和平·開學(xué)考試）在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則 ；若，的面積為，則當(dāng) 時，取得最小值
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條件
e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量
結(jié)論
對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底

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