【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】7
【考點(diǎn)1】平面向量的概念7
【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算12
【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用17
【分層檢測(cè)】23
【基礎(chǔ)篇】23
【能力篇】31
【培優(yōu)篇】35
考試要求：
1.了解向量的實(shí)際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.
6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.
知識(shí)梳理
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（ ）

A．B．C．D．
3．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
4．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則 ．
5．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為 ，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
6．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是 ．

參考答案：
1．D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
2．A
【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；
【詳解】連結(jié)，則為的中位線，
，

故選：A
3．C
【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.
【詳解】
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡(jiǎn)單.
4．
【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，
解方程可得：.
故答案為：.
5．
【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.
【詳解】，，，
，
解得，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
,
∵，∴的坐標(biāo)為,
∵又∵,則，設(shè)，則（其中），
，，
，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
6．或0
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】∵三點(diǎn)共線，
∴可設(shè)，
∵，
∴，即，
若且，則三點(diǎn)共線，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
設(shè)，，則，.
∴根據(jù)余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的長(zhǎng)度為.
當(dāng)時(shí)， ，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，
當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.
故答案為：0或.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】平面向量的概念
一、單選題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為
C．若與共線，則為或
D．存在θ，使得
4．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，為單位向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，點(diǎn)E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是 .
6．（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量 .
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)題意，得到，得到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得出為直角三角形，且為等邊三角形，進(jìn)而求得向量在向量上的投影向量.
【詳解】由，可得，
所以，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
又因?yàn)榈耐饨訄A圓心為，所以為直角三角形，所以
因?yàn)椋傻?，所以為等邊三角形?br>故點(diǎn)作，可得，所以，
因?yàn)橄蛄吭谙蛄客?，所以向量在向量上的投影向量?
故選；A.
2．A
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過垂直BC的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，取的中點(diǎn)為，求得的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求.
【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，由，可得是以為直徑的圓，
所以的軌跡方程為，
取的中點(diǎn)為，設(shè)，
可得，所以，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，圓心為，半徑為，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故選：A.
3．BD
【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示可知A錯(cuò)誤，由投影向量的定義可知B正確，由單位向量和共線向量的定義可知C錯(cuò)誤，由向量與同向，可求得，可知D正確.
【詳解】對(duì)于A，若，則有，即，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，在上的投影為，又因?yàn)?，所以?br>，B正確；
對(duì)于C，若與共線，設(shè)，所以有，解得，
因?yàn)椋?，，所以，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若成立，則與同向，所以，即有，，解得，故D正確.
故選：BD.
4．AC
【分析】對(duì)移項(xiàng)后平方可得出：，，，對(duì)于A，，代入即可判斷A；由可判斷B；由，可判斷C；由代入即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，，為單位向量，所以，由，則，兩邊同時(shí)平方得：，所以；由，則，兩邊同時(shí)平方得：，所以；由，則，兩邊同時(shí)平方得：，所以；
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以為反向共線的向量，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，
，所以D錯(cuò)誤；
故選：AC.
5．
【分析】將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，再根據(jù)長(zhǎng)方體里面的三角形關(guān)系求得，再根據(jù)當(dāng)OE⊥截面時(shí)，截面積最小求解即可
【詳解】如圖，將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，易知該長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐的外接球，∵PC為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，∴球心O在PC的中點(diǎn)上，∴外接球半徑，設(shè)平面為過E的球O的截面，則當(dāng)OE⊥平面時(shí)，截面積最小，由圖可知，設(shè)截面半徑為r，則，所以截面圓的面積為，即所得截面面積的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的截面問題，重要思路是當(dāng)OE⊥截面時(shí)，截面積最小，同時(shí)也考查了立體幾何中的線段求解，需要利用直角三角形求解，屬于中檔題
6．
【分析】利用與共線且方向相反的單位向量為，即可得出答案.
【詳解】，，所以與共線且方向相反的單位向量是：
.
故答案為：.
反思提升：
平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.
【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，，.若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北承德·二模）在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A．若O為AD中點(diǎn)，則
B．若O為AD中點(diǎn)，則
C．若O為△ABC的重心，則
D．若O為△ABC的外心，且BC＝4，則
4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點(diǎn)D，若，則 ．
6．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在 內(nèi) (含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為 .
參考答案：
1．C
【分析】將向量看作基底，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運(yùn)算法則，得到即可.
【詳解】依題意，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，，
所以，，，，只有選項(xiàng)C正確；
故選：C．
2．D
【分析】利用平面向量基本定理將用表示出來，再用向量的線性運(yùn)算把用表示即可.
【詳解】由于，所以，
故選：D
3．ABD
【分析】由為中點(diǎn)，結(jié)合平面向量的加法法則即可判斷A，B；由重心的性質(zhì)即可判斷C；由三角形外心性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積公式判斷D．
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，故A正確；
對(duì)于B，由為中點(diǎn)，則，故B正確；
對(duì)于C，由O為△ABC的重心，則根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若點(diǎn)O為△ABC的外心，BC＝4，則根據(jù)三角形外心的性質(zhì)得，
故，故D正確．
故選：ABD．
4．ABD
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，向量共享定理的推論，得出為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得出答案.
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)闉榈冗吶切?，，為中點(diǎn)，所以，
所以，即，所以
，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，
由（1）得，所以，
又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，設(shè)，則，
所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，
所以為中點(diǎn)，所以，故D正確，
故選：ABD.
5．/
【分析】根據(jù)給定條件，探求出線段與的倍分關(guān)系，再結(jié)合平面向量基本定理求解作答.
【詳解】在中，，，則，又平分，即有，

因此，即有，，整理得，
而，且不共線，于是，
所以.
故答案為：
6．
【分析】先利用向量線性運(yùn)算得到，作出輔助線，得到，且，從而得到答案.
【詳解】，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋剩?br>又，所以，故，且，
所以的最大值為，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.
故答案為：
反思提升：
1.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．1或
2．（2024·浙江臺(tái)州·二模）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題
3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，BD相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若A，B，C三點(diǎn)共線，則
C．若向量與垂直，則的最小值為1
D．向量與的夾角正切值的最大值為
三、填空題
5．（2023·上海黃浦·一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為 .
6．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù) .
參考答案：
1．A
【分析】由題設(shè)三個(gè)條件依次得到，推得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，再得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，通過建系將問題轉(zhuǎn)化成由點(diǎn)向圓做切線，求原點(diǎn)到該切線的最短距離問題.
【詳解】由題意，得
，所以．
因?yàn)?，所以?br>又，即，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．
易知，，則點(diǎn)的軌跡方程為．
由，得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．
過點(diǎn)作圓的切線，設(shè)其方程為，即．
由點(diǎn)到該切線的距離為，可得，解得或．
由圖知，當(dāng)時(shí)，最小，切線的方程為，
此時(shí)的最小值即為點(diǎn)到切線的距離，即．
故選：A．
2．B
【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為，，進(jìn)而根據(jù)下向量關(guān)系得，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得，，進(jìn)而結(jié)合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，，
因?yàn)椋裕?br>所以，由雙曲線的定義可知：，，
因?yàn)椋裕?br>所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入數(shù)據(jù)整理得：，
所以，雙曲線的離心率為：.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用向量的關(guān)系得到，進(jìn)而在中結(jié)合余弦定理求得.
3．ABD
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合平面向量共線定理即可判斷答案.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，
，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锽，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，設(shè)，由，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，結(jié)合A可知，，因?yàn)椴还簿€，所以，所以，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合B，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合B，，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
4．AD
【分析】根據(jù)給定條件，用坐標(biāo)表示向量，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，令，
由，，得，，則，
對(duì)于A，，因此，A正確；
對(duì)于B，由三點(diǎn)共線，得，即，
于是，解得，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，由向量與垂直，得，
而，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令向量與的夾角為，，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，不妨令，，則，，顯然，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.

故選：AD
5．10
【分析】運(yùn)用向量共線、向量垂直畫圖，運(yùn)用平行線性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)可得、，再運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算及幾何意義即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋訟、D、E三點(diǎn)共線，且，
又因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以B、E、F三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，所以，如圖所示，
設(shè)，則，
所以，解得：，
所以在上的數(shù)量投影為.
故答案為：10.
6．
【分析】由題設(shè)共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)知：共線，且，如下圖，

作，垂足分別為，則，
所以，又，則，
所以，即，故.
故答案為：2
反思提升：
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）．
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若，則的最小值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
二、多選題
5．（22-23高三上·安徽阜陽(yáng)·期末）在中，已知，，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（ ）
A．若為平面向量，，則
B．若為平面向量，，則
C．若，，則在方向上的投影為
D．在中，M是AB的中點(diǎn)，＝3，BN與CM交于點(diǎn)P，＝+，則λ＝2μ
三、填空題
8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G在AC上，且滿足，若，則 .
9．（2024·山西晉城·一模）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為 ．
10．（2023·上海徐匯·一模）在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．
12．（21-22高三下·山西呂梁·開學(xué)考試）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且.
(1)求角C；
(2)E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，且，求線段CE的長(zhǎng).
參考答案：
1．A
【分析】由單位向量的定義、向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量模的坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】由題意，所以，
從而與向量同方向的單位向量為.
故選：A.
2．D
【分析】運(yùn)用平面向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算即可.
【詳解】如圖，
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
所以.
故選：D.
3．C
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】如圖所示，
由題意可得，
而.
故選：C．
4．C
【分析】先由共線定理得出，再利用基本不等式求出最值即可.
【詳解】因?yàn)闉樯先我庖稽c(diǎn)，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以由共線定理得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值是12．
故選：C
5．ABD
【分析】畫出三角形，應(yīng)用向量線性表示，三角形法則，數(shù)量積關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)?，所以?br>所以，
故選項(xiàng)A正確，
因?yàn)?，所?br>所以
，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故選項(xiàng)D正確，
由，
所以在中，因?yàn)椋?br>所以，故B正確，
故選：ABD.
6．BD
【分析】如圖，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】如圖，
A：，故A錯(cuò)誤；
B：，故B正確；
C：，故C錯(cuò)誤；
D：，
由，得，
所以，故D正確.
故選：BD
7．CD
【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.
【詳解】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯(cuò)誤；
B，若，則，，當(dāng)共面時(shí)，，
若不共面時(shí)，與不平行，故B錯(cuò)誤；
C，若，則，所以，
在方向上的投影為，故C正確；
D，，設(shè),
則
，
設(shè)，則，即，①
，設(shè)，
，
，即，②
由①②可得，，即，故D正確.
故選：CD
8．1
【分析】
利用向量線性運(yùn)算求得，與題干對(duì)照即可求解.
【詳解】
，則，，
所以.
故答案為：1
9．
【分析】利用向量加減運(yùn)算結(jié)合夾角定義求解.
【詳解】設(shè)，，，因?yàn)椋鶠閱挝幌蛄浚?br>所以四邊形為菱形，且平分，
所以與的夾角為，則與的夾角為．
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)在方向上的數(shù)量投影先求出,取,則,即求的最小值,過點(diǎn)作的垂線即可求得.
【詳解】解:由題知在方向上的數(shù)量投影是-2,
,
,
,即,
記,
則,
若求的最小值即求的最小值,
過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),此時(shí)最小,
如圖所示:
,
故答案為:
11．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)幾何圖形進(jìn)行線性運(yùn)算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，
所以 ，
則，
.
（2）因?yàn)?，所以?br>則，
所以，即，所以，
又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，
所以，，三點(diǎn)共線.

12．(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互化計(jì)算得，所以可得；（2）由余弦定理計(jì)算得，可得，所以，再由，得且，所以四邊形是矩形，求解得，從而得.
【詳解】（1）因?yàn)?，由得，?br>由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>故，
得，即，
又，所以.
（2）由余弦定理得，所以，即，又因?yàn)?，即，因?yàn)椴还簿€，所以且，所以四邊形是矩形，所以，即，所以.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)的國(guó)旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團(tuán)結(jié)．如圖，五角星是由五個(gè)全等且頂角為36°的等腰三角形和一個(gè)正五邊形組成．已知當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
3．（2023·江蘇南京·二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點(diǎn)，①與的面積比為 ；②設(shè)，則 ．
四、解答題
4．（2020·北京朝陽(yáng)·二模）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程;
（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】
，
故選：D．

2．AB
【分析】連接DH，AF，CH，BH，利用五角星的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷作答.
【詳解】對(duì)于A，連接DH，如圖，由DF=FH，得：，，A正確；
對(duì)于B，連接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，則，B正確；
對(duì)于C，與不共線，C不正確；
對(duì)于D，連接CH，BH，由選項(xiàng)A知，，而，則四邊形是平行四邊形，
，D不正確.
故選：AB
3．
【分析】①根據(jù)類比圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找到與的面積聯(lián)系即可.
②利用向量加減法的三角形法則，用，表示出即可.
【詳解】如圖：
連接，由題意知，且分別為的中點(diǎn)，.
所以，
,
得.
，，
化簡(jiǎn)得，
所以
故答案為：①；②.
4．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析
【解析】（Ⅰ）由離心率得，由橢圓過一點(diǎn)．得，兩者結(jié)合可解得，得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程后可得，由，，把用表示，然后計(jì)算并代入即可得證．
【詳解】（Ⅰ）由題意，解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）易知直線斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，
由，消元整理得，
∴，，
把代入得，即，
由，得，，
由，得，，
∴，
∴為定值．
【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)直線方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求得，把它代入題中需求的量化簡(jiǎn)可得結(jié)論．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·浙江金華·三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，已知，記，則（ ）
A．若m+n=3，則M的最小值為3
B．若m+n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值
C．若m·n=3，則M的最小值為3
D．若m·n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值
二、多選題
2．（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
3．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為 .
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)，以為原點(diǎn)，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，可解決此題．
【詳解】：設(shè)，如圖：
以為原點(diǎn)，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
，，


．
①若，取，，則，
，，，，
,，此時(shí)，、兩點(diǎn)重合，所以正確；
取，，則，
當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)、兩點(diǎn)重合，所以點(diǎn)不唯一，故B錯(cuò)誤；
②若，取，則
，
當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
取，時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，取最小值，點(diǎn)不唯一，故D錯(cuò)誤.
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算的意義和模的意義，涉及與圓有關(guān)的最值問題，關(guān)鍵是題目中的參數(shù)較多，故而應(yīng)當(dāng)想到直接解決困難較大，應(yīng)用特值排除的方法解決較為方便，這是在解決一些選擇題是常常需要用到的思想方法.
2．ABD
【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到，，三點(diǎn)共線，同理可得為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出余弦值；
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>取的中點(diǎn)，則，所以，
故，，三點(diǎn)共線，且，
同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，
所以為的重心，A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對(duì)C選項(xiàng)，若，，為的外心，則，
設(shè)的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點(diǎn)，
又，
，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因?yàn)椋?br>所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.
3．
【分析】令，利用向量模的計(jì)算公式把表示成t的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.
【詳解】因向量與共線，令，
則，而向量，為單位向量，且，
于是得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以的最小值為.
故答案為：
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向量運(yùn)算
定 義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a.
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

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