專題25 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版-試卷下載-教習網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】6
【考點1】函數(shù)y＝Asin(wx＋φ)的圖象及變換6
【考點2】由圖象確定函數(shù)y＝Asin（wx＋φ）的解析式10
【考點3】三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用17
【分層檢測】23
【基礎(chǔ)篇】23
【能力篇】31
【培優(yōu)篇】35
考試要求：
1.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.
2.了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響.
3.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
知識梳理
1.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·天津·高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調(diào)遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
4．（2022·全國·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
5．（2021·全國·高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）
A．B．
C．D．
參考答案：
1．C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．
【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；
令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；
由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．
故選：A．
3．D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．
故選：D.

4．C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為.
故選：C.
5．B
【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；
解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.
【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當?shù)玫降膱D象，
根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
考點突破
【考點1】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
一、單選題
1．（23-24高一上·天津?qū)幒印て谀榱说玫胶瘮?shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點的（）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象關(guān)于點中心對稱，給出下列三個結(jié)論：
①；
②函數(shù)在上單調(diào)遞減；
③將的圖象向左平移個單位可得到的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、多選題
3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知，下列判斷正確的是（）
A．若，且，則
B．時，直線為圖象的一條對稱軸
C．時，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱
D．若在上恰有9個零點，則的取值范圍為
4．（2024·云南·一模）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）
A．向左平行移動個單位B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位D．向右平行移動個單位
三、填空題
5．（2007·安徽·高考真題）函數(shù)f(x)＝3sin的圖象為C，則以下結(jié)論中正確的是．(寫出所有正確結(jié)論的編號)
①圖象C關(guān)于直線x＝對稱；
②圖象C關(guān)于點對稱；
③函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；
④由y＝3sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C．
6．（2024·浙江·二模）將函數(shù)的圖象上的每個點橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)與函數(shù)圖象交于點，其中，則的值為 .
參考答案：
1．B
【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換可以得到答案.
【詳解】因為把函數(shù)的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，就能得到函數(shù)的圖象.
故選：B
2．D
【分析】由題意先求出，再由三角函數(shù)的性質(zhì)對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】因為函數(shù)的周期為，所以，
又圖象對稱中心為，即，
則，有，
由，所以，故，
此時，結(jié)論①正確；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)論②正確；
將的圖象向左平移個單位可得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，
因為，所以結(jié)論③正確．
故選：D.
3．BD
【分析】利用二倍角公式化簡，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷選項即可.
【詳解】，
對于，根據(jù)條件，可得，故A錯誤；
對于，當時，，
所以直線為的一條對稱軸，故B正確；
對于，當時，，將向左平移個單位長度后可得，
為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；
對于D，由題意，則，因為在上恰有9個零，
所以，解得，故D正確.
故選：BD.
4．ACD
【分析】根據(jù)已知條件，逐項分析各個選項，利用誘導公式化簡函數(shù)解析式即可判斷.
【詳解】A選項，向左平行移動個單位，有，A正確；
B選項，向左平行移動個單位，有，B錯誤；
C選項，向右平行移動個單位，有，
，C正確；
D選項，向右平行移動個單位，有，
，D正確；
故選：ACD
5．②③
【分析】對于①：直接求出即可驗證；對于②：用代入法進行判斷；對于③：直接求出增區(qū)間即可；對于④：利用相位變換即可判斷.
【詳解】因為f(x)＝3sin
對于①：由得：，
所以f(x)＝3sin的對稱軸方程為：，
令，解得：，故①錯誤；
對于②：因為，
所以圖象C關(guān)于點對稱；故②正確；
對于③：令，
解得：，
所以f(x)的遞增區(qū)間為，
當k=0時，是f(x)的一個遞增區(qū)間，故③正確；
對于④：y＝3sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到，故④錯誤.
故答案為：②③
6．/
【分析】先利用伸縮變換和平移變換得到，再根據(jù)題意，由求解.
【詳解】解：由題意得：，
因為函數(shù)與函數(shù)圖象交于點，
所以，即，
整理得，
因為，所以，
又因為，所以，
故答案為：
反思提升：
作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖，用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
【考點2】由圖象確定函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），然后再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）
A．B．
C．D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數(shù)的部分圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．B．
C．為偶函數(shù)D．在區(qū)間的最小值為
4．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標軸分別交于點、、，且的面積為，則（）
A．點的縱坐標為1
B．在上單調(diào)遞增
C．點是圖象的一個對稱中心
D．的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將圖象向左平移個單位得到
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，若在區(qū)間上恰有兩個極大值點，則實數(shù)m的取值范圍是．
6．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則的值為．
參考答案：
1．B
【分析】由圖象可得最小正周期，可求，，點的坐標代入函數(shù)的解析式，可求解析式，進而利用圖象變換可求函數(shù)的解析式.
【詳解】由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為，
所以，將點的坐標代入函數(shù)的解析式，
且函數(shù)在附近遞增，所以.
則，
得.因為，所以當時，，
因此.
函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，然后橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，
得到函數(shù)的解析式為.
故選：B.
2．D
【分析】結(jié)合圖象，以及周期公式，求出，再結(jié)合平移伸縮的法則即可求解.
【詳解】由圖象可知，
則的一個最低點為，
的最小正周期為，則，
，即，
所以，
又因為，所以，
所以，
將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，
得的圖象，
再將所得曲線向左平移個單位長度，
得，
故，
故選：D.
3．ACD
【分析】先由正弦展開式，五點法結(jié)合圖象求出，可得A正確，B錯誤；由誘導公式可得C正確；整體代入由正弦函數(shù)的值域可得D正確.
【詳解】由題意得，
由圖象可得，
又，所以，
由五點法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正確；
B：由以上解析可得，故B錯誤；
C：，故C正確；
D：當時，，
所以最小值為，故D正確；
故選：ACD.
4．ABC
【分析】首先根據(jù)周期，以及條件求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷BC，以及根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律判斷D.
【詳解】對于A，由周期可知，，所以，
則，即點的縱坐標為1，故A正確；
即，且，
所以，即，
對于B，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，，所以點是圖象的一個對稱中心，故C正確；
對于D，將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），
得，再將圖象向左平移個單位得，故D錯誤.
故選：ABC
5．
【分析】結(jié)合圖象求得的最小正周期，即可求得，然后結(jié)合圖象上的點的坐標及可求得，得到的解析式，進而利用三角函數(shù)圖象的變換法則得到的解析式，最后利用正弦函數(shù)的圖象求得m的取值范圍．
【詳解】設(shè)的最小正周期為T，則由圖象知，
所以，則，
由在處取得最小值，可得，，
得，．因為，所以，
所以；
（或由題意可得，，亦可得）
，
由，得，
所以由題意得，解得，
即實數(shù)m的取值范圍是．
故答案為：.
6．
【分析】根據(jù)圖象可知半個周期，求得，代入點的坐標結(jié)合已知可求得，再利用圖象平移即可得出的解析式，進而求出.
【詳解】由圖象可知的最小正周期為，
解得，
代入可得，
解得，
又，所以，
故，
左移個單位長度得，
故．
故答案為：
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
（1）如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由ω＝eq \f(2π,T)即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的零點的橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入點的坐標.利用一些已知點（最高點、最低點或零點）坐標代入解析式.再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導公式變換使其符合要求.
【考點3】三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．在上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．在上的值域為
2．（2024·浙江麗水·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，有，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象．若曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（）
A．
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于點對稱
D．若，則在區(qū)間上的最大值為
4．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則（）
A．的最大值為2
B．是偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于點對稱
三、填空題
5．（2022·四川廣安·二模）函數(shù)（）的圖象向右平移后所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則．
6．（2021·陜西西安·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，設(shè)，下列結(jié)論正確的是 .
①函數(shù)值域為；
②函數(shù)對稱軸為；
③函數(shù)與在內(nèi)交點的橫坐標之和是；
④函數(shù)在是增加的.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，依次判斷選項即可.
【詳解】A：將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
得到函數(shù)，故A錯誤；
B：由選項A可知，
由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
C：由選項A可知，則，
所以函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱，故C正確；
D：由選項A可知，由，得，
所以，則，即的值域為，故D錯誤.
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得，利用三角函數(shù)的最值，求出自變量，的值，然后判斷選項即可，
【詳解】因函數(shù)的最小正周期為，
將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，
若對滿足的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有，
不妨，則，即在取得最小值，
當時，，
此時，，，不合題意，
當時，，
此時，，，當，滿足題意，
故選：A，
3．BC
【分析】首先利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出和的關(guān)系，進一步利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.
【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以，
由于將的圖象向左平移個單位長度，
再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），
得到的圖象，則，
對于A，因為曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，
故，解得，故A不正確；
所以函數(shù)，則或，
，則或，
對于B，令，解得，
所以當時，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于C,令，解得，
所以當時，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；
對于D，當時，或，
所以或，
當時，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最大值為；
當時，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為，故D錯誤；
故選：BC.
4．AB
【分析】依題意可求出，從而可得，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以，解得，
所以，其最大值為2，故A正確；
令，
定義域為，，
所以即是偶函數(shù)，故B正確；
時，，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，故C錯誤；
把的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)
的圖象，
因為，
所以的圖象不關(guān)于點對稱，故D錯誤.
故選：AB
5．
【分析】根據(jù)函數(shù)的平移變換及函數(shù)的奇偶性即可求解.
【詳解】由的圖象向右平移后，可得
的圖象，
因為的圖象關(guān)于軸對稱，
所以,解得
因為，解得，
當時，.
故答案為：.
6．①②③
【分析】由已知得，根據(jù)平移規(guī)律可得，
由得的值域可判斷① ；由的對稱軸為可判斷② ；畫出函數(shù)與在的圖象可判斷③ ；由圖象可判斷④ .
【詳解】由
，
的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，
所以，
當時，，所以，
所以，故①正確；
的對稱軸為即為，
函數(shù)對稱軸為，故②正確；
令得，
如圖函數(shù)與在內(nèi)交點共有8個，前4個是關(guān)于對稱的，后4個是關(guān)于對稱的，所以交點的橫坐標之和是，所以③正確；
如圖由于是的一條對稱軸，所以在是下降的，所以④錯誤.
故答案為：①②③.
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵點是對函數(shù)解析式進行化簡和畫出函數(shù)的圖象，考查了學生分析問題解決問題的能力.
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題.
（2）方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).
（3）三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
2．（2024·山東濰坊·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，則（）
A．B．C．D．
3．（2024·山西晉城·二模）將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2024·四川南充·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則曲線與直線的所有交點中，相鄰交點距離的最小值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
6．（2024·安徽合肥·三模）已知是函數(shù)的兩個零點，且的最小值是，則（）
A．在上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
D．在上僅有1個零點
7．（22-23高三上·湖南常德·階段練習）函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖像，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的最大值為3B．函數(shù)關(guān)于點對稱
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的最小正周期為
三、填空題
8．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(，)，其圖象相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，且是一個極小值點.若把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的最小值為 .
9．（2023·湖北·一模）函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則．
10．（2022·陜西咸陽·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·遼寧鐵嶺·階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
12．（2021·浙江·三模）函數(shù).
（1）求函數(shù)的對稱中心；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，其中且，求函數(shù)在上的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】
結(jié)合誘導公式，利用三角函數(shù)圖象的平移和變換求解即可.
【詳解】
因為，
所以只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)平移變換和周期變換的原則求解即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
得，
再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
得.
故選：B.
3．C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得，由在上有2個零點得，解之即可求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
得的圖象，由，得，
又在上有2個零點，所以，
解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：C
4．A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得，再解方程求解可得答案．
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
得到函數(shù)的圖象，，
令，，
則，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相鄰交點距離的最小值為．
故選：A．
5．AD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移結(jié)論逐項檢驗可得結(jié)論.
【詳解】把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，A正確；
把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，B錯誤；
把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，C錯誤；
把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，D正確；
故選：AD.
6．ABD
【分析】依題意可得的最小正周期，即可求出，從而得到解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期，，．
對于，當時，，
因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B，因為，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于C，將的圖象向右平移個單位長度得到：
，故C錯誤；
對于D，當時，，僅當，即時，，
即在上僅有1個零點，故D正確．
故選：ABD．
7．ACD
【分析】根據(jù)題意由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由圖象頂點坐標求出的值，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】由圖可知，，，，
將點代入，得，
故，向右平移個單位長度得：
，
函數(shù)的最大值為3，故A正確；
，故B錯誤；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；
函數(shù)的最小正周期為，故D正確.
故選：ACD．
8．
【分析】利用三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得周期，進而得到原函數(shù)右側(cè)的第一個最值點，也就是對稱軸，也就是對稱軸，然后得到的最小值.
【詳解】相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，∴,∴，
∴最小值點右側(cè)最近的一個最大值點為，第二個最值點為最小值點，即是第一個超過的最值點，即右側(cè)第一條對稱軸為，∴把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的最小值為,
故答案為：.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的平移變換，屬基礎(chǔ)題.注意相鄰的中心與軸間的距離為四分之一周期，相鄰極值點間的距離為半個周期.注意平移的方向，找到函數(shù)在直線右側(cè)的第一條對稱軸是關(guān)鍵.
9．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得，進而根據(jù)偶函數(shù)即可求解,進而可求解.
【詳解】，
由于是偶函數(shù)，所以,故，
所以，
故答案為：
10．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)輔角公式可知原函數(shù)為，再將其按照題意平移后函數(shù)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可知，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，
由題意可知，函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，即.
故答案為：（答案不唯一）.
11．(1)，
(2).
【分析】（1）由圖象可知，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差，再代入關(guān)鍵點可得解析式；
（2）根據(jù)圖象的變換得到解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得其在區(qū)間上最值.
【詳解】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；
又∴，
將點代入，
∴，
∵∴
故答案為：，.
（2）由的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)
∵
∴
∴當時，即，；
當時，即，.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）化簡函數(shù)，令，即可求得函數(shù)的對稱中心；
（2）由三角函數(shù)的圖象變換，得到，根據(jù)題設(shè)條件，求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)
，
令，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為.
（2）由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，
因為，且，可得，，且，
又因為，所以，
當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，
當時，取得最小值，最小值為，
所以.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西漢中·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，為圖象上兩點，對于向量，為了得到的圖象，需要將圖象上所有點的坐標（）
A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
B．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
C．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
D．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
二、多選題
2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．是的一個周期
B．在上遞減
C．將圖象向左平移個單位可得到的圖象
D．若，則
三、填空題
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則下列有關(guān)與的描述正確的有（填序號）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對稱.
四、解答題
4．（23-24高三上·吉林白城·階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，當時，求方程的所有根的和.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)圖象及題設(shè)條件，求出，從而得到，再利用圖象的平移變換，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，如圖，易知，，所以，
又，所以，得到，所以，即，
又由圖象知，過點，所以，即，
又，所以，得到，
為了得到的圖象，需要將圖象上所有點的坐標橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位，
故選：D.
2．ACD
【分析】由三角函數(shù)的最小正周期公式可判斷A；通過的單調(diào)性可判斷B；通過函數(shù)圖象左右平移作用于自變量，且左加右減可判斷C；由題代入求出，再通過誘導公式和二倍角公式湊角求值可判斷D.
【詳解】對于A，由題意，函數(shù)，可得的最小正周期為，
所以是的一個周期，故A正確；
對于B，由，可得，
所以函數(shù)在上不單調(diào)，故B錯誤；
對于C，將的圖象向左平移個單位可得，，
即，故C正確；
對于D，若，即，即，
所以，
故D正確.
故選：ACD.
3．①③
【分析】根據(jù)圖象分別確定，結(jié)合五點作圖法可最終求得解析式；利用三角函數(shù)平移變換可知①正確；利用三角恒等變換知識化簡方程為，結(jié)合范圍求得方程的根，可得②錯誤；利用誘導公式化簡可得，知③正確.
【詳解】由圖象可知：，，；
又，由五點法可知：，解得：；
；
對于①，，①正確；
對于②，，即；
，，或或或，
所有根的和為，②錯誤；
對于③，，
與圖象關(guān)于對稱，③正確.
故答案為：①③
【點睛】思路點睛：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，涉及到已知圖象求解析式、整體法求解方程的根、圖象對稱性問題；已知圖象求解解析式的基本思路是通過五點作圖法的方式，將圖象與正弦函數(shù)圖象進行對應(yīng)，從而確定參數(shù)的取值.
4．(1)，
(2).
【分析】（1）利用恒等變換化簡后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）利用圖象變換法,求得的函數(shù)表達式，解方程求得的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求出即可.
【詳解】（1）由題意可得：因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，
所以的最小正周期為，即可得，
又為奇函數(shù)，則，
又，所以，故.
令，得，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
又，則或，
即或.
令，當時，，
畫出的圖象如圖所示：
的兩個根對應(yīng)的點關(guān)于直線對稱，即，
有，
在上有兩個不同的根，
所以；
又的根為，
所以方程在內(nèi)所有根的和為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2020·陜西·模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的圖象的一部分，則要得到該函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
二、多選題
2．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，且對任意，都有，當取最小值時，則下列錯誤的是（）
A．圖像的對稱軸方程為
B．在上的值域為
C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
D．在上單調(diào)遞減
三、填空題
3．（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數(shù)的兩個零點，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，則實數(shù)的取值范圍為．
參考答案：
1．B
【分析】先由圖用求出，由求出,由求出,
得到；運用二倍角公式和輔助角公式化簡
利用三角函數(shù)圖象平移性質(zhì)得解.
【詳解】如圖知: ,
， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函數(shù)圖象平移性質(zhì)得

(技巧：由三角函數(shù)圖象平移性質(zhì)得 )
所以函數(shù)向右平移個單位長度得到.
故選：B
【點睛】本題考查由圖象求函數(shù)的解析式.
確定的步驟和方法:
(1)求：確定函數(shù)的最大值和最小值，則，；
(2)求：確定函數(shù)的周期，則可；
(3)求：常用的方法有代入法和五點法．
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時已知)或代入圖象與直線的交點求解(此時要注意交點是在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．
②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口．
2．ABC
【分析】根據(jù)題意的圖象關(guān)于點對稱，又當時，取得最小值，
當取最小值時，即周期最大，可得，所以，函數(shù)在時取得最小值，所以．求得，再逐項分析判斷即可得解.
【詳解】因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，又對任意，都有，所以當時，取得最小值，
當取最小值時，即周期最大，
可得．得，所以，
函數(shù)在時取得最小值，
所以．因為，所以．
即．
令，得．故A錯誤；
當時，．
此時的值域為，故B錯誤；
將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)
的圖象，故C錯誤；
當時，，單調(diào)遞減，故D正確．
故選：ABC
3．
【分析】根據(jù)函數(shù)零點的最小距離可得，再利用平移規(guī)則和函數(shù)奇偶性可求得，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點可限定出，即可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得或；
根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，解得；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位后可得為偶函數(shù)，
則，又可得；
因此；
當時，可知，
若函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，可知，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)根據(jù)兩零點的最小距離求得，再由平移后的函數(shù)為偶函數(shù)求得，得出函數(shù)的解析式后問題便迎刃而解
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x
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－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
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0
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π
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y＝Asin
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0
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時
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T＝eq \f(2π,ω)
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ωx＋φ
φ

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