一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
2．為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量（與不重合，），下列說法：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達(dá)點(diǎn)，另一只從沿下底部圓弧逆時(shí)針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達(dá)點(diǎn)，則此時(shí)線段長（單位：厘米）為（ ）
A．B．C．6D．12
4．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．在棱長為a的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則與面MBD的距離是（ ）．
A．B．C．D．
7．如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．三棱錐的體積為D．直線BC與平面所成的角為
8．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①的外接球表面積為；
②異面直線與所成角的取值范圍是；
③直線平面；
④三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化.
A．①②B．①③C．②③D．③④
二、多選題（本大題共3小題）
9．關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，則的最小值為
C．
D．若是關(guān)于的方程：的根，則
10．如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面
B．
C．異面直線與所成角的余弦值為
D．平面與平面的夾角的正切值為
11．在邊長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，動(dòng)點(diǎn)平面，則（ ）
A．正方體被平面截得的截面面積為
B．若，則點(diǎn)的軌跡長度為
C．若，則的最小值為
D．將正方體的上底面繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)連接上、下底面各頂點(diǎn)，得到一個(gè)側(cè)面均為三角形的十面體，則該十面體的體積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知i為虛數(shù)單位，是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則 .
13．已知向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
14．已知梯形如圖1所示，其中，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面⊥平面，得到如圖2所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面，則λ的值為 ．

圖1 圖2
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知空間中三點(diǎn)，設(shè)
(1)已知，求的值；
(2)若，且，求的坐標(biāo).
16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.
(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；
17．如圖，在三棱柱中，底面，，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值.
18．如圖，PC是圓臺(tái)的一條母線，是圓的內(nèi)接三角形，AB為圓的直徑，．

(1)證明：；
(2)若圓臺(tái)的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．
19．如圖①所示，矩形中，，，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐，N為中點(diǎn)，
(1)若平面平面，求直線與平面所成角的大??；
(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】復(fù)數(shù)，則，
所以.
故選：D
2．【答案】C
【分析】利用空間向量法分別判斷即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?不重合，，
對(duì)①，平面平行等價(jià)于平面的法向量平行，故①正確；
對(duì)②，平面的法向量垂直等價(jià)于平面垂直，故②正確；
對(duì)③，若 ，故③錯(cuò)誤；
對(duì)④，，故④正確.
故選C.
3．【答案】A
【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，
過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，
所以圓弧的長度為：，，
則，
同理，過向圓O作垂線垂足為，則，
所以.
故選：A.
4．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，則，
所以．
故選B．
5．【答案】D
【詳解】因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面,
平面平面,平面平面,
所以,是靠近的三等分點(diǎn)，
所以,
平面平面即是,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為3，
則
設(shè)直線l與所成角為
.
故選：D.
6．【答案】A
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
所以
設(shè)平面的法向量，則 即
設(shè)，則
所以
則點(diǎn)到平面的距離為.
故選:A
7．【答案】B
【分析】對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對(duì)于BD，利用空間向量判斷；對(duì)于C，利用體積公式求解即可.
【詳解】對(duì)于A：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
對(duì)于B：，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)樵谄矫嫱?，所以直線與平面平行，故B正確；
對(duì)于C：，所以三棱錐的體積為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，直線BC與平面所成的角為，，故D錯(cuò)誤.
故選B.
8．【答案】C
【分析】根據(jù)正方體棱長可知其外接球半徑為,其表面積為，可判斷①錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的余弦值可求得②正確，求出平面的法向量為，可知，即③正確，易知點(diǎn)到平面的距離是定值，利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即④錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長為2的正方體外接球半徑為,
則滿足，可得，
此時(shí)外接球的表面積為，可知①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
則，所以，
設(shè)，其中；
可得，
異面直線與所成角的余弦值為，
易知時(shí)，，
可得，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；
對(duì)于③，由②可知，，則；
設(shè)平面的法向量為，又，
則，取，則；
所以平面的法向量為，
此時(shí)，可得，又平面，
所以直線平面，即③正確；
對(duì)于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，
易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會(huì)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，即④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的結(jié)論為②③.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解異面直線所成角的方法：
（1）平移法：將兩異面直線通過平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；
（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量所成的角與異面直線所成的角的關(guān)系，求得兩向量夾角的余弦值.
9．【答案】BD
【詳解】A選項(xiàng)：由虛數(shù)單位的定義，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)，
B選項(xiàng)：由，則，且，
則，，
又，所以當(dāng)時(shí)取最小值為，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：，，，
所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：由已知復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的兩根滿足，
且與互為共軛復(fù)數(shù)，由可知，
則，即，D選項(xiàng)正確；
故選：BD.
10．【答案】ABD
【分析】選項(xiàng)A由線面平行的判定定理可證；選項(xiàng)B由線面垂直可證線線垂直；選項(xiàng)CD可由空間向量法可得.
【詳解】選項(xiàng)A：
如圖連接交于，連接，
由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，
又平面，平面，故平面，故A正確；
選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
故,
又棱柱為直三棱柱，故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正確；
選項(xiàng)C：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
因，故A3,0,0，
所以，，
設(shè)異面直線與所成角為，則
故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由題意平面的一個(gè)法向量為，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，即，設(shè)，則，，
故，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故，
故，故D正確，
故選ABD.
11．【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，連接并延長，與所在直線交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，則正方體被平面截得的截面為六邊形，
連接，則，
因?yàn)闉檎襟w，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又分別為棱的中點(diǎn)，所以，
所以，則點(diǎn)為中點(diǎn)，，
同理可得，，
所以六邊形為正六邊形，則，故A正確；
對(duì)于B，由A可知，平面即為平面，
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，
則，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?，令，則，
因?yàn)?，所以，所以平面?br>又平面，所以，
因?yàn)?，?br>所以，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為的圓，點(diǎn)的軌跡長度為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以為靠近的三等分點(diǎn)，則，
連接，由，，得，
所以，所以關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
所以，故C正確；
對(duì)于D，如圖所示，即為側(cè)面均為三角形的十面體，在平面，以為對(duì)角線作正方形，連接，則是上底和下底都是正方形的四棱臺(tái)，底面邊長為和1，高為1，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，故D正確；
故選：ACD．
12．【答案】4
【詳解】是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，
也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，
，，
解得，，故.
故答案為：4
13．【答案】
【詳解】由，得，解得，
又，得，解得，
所以與夾角為鈍角，實(shí)數(shù)的取值范圍為且.
故答案為：.
14．【答案】/
【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∴
則，
若是平面的一個(gè)法向量，
則
可得，
若是平面的一個(gè)法向量，
則可得
由平面平面，得，
即，
解得．
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，，
又，所以，得到.
（2）因?yàn)?，又，所以，解得或?br>所以的坐標(biāo)為或.
16．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，則，，
所以直線與平面所成角的余弦值為.
（2）依題意，平面的法向量為，且平面過點(diǎn)，由，得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
17．【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則，
則點(diǎn)是的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，
所以，
且平面，平面，
所以平面；
（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
，令，則，，
則平面的法向量，
平面的法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
所以.

二面角的平面角的正切值為
18．【答案】(1)證明見詳解；
(2).
【詳解】（1）由題知，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，
又，所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由圓臺(tái)性質(zhì)可知，平面，且四點(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，
因?yàn)槠矫妫?
（2）圓臺(tái)的體積，其中，
解得或(舍去).
由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則解得
于是可取.
設(shè)直線與平面的夾角為，
則，
故所求正弦值為.
19．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）借助面面垂直的性質(zhì)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求出大小.
（2）連接DG，過點(diǎn)D作平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及法向量，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，則平面，
過作，則平面，又平面，于是，
在矩形中，，，則，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)直線BC與平面所成的角為，則，
所以直線BC與平面所成角的大小為.
（2）連接，由，得，而，則為的平面角，即，
過點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
顯然平面，平面，則平面平面，
在平面內(nèi)過作于點(diǎn)，則平面，
設(shè)，而，則，，，
即，，
所以，
于是，，
設(shè)平面PAM的法向量為，則，
令，得，設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br>則，令，得，
設(shè)平面和平面為，
則
令，，則，即，則當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．
【方法總結(jié)】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大??；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角．
2024-2025學(xué)年山東省日照市五蓮縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試題（二）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)、必修第二冊(cè)、選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章2.4.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知向量，.若，則（ ）
A.4B.C.8D.
2，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A.B.C.D.
3，若直線：與直線：垂直，且直線：與直線：垂直，則（ ）
A.1B.C.2D.
4.若點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍為（ ）
A.B.
C.D.
5.在山西的某個(gè)旅游景點(diǎn)內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（ ）
A.B.C.D.
6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（ ）
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
7.在四面體中，為的外心，底面，，，，則四面體外接球的表面積為（ ）
A.B.C.D.
8.已知，直線：，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)到軸的距離的最小值為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知集合，，，則（ ）
A.B.C.D.
10.已知一組數(shù)據(jù)為1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，則（ ）
A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能為3
B.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，
C.當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的方差為1.25
D.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，的最小值為
11.已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點(diǎn)滿足，其中，則（ ）
A.當(dāng)為底面的中心時(shí)，
B.當(dāng)時(shí)，長度的最小值為
C.當(dāng)時(shí)，長度的最大值為6
D.當(dāng)時(shí)，為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為______，______.
13.已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______.
14.已知函數(shù).若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）若，求；
（2）若，，求的面積.
16.（15分）
如圖，在正六棱柱中，為的中點(diǎn).設(shè)，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若，求的值.
17.（15分）
已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若一條光線從點(diǎn)射向直線，經(jīng)該直線反射后經(jīng)過圓上的點(diǎn)，求該光線從點(diǎn)到點(diǎn)的路線長的最小值.
18.（17分）
如圖，已知，，，四點(diǎn)均在直徑為6的球的球面上，，，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).
（1）證明：平面.
（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值.
19.（17分）
過點(diǎn)作斜率分別為，的直線，，若（），則稱直線，是定積直線或定積直線.
（1）已知直線：（），直線：，試問是否存在點(diǎn)，使得直線，是定積直線？請(qǐng)說明理由.
（2）在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在第一象限，且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上.若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo).
（3）已知直線與是定積直線，設(shè)點(diǎn)到直線，的距離分別為，，求的取值范圍.
高二數(shù)學(xué)參考答案
1. D 根據(jù)題意可得，解得.
2. A 易得.
3. B 由得.
4. D 根據(jù)題意可得解得或.
5. B 將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃分別設(shè)為，，，，，
根據(jù)題意可得該游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗的所有情況有，，，，，，，，，，共10種，
其中該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的情況有3種，故所求概率為.
6. C 設(shè)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），
則.在圖①中，，，，則，，
所以，滿足；在圖②中，，，，
則，，所以，滿足；
在圖③中，，，，則，，
所以，不滿足.
7. C 設(shè)四面體的外接球?yàn)榍?，其半徑為，外接圓的半徑為.
由正弦定理得，則.
由，，得，解得，
所以球的表面積為.
8. B 由，得.
令解得即過定點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，
其中圓心，半徑為.因?yàn)閳A心到軸的距離為4，
所以點(diǎn)到軸的距離的最小值為.
9. AC 由題意得，
，所以，A，C正確，B，D錯(cuò)誤.
10. BCD 當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，A錯(cuò)誤.
當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，這與這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1矛盾，
所以，B正確.當(dāng)時(shí)，，，，，C正確.
當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.
11. BCD 連接，.設(shè)與交于點(diǎn)，
則.
當(dāng)為底面的中心時(shí)，.
因?yàn)?，所以，，所以，A錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則長度的最大值為6，
長度的最小值即到平面的距離.設(shè)到平面的距離為，
則，
解得，B，C均正確.因?yàn)椋?br>所以在底面上，且，則，
得，D正確.
12.； 依題意得，
則的虛部為，.
13. 依題意得，
設(shè)異面直線與所成的角為，因?yàn)椋?br>所以
.
14. 因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>，
所以為奇函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋圆坏仁郊礊?，則.
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即的取值范圍是.
15.解：（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>所以，
則或（舍去），所以.
因?yàn)?，所?
（2）由（1）得.
因?yàn)椋?，解得?br>所以，，，
所以.
故的面積為.
16.解：（1）.
（2）由題意易得，，
則
.
17.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.
代入，，的坐標(biāo)，得
解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則
解得即.
由（1）可得圓的圓心為，半徑，
則該光線從點(diǎn)到點(diǎn)的路線長的最小值為.
18.（1）證明：由題意可知為球的直徑，所以，.
又因?yàn)?，所以?br>，所以平面，
平面，所以，
，所以平面.
（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
根據(jù)題意可得，，，
則，，
所以，，，，
，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則取.
設(shè)（），
則.
設(shè)平面的法向量為，
則取.
.
令，，，
則，
當(dāng)，即，時(shí)，取得最大值，最大值為.
19.解：（1）由題意可得，
由得
故存在點(diǎn)，使得，是定積直線，且.
（2）設(shè)直線的斜率為（），則直線的斜率為，直線的斜率為.
依題意得，得，即或.
直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，解得或（舍去），，，
所以直線的方程為，直線的方程為，
由得即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（3）設(shè)直線：，直線：，其中，
則
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即，故的取值范圍為

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