1．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．B．C．0D．1
2．已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)為空間中兩條不同直線，為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的為（ ）
A．若上有兩個點到平面的距離相等，則
B．若是異面直線，，則
C．若不垂直于，則必不垂直于
D．若，則“”是“”的既不充分也不必要條件
4．已知函數(shù)的部分圖如圖所示，且，則（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，在正四面體ABCD中．點E是線段AD上靠近點D的四等分點，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
6．下列命題正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，則不共線
C．若是平面內(nèi)不共線的向量，且存在實數(shù)y使得，則A，B，C三點共線
D．若，則在上的投影向量為
7．已知，，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．在中，是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有，則為（ ）
A．等腰三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．銳角三角形
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面對應(yīng)的點是?1,7
D．若是關(guān)于的方程的一個根，則
10．設(shè)函數(shù)向左平移個單位長度得到函數(shù)，已知在上有且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱
B．的取值范圍是
C．在上單調(diào)遞增
D．在上，方程的根有3個，方程的根有3個
11．化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式）?金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為4，則（ ）

A．正八面體的外接球體積為
B．正八面體的內(nèi)切球表面積為
C．若點為棱上的動點，則的最小值為
D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值
三、填空題（本大題共3小題）
12．，則 .
13．在中，，為的外心，若，則的值為 .
14．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面⊥平面.
16．已知向量，，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；
（2）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.
17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圓的面積為，，求△ABC的面積.
18．如圖，在四棱錐中，平面.

(1)求證：平面；
(2)若，求與平面成角的正弦值；
(3)設(shè)點為的中點，過點的平面與棱交于點，且平面，求的值.
19．若函數(shù)滿足：對任意，則稱為“函數(shù)”．
(1)判斷是不是函數(shù)(直接寫出結(jié)論)；
(2)已在函數(shù)是函數(shù),且當(dāng)時，．求在的解析式；
(3)在(2)的條件下，時，關(guān)于的方程(為常數(shù))有解，求該方程所有解的和．
參考答案
1．【答案】B
【分析】由純虛數(shù)的定義得出實數(shù).
【詳解】，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，且，解得.
故選：B
2．【答案】D
【分析】由側(cè)面展開圖求得圓錐的母線長，然后計算圓錐側(cè)面積即可.
【詳解】設(shè)圓錐母線長為，由題意，所以，
所以圓錐的側(cè)面積為.
故選：D
3．【答案】B
【分析】對于A，m與可以相交，直線m上關(guān)于交點對稱的兩點到平面的距離相等；對于B，根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行判斷；對于C，通過畫圖排除即可；對于D，根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)進(jìn)行判斷；
【詳解】對于A，當(dāng)直線m與相交時，直線m上關(guān)于交點對稱的兩點到平面的距離相等，故A錯誤；
對于B，若m、n是異面直線，，，，，則在直線任取一點，過直線與點確定平面，，又，則，，，所以，又，，所以，故B正確；
對于C，如下圖：
故C錯誤；
對于D，若，，，則，又，所以；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要條件，故D錯誤.
故選：B.
4．【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的圖象，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得的值，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，所以，可得，
所以函數(shù)，
又由，可得，
因為，可得只有時滿足題意，可得，
又因為，可得，所以.
故選C.
5．【答案】A
【分析】過點E作直線BD的平行線，交AB于點F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】過點E作直線BD的平行線，交AB于點F，連接CF，
則為異面直線EC與BD所成角或其補角，
不妨設(shè)，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．
故選A．

6．【答案】C
【分析】
利用向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A，利用向量共線定理可判斷BC，利用投影向量的定義可判斷D.
【詳解】
若，且，則，所以A選項錯誤；
若滿足，但不滿足不共線，所以B錯誤；
由，可得，即，故A，B，C三點共線，所以C正確；
若在上的投影向量為，所以D錯．
故選：C．
7．【答案】B
【分析】
先根據(jù)二倍角余弦公式求，解得，最后根據(jù)兩角差余弦公式得結(jié)果.
【詳解】
或
因為，所以
故選：B
【點睛】
本題考查二倍角余弦公式、兩角差余弦公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
8．【答案】B
【分析】取的中點，將向量用表示，得到，進(jìn)而判斷的形狀.
【詳解】取的中點，的中點，連接（如圖所示），則
，
同理，
因為，所以，
即，所以對于邊上任意一點都有，
因此，
又，為中點，為中點，
所以，所以，
即，所以，即為鈍角三角形，
故選B.
9．【答案】CD
【分析】結(jié)合模長公式和復(fù)數(shù)的乘方運算，舉反例判斷AB，根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C，得到為方程的另一個根，根據(jù)韋達(dá)定理即可判斷D.
【詳解】若，則不一定成立，比如，
滿足，但，不滿足，A選項錯誤；
比如，滿足，
由復(fù)數(shù)定義可知，兩個復(fù)數(shù)不能比大小，故大小無法判斷，B選項錯誤；
，
所以在復(fù)平面對應(yīng)的點是?1,7，C選項正確；
若是關(guān)于的方程的一個根，
則為方程另一個根，
故，即，D選項正確.
故選：CD
10．【答案】BC
【分析】根據(jù)零點個數(shù)可得，故可判斷B的正誤，根據(jù)的值可判斷A的正誤，根據(jù)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD的正誤.
【詳解】由題設(shè)有，當(dāng)時，，
因為已知在上有且只有5個零點，故，
故，故B正確.
對于A，，無法確定是否為，故A錯誤；
對于C，當(dāng)時，，
而，故在上單調(diào)遞增，故C正確.
對于D，當(dāng)時，，而，
故在有3個不同的解，有2個或3個不同的解，
故D錯誤.
故選：BC.
11．【答案】BCD
【分析】對于A項，利用正八面體的對稱性可分析計算得出正方形的中心即為外接球球心，再利用球的體積公式計算即可；對于B項，可以利用等體積列出關(guān)于內(nèi)切球半徑的方程，解之即可；對于C項，通過兩個側(cè)面翻折共面后即得共線時取最小值；對于D項，通過發(fā)現(xiàn)并證明平面，將三棱錐的體積進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化成三棱錐的體積，計算即得.
【詳解】對于A項，設(shè)該正八面體外接球的半徑為，由圖知，是正方形，,
在中，，利用對稱性知，故點為正八面體外接球的球心，則，
所以正八面體外接球的體積為，故A項錯誤；
對于B項，設(shè)該正八面體內(nèi)切球的半徑為，由內(nèi)切球的性質(zhì)可知正八面體的體積，
解得，故它的內(nèi)切球表面積為，故B項正確；

對于C項，如圖，因與是邊長為4的全等的正三角形，可將翻折到，使其與共面，從而得到一個菱形.
連接與相交于點，此時，則 ，因此取得最小值為，故C項正確；
對于D項，易知，因為平面，平面，所以平面，
所以，故D項正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，
12．【答案】3
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得到，化弦為切，代入求值求出答案.
【詳解】，.
故答案為：3.
13．【答案】
【分析】由向量數(shù)量積的定義以及三角形外心的性質(zhì)，可得，從而求解，然后利用向量數(shù)量積定義代入求解即可.
【詳解】如圖，作，，因為，由為的外心，所以可知為的中點，所以，得，同理可得，所以.
故答案為：
14．【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正余弦公式求解可得，再根據(jù)正弦定理化簡，結(jié)合三角函數(shù)值與角度范圍的關(guān)系求解即可.
【詳解】由正弦定理結(jié)合，得，
則，即，
故，則，故，解得.
由正弦定理，有，
故
，
設(shè)，且，則.
又，故，且，故.
故，即，
故.
故答案為：
15．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)即可.
(2)結(jié)合面面垂直的證明方法即可.
【詳解】（1）連接交于點,連接．
四邊形是矩形，是的中點．
又為的中點，．
平面，平面，平面
（2）面，面，．
是矩形，．
而，，平面平面
又平面．平面平面．
16．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；；（2）.
【詳解】（1）因為，
所以函數(shù)的最小正周期；
因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，
所以，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）不等式有解，即；
因為，所以，又，
故當(dāng)，即時， 取得最小值，且最小值為，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對已知等式化簡后，利用余弦定理可求出角A；
（2）先求出角三角形外接圓的半徑，再由正弦定理可求出，將已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式可求出，再結(jié)合（1）可求出，從而可求出三角形的面積.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，即，
所以，
因為，所以；
（2）因為△ABC的外接圓的面積為，所以△ABC的外接圓半徑為，
由正弦定理得，，
因為，所以由正弦定理得，
由（1）知，
所以，得，則，
所以△ABC的面積為.
18．【答案】(1)證明見解析
(2).
(3).
【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合即可得證；
（2）首先求得為直線與平面所成角的平面角，再求解即可；
（3）由線面平行的性質(zhì)得到，即可得解.
【詳解】（1）因為平面平面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）平面，
平面，得為直線與平面所成角的平面角，
中，，
中，，
；
（3）因為平面，平面平面，平面，
所以，因為點為的中點，
所以點為的中點，所以.
19．【答案】(1)是函數(shù)，是函數(shù)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）是函數(shù)，證明如下：
因為，又，，所以，故是函數(shù).
是函數(shù)，證明如下：
因為，
，所以，故是函數(shù).
因為，所以函數(shù)的周期為，
又，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，
因為時，所以，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
又時，，
所以，
綜上，在上的解析式為.
由（2）知，當(dāng)時，，
所以，得到，
又函數(shù)的周期為，所時，的圖象如圖，
由圖知，當(dāng)時，有5個解，其和，
當(dāng)時，有8個解，由對稱知，其和，
當(dāng)時，有12個解，由對稱知，其和，
當(dāng)時，有16個解，由對稱知，其和，
當(dāng)時，有8個解，由對稱知，其和，
綜上，方程所有解的和.
2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知直線的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．D．0
2．若，，則（ ）
A．22B．C．D．29
3．如果且，那么直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E在側(cè)棱PC上，且，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
5．已知為實數(shù)，直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A．B．C．3D．
7．點到直線（為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線之間的距離為
B．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6
C．將直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，所得到的直線為
D．若直線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則直線的斜率為
10．在正方體中，能作為空間的一個基底的一組向量有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．如圖，在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點，且滿足，則下列說法正確的是（ ）

A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，若，則
C．當(dāng)時，直線與直線所成角的大小為
D．當(dāng)時，三棱錐的體積的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知直線過點，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是 .
13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為 ．
14．在棱長為4的正方體中，點，分別為棱，的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點），且，則線段的長度的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，正方體的棱長為2.

(1)用空間向量方法證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知點，點，直線過點且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程.
17．平行六面體，
(1)若，，，，，，求長；
(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．
18．如圖，四邊形是直角梯形，為的中點，是平面外一點，是線段上一點，三棱錐的體積是.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，，側(cè)棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點）.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面所成角的余弦值的最小值.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】直線的斜率為，所以，
解得.
故選：C.
2．【答案】C
【詳解】由，，
得，，
所以．
故選：C．
3．【答案】C
【詳解】由且，可得同號，異號，所以也是異號；
令，得；令，得；
所以直線不經(jīng)過第三象限.故選C.
4．【答案】B
【詳解】解：在平行四邊形ABCD中，
，
在中，
，
，
，
，
在中，
．
故選：B．
5．【答案】B
【詳解】若，則有，解得，
當(dāng)時，，不重合，符合要求；
當(dāng)時，，不重合，符合要求；
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
6．【答案】D
【詳解】因為，，，所以，，
則，，，所以，
又因為，所以，
則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.
故選：D
7．【答案】B
【詳解】解：將直線方程變形為，
由，解得，
由此可得直線恒過點，
所以到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時直線垂直于
到直線的最短距離為0，此時直線經(jīng)過點．
又，
所以到直線的距離的取值范圍是．
故選：B．
8．【答案】D
【詳解】如圖所示，在正三棱錐中，，
可得，
因為點分別是棱的中點，
可得，，
所以
．
故選：D．

9．【答案】ACD
【詳解】直線與直線之間的距離，故A正確；
對于直線0，令，得，令得，所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，故B錯誤；
的傾斜角為，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得直線的傾斜角為，斜率為，故C正確；
設(shè)直線的方程為，向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度后得，
即與是同一條直線，所以，所以，故D正確.
故選:ACD.
10．【答案】AC
【詳解】由題意得：如下圖所示：

對于A項：，，不共面，能作為空間的一個基底,故A項正確；
對于B項：，所以：，，共面，不能作為空間的一個基底,故B項錯誤；
對于C項：，，不共面，能作為空間的一個基底,故C項正確；
對于D項：，
所以：，，共面，不能作為空間的一個基底,故D項錯誤.
故選：AC.
11．【答案】ABD
【分析】利用直棱柱的性質(zhì)，以及空間向量的有關(guān)知識逐項計算可得結(jié)論.
【詳解】對于A，當(dāng)時，分別是線段和線段的中點，
所以P也是的中點，所以，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，
所以，，，滿足，故B正確；
對于C，過作交于，

可知面，與直線成角即為，
當(dāng)時，，在中，
則，
所以，所以，故C錯誤；
對于D，易知是正三角形，
三棱錐體積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確；
故選ABD.
【關(guān)鍵點撥】本題D選項解決的關(guān)鍵是，分析得是正三角形，從而得到所需各線段長，從而利用三棱錐的體積公式即可得解.
12．【答案】或
【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時，設(shè)直線方程為，
因為直線過點，所以，所以直線的方程為；
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時，
設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，
則直線的方程為，
又因為直線過點，所以，
解得：，
所以直線的方程為，即，
綜上所述：直線的方程為或，
故答案為：y=2x或．
13．【答案】2
【詳解】由題意得，所以
所以的面積為，
點都在平面上，點到平面的距離3，
所以三棱錐的體積為．
故答案為：
14．【答案】
【詳解】以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因為點，分別為棱，的中點，所以，，
設(shè)，，其中，，
則，.
因為，則，解得，
又因為，，則，
可得，
所以，此時，即線段的長度的最小值為.
故答案為：.
15．【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

易知，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則可得，即；
又，即，
又平面，
所以平面；
（2）易知，則，
由（1）知平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，
又直線過點，所以直線的方程為，即.
（2）由解得，故的交點坐標(biāo)為，
因為在直線上，設(shè)關(guān)于對稱的點為，
則解得
所以直線關(guān)于直線對稱的直線經(jīng)過點，
代入兩點式方程得，即，
所以直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為.
17．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1），，，
，
∴
，
；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
設(shè)與所成的角為，則.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，連接交于點，
因為，
所以，所以，
因為，所以，
所以，即，
又因為平面，
所以平面，又平面，所以．
又因為，所以，
又平面，
所以平面；
（2）以為原點，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，即點，
則三棱錐的體積，解得，
所以，則，
設(shè)平面的法向量，
由，令，則，
即可得平面的一個法向量，
由軸平面，故為平面的一個法向量，
所以，
由圖可知二面角是銳二面角，
故二面角的余弦值是．
【點睛】
19．【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）利用線面垂直證明面面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用坐標(biāo)法求面面夾角余弦值，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)最值求法可得面面夾角余弦值的最小值.
【詳解】（1）因為是等邊三角形，點是棱的中點，所以，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）在平面中，過點作，
，，
又平面，平面，
，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

是等邊三角形，，，
，，，
，
，
設(shè)（），所以，
，
設(shè)平面的法向量為，，，
因為，
令，得，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，，
因為，
令，得，
所以平面的一個法向量為.
設(shè)平面與平面所成角為，
所以（），
設(shè)，則，所以，
所以，
所以當(dāng)，即時，取到最小值.

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