一、單選題（本大題共8小題）
1．若直線的方程為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．與a的取值有關(guān)
3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是（ ）
A．B．C．D．
4．從拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，從且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．3D．
5．如圖所示，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值為（ ）

A．B．C．D．
6．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（ ）
A．B．9C．5D．6
7．直角坐標(biāo)系中直線上的橫坐標(biāo)分別為?2，的兩點(diǎn)、，沿軸將坐標(biāo)平面折成大小為的二面角，若折疊后、兩點(diǎn)間的距離是，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知是空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為B．的面積為1
C．到雙曲線的一條漸近線的距離為2D．雙曲線的離心率為
11．如圖，內(nèi)接于圓O，為圓O的直徑，，，平面，E為的中點(diǎn)，若三棱錐的體積為2，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．異面直線與所成角的余弦值為
B．直線與平面所成的角的余弦值為
C．點(diǎn)A到平面的距離為
D．平面與平面所成的角的大小為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線具有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
13．已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為 .
14．如圖所示，已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且在x軸的上方，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)和，且圓心在直線上.
(1)求圓C的方程：
(2)若直線與圓的交點(diǎn)為兩點(diǎn)，求.
16．如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
17．已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線.
(1)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于,兩點(diǎn)，求的面積．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線PM與直線PN的斜率之積是.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)直線與（1）中軌跡相交于，兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；
(3)在（2）的條件下，求弦長(zhǎng).
19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足；
①證明：點(diǎn)在一條定直線上；
②求四邊形面積的最小值.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】設(shè)直線傾斜角為，
直線的斜率為，
又傾斜角的取值范圍為，所以直線的傾斜角.
故選：B.
2．【正確答案】A
【詳解】由知直線過(guò)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.
故選：A.
3．【正確答案】D
【詳解】的焦點(diǎn)是，∴雙曲線的半焦距，
又虛半軸長(zhǎng)且，
∴雙曲線的漸近線方程是.
故選：D
4．【正確答案】C
【詳解】解：設(shè)，
依題意可知拋物線準(zhǔn)線x=?1，
，，
，．
直線PF的斜率為，
故選C．
5．【正確答案】B
【詳解】是面積為的正三角形，
，解得.
，代入橢圓方程可得，
與聯(lián)立，解得.
故選：B
6．【正確答案】D
【詳解】由點(diǎn)，得直線，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，
因此點(diǎn)P到直線距離的最小值為，
所以面積的最小值為.
故選：D.
7．【正確答案】A
【詳解】直線上的橫坐標(biāo)分別為?2，的兩點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，
如圖為折疊后的圖形，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，
則、的夾角為，又，，，
，，，
則
，
解得，而，則.
故選：A.
8．【正確答案】C
【分析】不妨令，，，根據(jù)雙曲線的定義可求得，，再利用勾股定理可求得，從而可求得雙曲線的離心率．
【詳解】，不妨令，，，
，，
又由雙曲線的定義得：，，
，
，．
在中，，
又，，
雙曲線的離心率．
故選;C
9．【正確答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以共面，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以共面，故B正確；
對(duì)于C，假設(shè)存在，，使得，
則，顯然無(wú)解，所以不共面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以共面，故D正確.
故選：ABD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，由得，所以雙曲線C的漸近線方程為，所以A正確；
對(duì)于B，由雙曲線，可得，則，設(shè)，則，所以，得，因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以，解得，所以的面積為，所以B正確；
對(duì)于C，到一條漸近線的距離為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由雙曲線方程可知，所以離心率，故D正確.
故選：ABD
11．【正確答案】AC
【詳解】∵為圓O的直徑，且，，∴為直角三角形，，
設(shè)，
由E為的中點(diǎn)可得，
解得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系如下圖所示：
，，，，，
則，，，，
對(duì)于A，易知，
所以異面直線與所成角的余弦值為，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，，即，
取，，
設(shè)與平面所成的角為，則，選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C，點(diǎn)A到平面的距離為，選項(xiàng)C正確.
對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，，
則，即，取，
，，
所以平面與平面的夾角大小為90°，選項(xiàng)D不正確.
故選：AC.
12．【正確答案】
【詳解】由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
代入點(diǎn)，得，得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故
13．【正確答案】/
【詳解】
由橢圓定義得，又因?yàn)椋?br>所以，，
又，，結(jié)合勾股定理得，
解得，則，
所以橢圓的離心率為.
故答案為.
14．【正確答案】8
【分析】
由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)A(x0,y0)(y0＞0)，利用拋物線的定義、勾股定理求出x0,y0，進(jìn)而求△AFK的面積.
【詳解】
由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線l為x＝－2，
∴K(－2,0)，設(shè)A(x0,y0)(y0＞0)，
∵過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面積為.
故8
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以弦的垂直平分線的方程為，即，
與直線聯(lián)立解得：，所以圓心坐標(biāo)為所以圓的半徑，則圓的方程為：；
（2）由（1）知，圓心到直線的距離為
圓的半徑.
16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，
由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
則有、、，
設(shè)平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點(diǎn)到平面的距離為.
17．【正確答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）依題意，聯(lián)立，消去，得：，即：，
①當(dāng)時(shí)，有：，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件；
②當(dāng)時(shí)，要使得直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則方程只有一個(gè)解，
所以，解得：；
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）由于拋物線：的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，
設(shè)，，
聯(lián)立，消去，得：，
則由韋達(dá)定理得：，，
所以，
所以.
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意，化簡(jiǎn)，
又因?yàn)橹本€PA、PB的斜率存在，則.
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由題意，顯然，
則有，，兩式作差可得，
即有，
又為線段AB的中點(diǎn)，
則有，，代A即得直線的斜率為，
直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)該直線與橢圓有兩交點(diǎn)，
整理可得直線的方程為.
（3），
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，，
故.
19．【正確答案】(1)
(2)①證明見(jiàn)解析；②
【分析】（1）根據(jù)雙曲線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合離心率列方程組可得曲線方程；
（2）①由已知直線斜率一定存在，可設(shè)直線與，聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達(dá)定理可得點(diǎn)及直線方程，聯(lián)立直線與可得點(diǎn)，進(jìn)而得證；
②由已知，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得AB，則面積
【詳解】（1）由已知雙曲線離心率，即，
則雙曲線方程為，
又曲線過(guò)點(diǎn)，
即，解得，
即雙曲線方程為；
（2）
由（1）得，
①由已知直線的斜率存在且，
設(shè)直線，Ax1,y1，Bx2,y2，且，
聯(lián)立直線與雙曲線，
得，
恒成立，
且，，
即，解得，
又為，中點(diǎn)，則，
則，
即，
則直線，
又直線過(guò)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，
則，
聯(lián)立與，即，解得，
即，
即點(diǎn)在直線上；
②，
，
又點(diǎn)滿足，
則四邊形為平行四邊形，且，
則，
設(shè)，，則，
則，
設(shè)，則
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值為，
即當(dāng)時(shí)，的最小值為.
方法點(diǎn)睛：解決直線與雙曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．

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