1．答卷前，先將自己的考生號等信息填寫在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形碼．
2．本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁至第2頁，第Ⅱ卷為第3頁至第4頁．
3．選擇題的作答：每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．
4．非選擇題的作答：用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 從10個事件中任取一個事件，若這個事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個事件中具有隨機性的事件的個數(shù)為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正確答案】B
【分析】計算出必然事件和不可能事件的個數(shù)，用事件總數(shù)減去它們之和即得答案.
【詳解】這10個事件中必然事件的個數(shù)為，不可能事件的個數(shù)為，
所以具有隨機性的事件的個數(shù)為．
故選：B
2. 若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)共面定理逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以，，共面，
所以不是空間的另一個基底，A錯誤．
因為，所以，，共面，
所以不是空間的另一個基底，B錯誤．
假設(shè)存在m，n，使得，
則，顯然無解，所以，，不共面，
所以是空間的另一個基底，C正確．
因為，所以，，共面，
所以不是空間的另一個基底，D錯誤．
故選：C
3. 直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，由直線的方程，結(jié)合直線截距的定義計算，即可求解．
【詳解】由題意，直線，
令，解得，故；令，解得，所以．
故選：B．
4. 甲、乙兩名同學將參加年高考，近一年來的各種數(shù)學模擬考試總結(jié)出來的數(shù)據(jù)顯示，甲、乙兩人能考分以上的概率分別為和，甲、乙兩人能否考分以上相互獨立，則預(yù)估這兩人在年高考中恰有一人數(shù)學考分以上的概率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】由獨立事件的概率公式可知，所求概率為.
故選：C.
5. 如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，D，E分別為SO，SB的中點，，，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量坐標運算求解.
【詳解】

以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
則，，
所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為．
故選：C
6. 設(shè)aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【詳解】∵當a=1時，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，
兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，
故前者是后者的充分條件，
∵當兩條直線平行時，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要條件．
故選A．
考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．
7. 如圖，在正四棱柱中，，．點，，分別在棱，，上，，，，則點到平面的距離為（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】構(gòu)建空間直角坐標系坐標系，通過空間向量求解即可.
【詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，．
設(shè)平面的法向量為，
則令，
得．
點到平面的距離為．
故選：D.
8. 已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）
A. （0，1）B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b； ③若點M在點A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果．
【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為 1，
由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），
由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，
故0，故點M在射線OA上．
設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為．
①若點M和點A重合，如圖：
則點N為線段BC的中點，故N，
把A、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．
②若點M在點O和點A之間，如圖：
此時b，點N在點B和點C之間，
由題意可得三角形NMB的面積等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若點M在點A的左側(cè)，
則b，由點M的橫坐標1，求得b＞a．
設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由 求得點P的坐標為，
此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 ?（1﹣b）?|xN﹣xP|，
即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此時 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
兩邊開方可得 2（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得 b＞1，
故有1b．
綜上可得b的取值范圍應(yīng)是 ，
故選B．
本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 若直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值可能是（ ）
A. B. C. 0D.
【正確答案】BCD
【分析】利用正切函數(shù)圖象求解即可.
【詳解】當斜率k存在時，，，
因為，由正切函數(shù)的圖象可知，傾斜角．
故選：BCD

10. 下列選項中正確的是（ ）
A. 某人上班路上要經(jīng)過3個路口，假設(shè)在各個路口是否遇到紅燈是相互獨立的，且各個路口遇到紅燈的概率都是，那么他在第3個路口才首次遇到紅燈的概率為
B. 甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼，他們能單獨破譯的概率分別為，，，假設(shè)他們破譯密碼是相互獨立的，則此密碼被破譯的概率為
C. 一個袋子中有3個紅球，4個藍球，采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球，則兩次取到的球顏色相同的概率為
D. 丟兩枚相同的硬幣，恰好一正一反的概率為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式與對立事件的概念計算即可判斷ABC，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可判斷D.
【詳解】對于A，在第3個路口才首次遇到紅燈的概率為，故A正確；
對于B，因為此密碼沒被破譯的概率為，
所以此密碼被破譯的概率為，故B不正確；
對于C，兩次取到的球顏色相同的概率為，故C正確；
對于D，丟兩枚硬幣的樣本空間為（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
所以恰好一正一反的概率為，故D不正確．
故選：AC.
11. 如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，，，且，則（ ）

A. B.
C. D. 直線與平面ABCD所成的角為
【正確答案】ACD
【分析】A.利用空間向量的線性運算求解判斷；B.利用空間向量的數(shù)量積運算求解判斷；C.利用空間向量的模及向量數(shù)量積運算律求解判斷；D.連接AC得到即直線與平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判斷.
【詳解】，A正確．
，B錯誤．
，故，C正確．
連接AC如圖所示：

則即直線與平面ABCD所成的角，所以，，D正確．
故選：ACD
第Ⅱ卷（非選擇題）
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 是直線和直線垂直的_________條件.
【正確答案】充分不必要
【分析】求出兩條直線垂直的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】直線和直線垂直等價于或，
所以是直線和直線垂直的充分不必要條件.
故充分不必要
13. 《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖，這是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由3根線組成（“”表示1根陽線，“”表示1根陰線），從八卦中任取兩卦，則兩卦的6根線中恰有4根陽線和2根陰線的概率為______．

【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，利用列舉法寫出樣本空間，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可求解.
【詳解】由題意可知，從八卦中任取兩卦，
則樣本空間{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，離），（乾，艮），
（乾，兌），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，離），（坤，艮），（坤，兌），（震，巽），
（震，坎），（震，離），（震，艮），（震，兌），（巽，坎），（巽，離），（巽，艮），（巽，兌），
（坎，離），（坎，艮），（坎，兌），（離，艮），（離，兌），（艮，兌）}，共包含28個樣本點．
八卦中，3根都是陽線的有一卦，
2根陽線、1根陰線的有三卦，
1根陽線、2根陰線的有三卦，
3根都是陰線有1卦，
記事件“從八卦中任取兩卦，這兩卦的6根線中恰有4根陽線和2根陰線”為A，
則{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，離），（巽，兌），（離，兌）}，共包含6個樣本點，
故所求概率為
故答案為.
14. 設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是______．
【正確答案】5
【詳解】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，.
法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.
【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.
四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 有兩個人從一座8層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的．
（1）求這兩人在同一層離開電梯的概率；
（2）求這兩人在不同層離開電梯的概率．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）應(yīng)用古典概型即可；（2）應(yīng)用對立事件即可.
【小問1詳解】
這兩個人離開電梯的樓層分別可能為（2，2），（2，3），…，（2，8），（3，2），（3，3），…，（3，8），…，（8，2），（8，3），…，（8，8），共有49種情況．
這兩個人在同一層離開的情況有7種，所以這兩人在同一層離開電梯的概率為．
【小問2詳解】
因為“這兩人在同一層離開電梯”與“這兩人在不同層離開電梯”是對立事件，所以這兩人在不同層離開電梯的概率為．
16. 如圖，在正三棱柱中，D是BC的中點，．

（1）若，證明：平面．
（2）若與平面所成的角為，求三棱柱的體積．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）當時，；當時，.
【分析】（1）以O(shè)為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，證明直線方向向量和平面法向量共線即可；
（2）設(shè)，根據(jù)與平面所成的角為可得a，然后可得體積.
【小問1詳解】
證明：如圖，取的中點O，中點為，連接，由正三棱柱性質(zhì)可知，兩兩垂直.
以O(shè)為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系.
因為為正三角形，所以.
則，，，，，
，．

設(shè)平面的法向量為，
則，令，得．
因為，所以，所以，
故平面．
【小問2詳解】
解：設(shè)，由（1）中坐標系可得， ， ， ，，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得．
因為與平面所成的角為，，
所以，
解得或．
因為，
所以當時，；
當時，.
17. （1）一條光線從點射出，與x軸相交于點，經(jīng)x軸反射，求入射光線與反射光線所在直線的斜截式方程；
（2）直線l經(jīng)過點，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，求直線l的一般式方程．
【正確答案】（1）；；（2），，．
【分析】（1）根據(jù)斜率公式可得PQ的斜率，然后點斜式可得入射光線所在直線方程，根據(jù)反射光線與入射光線所在直線的傾斜角互補，即可求得反射光線所在直線方程；
（2）分直線過原點和不過原點，不過原點時根據(jù)題意截距式方程，代入已知點可得.
【詳解】解：（1）由P，Q兩點坐標，可得直線PQ的斜率為，
所以入射光線所在直線的點斜式方程為，
其斜截式方程為．
因為反射光線與入射光線所在直線關(guān)于x軸對稱，所以反射光線與入射光線所在直線的傾斜角互補，
所以反射光線所在直線的斜率為3，所以反射光線所在直線的點斜式方程為，
其斜截式方程為．
（2）當直線l的截距為0時，直線l的方程為，即．
當直線l的截距不為0時，設(shè)直線l的方程為，
則，解得或，
若，則直線l的方程為，即；
若，則直線l的方程為，即．
綜上所述，直線l的一般式方程可能是，，．
18. 如圖，在四面體ABCD中，，，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，AD，CD的中點，點在線段AB上.

（1）若平面AEG，試確定點的位置，并說明理由；
（2）求平面AEG與平面CDH的夾角的取值范圍.
【正確答案】（1）為AB的中點，理由見解析
（2）
【分析】（1）利用線面平行的判定定理證得平面AEG，再利用線面平行的性質(zhì)定理得，即可確定點的位置；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得兩個平面夾角余弦值的函數(shù)，利用二次函數(shù)知識求解余弦值的范圍，然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解角的范圍即可.
【小問1詳解】
若平面AEG，則為AB的中點，理由如下：
因為E，G分別為BC，CD的中點，所以.
因為平面AEG，平面AEG，所以平面AEG.
若平面AEG，只需即可.
因為為AD的中點，所以為AB的中點.
【小問2詳解】
過點D作平面ABC，垂足為，連接OE，OA.
設(shè)，因為，，
所以，，，
所以.
在中，，.
因為，所以，解得.
所以.
以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，
過點作，垂足為，作，垂足為.
設(shè)，則，，所以.
則，，，
.
設(shè)平面AEG的法向量為，
則，令，則.
設(shè)平面CDH的法向量為，
則，令，則.
所以.
當時，.
當時，，令，
則.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
即.綜上，
設(shè)平面AEG與平面CDH的夾角為，則，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以平面AEG與平面CDH夾角的取值范圍為.
難點點睛：本題考查了線面平行的判定及性質(zhì)定理、以空間面面角的向量求法，解答的難點在于求出平面夾角的余弦值之后，要對其表達式進行變形，從而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得余弦的最值，從而利用余弦函數(shù)的單調(diào)性得到其取值范圍.
19. 若直線經(jīng)過，，點分的比為，則（為參數(shù)）已知三頂點分別為，，，為內(nèi)的一點，且，,的面積之比為，求點的坐標.
【正確答案】
【分析】由三角形面積之比得到點到直線的距離之比，從而得到直線和直線的交點為線段的三等分點，進而得到直線的方程，同理得到直線的方程，最后聯(lián)立兩直線方程求解點的坐標．
【詳解】
由，它們有公共邊，
故，到直線的距離之比為．
同理，，到直線的距離之比為，
邊上靠近的三等分點為，即，
它與點連線的直線方程為．
邊上靠近的四等分點為即，
它與點連線的直線方程為．
由，解得點坐標為

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