注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知平面平面，．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若直線平面，則B. 若平面平面，則
C. 若直線直線，則D. 若平面直線，則
5. 直線與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A B.
C. D.
6. 如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則（ ）
A B. C. D.
7. 數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為
A. B.
C. D.
8. 如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著x增大，平面BDE與平面ABC的夾角是（ ）
A. 先增大再減小B. 減小
C. 增大D. 先減小再增大
二、多選選擇題：本題共3.小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知正方體棱長為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A. 平面
B. 直線與直線為異面直線
C. 直線與直線所成的角為
D. 平面
10. 以下四個(gè)命題敘述正確的是（ ）
A. 直線在軸上的截距是1
B. 直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是
C. 設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2
D. 直線，若，則或2
11. 如果函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“F函數(shù)”．下列函數(shù)不是“F函數(shù)”的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 演講比賽結(jié)束后，4名選手與1名指導(dǎo)教師站成一排合影留念要求指導(dǎo)教師不能站在兩端，那么有______種不同的站法用數(shù)字作答)
13. 三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球表面積等于______.
14. 過直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，則點(diǎn)到直線距離的最大值為______.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，．
（1）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．
（2）若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．
16. 如圖所示，平行六面體中，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
17.在正四棱柱中，為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)．
（1）證明：為的中點(diǎn)；
（2）若直線與平面所成的角為，求的長．
18. 已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．
19. 如圖1，在中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.

（1）求證：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段上一動(dòng)點(diǎn)滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
1.B
由題意隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，即正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱,
因?yàn)椋?br>故，
故選：B
2.B
因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則，則，
因此，
故選：B.
3.C
向量
若，
則，
．
故選：C．
4.D
A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；
B，若，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；
C，若，，，必須，利用面面垂直的性質(zhì)定理可知，故C錯(cuò)誤；
D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正確；
故選：D.
5.B
易知直線的斜率為，直線的斜率為，
于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對(duì)值一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，
檢驗(yàn)4個(gè)選項(xiàng)，知只有B選項(xiàng)滿足題意．
故選：B.
6.A
因?yàn)槎娼堑拇笮?，，，，，?br>所以與的夾角為，又因?yàn)椋?br>所以
，
所以，即．
故選：A．
7.A
將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題,且每組只研究一個(gè)課題
只需每個(gè)課題依次選三個(gè)人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，
故不同的分配方案為：，
故選A.
8.D
以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)所有棱長均為2，則，,，，設(shè)平面BDE法向量,
則，令有，
故.
又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值
，又，故在上單增， 上單減，
即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.
故選：D.
9.AD
對(duì)A，連接，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；
對(duì)BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是故BC錯(cuò)誤；
對(duì)D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
則，
則，
則，
則，又因?yàn)槠矫?，所以平?
故選：AD.
10.BC
對(duì)于A，直線在軸上的截距是，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由解得，即，則，解得，B正確；
對(duì)于C，依題意，，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線重合，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11.ABD
令，則，
即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”．
對(duì)于A，，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故A正確；
對(duì)于B，，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故B正確；
對(duì)于C，，，，
所以單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)是“F函數(shù)”．故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，
則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故D正確.
故選：ABD.
12.72
根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①，指導(dǎo)教師不能站在兩端，則指導(dǎo)教師有3個(gè)位置可選，有3種站法；
②，其4名選手全排列，安排在其他4個(gè)位置，有種情況，
則有種不同的站法；
故答案為72．
13.
如圖：
將三棱錐補(bǔ)成長方體，則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.
設(shè)長方體外接球半徑為，則：，所以
14.##
如圖，設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)椋庶c(diǎn)在以為直徑的圓上，
因?yàn)閳A心，半徑為，
故圓的方程為：，
又圓，
將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，
所以到直線距離的最大值即.

15.（1）由題意得，則直線的斜率為，
所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為：，
即．
（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，
即．
因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，
所以點(diǎn)直線上，
故設(shè)點(diǎn)為，
由可得：，
解得或，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，
則直線的方程為或．
16.（1），
則
，
所以.
（20由空間向量的運(yùn)算法則，可得，
因?yàn)榍遥?br>所以
，
，
則.
17.（1）如圖，連接，，在正四棱柱中，
由與平行且相等得是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中點(diǎn)，
所以是的中點(diǎn)；
（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)（），
則，，，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則
，取，得，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以的長為．
18.（1）由離心率，則，
又上頂點(diǎn)，知，又，可知，，
∴橢圓E的方程為；
（2）設(shè)直線l：，設(shè)，，
則，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
19.（1）因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)椋?，所?
又，，平面，
所以平面.
（2）因?yàn)?，，，所以，，兩兩垂?
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

依題意有A0,0,0，，，D0,1,0，，，
則，，，.
設(shè)平面的法向量，
則有
令，得，，所以是平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)椋?br>所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）假設(shè)存在，使二面角的正弦值為，
即使二面角的余弦值為.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量，
，
解得，令，得，
則是平面的一個(gè)法向量.
由圖形可以看出二面角的夾角為銳角，且正弦值為，
故二面角的余弦值為，
則有，
即，解得，.
又因?yàn)?，所?
故存在，使二面角的正弦值為
2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)階段
檢測試題（二）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.已知，，則（ ）
A.B.
C.D.
2. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 直線的方向向量，直線的方向向量，則不重合直線與的位置關(guān)系是（ ）
A 相交B. 平行
C. 垂直D. 不能確定
4. 由數(shù)字2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
5.已知為實(shí)數(shù)，直線，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6. 若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
7.邊長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，是DB靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（ ）
A.1B.C.D.
8. 已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，且f?x=fx，若函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
二、多選題（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或者不選得0分。）
9. 已知直線的方向向量分別是，若且則的值可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A.當(dāng)時(shí)，
B.當(dāng)時(shí)，若，則
C.當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角的大小為
D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最大值為
三?填空題（本題共10小題，每小題3分，共30分.）
12. 已知，則________．
13.空間內(nèi)四點(diǎn)，，，可以構(gòu)成正四面體，則___________.
14. 已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為____________．
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. 已知向量，向量，
（1）求向量，，的坐標(biāo)；
（2）求與所成角的余弦值.
16. 如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
17.如圖，已知平行六面體.
（1）若，求的長度；
（2）若，求與所成角的余弦值.
18. 某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡5月1日當(dāng)天消費(fèi)不低于1000元，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有6個(gè)形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有4個(gè)，白球有2個(gè)，抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．
方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，每有1個(gè)紅球，可立減80元；
方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回地每次摸出1個(gè)球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減80元．
（1）設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；
（2）設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；
（3）如果你是顧客，如何在上述兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫出你的選擇及簡要理由．
19. 已知函數(shù)．
（1）函數(shù)是否具有奇偶性?為什么?
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，證明：．
1.C
將中的元表依次代入驗(yàn)證，只有，0，滿足，所以.故選C.
2.D
由題得，
∴z=1，，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
故選：D．
3.B
因?yàn)?，所以?br>所以直線與平行.
故選：B
4.A
將組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有種，
而其中偶數(shù)有兩種情況：
①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種
②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種
所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，
所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.
故選：A.
B
易知兩直線的斜率存在，當(dāng)時(shí)，則解得，由推不出，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，可以推出，必要性成立.故選B.
6.D
解：，，
.
故選：D.
7.B
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，又，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選B.
8.C
令，其定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以為偶函?shù)，
由題易知也為偶函數(shù)，
因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，
所以兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，必有一個(gè)是原點(diǎn)，
故.
故選：C.
9.AC
，
若且，
則，解得或，
所以或.
故選：AC
10.BD
對(duì)于A，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立，
所以，不一定成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由于，則，
則，故B正確；
對(duì)于C，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立，
所以，也不一定成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故，故D正確；
故選：BD.
ABD
由平行六面體知四邊形是平行四邊形，連接
，當(dāng)時(shí)，分別是的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn)，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)可知，又，所以0，
故B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵诶忾L均為1的平行六面體中，平面，所以，，所以，設(shè)直線與直線所成角為，則
，又，所以，即直線與直線所成角為，故C錯(cuò)誤；過作交于，可證平面，所以三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選ABD.
12.2或1
將左右兩邊同時(shí)除以，可得.
得，所以或2.
由已知正四西體的棱長為1，所以的豎坐標(biāo)為正四面體的高，的外接圓半徑為，所以正四面體的高為，而橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)即底面三角形的重心坐標(biāo)，，，所以，故答案為.[只寫對(duì)一個(gè)不給分]
14.
，
，解得：，
，則，
切線的方程為：，即；
若最小，則為與平行且與曲線相切的切點(diǎn)，所求最小距離為到直線的距離，
設(shè)所求切點(diǎn)，由，可得，
所以，即，又單調(diào)遞增，而時(shí)，
所以，即，
.
故答案為：.
15.（1）因?yàn)橄蛄?，所以，解得：，?br>則，，
又因?yàn)椋瑒t，解得，
所以
（2）由（1）知，
所以，，
則，，，
即與所成角的余弦值
16.（1）如圖，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，

所以，，
又，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，，
又，是平面內(nèi)兩條相交直線，
平面，又平面，
，
所以兩兩互相垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A0,0,0，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，
則，即，令，得，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令，得，，
，
設(shè)二面角的平面角為，
，則.
所以二面角的正弦值為.
17.（1），
因?yàn)椋?br>所以，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以
，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?br>，所以，
設(shè)與所成的角為，則，
即與所成角的余弦值為.
18.（1）設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X的所有可能取值為，
，，．
X的分布列為：
所以，．
（2）設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為．
則，
所以，，
，，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以，．
（3）因?yàn)?，?br>即兩種方案抽取的紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望一樣，但方案一更穩(wěn)定，
所以應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式．
19.（1），而，
顯然，且，
所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故函數(shù)y=fx不具有奇偶性.
（2）時(shí)，，
，
故當(dāng)時(shí)，f'x>0，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f'x

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